2023-2024学年浙江省台州市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省台州市八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图所示是第19届杭州亚运会的运动图标，属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知一个三角形两边长分别为2，6，则第三边长可以为( )
A. 3B. 4C. 7D. 9
3.从n边形一个顶点引出的对角线条数是( )
A. nB. n−1C. n−2D. n−3
4.下列运算结果正确的是( )
A. a2⋅a4=a8B. (a4)2=a8C. a6÷a2=a3D. (6a2)2=6a4
5.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，若DE=2，S△ABD=3，则AB的长为( )
A. 1
B. 1.5
C. 2
D. 3
6.下列数据不能确定△ABC形状和大小的是( )
A. AB=6，∠C=60°，∠B=40°B. AB=5，BC=3，∠C=90°
C. ∠C=60°，∠B=70°，∠A=50°D. AB=7，BC=5，AC=10
7.下列分式变形从左到右一定成立的是( )
A. ba=b+ca+cB. ba=b−ca−cC. ba=bcacD. bcac=ba
8.P是△ABC内一点，PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F，且PD=PE=PF，则点P是△ABC( )
A. 三边垂直平分线的交点B. 三条角平分线的交点
C. 三条高所在直线的交点D. 三条中线的交点
9.面积相等的正方形ABCD与长方形AHGE按如图叠放，已知AB=a，DE=b，BH=c，则下列等式成立的是( )
A. ab+bc=ac
B. ac+bc=ab
C. ab+bc=a2
D. ac+bc=a2
10.如图，在△ABC中，AB=AC>BC，作高线CE，角平分线BF，中线AD，三者两两相交于点G，H，I.则下列说法正确的是( )
A. △ACE一定为等腰三角形
B. △ABF一定为等腰三角形
C. △CFG一定为等腰三角形
D. △GHI一定为等腰三角形
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.计算：2−1=______．
12.在平面直角坐标系中，点P(1,−7)关于x轴对称的点的坐标是______．
13.分式方程3x+5=12x的解为______．
14.如图，把长方形ABCD沿对角线BD折叠，点C和点C是对应点，若∠ABC′=36°，则∠BDC′= ______．
15.若(x+a)(x+b)=x2+mx−5对任意x恒成立，其中a，b，m均为整数，则m的值为______．
16.一副三角板如图叠放，∠C=∠DFE=90°，∠A=30°，∠D=45°，AC=DE，AC，DE互相平分于点O，点F在边AB上，边AC，EF交于点H，边AB，DE交于点G．
(1)∠AFE= ______；
(2)若GF=a，则AH= ______(用含a的代数式表示)．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
(1)计算：(x+3)(x−3)+9；
(2)因式分解：2x2+4x+2．
18.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，点P为射线AD上一点，连接PB，PC．
(1)求证：AP⊥BC；
(2)求证：PB=PC．
19.(本小题6分)
先化简，再求值：(1−3a+2)÷a2−1(a+2)2，请你从−2，−1，0，1中选取适当的数代入求值．
20.(本小题8分)
如图，在正方形网格中，点A，B，C均为网格线交点，请按要求作图，作图过程仅使用无刻度的直尺，保留作图痕迹，无需说明理由．
(1)如图1，作出△ABC关于直线MN对称的图形；
(2)如图2，在直线MN上求作点P，使得∠APM=∠BPN．
21.(本小题8分)
2023年台州马拉松比赛于12月3日举行，各位跑友齐聚山海水城、和合圣地，以跑者之势再现力量之美.小明参与“半程马拉松”(约21km)项目，前10km以平均速度v km/h完成，之后身体竞技状态提升，以1.2v km/h的平均速度完成剩下赛程，最终比原计划提前11min到达目的地.求小明前10km的平均速度．
22.(本小题10分)
如图1，一款液压橱柜支撑杆可以将柜门停在任意角度，取物更方便.图2为示意图，OM为柜壁，ON为柜门，点A，B为支撑杆摆臂固定点，点P为滚轮，PA，PB均为支撑杆摆臂，且PA=PB=15cm.为使滚轮受力均匀，保障其使用寿命，安装时只需保证OA=OB即可．
(1)求证：OP平分∠AOB；
(2)因空间受限，在摆臂夹角(∠APB)任意角度下，柜门展开角(∠MON)均不能大于60°，则安装支撑杆时，OA长度至少为何值才能实现？
23.(本小题10分)
为探究“十位上的数和为10，个位上的数相同”的两个数乘积的规律，现得到如下等式：
26×86=22×100+36，
37×77=28×100+49，
45×65=29×100+25，
53×53=28×100+9，
64×44=28×100+16，
⋯
(1)55×55结果的后两位为______；
(2)设其中一个数的十位上的数为a，个位上的数为b(a,b均为小于10的正整数)，请用含a，b的代数式分别表示上述两个数，并说明两个数乘积的后两位等于b2；
