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32，北京市北京师范大学附属实验中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题()
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这是一份32，北京市北京师范大学附属实验中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题()，共12页。试卷主要包含了3元/份，5，方差是 1等内容，欢迎下载使用。
班级 姓名 学号 成绩
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一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分）
1．2023年2月28日，国家统计局发布的《中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报》中报道：2022年全年研究与试验发展 R8D经费支出30870亿元，比上年增长 10.4%，将数字30870用科学记数法表示应为（ ）
A．30.87×103B．3.087×105C．0.3087×105D．3.087×104
2．下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是 （ ）
A．B．C．D．
3．方程 x+2y=3,2x−y=5的解是（ ）
A．x=73y=13B．x=135y=15C．x=83y=13D．x=2y=1
4．a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是 （ ）
A．a>−1B．a0
5．不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，这五个球除颜色外完全相同. 摇匀后，随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球均为黄球的概率是 （ ）
A．310B．110C．425D．925
6．如图，点 P是圆形舞台上的一点，舞台的圆心为 O，在 P点安装的一台某种型号的灯光装置，其照亮的区域如图中阴影所示，该装置可以绕着 P点转动，转动过程中，边界的两条光线分别与圆交于 A,B两点，并且夹角保持不变，该装置转动的过程中，以下结论正确的是（ ）
A．点 P到弦 AB所在直线的距离存在最大值B．弦 AB的大小改变
C．弦 PA与 PB的长度之和不变D．图中阴影部分的面积不变
7．教练将某射击运动员50次的射击成绩录入电脑，计算得到这50个数据的平均数是 7.5，方差是 1.64.后来教练核查时发现其中有2个数据录入有误，一个错录为9环，实际成绩应是6环；另一个错录为7环，实际成绩应是10环。教练将错录的2个数据进行了更正，更正后实际成绩的平均数是x，方差是 s2，则（ ）
A．x>7.5,S2=1.64B．x=7.5,S2<1.64C．x=7.5,S2>1.64D．x<7.5,S2=1.64
8．如图，四边形 ABCD中，已知 AB//CD,AB与 CD之间的距离为4，AD=5,CD=3,∠ABC=45∘，点 P,Q同时由 A点出发，分别沿边 AB，折线 ADCB向终点 B方向移动，在移动过程中始终保持 PQ⊥AB，已知点 P的移动速度为每秒1个单位长度，设点 P的移动时间为 x秒，△APQ的面积为y，则能反映 y与 x之间函数关系的图象是 （ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（共8小题，每题2分，共16分）
9．若代数 5−xx+3实数范围内有意义，则实数 x的取值范围是 .
10．分解因式：−8xy+16y+x2y= .
11．分式方程 3x+2=21−x的解为 .
12．命题“若a>0，则a>1a”是假命题，请写出一个满足条件的a的值，a= .
13．若关于 x的一元二次方程 k+3x2−2x+5=0有两个实数根，则实数 k的取值范围是 .
14．如图，在 Rt△ABC中，∠ABC=90∘,∠A=32∘，点 B、C在 ⊙O上，边AB、AC分别交 ⊙O于 D、E两点，点 B是 CD⌢的中点，则 ∠ABE= .
15．如图，在矩形 AOBC中，点O是坐标原点，点 A在反比例函数 y=2x的图象上，点 B在反比例函数 y=kx的图象上，sin∠CAB=55，则 k= .
16．如图，在甲，乙两个十字路口各方向均设有人行横道和交通信号灯，小宇在甲路口西南角的 A处，需要步行到位于乙路口东北角 B处附近的餐馆用餐，已知两路口人行横道交通信号灯的切换时间及小宇的步行时间如下表所示：
假定人行横道的交通信号灯只有红、绿两种，且在任意时刻，同一十字路口东西向和南北向的交通信号灯颜色不同，行人步行转弯的时间可以忽略不计，若小宇在 A处时，甲、乙两路口人行横道东西向的交通信号灯均恰好转为红灯，小宇从 A处到达 B处所用的最短时间为 min.
三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．计算：6cs45∘−38+2−5−π−20.
18．解不等式组2x−119．已知 2x2−x−2=0，求代数式 2x−12−21−x的值.
20．下面是解答一道几何题时两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.
21．如图，在平行四边形 ABCD中，∠ACB=90∘，过点 D作DE⊥BC交 BC的延长线于点 E，连接 AE交 CD于点 F.
（1）求证：四边形 ACED是矩形；
（2）连接 BF，若 ∠ABC=60∘,CE=3，求 BF的长.
22．在平面直角坐标系 xOy中，直线 y=x与双曲线 y=kx相交于点 P2,m和点 Q.
（1）求 m的值及点 Q的坐标；
（2）已知点 N0,n，过点 N作平行于 x轴的直线交直线 y=x与双曲线 y=kx别为 Ax1,y1和 Bx2,y2. 当 x1>x2时，直接写出 n的取值范围.
