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（人教A版2019选择性必修第一册） 高二上学期第一次月考数学试卷（基础篇）（原卷版+解析）
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这是一份（人教A版2019选择性必修第一册） 高二上学期第一次月考数学试卷（基础篇）（原卷版+解析），共21页。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：选择性必修第一册第一章、第二章；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023春·江西赣州·高二校考期末）已知点A2,1，B3,2，则直线AB的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．135°
2．（5分）（2023春·浙江杭州·高二统考期末）若a,b,c是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（ ）
A．b+c,b,−b−cB．a，a+b，a−b
C．a+b，a−b，cD．a+b,a+b+c,c
3．（5分）（2023秋·高二课时练习）已知直线l的倾斜角60°，在y轴上的截距为−2，则此直线方程为（ ）
A．y=3x+23B．y=33x−2C．y=3x−2D．y=3x−23
4．（5分）（2023春·高二单元测试）若A,B,C,D为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（ ）
A．AB+2BC+2CD+DC
B．2AB+2BC+3CD+3DA+AC
C．AB+DA+BD
D．AB−CB+CD−AD
5．（5分）（2023春·甘肃临夏·高二统考期末）在空间直角坐标系中，若a=1,1,−3，b=1,−1,x，且a⊥b，则a+b=（ ）
A．5B．7
C．11D．13
6．（5分）（2023·贵州毕节·统考模拟预测）直线l1:x+1+ay=1−aa∈R，直线l2:y=−12x，给出下列命题：
①∃a∈R，使得l1//l2； ②∃a∈R，使得l1⊥l2；
③∀a∈R，l1与l2都相交； ④∃a∈R，使得原点到l1的距离为2.
其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．①④
7．（5分）（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）直线l1:kx−y+2k+1=0与l2:x+ky−k+2=0分别与圆O:x2+y2=10交于A、C和B、D，则四边形ABCD面积的最大值为（ ）
A．35B．45C．10D．15
8．（5分）（2023春·安徽安庆·高二校考阶段练习）如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，则直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值为（ ）
A．32B．33C．36D．39
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023秋·高一单元测试）在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角α为锐角，则其斜率一定大于0
B．任意直线都有倾斜角α，且当α≠90∘时，斜率为tanα
C．若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α
D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大
10．（5分）（2023·全国·高二专题练习）下列命题不正确的是（ ）
A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA=0
B．“a−b=a+b”是“a,b共线”的充要条件
C．若a,b共线，则a与b所在直线平行
D．对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OP=xOA+yOB+zOC (其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面
11．（5分）（2023春·广东揭阳·高二统考期末）已知直线l：3x+2y+m=0，圆C：x2+y2+4x−y+14=0，则下列说法错误的是（ ）
A．若m=5+13或5−13，则直线l与圆C相切
B．若m=5，则圆C关于直线l对称
C．若圆E：x2+y2+52x−2y−58m=0与圆C相交，且两个交点所在直线恰为l，则m=2
D．若m>5，圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则5+1312．（5分）（2023春·甘肃临夏·高二统考期末）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，正方形ABCD的中心为O，棱CC1，B1C1的中点分别为E，F，则（ ）
A．OE⋅BC=12
B．S△FOE=68
C．异面直线OD1与EF所成角的余弦值为336
D．点F到直线OD1的距离为144
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023春·上海浦东新·高二统考期末）过点A2,3且与直线x+2y−6=0平行的直线方程是 ．
14．（5分）（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知a=1,1,2，b=2，a−b=2，则a⋅b= .
15．（5分）（2023春·江苏南京·高二校联考期末）已知直线l:x+y−1=0：与圆C:x−32+y+42=5交于A,B两点，则AB= .
16．（5分）（2023·全国·高三对口高考）在直棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°,D,D1分别是AB，A1B1的中点，AC=BC=1,A1A=2．则二面角D−A1C−C1的余弦值是 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2023秋·高二课时练习） 在正六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1中，化简AB+CC1+DE+B1D1，并在图中标出化简结果．
18．（12分）（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否平行，并说明理由．
(1)l1经过点A(2,3),B(−4,0)，l2经过点M(−3,1),N(−2,2)；
(2)l1的斜率为−10，l2经过点A(10,2),B(20,3).
19．（12分）（2023春·高二课时练习）已知e1,e2,e3为空间的一个基底，且OP=2e1−e2+3e3，OA=e1+2e2−e3，OB=−3e1+e2+2e3，OC=e1+e2−e3．
(1)判断P,A,B,C四点是否共面；
(2)能否以OA,OB,OC作为空间的一个基底？若能，试以这一组基表示OP；若不能，请说明理由．
20．（12分）（2023春·北京海淀·高二校考开学考试）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线l的方程为a+1x−y+4a=0，a∈R
(1)若a=1，求过点1,0且与直线l平行的直线方程；
(2)已知原点O到直线l的距离为4，求a的值；
(3)已知直线l在两条坐标轴上截得的截距相等，求a的值．
21．（12分）（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知圆C:x2+y2=16，直线l:2+kx+1+ky+k=0.
(1)证明：直线l和圆C恒有两个交点；
(2)若直线l和圆C交于A,B两点，求AB的最小值及此时直线l的方程.
22．（12分）（2023·江苏扬州·统考模拟预测）如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的体积为6，截面ACC1A1的面积为6．
(1)求点B到平面ACC1A1的距离；
(2)若AB=AD=2,∠BAD=60°，AA1=6，求直线BD1与平面CC1D1D所成角的正弦值．
2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试卷（基础篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023春·江西赣州·高二校考期末）已知点A2,1，B3,2，则直线AB的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．135°
【解题思路】根据两点间斜率公式求解即可；
【解答过程】解析：k=tanα=2−13−2=1，又因为0°≤α<180°
所以α=45°，
故选：B.
2．（5分）（2023春·浙江杭州·高二统考期末）若a,b,c是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（ ）
A．b+c,b,−b−cB．a，a+b，a−b
C．a+b，a−b，cD．a+b,a+b+c,c
【解题思路】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.
