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湖南省衡阳市第八中学2024届高三上学期第一次模拟测试数学试题（学生及教师版）
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这是一份湖南省衡阳市第八中学2024届高三上学期第一次模拟测试数学试题（学生及教师版），文件包含湖南省衡阳市第八中学2024届高三上学期第一次模拟测试数学试题教师版docx、湖南省衡阳市第八中学2024届高三上学期第一次模拟测试数学试题学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
数学试卷
高三备课组
本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟.
一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点的（ ）
A. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B. 横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D. 纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
3. 已知两个单位向量与夹角为，若，，且，则实数（ ）
A. B. C. D. 1
4. 已知是等比数列的前n项和，，，若关于n的不等式对任意的恒成立，则实数t的最大值为（ ）
A. 12B. 16C. 24D. 36
5. 已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 若复数为纯虚数，则（ ）
A. -1B. 0C. 1D. 2
7. 已知中，，在线段上取一点，连接，如图①所示．将沿直线折起，使得点到达的位置，此时内部存在一点，使得平面，如图②所示，则的值可能为（ ）
A. B. C. D. 1
8. 若函数在上单调递增，则a和b的可能取值为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9. 定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有（ ）
A.
B.
C
D. （表示不大于x的最大整数）
10. 将一枚质地均匀且标有数字1，2，3，4，5，6骰子随机掷两次，记录每次正面朝上的数字，甲表示事件“第一次掷出的数字是1”，乙表示事件“第二次掷出的数字是2”，丙表示事件“两次掷出的数字之和是8”，丁表示事件“两次掷出的数字之和是7”.则（ ）
A. 事件甲与事件丙是互斥事件
B. 事件甲与事件丁是相互独立事件
C. 事件乙包含于事件丙
D. 事件丙与事件丁是对立事件
11. 已知点是抛物线，直线经过点交抛物线于，两点，与准线交于点，且为中点，则下面说法正确的是（ ）
A. B. 直线的斜率是
C. D. 设原点为，则的面积为
12. 已知函数，，且有两个零点，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，B.
C 若，则D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13 已知，则__________.
14. 等差数列的前n项和为，已知，且，则公差______．
15. 已如圆台的高为2，上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为4，，两点分别在圆、圆上，若向量与向量的夹角为60°，则直线与直线所成角的大小为______．
16. 如图，在矩形中，，，分别为边，的中点，，分别为线段（不含端点）和上的动点，满足，直线，的交点为，已知点的轨迹为双曲线的一部分，则该双曲线的渐近线方程为________.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18. 已知中，角所对的边分别为，，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，点在边上，且平分，求的长度.
19. 如图，已知五面体，其中内接于圆，是圆的直径，四边形为平行四边形，且平面．
（1）证明：；
（2）若，，且二面角所成角的正切值是2，试求该几何体的体积．
20. 某市在万成年人中随机抽取了名成年市民进行平均每天读书时长调查．根据调查结果绘制市民平均每天读书时长的频率分布直方图（如图），将平均每天读书时长不低于小时的市民称为“阅读爱好者”，并将其中每天读书时长不低于小时的市民称为“读书迷”．
（1）试估算该市“阅读爱好者”的人数，并指出其中“读书迷”约为多少人；
（2）省某机构开展“儒城”活动评选，规则如下：若城市中的成年人平均每天读书时长不低于小时，则认定此城市为“儒城”．若该市被认定为“儒城”，则评选标准应满足什么条件？（精确到）
（3）该市要成立“墨葫芦”读书会，吸纳会员不超过万名．根据调查，如果收取会费，则非阅读爱好者不愿意加入读书会，而阅读爱好者愿意加入读书会．为了调控入会人数，设定会费参数，适当提高会费，这样“阅读爱好者”中非“读书迷”愿意加入的人数会减少，“读书迷”愿意加入的人数会减少．问会费参数至少定为多少时，才能使会员的人数不超过万人？
21. 已知双曲线的左、右焦点为、，虚轴长为，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于A、B两点.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若，求的大小；
（3）若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由.