23．第二十四届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，北京成为历史上第一座既举办夏奥会又举办冬奥会的城市，北京冬奥会的成功兴办掀起了全民“冬奥热”，某校九年级举行了两次“冬奥知识”竞赛. 该校九年级共有学生480人参加了竞赛，从中随机抽取30名学生的两次竞赛成绩，满分50分，最低分45分。小明对两次数据（成绩）进行整理、描述和分析. 下面给出了部分信息：
a.小明在统计第二次竞赛成绩各分数段人数时，不小心污染了统计表：
注：成绩只能为 0.5的整数倍.
b.将竞赛成绩按四舍五入取整后，得出的频数分布折线图如下（数据分组：x=45,45某校抽取30名学生的两次“冬奥知识”竞赛成绩折线统计图
c.两次竞赛成绩的平均数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）请补全折线统计图，并标明数据；
（2）请完善 c中的统计表，m的值是 .
（3）若成绩为46.5分及以上为优秀，根据以上信息估计，第二次竞赛九年级约有 名学生成绩达到优秀；
（4）通过观察、分析，小明得出这样的结论“在抽取30名学生的第一次竞赛成绩中，众数一定出现在4524．如图，AB为 ⊙O的直径，弦 CD⊥AB于 H，连接AC、AD，过点 A作 ⊙O的切线与 ∠ADC的平分线相交于点E,DE交 AC于点 F，交 FB于点 G，交 ⊙O于点 M，连接 AM.
（1）求证：AC=AD;
（2）若 tan∠AMD=22,CD=4，求 AF长.
25．排球场的长度为 18m，球网在场地中央且高度为 2.24m，排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度 y（单位：m）与水平距离 x（单位：m）近似满足函数关系y=ax−h2+ka<0.
（1）某运动员第一次发球时，测得水平距离x与竖直高度 y的几组数据如下：
①根据上述数据，求抛物线解析式；
②判断该运动员第一次发球能否过网 （填“能”或“不能”），并说明理由.
（2）该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度 y（单位： m）与水平距离 x（单位：m）近似满足函数关系 y=−0.02x−52+2.88，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由.
26．已知二次函数 y=ax2+bx+2的图像经过点 A2,2.
（1）用含 a的代数式表示 b= ;
（2）若直线 y=x与抛物 y=ax2+bx+2相交所得的线段长为 322，求 a的值；
（3）若抛物 y=ax2+bx+2与x轴交于 Mx1,0和 Nx2,0两点x10，直接写出 a的取值范围.
27．如图1，在正方形 ABCD中，BD是对角线，将线段 AB绕点 A逆时针旋转 α0∘<α<90∘得到线段 AE，点 E关于直线 BD的对称点是点 F，射线BF交线段 AD于点 G，连接 BE,GE.
（1）当 α=30∘时，
①依题意补全图1：
②求 ∠FBA的度数.
（2）直接写出 ∠BEG的大小，并证明.
28．A,B是圆上的两个点，点 P在 ⊙C的内部. 若 ∠APB为直角，则称 ∠APB为 AB关于 ⊙C的内直角，特别地，当圆心 C在 ∠APB边（含顶点）上时，称∠APB为 AB关于 ⊙C的最佳内直角，如图1，∠AMB是 AB关于 ⊙C的内直角； ∠ANB是 AB关于 ⊙C的最佳内直角. 在平面直角坐标系 xOy中.
（1）如图2，⊙O的半径为5， A0,−5,B4,3是 ⊙O上两点.
①已知 P11,0,P2−2,1,P30,3，在∠AP1B,∠AP2B,∠AP3B中，是AB关于 ⊙O的内直角的是 ；
②若直线 y=2x+b上存在一点 P，使得 ∠APB是 AB关于 ⊙O的内直角，求 b的取值范围.
（2）点 E是以 Tt,0圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T与 x轴交于点 D（点 D在点 T的右边）. 现有点 M1,0,N0,n，对于线段 MN上每一点 H，都存在点 T，使 ∠DHE是 DE关于 ⊙T的最佳内直角，请直接写出 n的最大值，以及n取得最大值时 t的取值范围.考生须知
1. 本试卷共10页，共3道大题，28道小题；答题纸共3页。满分100分。考试时间
120分钟。
2. 在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号。
3. 试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4. 在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
人行横道交通信号灯的切换时间
小宇的步行时间
甲路口
每1min
沿人行横道穿过任一条马路
0.5min
乙路口
每2min
在甲、乙两路口之间（CD段）
5min
已知：如图，AB//CD. 求证：∠AEC=∠A+∠C
方法一
证明：如图，过点E作MN∥AB
方法二
证明：如图，延长AE，交CD于点F.
