河北省石家庄市第二中学2024届高三上学期第一次模拟测试数学试题（学生版）

这是一份河北省石家庄市第二中学2024届高三上学期第一次模拟测试数学试题（学生版），共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 已知（为虚数单位），则（ ）
A. 2B. C. 4D. 5
2. 已知向量，，若与反向共线，则的值为（ ）
A. 0B. C. D.
3. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知等差数列的前项和，若，数列的前项和为，且，则正整数的值为（ ）
A. 12B. 10C. 9D. 8
6. 被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中C为最大数据传输速率，单位为；W为信道带宽，单位为；为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（ ）
A. B. C. D. 3
7. 已知正方体的棱长为为线段上的动点，则点到平面距离的最小值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
8. 已知点在椭圆上，为椭圆的右焦点，是上位于直线两侧的点，且点到直线与直线的距离相等，则直线与轴交点的横坐标的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 关于函数，下列说法中正确的有（ ）
A. 是奇函数B. 在区间上单调递增
C. 为其图象的一个对称中心D. 最小正周期为
10. 从标有1，2，3，…，1010张卡片中，有放回地抽取两张，依次得到数字，，记点，，，则（ ）
A. 是锐角的概率为B. 是锐角的概率为
C. 是锐角三角形概率为D. 的面积不大于5的概率为
11. 已知直线经过抛物线的焦点，且与交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足依次记为，若的最小值为，则（）
A.
B. 为钝角
C.
D. 若点，在上，且为的重心，则
12 已知，函数，则（ ）
A. 对任意，，存在唯一极值点
B. 对任意，，曲线过原点的切线有两条
C. 当时，存在零点
D. 当时，的最小值为1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，若的展开式中含项的系数为40，则______.
14. 已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的集合是__________.
15. 已知三棱锥顶点均在一个半径为5的球面上，，P到底面ABC的距离为5，则的最小值为___________．
16. 已知定义在上的函数恒有两个不同的极值点，则a的取值范围是____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
17. 设等差数列的前项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求．
18. 已知中，角所对的边分别为.
（1）求；
（2）设是边上的点，且满足，求内切圆的半径.
19. 在直角梯形中，，，，如图（1）．把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD．
（1）求证：；
（2）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
20. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为．
（1）求的值；
（2）求值（用表示）；
（3）求证：的数学期望为定值．
21. 已知为双曲线上异于左、右顶点一个动点，双曲线的左、右焦点分别为，且．当时，的最小内角为．
（1）求双曲线的标准方程．
（2）连接，交双曲线于另一点，连接，交双曲线于另一点，若．
①求证：为定值；
②若直线AB​的斜率为−1​，求点P​的坐标．
22. 已知定义在上的函数和.
（1）求证：；
（2）设在存在极值点，求实数的取值范围.