【解答过程】对选项A：−b−c=−(b+c)，因此向量b+c,b,−b−c共面，故不能构成基底，错误；
对选项B：a=12a+b+a−b，因此向量a，a+b，a−b共面，故不能构成基底，错误；
对选项C：假设c=λa+b+μa−b，即c=λ+μa+λ−μb，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，正确；
对于选项D：(a+b)+c=a+b+c，因此向量a+b,a+b+c,c共面，故不能构成基底，错误；
故选：C.
3．（5分）（2023秋·高二课时练习）已知直线l的倾斜角60°，在y轴上的截距为−2，则此直线方程为（ ）
A．y=3x+23B．y=33x−2C．y=3x−2D．y=3x−23
【解题思路】先求直线的斜率，再根据直线的斜截式方程运算求解.
【解答过程】因为直线l的倾斜角60°，则直线的斜率k=tan60°=3，
所以直线方程为y=3x−2.
故选：C.
4．（5分）（2023春·高二单元测试）若A,B,C,D为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（ ）
A．AB+2BC+2CD+DC
B．2AB+2BC+3CD+3DA+AC
C．AB+DA+BD
D．AB−CB+CD−AD
【解题思路】根据空间向量的线性运算逐一分析各个选项即可得出答案.
【解答过程】对于A，AB+2BC+2CD+DC=AB+BC+BC+CD+CD+DC=AC+BD；
对于B，2AB+2BC+3CD+3DA+AC=2AB+BC+3CD+DA+AC=3AC+3CA=0；
对于C，AB+DA+BD=DA+AB+BD=DB+BD=0；
对于D，AB−CB+CD−AD=AB−AD+CD−CB=DB+BD=0.
故选：A.
5．（5分）（2023春·甘肃临夏·高二统考期末）在空间直角坐标系中，若a=1,1,−3，b=1,−1,x，且a⊥b，则a+b=（ ）
A．5B．7
C．11D．13
【解题思路】由a⊥b，得a⋅b=0求出x，从而可求出a+b的坐标，进而可求出其模
【解答过程】因为a=1,1,−3，b=1,−1,x，且a⊥b，
所以a⋅b=1−1−3x=0，得x=0，
所以b=1,−1,0，所以a+b=2,0,−3，
所以a+b=22+(−3)2=7，
故选：B.
6．（5分）（2023·贵州毕节·统考模拟预测）直线l1:x+1+ay=1−aa∈R，直线l2:y=−12x，给出下列命题：
①∃a∈R，使得l1//l2； ②∃a∈R，使得l1⊥l2；
③∀a∈R，l1与l2都相交； ④∃a∈R，使得原点到l1的距离为2.
其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．①④
【解题思路】利用两直线平行可得出关于a的等式与不等式，解之可判断①；利用两直线垂直可求得实数a的值，可判断②；取a=1可判断③；利用点到直线的距离公式可判断④.
【解答过程】对于①，若l1//l2，则−1a+1=−121−a≠0，该方程组无解，①错；
对于②，若l1⊥l2，则−11+a⋅−12=−1，解得a=−32，②对；
对于③，当a=1时，直线l1的方程为x+2y=0，即y=−12x，此时，l1、l2重合，③错；
对于④，直线l1的方程为x+a+1y+a−1=0，
若∃a∈R，使得原点到l1的距离为2，则a−11+a+12=2，整理可得3a2−10a+7=0，
Δ=100−4×3×7>0，方程3a2−10a+7=0有解，④对.
故选：C.
7．（5分）（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）直线l1:kx−y+2k+1=0与l2:x+ky−k+2=0分别与圆O:x2+y2=10交于A、C和B、D，则四边形ABCD面积的最大值为（ ）
A．35B．45C．10D．15
【解题思路】由题意可得l1⊥l2，设点O到弦AC、BD的距离分别为d1、d2，S=12|AC|⋅|BD|=210−d12⋅10−d22，再由基本不等式求解即可.
【解答过程】显然l1⊥l2，且两直线同时过定点P(−2,1)，点P在圆O内，
设点O到弦AC、BD的距离分别为d1、d2，则d12+d22=OP2=5，
|AC|=210−d12，|BD|=210−d22
四边形面积S=12|AC|⋅|BD|=210−d12⋅10−d22≤2⋅10−d12+10−d222=15
故选：D.
8．（5分）（2023春·安徽安庆·高二校考阶段练习）如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，则直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值为（ ）
A．32B．33C．36D．39
【解题思路】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.
【解答过程】
根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则A0,0,0,C12,2,2,A10,0,2,E2,1,0,C12,2,2，
则AC1=2,2,2,EA1=−2,−1,2,EC1=0,1,2，
设平面A1EC1的法向量为n=x,y,z，
则n⋅EA1=−2x−y+2z=0n⋅EC1=y+2z=0，解得y=−2zx=2z，令z=1，则x=2,y=−2，
所以平面A1EC1的一个法向量为n=2,−2,1，
设直线AC1与平面A1EC1所成角为θ，
则sinθ=cs=n⋅AC1n⋅AC1=23×23=39.
故选：D.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023秋·高一单元测试）在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角α为锐角，则其斜率一定大于0
B．任意直线都有倾斜角α，且当α≠90∘时，斜率为tanα
C．若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α
D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大
【解题思路】根据倾斜角和斜率的关系逐项判断即可.
【解答过程】当0∘<α<90∘时，其斜率k=tanα>0，所以A正确；
根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有一条确定的倾斜角，由斜率定义可得当直线的倾斜角α≠90∘时，直线的斜率为tanα，所以 B正确；
若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为β=α+k×180∘，k∈Z，且0∘≤β<180∘. ，故C不正确；
直线的倾斜角为锐角是斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D不正确；
故选：AB.