22. 已知函数．
（1）判断函数的零点个数；
（2）当时，若对，函数的图象都不在图象的下方，求实数的取值范围．扫码加微信，进微信交流群
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本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟.
一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点的（ ）
A. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B. 横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D. 纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
3. 已知两个单位向量与夹角为，若，，且，则实数（ ）
A. B. C. D. 1
4. 已知是等比数列的前n项和，，，若关于n的不等式对任意的恒成立，则实数t的最大值为（ ）
A. 12B. 16C. 24D. 36
5. 已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 若复数为纯虚数，则（ ）
A. -1B. 0C. 1D. 2
7. 已知中，，在线段上取一点，连接，如图①所示．将沿直线折起，使得点到达的位置，此时内部存在一点，使得平面，如图②所示，则的值可能为（ ）
A. B. C. D. 1
8. 若函数在上单调递增，则a和b的可能取值为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9. 定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有（ ）
A.
B.
C
D. （表示不大于x的最大整数）
10. 将一枚质地均匀且标有数字1，2，3，4，5，6骰子随机掷两次，记录每次正面朝上的数字，甲表示事件“第一次掷出的数字是1”，乙表示事件“第二次掷出的数字是2”，丙表示事件“两次掷出的数字之和是8”，丁表示事件“两次掷出的数字之和是7”.则（ ）
A. 事件甲与事件丙是互斥事件
B. 事件甲与事件丁是相互独立事件
C. 事件乙包含于事件丙
D. 事件丙与事件丁是对立事件
11. 已知点是抛物线，直线经过点交抛物线于，两点，与准线交于点，且为中点，则下面说法正确的是（ ）
A. B. 直线的斜率是
C. D. 设原点为，则的面积为
12. 已知函数，，且有两个零点，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，B.
C 若，则D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13 已知，则__________.
14. 等差数列的前n项和为，已知，且，则公差______．
15. 已如圆台的高为2，上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为4，，两点分别在圆、圆上，若向量与向量的夹角为60°，则直线与直线所成角的大小为______．
16. 如图，在矩形中，，，分别为边，的中点，，分别为线段（不含端点）和上的动点，满足，直线，的交点为，已知点的轨迹为双曲线的一部分，则该双曲线的渐近线方程为________.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18. 已知中，角所对的边分别为，，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，点在边上，且平分，求的长度.
19. 如图，已知五面体，其中内接于圆，是圆的直径，四边形为平行四边形，且平面．
（1）证明：；
（2）若，，且二面角所成角的正切值是2，试求该几何体的体积．
20. 某市在万成年人中随机抽取了名成年市民进行平均每天读书时长调查．根据调查结果绘制市民平均每天读书时长的频率分布直方图（如图），将平均每天读书时长不低于小时的市民称为“阅读爱好者”，并将其中每天读书时长不低于小时的市民称为“读书迷”．
（1）试估算该市“阅读爱好者”的人数，并指出其中“读书迷”约为多少人；
（2）省某机构开展“儒城”活动评选，规则如下：若城市中的成年人平均每天读书时长不低于小时，则认定此城市为“儒城”．若该市被认定为“儒城”，则评选标准应满足什么条件？（精确到）
（3）该市要成立“墨葫芦”读书会，吸纳会员不超过万名．根据调查，如果收取会费，则非阅读爱好者不愿意加入读书会，而阅读爱好者愿意加入读书会．为了调控入会人数，设定会费参数，适当提高会费，这样“阅读爱好者”中非“读书迷”愿意加入的人数会减少，“读书迷”愿意加入的人数会减少．问会费参数至少定为多少时，才能使会员的人数不超过万人？
21. 已知双曲线的左、右焦点为、，虚轴长为，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于A、B两点.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若，求的大小；
（3）若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由.
22. 已知函数．
（1）判断函数的零点个数；
（2）当时，若对，函数的图象都不在图象的下方，求实数的取值范围．扫码加微信，进微信交流群
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