(3)若两个数的十位上的数相同，个位上的数和为10，设其中一个数的个位上的数为c(c为小于10的正整数)，则这两个数乘积的后两位等于______(用含c的代数式表示)．
24.(本小题12分)
如图1，在△ABC中，AB=AC，在边AB上取点D，连接CD，在边AC延长线上取点E，使得AE=AD+CD．
(1)若BD=2，CE=1，则CD= ______；
(2)如图2，当CD⊥AB，CD=a时，求四边形BDCE的面积(用含a的代数式表示)；
(3)设∠A=α，∠ACD=β，
①∠BCD= ______(用含α，β的代数式表示)；
②求证：∠CBE=β2．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：B，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：A．
根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
2.【答案】C
【解析】解：设第三边长是x，
∴6−2∴4∴第三边长可以为7．
故选：C．
三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，设第三边长是x，由此得到4本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
3.【答案】D
【解析】解：从n边形一个顶点引出的对角线条数是(n−3)．
故选：D．
n边形从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线，由此即可得到答案．
本题考查多边形的对角线，关键是掌握：n边形从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线．
4.【答案】B
【解析】解：A.∵a2⋅a4=a6，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B.∵(a4)2=a8，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
C.∵a6÷a2=a4，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D.∵(6a2)2=36a4，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
A.根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；
B.根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可；
C.根据同底数幂相除法则进行计算，然后判断即可；
D.根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算，然后判断即可．
本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘除法则、幂的乘方和积的乘方法则．
5.【答案】D
【解析】解：过点D作DF⊥AB于点F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，
∴DE=DF，
∵DE=2，
∴DF=2，
∵S△ABD=3，
∴12AB⋅DF=3，
∴12AB×2=3，
解得AB=3．
故选：D．
过点D作DF⊥AB于点F，根据角平分线的性质得DE=DF=2，根据三角形的面积公式计算AB即可．
本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：当AB=6，∠C=60°，∠B=40°时，根据AAS，可以得到△ABC是确定的，故选项A不符合题意；
当AB=5，BC=3，∠C=90°时，根据HL，可以得到△ABC是确定的，故选项B不符合题意；
当∠C=60°，∠B=70°，∠A=50°时，无法确定△ABC，故选项C符合题意；
当AB=7，BC=5，AC=10°时，根据SSS，可以得到△ABC是确定的，故选项D不符合题意；
故选：C．
根据各个选项中的条件和全等三角形的判定方法，可以解答本题．
本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定方法解答．
7.【答案】D
【解析】解：A、ba≠b+ca+c，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、ba≠b−ca−c，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、当c=0时，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、bcac=ba，原变形正确，故此选项符合题意．
故选：D．
分别根据分式的基本性质判断即可．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：P到三条距离相等，即PD=PE=PF，
连接PA、PB、PC，
∵PD=PE，
∴PB是∠ABC的角平分线，
同理PA、PC分别是∠BAC，∠ACB的角平分线，
故P是△ABC角平分线交点，
故选：B．
根据角平分线性质推出即可．
本题考查了角平分线性质，能熟记角平分线性质的内容是解答本题的关键，注意：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上；角平分线上的点到角两边的距离相等．
9.【答案】A
【解析】解：∵四边形AEFH是正方形，AB=a，