10．（5分）（2023·全国·高二专题练习）下列命题不正确的是（ ）
A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA=0
B．“a−b=a+b”是“a,b共线”的充要条件
C．若a,b共线，则a与b所在直线平行
D．对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OP=xOA+yOB+zOC (其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面
【解题思路】根据向量的多边形法则可知A正确；根据向量的三角不等式等号成立条件可知，B错误；
根据共线向量的定义可知，C错误；根据空间向量基本定理的推论可知，D错误．
【解答过程】对A，四点恰好围成一封闭图形，根据向量的多边形法则可知，正确；
对B，根据向量的三角不等式等号成立条件可知，a,b同向时，应有a+b=a+b，即必要性不成立，错误；
对C，根据共线向量的定义可知，a,b所在直线可能重合，错误；
对D，根据空间向量基本定理的推论可知，需满足x+y+z=1，才有P、A、B、C四点共面，错误．
故选：BCD．
11．（5分）（2023春·广东揭阳·高二统考期末）已知直线l：3x+2y+m=0，圆C：x2+y2+4x−y+14=0，则下列说法错误的是（ ）
A．若m=5+13或5−13，则直线l与圆C相切
B．若m=5，则圆C关于直线l对称
C．若圆E：x2+y2+52x−2y−58m=0与圆C相交，且两个交点所在直线恰为l，则m=2
D．若m>5，圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则5+13【解题思路】根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径即可判断A，根据直线经过圆心即可判断B，根据两圆公共弦所在直线方程的求法即可判断C，根据圆心C−2,12到直线l的距离d∈r−1,r+1，即可得到不等式组，解出即可，即可判断D.
【解答过程】x2+y2+4x−y+14=0即x+22+y−122=4，圆心C−2,12，
对A，若直线l与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，则3×−2+2×12+m32+22=2，
解得m=213+5或m=−213+5，故A错误；
若圆C关于直线l对称，则直线通过圆心，则有3×−2+2×12+m=0，解得m=5，故B正确；
对C，圆C与圆E的方程作差得3x2+y+14+58m=0，即3x+2y+12+54m=0，
则12+54m=m，解得m=−2，经检验此时圆E:x2+y2+52x−2y+54=0，
满足D2+E2−4F=254+4−5=214>0，则m=−2，故C错误；
对D，若圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则圆心C−2,12到直线l的距离d∈r−1,r+1，即d∈1,3，即1<3×−2+2×12+m32+22<3，且m>5，
解得5+13故选：AC.
12．（5分）（2023春·甘肃临夏·高二统考期末）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，正方形ABCD的中心为O，棱CC1，B1C1的中点分别为E，F，则（ ）
A．OE⋅BC=12
B．S△FOE=68
C．异面直线OD1与EF所成角的余弦值为336
D．点F到直线OD1的距离为144
【解题思路】建立空间直角坐标系，结合空间向量逐项判断；
【解答过程】故以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz.
B1,1,0,O12,12,0,E0,1,12，C0,1,0，F12,1,1，D10,0,1，
OE⋅BC=−12,12,12⋅−1,0,0=12，选项A正确；
OF⋅OE=0,12,1−12,12,12=34，
OF=52,OE=32,所以csOF,OE=3452×32=155，
根据三角函数两角正余弦关系解得：sinOF,OE=105,
S△FOE=12OFOEsinOF,OE=12×52×32×105=68，选项B正确；
OD1⋅EF=−12,−12,1⋅12,0,12=14，
OD1=62,EF=22, csOD1,EF=1462×22=36，选项C错误；
点F到直线OD1的距离为：OFsinOF,OD1，
而csOF,OD1=OF⋅OD1OFOD1=3452×62=330=3010， sinOF,OD1=7010，
所以OFsinOF,OD1=52×7010=144,选项D正确；
故选：ABD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023春·上海浦东新·高二统考期末）过点A2,3且与直线x+2y−6=0平行的直线方程是 x+2y−8=0 ．
【解题思路】根据给定条件，设出所求直线的方程，利用待定系数法求解作答.
【解答过程】设与直线x+2y−6=0平行的直线方程是x+2y−m=0(m≠6)，
依题意，2+2×3−m=0，解得m=8，
所以所求直线方程是x+2y−8=0.
故答案为：x+2y−8=0.
14．（5分）（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知a=1,1,2，b=2，a−b=2，则a⋅b= 2 .
【解题思路】根据a−b2=a2−2a⋅b+b2即可求解.
【解答过程】因为a=1,1,2，所以a=1+1+2=2,
因为a−b=2，所以a−b2=a2−2a⋅b+b2=4,
即4−2a⋅b+4=4，解得a⋅b=2.
故答案为:2.
15．（5分）（2023春·江苏南京·高二校联考期末）已知直线l:x+y−1=0：与圆C:x−32+y+42=5交于A,B两点，则AB= 23 .
【解题思路】根据题意，利用圆的弦长公式，准确计算，即可求解.
【解答过程】由圆C:x−32+y+42=5，可得圆心坐标为C(3,−4)，半径为r=5，
又由圆心C到直线l:x+y−1=0的距离为d=3−4−112+12=2，
根据圆的弦长公式，可得AB=2r2−d2=25−(2)2=23.
故答案为：23.
16．（5分）（2023·全国·高三对口高考）在直棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°,D,D1分别是AB，A1B1的中点，AC=BC=1,A1A=2．则二面角D−A1C−C1的余弦值是 −23 ．
【解题思路】建系，分别求平面DA1C、平面A1CC1的法向量，利用空间向量求二面角.
【解答过程】如图，以C为坐标原点，CA,CB,CC1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则A11,0,2,C0,0,0,D12,12,0，
可得CA1=1,0,2,CD=12,12,0，
设平面DA1C的法向量为n=x,y,z，则n⋅CA1=x+2z=0n⋅CD=12x+12y=0，
令x=2，则y=−2,z=−1，即n=2,−2,−1，
由题意可得：平面A1CC1的法向量m=0,1,0，
则csn,m=n⋅mn⋅m=−23×1=−23，
由图形可知：二面角D−A1C−C1为钝角，所以其余弦值为−23.
故答案为：−23.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2023秋·高二课时练习） 在正六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1中，化简AB+CC1+DE+B1D1，并在图中标出化简结果．
【解题思路】根据空间向量的线性运算求解.
【解答过程】根据正六棱柱的性质知，四边形BB1C1C,DD1E1E都是平行四边形，
则BB1=CC1,DE=D1E1，
所以AB+CC1+DE+B1D1=AB+BB1+D1E1+B1D1=AB+BB1+B1D1+D1E1=AE1.
结果如下图所示：
18．（12分）（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否平行，并说明理由．
(1)l1经过点A(2,3),B(−4,0)，l2经过点M(−3,1),N(−2,2)；
(2)l1的斜率为−10，l2经过点A(10,2),B(20,3).
【解题思路】（1）分别计算出l1和l2的斜率，再比较两斜率是否相等即可；
（2）求出l2的斜率，再与l1的斜率比较即可.