成绩（分）
45
45.5
46
46.5
47
47.5
48
48.5
49
49.5
50
人数（人）
2
1
0
2
1
1
1
4
14
平均数
中位数
第一次
46.75
46.75
第二次
48.50
m
水平距离x/m
0
2
4
6
11
12
竖直高度y/m
2.38
2.62
2.7
2.62
1.72
1.42
班级 姓名 学号 成绩
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一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分）
1．2023年2月28日，国家统计局发布的《中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报》中报道：2022年全年研究与试验发展 R8D经费支出30870亿元，比上年增长 10.4%，将数字30870用科学记数法表示应为（ ）
A．30.87×103B．3.087×105C．0.3087×105D．3.087×104
2．下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是 （ ）
A．B．C．D．
3．方程 x+2y=3,2x−y=5的解是（ ）
A．x=73y=13B．x=135y=15C．x=83y=13D．x=2y=1
4．a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是 （ ）
A．a>−1B．a
5．不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，这五个球除颜色外完全相同. 摇匀后，随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球均为黄球的概率是 （ ）
A．310B．110C．425D．925
6．如图，点 P是圆形舞台上的一点，舞台的圆心为 O，在 P点安装的一台某种型号的灯光装置，其照亮的区域如图中阴影所示，该装置可以绕着 P点转动，转动过程中，边界的两条光线分别与圆交于 A,B两点，并且夹角保持不变，该装置转动的过程中，以下结论正确的是（ ）
A．点 P到弦 AB所在直线的距离存在最大值B．弦 AB的大小改变
C．弦 PA与 PB的长度之和不变D．图中阴影部分的面积不变
7．教练将某射击运动员50次的射击成绩录入电脑，计算得到这50个数据的平均数是 7.5，方差是 1.64.后来教练核查时发现其中有2个数据录入有误，一个错录为9环，实际成绩应是6环；另一个错录为7环，实际成绩应是10环。教练将错录的2个数据进行了更正，更正后实际成绩的平均数是x，方差是 s2，则（ ）
A．x>7.5,S2=1.64B．x=7.5,S2<1.64C．x=7.5,S2>1.64D．x<7.5,S2=1.64
8．如图，四边形 ABCD中，已知 AB//CD,AB与 CD之间的距离为4，AD=5,CD=3,∠ABC=45∘，点 P,Q同时由 A点出发，分别沿边 AB，折线 ADCB向终点 B方向移动，在移动过程中始终保持 PQ⊥AB，已知点 P的移动速度为每秒1个单位长度，设点 P的移动时间为 x秒，△APQ的面积为y，则能反映 y与 x之间函数关系的图象是 （ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（共8小题，每题2分，共16分）
9．若代数 5−xx+3实数范围内有意义，则实数 x的取值范围是 .
10．分解因式：−8xy+16y+x2y= .
11．分式方程 3x+2=21−x的解为 .
12．命题“若a>0，则a>1a”是假命题，请写出一个满足条件的a的值，a= .
13．若关于 x的一元二次方程 k+3x2−2x+5=0有两个实数根，则实数 k的取值范围是 .
14．如图，在 Rt△ABC中，∠ABC=90∘,∠A=32∘，点 B、C在 ⊙O上，边AB、AC分别交 ⊙O于 D、E两点，点 B是 CD⌢的中点，则 ∠ABE= .
15．如图，在矩形 AOBC中，点O是坐标原点，点 A在反比例函数 y=2x的图象上，点 B在反比例函数 y=kx的图象上，sin∠CAB=55，则 k= .
16．如图，在甲，乙两个十字路口各方向均设有人行横道和交通信号灯，小宇在甲路口西南角的 A处，需要步行到位于乙路口东北角 B处附近的餐馆用餐，已知两路口人行横道交通信号灯的切换时间及小宇的步行时间如下表所示：
假定人行横道的交通信号灯只有红、绿两种，且在任意时刻，同一十字路口东西向和南北向的交通信号灯颜色不同，行人步行转弯的时间可以忽略不计，若小宇在 A处时，甲、乙两路口人行横道东西向的交通信号灯均恰好转为红灯，小宇从 A处到达 B处所用的最短时间为 min.
三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．计算：6cs45∘−38+2−5−π−20.
18．解不等式组2x−1
20．下面是解答一道几何题时两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.
21．如图，在平行四边形 ABCD中，∠ACB=90∘，过点 D作DE⊥BC交 BC的延长线于点 E，连接 AE交 CD于点 F.
（1）求证：四边形 ACED是矩形；
（2）连接 BF，若 ∠ABC=60∘,CE=3，求 BF的长.
22．在平面直角坐标系 xOy中，直线 y=x与双曲线 y=kx相交于点 P2,m和点 Q.