∴AB=BC=CD=AD=a，
∵四边形AHGE是长方形，BH=c，DE=b，
∴AE=HG=AD−DE=a−b，AH=AB+BH=a+c，
∴正方形ABCD的面积=AB2=a2，
长方形AHGE的面积=AE⋅AH=(a−b)(a+c)=a2+ac−ab−bc，
∵正方形ABCD的面积=长方形AHGE的面积，
∴a2=a2+ac−ab−bc，
∴ab+bc=ac．
故选：A．
根据正方形和矩形的性质得到AB=BC=CD=AD=a，AE=a−b，AH=a+c，进而求出正方形ABCD的面积和长方形AHGE的面积，根据正方形ABCD的面积=长方形AHGE的面积列出等式，化简即可得到答案．
本题考查了正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握正方形的性质和矩形的性质是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：如图，
∵CE是高线，
∴∠AEC=90°，
若△ACE为等腰三角形，则EA=EC，
∴∠EAC=∠ECA=45°，
而题设中∠BAC并不一定是45°，
故选项A不符合题意；
∵AB=AC>BC，
若△ABF为等腰三角形，则FA=FB，
∴∠FAB=∠FBA=∠1，
∵角平分线BF，
∴∠1=∠2，∠ABC=∠ACB=2∠1，
∴5∠1=180°，
∴∠1=36°=∠BAC，
而题设中∠BAC并不一定是36°，
故选项B不符合题意，同理选项C不符合题意；
∵AB=AC，中线AD，
∴AD⊥BC，
∵角平分线BF，CE是高线，
∴∠IGH=∠EGB=90°−∠1，∠GIH=90°−∠2=90°−∠1，
即∠IGH=∠GIH，
∴IH=HG，
∴△GHI一定为等腰三角形，
故选项D符合题意．
故选：D．
根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质，角平分线的定义求得∠IGH=∠EGB=90°−∠1，∠GH=90°−∠2=90°−∠1，推出∠IGH=∠GIH，即可判断选项D符合题意．
本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，角平分线的定义．
11.【答案】12
【解析】【分析】
本题考查负整数指数幂的运算．幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算．
【解答】
解：2−1=121=12.故答案为12．
根据幂的负整数指数运算法则进行计算即可．
12.【答案】(1,7)
【解析】解：点P(1,−7)关于x轴对称的点的坐标是(1,7)，
故答案为：(1,7)．
根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于x轴对称的点的坐标，利用关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关键．
13.【答案】x=1
【解析】解：原方程去分母得：6x=x+5，
解得：x=1，
检验：将x=1代入2x(x+5)得2×1×6=12≠0，
故原方程的解为x=1，
故答案为：x=1．
利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
14.【答案】63°
【解析】解：由折叠的性质可知，
∠C′BD=∠CBD，∠C′DB=∠CDB，
∵∠ABC′=36°，∠ABC′+∠C′BD+∠CBD=90°，
∴∠C′BD=∠CBD=27°，
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∴∠CDB=63°，
∴∠BDC′=63°，
故答案为：63°．
根据折叠的性质和直角三角形的性质，可以计算出∠BDC的度数，从而可以得到∠BDC′的度数．
本题考查折叠的性质、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15.【答案】±4
【解析】解：(x+a)(x+b)
=x2+bx+ax+ab
=x2+(a+b)x+ab，
∵(x+a)(x+b)=x2+mx−5，
∴a+b=m，ab=−5，
∵a，b均为整数，
∴a=1，b=−5或a=−1，b=5，
∴a+b=±4，
∵a+b=m，
∴m=±4，
故答案为：±4．
先根据多项式乘多项式法则进行计算得a+b=m，ab=−5，然后根据a，b，m均为整数，分类讨论，求出m的值即可．
本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则，并能够分情况进行讨论．
16.【答案】75° 32a
【解析】解：(1)连接OF，
∵∠DFE=90°，∠D=45°，
∴∠E=∠D=45°，
∴DF=EF，
∵AC=DE，AC，DE互相平分于点O，
∴OD=OE=12DE，OA=OC=12AC，
∴OD=OA，OF=OD=OE=12DE，∠OFE=∠OFD=12∠DFE=45°，
∴OF=OA，
∴∠OFA=∠A=30°，
∴∠AFE=∠OFA+∠OFE=30°+45°=75°，
故答案为：75°．
(2)∵DF=EF，OD=OE，
∴OF⊥DE，
∴∠GOF=90°，
∵∠OFG=30°，
∴OG=12GF=12a，∠OGF=90°−∠OFG=60°，
∴∠GOA=∠OGF−∠A=60°−30°=30°，
∴∠GOA=∠A，
∴AG=OG=12a，
∵∠AFE=75°，∠A=30°，
∴∠AHF=180°−∠AFE−∠A=180°−75°−30°=75°，
∴∠AHF=∠AFE，
∴AH=AF=AG+GF=12a+a=32a，
故答案为：32a.