【解答过程】（1）设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，
因为l1经过点A(2,3),B(−4,0)，l2经过点M(−3,1),N(−2,2)，
所以k1=3−02−(−4)=12，k2=1−2−3−(−2)=1，
所以k1≠k2，
所以l1与l2不平行；
（2）设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1=−10，
因为l2经过点A(10,2),B(20,3)，
所以k2=3−220−10=110，
所以k1≠k2，
所以l1与l2不平行.
19．（12分）（2023春·高二课时练习）已知e1,e2,e3为空间的一个基底，且OP=2e1−e2+3e3，OA=e1+2e2−e3，OB=−3e1+e2+2e3，OC=e1+e2−e3．
(1)判断P,A,B,C四点是否共面；
(2)能否以OA,OB,OC作为空间的一个基底？若能，试以这一组基表示OP；若不能，请说明理由．
【解题思路】（1）假设P,A,B,C四点共面，然后利用空间向量共面定理列方程求解；
（2）先判断OA,OB,OC不共面，再利用空间向量基本定理列方程求解.
【解答过程】（1）假设P,A,B,C四点共面，
则存在实数x,y,z，使OP=xOA+yOB+zOC，且x+y+z=1，
即2e1−e2+3e3=xe1+2e2−e3+y−3e1+e2+2e3+ze1+e2−e3
比较对应的系数，得到关于x,y,z的方程组
x−3y+z=22x+y+z=−1−x+2y−z=3，解得x=17y=−5z=−30与x+y+z=1矛盾，
故P,A,B,C四点不共面．
（2）若OA,OB,OC共面，则存在实数m,n，使OA=mOB+nOC，
所以e1+2e2−e3=m−3e1+e2+2e3+ne1+e2−e3，
所以−3m+n=1m+n=22m−n=−1，方程组无解，
所以OA,OB,OC不共面，
所以OA,OB,OC可以作为空间的一组基底，令OA=a,OB=b,OC=c，
所以e1+2e2−e3=a−3e1+e2+2e3=be1+e2−e3=c，解得e1=3a−b−5ce2=a−ce3=4a−b−7c
所以OP=2e1−e2+3e3=23a−b−5c−a−c+34a−b−7c
=17a−5b−30c=17OA−5OB−30OC.
20．（12分）（2023春·北京海淀·高二校考开学考试）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线l的方程为a+1x−y+4a=0，a∈R
(1)若a=1，求过点1,0且与直线l平行的直线方程；
(2)已知原点O到直线l的距离为4，求a的值；
(3)已知直线l在两条坐标轴上截得的截距相等，求a的值．
【解题思路】（1）代入a=1计算出斜率，利用点斜式写出直线方程；（2）列出点到直线的距离公式，建立等式求解可求出a的值；（3）求在两条坐标轴上截得的截距，建立等式求解即可.
【解答过程】（1）当a=1时，直线l的方程为2x−y+4=0，斜率为k=2，
则过点1,0且与直线l平行的直线方程为y=2x−1，即2x−y−2=0.
（2）原点O到直线l的距离为d=4aa+12+1=4，
解得：a=−1.
（3）a=−1时，不满足条件；
当a≠−1时，令y=0，x=−4aa+1，令x=0，y=4a，则有−4aa+1=4a，解得：a=−2或a=0.
21．（12分）（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知圆C:x2+y2=16，直线l:2+kx+1+ky+k=0.
(1)证明：直线l和圆C恒有两个交点；
(2)若直线l和圆C交于A,B两点，求AB的最小值及此时直线l的方程.
【解题思路】（1）先求直线所过定点，然后判断定点在圆内即可得证；
（2）根据直线垂直于l⊥CP时，AB有最小值可解.
【解答过程】（1）直线2+kx+1+ky+k=0，即kx+y+1+2x+y=0，
联立x+y+1=02x+y=0解得x=1y=−2所以不论k取何值，直线l必过定点P1,−2.
圆C:x2+y2=16，圆心坐标为C0,0，半径r=4，
因为PC=(1−0)2+(−2−0)2=5<4，所以点P在圆C内部，
则直线l与圆C恒有两个交点.
（2）直线l经过圆C内定点P1,−2，圆心C0,0，
记圆心到直线l的距离为d.
因为AB=2r2−d2，所以当d最大时，AB取得最小值，
所以当直线l⊥CP时，被圆C截得的弦AB最短，
此时AB=242−|PC|2=242−(5)2=211，
因为kCP=−2−01−0=−2，所以直线l的斜率为12，又直线l过点P1,−2，
所以当AB取得最小值时，直线l的方程为y+2=12x−1，即x−2y−5=0，
综上：AB最小值为211，此时直线l方程为x−2y−5=0.
22．（12分）（2023·江苏扬州·统考模拟预测）如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的体积为6，截面ACC1A1的面积为6．
(1)求点B到平面ACC1A1的距离；
(2)若AB=AD=2,∠BAD=60°，AA1=6，求直线BD1与平面CC1D1D所成角的正弦值．
【解题思路】（1）应用等体积法求出点到平面距离；
（2）空间向量法求线面角的正弦值即可.
【解答过程】（1）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，ABC−A1B1C1是三棱柱，
VB−ACC1A1=23VABC−A1B1C1=13VABCD−A1B1C1D1=2，
设点B到平面ACC1A1的距离为d，则VB−ACC1A1=13SACC1A1⋅d=13×6d=2，所以d=1，
即点B到平面ACC1A1的距离为1．
（2）在▱ABCD中，AB=AD=2,∠BAD=60°，所以ABCD是菱形，连接BD交AC于O，则BO=1，
由（1）知点B到平面ACC1A1的距离为1，所以BO⊥平面ACC1A1．
设点A1在直线AC上射影为点H,S▱ACC1A1=AC⋅A1H=23A1H=6，
则A1H=3，且BO⊥A1H,AH=AA12−A1H2=(6)2−(3)2=3，
所以O和H重合，即A1O⊥AO．
以O为坐标原点，OA,OB,OA1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则B(0,1,0),A(3,0,0),D(0,−1,0),A1(0,0,3)，
根据AA1=DD1=(−3,0,3),AB=DC=(−3,1,0)，则D1(−3,−1,3)，
BD1=(−3,−2,3)，设平面CC1D1D的一法向量为n=(x,y,z)，
则DD1⋅n=−3x+3z=0DC⋅n=−3x+y=0，取x=1，则n=(1,3,1)，
设直线BD1与平面CC1D1D所成角为α，则sinα=csBD1,n=BD1⋅nBD1|n|=−3−23+310×5=65，
所以直线BD1与平面CC1D1D所成角正弦值为65．
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：选择性必修第一册第一章、第二章；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023春·江西赣州·高二校考期末）已知点A2,1，B3,2，则直线AB的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．135°
2．（5分）（2023春·浙江杭州·高二统考期末）若a,b,c是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（ ）
A．b+c,b,−b−cB．a，a+b，a−b
C．a+b，a−b，cD．a+b,a+b+c,c
3．（5分）（2023秋·高二课时练习）已知直线l的倾斜角60°，在y轴上的截距为−2，则此直线方程为（ ）
A．y=3x+23B．y=33x−2C．y=3x−2D．y=3x−23
4．（5分）（2023春·高二单元测试）若A,B,C,D为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（ ）
A．AB+2BC+2CD+DC
B．2AB+2BC+3CD+3DA+AC
C．AB+DA+BD
D．AB−CB+CD−AD
5．（5分）（2023春·甘肃临夏·高二统考期末）在空间直角坐标系中，若a=1,1,−3，b=1,−1,x，且a⊥b，则a+b=（ ）
A．5B．7
C．11D．13
6．（5分）（2023·贵州毕节·统考模拟预测）直线l1:x+1+ay=1−aa∈R，直线l2:y=−12x，给出下列命题：
①∃a∈R，使得l1//l2； ②∃a∈R，使得l1⊥l2；
③∀a∈R，l1与l2都相交； ④∃a∈R，使得原点到l1的距离为2.
其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．①④
7．（5分）（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）直线l1:kx−y+2k+1=0与l2:x+ky−k+2=0分别与圆O:x2+y2=10交于A、C和B、D，则四边形ABCD面积的最大值为（ ）
A．35B．45C．10D．15
8．（5分）（2023春·安徽安庆·高二校考阶段练习）如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，则直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值为（ ）
A．32B．33C．36D．39
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023秋·高一单元测试）在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角α为锐角，则其斜率一定大于0
B．任意直线都有倾斜角α，且当α≠90∘时，斜率为tanα
C．若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α
D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大
10．（5分）（2023·全国·高二专题练习）下列命题不正确的是（ ）
A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA=0
B．“a−b=a+b”是“a,b共线”的充要条件
C．若a,b共线，则a与b所在直线平行
D．对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OP=xOA+yOB+zOC (其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面
11．（5分）（2023春·广东揭阳·高二统考期末）已知直线l：3x+2y+m=0，圆C：x2+y2+4x−y+14=0，则下列说法错误的是（ ）
A．若m=5+13或5−13，则直线l与圆C相切
B．若m=5，则圆C关于直线l对称
C．若圆E：x2+y2+52x−2y−58m=0与圆C相交，且两个交点所在直线恰为l，则m=2
D．若m>5，圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则5+13
A．OE⋅BC=12
B．S△FOE=68
C．异面直线OD1与EF所成角的余弦值为336
D．点F到直线OD1的距离为144
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023春·上海浦东新·高二统考期末）过点A2,3且与直线x+2y−6=0平行的直线方程是 ．
14．（5分）（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知a=1,1,2，b=2，a−b=2，则a⋅b= .
15．（5分）（2023春·江苏南京·高二校联考期末）已知直线l:x+y−1=0：与圆C:x−32+y+42=5交于A,B两点，则AB= .
16．（5分）（2023·全国·高三对口高考）在直棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°,D,D1分别是AB，A1B1的中点，AC=BC=1,A1A=2．则二面角D−A1C−C1的余弦值是 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2023秋·高二课时练习） 在正六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1中，化简AB+CC1+DE+B1D1，并在图中标出化简结果．
18．（12分）（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否平行，并说明理由．
(1)l1经过点A(2,3),B(−4,0)，l2经过点M(−3,1),N(−2,2)；
(2)l1的斜率为−10，l2经过点A(10,2),B(20,3).
19．（12分）（2023春·高二课时练习）已知e1,e2,e3为空间的一个基底，且OP=2e1−e2+3e3，OA=e1+2e2−e3，OB=−3e1+e2+2e3，OC=e1+e2−e3．
(1)判断P,A,B,C四点是否共面；
(2)能否以OA,OB,OC作为空间的一个基底？若能，试以这一组基表示OP；若不能，请说明理由．
20．（12分）（2023春·北京海淀·高二校考开学考试）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线l的方程为a+1x−y+4a=0，a∈R
(1)若a=1，求过点1,0且与直线l平行的直线方程；
(2)已知原点O到直线l的距离为4，求a的值；
(3)已知直线l在两条坐标轴上截得的截距相等，求a的值．
21．（12分）（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知圆C:x2+y2=16，直线l:2+kx+1+ky+k=0.
(1)证明：直线l和圆C恒有两个交点；
(2)若直线l和圆C交于A,B两点，求AB的最小值及此时直线l的方程.
22．（12分）（2023·江苏扬州·统考模拟预测）如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的体积为6，截面ACC1A1的面积为6．
(1)求点B到平面ACC1A1的距离；
(2)若AB=AD=2,∠BAD=60°，AA1=6，求直线BD1与平面CC1D1D所成角的正弦值．
2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试卷（基础篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023春·江西赣州·高二校考期末）已知点A2,1，B3,2，则直线AB的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．135°
【解题思路】根据两点间斜率公式求解即可；
【解答过程】解析：k=tanα=2−13−2=1，又因为0°≤α<180°
所以α=45°，
故选：B.
2．（5分）（2023春·浙江杭州·高二统考期末）若a,b,c是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（ ）
A．b+c,b,−b−cB．a，a+b，a−b
C．a+b，a−b，cD．a+b,a+b+c,c
【解题思路】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.
【解答过程】对选项A：−b−c=−(b+c)，因此向量b+c,b,−b−c共面，故不能构成基底，错误；
对选项B：a=12a+b+a−b，因此向量a，a+b，a−b共面，故不能构成基底，错误；
对选项C：假设c=λa+b+μa−b，即c=λ+μa+λ−μb，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，正确；
对于选项D：(a+b)+c=a+b+c，因此向量a+b,a+b+c,c共面，故不能构成基底，错误；
故选：C.