(1)连接OF，由∠DFE=90°，∠D=45°，得∠E=∠D=45°，则DF=EF，由AC=DE，AC，DE互相平分于点O，推导出OD=OA，OF=OD=OE=12DE，∠OFE=∠OFD=12∠DFE=45°，则OF=OA，所以∠OFA=∠A=30°，求得∠AFE=∠OFA+∠OFE=75°，于是得到问题的答案；
(2)由DF=EF，OD=OE，证明OF⊥DE，则∠GOF=90°，而∠OFG=30°，所以OG=12GF=12a，再证明∠GOA=∠A=30°，则AG=OG=12a，由∠AFE=75°，∠A=30°，求得∠AHF=75°，则∠AHF=∠AFE，所以AH=AF=32a，于是得到问题的答案．
此题重点考查三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的判定与性质等知识，连接OF，并且证明OF=OA是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(x+3)(x−3)+9
=x2−9+9
=x2；
(2)2x2+4x+2
=2(x2+2x+1)
=2(x+1)2．
【解析】(1)先利用平方差公式，再合并同类项即可求出答案；
(2)先提取公因式，再利用完全平方公式即可．
本题考查了平方差公式和提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则和这些公式是关键．
18.【答案】证明：(1)在△ABD和△ACD中，
AB=ACBD=CDAD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠ADB=∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
即AP⊥BC；
(2)∵△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABP和△ACP中，
AB=AC∠BAD=∠CADAP=AP，
∴△ABP≌△ACP(SAS)，
∴PB=PC．
【解析】(1)利用SSS证明△ABD≌△ACD，根据全等三角形的性质及平角定义求出∠ADB=90°，根据垂直定义即可得解；
(2)根据全等三角形的性质得出∠BAD=∠CAD，利用SAS即可证明△ABP≌△ACP，根据全等三角形的性质即可得解．
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1−3a+2)÷a2−1(a+2)2
=a+2−3a+2⋅(a+2)2(a+1)(a−1)
=a−1a+2⋅(a+2)2(a+1)(a−1)
=a+2a+1，
∵a+2≠0，a+1≠0，a−1≠0，
∴a≠−2，−1，1，
∴当a=0时，原式=0+20+1=2．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图所示，△A′B′C即为所求；

(2)如图所示，点P即为所求．
【解析】(1)分别作出点A、B关于直线MN的对称点，再与点C首尾顺次连接即可；
(2)作点A关于直线MN的对称点A″，连接A″B，与直线MN的交点即为所求点P．
本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
21.【答案】解：∵小明前10km的平均速度为v km/h，
∴小明原计划所用的时间为：21v(h)，
依题意得：10v+111.2v=21v−1160，
解这个方程得：v=10，
检验后知道v=10是原方程的根．
∴小明前10km的平均速度是10km/h．
答：小明前10km的平均速度是10km/h．
【解析】根据小明前10km的平均速度为vkm/h，可得原计划所用的时间为21v(h)，依题意可知前10km所用的时间为10v(h)，后11km所用的时间为111.2v(h)，最终比原计划提前的时间为1160(h)，然后根据“前10km所用的时间+后11km所用的时间=原计划所用的时间−比原计划提前的时间”列出方程，再解方程求出v即可．
此题主要考查了分式方程的应用，理解题意，找出等量关系“前10km所用的时间+后11km所用的时间=原计划所用的时间−比原计划提前的时间”，并列出方程是解决问题的关键．