3．（5分）（2023秋·高二课时练习）已知直线l的倾斜角60°，在y轴上的截距为−2，则此直线方程为（ ）
A．y=3x+23B．y=33x−2C．y=3x−2D．y=3x−23
【解题思路】先求直线的斜率，再根据直线的斜截式方程运算求解.
【解答过程】因为直线l的倾斜角60°，则直线的斜率k=tan60°=3，
所以直线方程为y=3x−2.
故选：C.
4．（5分）（2023春·高二单元测试）若A,B,C,D为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（ ）
A．AB+2BC+2CD+DC
B．2AB+2BC+3CD+3DA+AC
C．AB+DA+BD
D．AB−CB+CD−AD
【解题思路】根据空间向量的线性运算逐一分析各个选项即可得出答案.
【解答过程】对于A，AB+2BC+2CD+DC=AB+BC+BC+CD+CD+DC=AC+BD；
对于B，2AB+2BC+3CD+3DA+AC=2AB+BC+3CD+DA+AC=3AC+3CA=0；
对于C，AB+DA+BD=DA+AB+BD=DB+BD=0；
对于D，AB−CB+CD−AD=AB−AD+CD−CB=DB+BD=0.
故选：A.
5．（5分）（2023春·甘肃临夏·高二统考期末）在空间直角坐标系中，若a=1,1,−3，b=1,−1,x，且a⊥b，则a+b=（ ）
A．5B．7
C．11D．13
【解题思路】由a⊥b，得a⋅b=0求出x，从而可求出a+b的坐标，进而可求出其模
【解答过程】因为a=1,1,−3，b=1,−1,x，且a⊥b，
所以a⋅b=1−1−3x=0，得x=0，
所以b=1,−1,0，所以a+b=2,0,−3，
所以a+b=22+(−3)2=7，
故选：B.
6．（5分）（2023·贵州毕节·统考模拟预测）直线l1:x+1+ay=1−aa∈R，直线l2:y=−12x，给出下列命题：
①∃a∈R，使得l1//l2； ②∃a∈R，使得l1⊥l2；
③∀a∈R，l1与l2都相交； ④∃a∈R，使得原点到l1的距离为2.
其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．①④
【解题思路】利用两直线平行可得出关于a的等式与不等式，解之可判断①；利用两直线垂直可求得实数a的值，可判断②；取a=1可判断③；利用点到直线的距离公式可判断④.
【解答过程】对于①，若l1//l2，则−1a+1=−121−a≠0，该方程组无解，①错；
对于②，若l1⊥l2，则−11+a⋅−12=−1，解得a=−32，②对；
对于③，当a=1时，直线l1的方程为x+2y=0，即y=−12x，此时，l1、l2重合，③错；
对于④，直线l1的方程为x+a+1y+a−1=0，
若∃a∈R，使得原点到l1的距离为2，则a−11+a+12=2，整理可得3a2−10a+7=0，
Δ=100−4×3×7>0，方程3a2−10a+7=0有解，④对.
故选：C.
7．（5分）（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）直线l1:kx−y+2k+1=0与l2:x+ky−k+2=0分别与圆O:x2+y2=10交于A、C和B、D，则四边形ABCD面积的最大值为（ ）
A．35B．45C．10D．15
【解题思路】由题意可得l1⊥l2，设点O到弦AC、BD的距离分别为d1、d2，S=12|AC|⋅|BD|=210−d12⋅10−d22，再由基本不等式求解即可.
【解答过程】显然l1⊥l2，且两直线同时过定点P(−2,1)，点P在圆O内，
设点O到弦AC、BD的距离分别为d1、d2，则d12+d22=OP2=5，
|AC|=210−d12，|BD|=210−d22
四边形面积S=12|AC|⋅|BD|=210−d12⋅10−d22≤2⋅10−d12+10−d222=15
故选：D.
8．（5分）（2023春·安徽安庆·高二校考阶段练习）如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，则直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值为（ ）
A．32B．33C．36D．39
【解题思路】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.
【解答过程】
根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则A0,0,0,C12,2,2,A10,0,2,E2,1,0,C12,2,2，
则AC1=2,2,2,EA1=−2,−1,2,EC1=0,1,2，
设平面A1EC1的法向量为n=x,y,z，
则n⋅EA1=−2x−y+2z=0n⋅EC1=y+2z=0，解得y=−2zx=2z，令z=1，则x=2,y=−2，
所以平面A1EC1的一个法向量为n=2,−2,1，
设直线AC1与平面A1EC1所成角为θ，
则sinθ=cs
故选：D.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023秋·高一单元测试）在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角α为锐角，则其斜率一定大于0
B．任意直线都有倾斜角α，且当α≠90∘时，斜率为tanα
C．若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α
D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大
【解题思路】根据倾斜角和斜率的关系逐项判断即可.
【解答过程】当0∘<α<90∘时，其斜率k=tanα>0，所以A正确；
根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有一条确定的倾斜角，由斜率定义可得当直线的倾斜角α≠90∘时，直线的斜率为tanα，所以 B正确；
若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为β=α+k×180∘，k∈Z，且0∘≤β<180∘. ，故C不正确；
直线的倾斜角为锐角是斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D不正确；
故选：AB.
10．（5分）（2023·全国·高二专题练习）下列命题不正确的是（ ）
A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA=0
B．“a−b=a+b”是“a,b共线”的充要条件
C．若a,b共线，则a与b所在直线平行
D．对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OP=xOA+yOB+zOC (其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面
【解题思路】根据向量的多边形法则可知A正确；根据向量的三角不等式等号成立条件可知，B错误；
根据共线向量的定义可知，C错误；根据空间向量基本定理的推论可知，D错误．
【解答过程】对A，四点恰好围成一封闭图形，根据向量的多边形法则可知，正确；
对B，根据向量的三角不等式等号成立条件可知，a,b同向时，应有a+b=a+b，即必要性不成立，错误；
对C，根据共线向量的定义可知，a,b所在直线可能重合，错误；
对D，根据空间向量基本定理的推论可知，需满足x+y+z=1，才有P、A、B、C四点共面，错误．
故选：BCD．
11．（5分）（2023春·广东揭阳·高二统考期末）已知直线l：3x+2y+m=0，圆C：x2+y2+4x−y+14=0，则下列说法错误的是（ ）
A．若m=5+13或5−13，则直线l与圆C相切
B．若m=5，则圆C关于直线l对称
C．若圆E：x2+y2+52x−2y−58m=0与圆C相交，且两个交点所在直线恰为l，则m=2
D．若m>5，圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则5+13
【解答过程】x2+y2+4x−y+14=0即x+22+y−122=4，圆心C−2,12，
对A，若直线l与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，则3×−2+2×12+m32+22=2，
解得m=213+5或m=−213+5，故A错误；
若圆C关于直线l对称，则直线通过圆心，则有3×−2+2×12+m=0，解得m=5，故B正确；
对C，圆C与圆E的方程作差得3x2+y+14+58m=0，即3x+2y+12+54m=0，
则12+54m=m，解得m=−2，经检验此时圆E:x2+y2+52x−2y+54=0，
满足D2+E2−4F=254+4−5=214>0，则m=−2，故C错误；
对D，若圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则圆心C−2,12到直线l的距离d∈r−1,r+1，即d∈1,3，即1<3×−2+2×12+m32+22<3，且m>5，
解得5+13
12．（5分）（2023春·甘肃临夏·高二统考期末）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，正方形ABCD的中心为O，棱CC1，B1C1的中点分别为E，F，则（ ）
A．OE⋅BC=12
B．S△FOE=68
C．异面直线OD1与EF所成角的余弦值为336
D．点F到直线OD1的距离为144
【解题思路】建立空间直角坐标系，结合空间向量逐项判断；
【解答过程】故以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz.
B1,1,0,O12,12,0,E0,1,12，C0,1,0，F12,1,1，D10,0,1，
OE⋅BC=−12,12,12⋅−1,0,0=12，选项A正确；
OF⋅OE=0,12,1−12,12,12=34，
OF=52,OE=32,所以csOF,OE=3452×32=155，
根据三角函数两角正余弦关系解得：sinOF,OE=105,
S△FOE=12OFOEsinOF,OE=12×52×32×105=68，选项B正确；
OD1⋅EF=−12,−12,1⋅12,0,12=14，
OD1=62,EF=22, csOD1,EF=1462×22=36，选项C错误；
点F到直线OD1的距离为：OFsinOF,OD1，
而csOF,OD1=OF⋅OD1OFOD1=3452×62=330=3010， sinOF,OD1=7010，
所以OFsinOF,OD1=52×7010=144,选项D正确；
故选：ABD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023春·上海浦东新·高二统考期末）过点A2,3且与直线x+2y−6=0平行的直线方程是 x+2y−8=0 ．
【解题思路】根据给定条件，设出所求直线的方程，利用待定系数法求解作答.
【解答过程】设与直线x+2y−6=0平行的直线方程是x+2y−m=0(m≠6)，
依题意，2+2×3−m=0，解得m=8，
所以所求直线方程是x+2y−8=0.
故答案为：x+2y−8=0.
14．（5分）（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知a=1,1,2，b=2，a−b=2，则a⋅b= 2 .
【解题思路】根据a−b2=a2−2a⋅b+b2即可求解.
【解答过程】因为a=1,1,2，所以a=1+1+2=2,
因为a−b=2，所以a−b2=a2−2a⋅b+b2=4,
即4−2a⋅b+4=4，解得a⋅b=2.
故答案为:2.
15．（5分）（2023春·江苏南京·高二校联考期末）已知直线l:x+y−1=0：与圆C:x−32+y+42=5交于A,B两点，则AB= 23 .
【解题思路】根据题意，利用圆的弦长公式，准确计算，即可求解.
【解答过程】由圆C:x−32+y+42=5，可得圆心坐标为C(3,−4)，半径为r=5，
又由圆心C到直线l:x+y−1=0的距离为d=3−4−112+12=2，
根据圆的弦长公式，可得AB=2r2−d2=25−(2)2=23.
故答案为：23.
16．（5分）（2023·全国·高三对口高考）在直棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°,D,D1分别是AB，A1B1的中点，AC=BC=1,A1A=2．则二面角D−A1C−C1的余弦值是 −23 ．
【解题思路】建系，分别求平面DA1C、平面A1CC1的法向量，利用空间向量求二面角.
【解答过程】如图，以C为坐标原点，CA,CB,CC1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则A11,0,2,C0,0,0,D12,12,0，
可得CA1=1,0,2,CD=12,12,0，
设平面DA1C的法向量为n=x,y,z，则n⋅CA1=x+2z=0n⋅CD=12x+12y=0，
令x=2，则y=−2,z=−1，即n=2,−2,−1，
由题意可得：平面A1CC1的法向量m=0,1,0，
则csn,m=n⋅mn⋅m=−23×1=−23，
由图形可知：二面角D−A1C−C1为钝角，所以其余弦值为−23.
故答案为：−23.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2023秋·高二课时练习） 在正六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1中，化简AB+CC1+DE+B1D1，并在图中标出化简结果．
【解题思路】根据空间向量的线性运算求解.
【解答过程】根据正六棱柱的性质知，四边形BB1C1C,DD1E1E都是平行四边形，
则BB1=CC1,DE=D1E1，
所以AB+CC1+DE+B1D1=AB+BB1+D1E1+B1D1=AB+BB1+B1D1+D1E1=AE1.
结果如下图所示：
18．（12分）（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否平行，并说明理由．
(1)l1经过点A(2,3),B(−4,0)，l2经过点M(−3,1),N(−2,2)；
(2)l1的斜率为−10，l2经过点A(10,2),B(20,3).
【解题思路】（1）分别计算出l1和l2的斜率，再比较两斜率是否相等即可；
（2）求出l2的斜率，再与l1的斜率比较即可.
【解答过程】（1）设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，
因为l1经过点A(2,3),B(−4,0)，l2经过点M(−3,1),N(−2,2)，
所以k1=3−02−(−4)=12，k2=1−2−3−(−2)=1，
所以k1≠k2，
所以l1与l2不平行；
（2）设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1=−10，
因为l2经过点A(10,2),B(20,3)，
所以k2=3−220−10=110，
所以k1≠k2，
所以l1与l2不平行.