22.【答案】(1)证明：在△OAP和△OBP中，
PA=PBOA=OBOP=OP，
∴△OAP≌△OBP(SSS)，
∴∠AOP=∠BOP，
∴OP平分∠AOB；
(2)解：由题意，当AP⊥OP时，∠MON的度数最大，
∵柜门展开角∠MON不能大于60°，
∴∠MON最大为60°，
当∠MON=60°，AP⊥OP时，如图：

由(1)知OP平分∠AOB，
∴∠AOP=30°，
∴OA=2PA=30cm，
∴OA长度至少为30cm才能实现．
【解析】(1)由SSS可证明△OAP≌△OBP，由全等三角形的性质可得出结论；
(2)由(1)知OP平分∠AOB，证出∠AOP=30°，则可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
23.【答案】3025 10c−c2
【解析】解：(1)55×55=(5×5+5)×100+5×5=3025，
故答案为：3025．
(2)∵十位上的数为a，个位上的数为b，
∴这个两位数表示为(10a+b)，
则另一个两位数为10(10−a)+b=(100−10a+b)，
∴这两个两位数的乘积为(10a+b)(100−10a+b)=100(10a−a2+b)+b2，
∴两个数乘积的后两位等于b2．
(3)设十位上的数为m，
∴这个两位数表示为(10m+c)，
则另一个两位数为10m+(10−c)=(10m+10−c)，
∴这两个两位数的乘积为(10m+c)(10m+10−c)=100(m2+m)+10c−c2，
∴两个数乘积的后两位等于(10c−c2)，
故答案为：(10c−c2).
(1)55×55=(5×5+5)×100+5×5=3025．
(2)由十位上的数为a，个位上的数为b，得这个两位数表示为(10a+b)，则另一个两位数为10(10−a)+b=(100−10a+b)，故这两个两位数的乘积为(10a+b)(100−10a+b)=100(10a−a2+b)+b2，所以两个数乘积的后两位等于b2．
(3)设十位上的数为m，得这个两位数表示为(10m+c)，则另一个两位数为10m+(10−c)=(10m+10−c)，故这两个两位数的乘积为(10m+c)(10m+10−c)=100(m2+m)+10c−c2，所以两个数乘积的后两位等于(10c−c2).
本题考查了数字的变化知识，能正确表示出两位数是解题关键．
24.【答案】3 90°−α2−β
【解析】(1)解：∵AE=AD+CD，AE=AC+CE=AD+DB+CE，
∴AD+CD=AD+DB+CE，
∴CD=DB+EC=2+1=3，
故答案为：3；
(2)解：过点B作BH⊥AC于H，
∴∠BHA=∠CDA，
又∵∠A=∠A，AB=AC，
∴△ABH≌△ACD(SAS)，
∴CD=BH=a，
∴四边形BDCE的面积=S△ABE−S△ACD=12AE⋅DH−12×AD⋅CD=12×CD×(AE−AD)=12CD2=12a2；
(3)①解：∵AC=AB，∠A=α，
∴∠ACB=∠ABC=180°−α2=90°−α2，
∵∠ACD=β，
∴∠BCD=90°−α2−β，
故答案为：90°−α2−β；
②证明：如图3，过点E作EN/​/BC，交AB的延长线于N，连接CN，
∵EN//BC，
∴∠ACB=∠AEN=∠ABC=∠ANE，
∴AE=AN，
∴AE−AC=AN−AB，
∴CE=BN，
又∵BC=CB，
∴△CEB≌△BNC(SAS)，
∴∠AEB=∠ANC，
∵∠CDN=∠A+∠ACD，
∴∠CDN=α+β，
∵AE=AD+CD，AN=AD+DN，
∴CD=DN，
∴∠DNC=90°−α2−β2=∠AEB，
∴∠CBE=∠ACB−∠AEB=90°−α2−(90°−α2−β2)=β2．
(1)由线段的和差关系可求解；
(2)由“SAS”可证△ABH≌△ACD，可得CD=BH=a，
(3)①由等腰三角形的性质可求解；
②由“SAS”可证△CEB≌△BNC，可得∠AEB=∠ANC，由等腰三角形的性质可求∠DNC=90°−α2−β2=∠AEB，由外角的性质可求解．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．