19．（12分）（2023春·高二课时练习）已知e1,e2,e3为空间的一个基底，且OP=2e1−e2+3e3，OA=e1+2e2−e3，OB=−3e1+e2+2e3，OC=e1+e2−e3．
(1)判断P,A,B,C四点是否共面；
(2)能否以OA,OB,OC作为空间的一个基底？若能，试以这一组基表示OP；若不能，请说明理由．
【解题思路】（1）假设P,A,B,C四点共面，然后利用空间向量共面定理列方程求解；
（2）先判断OA,OB,OC不共面，再利用空间向量基本定理列方程求解.
【解答过程】（1）假设P,A,B,C四点共面，
则存在实数x,y,z，使OP=xOA+yOB+zOC，且x+y+z=1，
即2e1−e2+3e3=xe1+2e2−e3+y−3e1+e2+2e3+ze1+e2−e3
比较对应的系数，得到关于x,y,z的方程组
x−3y+z=22x+y+z=−1−x+2y−z=3，解得x=17y=−5z=−30与x+y+z=1矛盾，
故P,A,B,C四点不共面．
（2）若OA,OB,OC共面，则存在实数m,n，使OA=mOB+nOC，
所以e1+2e2−e3=m−3e1+e2+2e3+ne1+e2−e3，
所以−3m+n=1m+n=22m−n=−1，方程组无解，
所以OA,OB,OC不共面，
所以OA,OB,OC可以作为空间的一组基底，令OA=a,OB=b,OC=c，
所以e1+2e2−e3=a−3e1+e2+2e3=be1+e2−e3=c，解得e1=3a−b−5ce2=a−ce3=4a−b−7c
所以OP=2e1−e2+3e3=23a−b−5c−a−c+34a−b−7c
=17a−5b−30c=17OA−5OB−30OC.
20．（12分）（2023春·北京海淀·高二校考开学考试）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线l的方程为a+1x−y+4a=0，a∈R
(1)若a=1，求过点1,0且与直线l平行的直线方程；
(2)已知原点O到直线l的距离为4，求a的值；
(3)已知直线l在两条坐标轴上截得的截距相等，求a的值．
【解题思路】（1）代入a=1计算出斜率，利用点斜式写出直线方程；（2）列出点到直线的距离公式，建立等式求解可求出a的值；（3）求在两条坐标轴上截得的截距，建立等式求解即可.
【解答过程】（1）当a=1时，直线l的方程为2x−y+4=0，斜率为k=2，
则过点1,0且与直线l平行的直线方程为y=2x−1，即2x−y−2=0.
（2）原点O到直线l的距离为d=4aa+12+1=4，
解得：a=−1.
（3）a=−1时，不满足条件；
当a≠−1时，令y=0，x=−4aa+1，令x=0，y=4a，则有−4aa+1=4a，解得：a=−2或a=0.
21．（12分）（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知圆C:x2+y2=16，直线l:2+kx+1+ky+k=0.
(1)证明：直线l和圆C恒有两个交点；
(2)若直线l和圆C交于A,B两点，求AB的最小值及此时直线l的方程.
【解题思路】（1）先求直线所过定点，然后判断定点在圆内即可得证；
（2）根据直线垂直于l⊥CP时，AB有最小值可解.
【解答过程】（1）直线2+kx+1+ky+k=0，即kx+y+1+2x+y=0，
联立x+y+1=02x+y=0解得x=1y=−2所以不论k取何值，直线l必过定点P1,−2.
圆C:x2+y2=16，圆心坐标为C0,0，半径r=4，
因为PC=(1−0)2+(−2−0)2=5<4，所以点P在圆C内部，
则直线l与圆C恒有两个交点.
（2）直线l经过圆C内定点P1,−2，圆心C0,0，
记圆心到直线l的距离为d.
因为AB=2r2−d2，所以当d最大时，AB取得最小值，
所以当直线l⊥CP时，被圆C截得的弦AB最短，
此时AB=242−|PC|2=242−(5)2=211，
因为kCP=−2−01−0=−2，所以直线l的斜率为12，又直线l过点P1,−2，
所以当AB取得最小值时，直线l的方程为y+2=12x−1，即x−2y−5=0，
综上：AB最小值为211，此时直线l方程为x−2y−5=0.
22．（12分）（2023·江苏扬州·统考模拟预测）如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的体积为6，截面ACC1A1的面积为6．
(1)求点B到平面ACC1A1的距离；
(2)若AB=AD=2,∠BAD=60°，AA1=6，求直线BD1与平面CC1D1D所成角的正弦值．
【解题思路】（1）应用等体积法求出点到平面距离；
（2）空间向量法求线面角的正弦值即可.
【解答过程】（1）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，ABC−A1B1C1是三棱柱，
VB−ACC1A1=23VABC−A1B1C1=13VABCD−A1B1C1D1=2，
设点B到平面ACC1A1的距离为d，则VB−ACC1A1=13SACC1A1⋅d=13×6d=2，所以d=1，
即点B到平面ACC1A1的距离为1．
（2）在▱ABCD中，AB=AD=2,∠BAD=60°，所以ABCD是菱形，连接BD交AC于O，则BO=1，
由（1）知点B到平面ACC1A1的距离为1，所以BO⊥平面ACC1A1．
设点A1在直线AC上射影为点H,S▱ACC1A1=AC⋅A1H=23A1H=6，
则A1H=3，且BO⊥A1H,AH=AA12−A1H2=(6)2−(3)2=3，
所以O和H重合，即A1O⊥AO．
以O为坐标原点，OA,OB,OA1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则B(0,1,0),A(3,0,0),D(0,−1,0),A1(0,0,3)，
根据AA1=DD1=(−3,0,3),AB=DC=(−3,1,0)，则D1(−3,−1,3)，
BD1=(−3,−2,3)，设平面CC1D1D的一法向量为n=(x,y,z)，
则DD1⋅n=−3x+3z=0DC⋅n=−3x+y=0，取x=1，则n=(1,3,1)，
设直线BD1与平面CC1D1D所成角为α，则sinα=csBD1,n=BD1⋅nBD1|n|=−3−23+310×5=65，
所以直线BD1与平面CC1D1D所成角正弦值为65．
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