（1）求 m的值及点 Q的坐标；
（2）已知点 N0,n，过点 N作平行于 x轴的直线交直线 y=x与双曲线 y=kx别为 Ax1,y1和 Bx2,y2. 当 x1>x2时，直接写出 n的取值范围.
23．第二十四届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，北京成为历史上第一座既举办夏奥会又举办冬奥会的城市，北京冬奥会的成功兴办掀起了全民“冬奥热”，某校九年级举行了两次“冬奥知识”竞赛. 该校九年级共有学生480人参加了竞赛，从中随机抽取30名学生的两次竞赛成绩，满分50分，最低分45分。小明对两次数据（成绩）进行整理、描述和分析. 下面给出了部分信息：
a.小明在统计第二次竞赛成绩各分数段人数时，不小心污染了统计表：
注：成绩只能为 0.5的整数倍.
b.将竞赛成绩按四舍五入取整后，得出的频数分布折线图如下（数据分组：x=45,45
c.两次竞赛成绩的平均数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）请补全折线统计图，并标明数据；
（2）请完善 c中的统计表，m的值是 .
（3）若成绩为46.5分及以上为优秀，根据以上信息估计，第二次竞赛九年级约有 名学生成绩达到优秀；
（4）通过观察、分析，小明得出这样的结论“在抽取30名学生的第一次竞赛成绩中，众数一定出现在45
（1）求证：AC=AD;
（2）若 tan∠AMD=22,CD=4，求 AF长.
25．排球场的长度为 18m，球网在场地中央且高度为 2.24m，排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度 y（单位：m）与水平距离 x（单位：m）近似满足函数关系y=ax−h2+ka<0.
（1）某运动员第一次发球时，测得水平距离x与竖直高度 y的几组数据如下：
①根据上述数据，求抛物线解析式；
②判断该运动员第一次发球能否过网 （填“能”或“不能”），并说明理由.
（2）该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度 y（单位： m）与水平距离 x（单位：m）近似满足函数关系 y=−0.02x−52+2.88，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由.
26．已知二次函数 y=ax2+bx+2的图像经过点 A2,2.
（1）用含 a的代数式表示 b= ;
（2）若直线 y=x与抛物 y=ax2+bx+2相交所得的线段长为 322，求 a的值；
（3）若抛物 y=ax2+bx+2与x轴交于 Mx1,0和 Nx2,0两点x1
27．如图1，在正方形 ABCD中，BD是对角线，将线段 AB绕点 A逆时针旋转 α0∘<α<90∘得到线段 AE，点 E关于直线 BD的对称点是点 F，射线BF交线段 AD于点 G，连接 BE,GE.
（1）当 α=30∘时，
①依题意补全图1：
②求 ∠FBA的度数.
（2）直接写出 ∠BEG的大小，并证明.
28．A,B是圆上的两个点，点 P在 ⊙C的内部. 若 ∠APB为直角，则称 ∠APB为 AB关于 ⊙C的内直角，特别地，当圆心 C在 ∠APB边（含顶点）上时，称∠APB为 AB关于 ⊙C的最佳内直角，如图1，∠AMB是 AB关于 ⊙C的内直角； ∠ANB是 AB关于 ⊙C的最佳内直角. 在平面直角坐标系 xOy中.
（1）如图2，⊙O的半径为5， A0,−5,B4,3是 ⊙O上两点.
①已知 P11,0,P2−2,1,P30,3，在∠AP1B,∠AP2B,∠AP3B中，是AB关于 ⊙O的内直角的是 ；
②若直线 y=2x+b上存在一点 P，使得 ∠APB是 AB关于 ⊙O的内直角，求 b的取值范围.
（2）点 E是以 Tt,0圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T与 x轴交于点 D（点 D在点 T的右边）. 现有点 M1,0,N0,n，对于线段 MN上每一点 H，都存在点 T，使 ∠DHE是 DE关于 ⊙T的最佳内直角，请直接写出 n的最大值，以及n取得最大值时 t的取值范围.考生须知
1. 本试卷共10页，共3道大题，28道小题；答题纸共3页。满分100分。考试时间
120分钟。
2. 在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号。
3. 试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4. 在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
人行横道交通信号灯的切换时间
小宇的步行时间
甲路口
每1min
沿人行横道穿过任一条马路
0.5min
乙路口
每2min
在甲、乙两路口之间（CD段）
5min
已知：如图，AB//CD. 求证：∠AEC=∠A+∠C
方法一
证明：如图，过点E作MN∥AB
方法二
证明：如图，延长AE，交CD于点F.
成绩（分）
45
45.5
46
46.5
47
47.5
48
48.5
49
49.5
50
人数（人）
2
1
0
2
1
1
1
4
14
平均数
中位数
第一次
46.75
46.75
第二次
48.50
m
水平距离x/m
0
2
4
6
11
12
竖直高度y/m
2.38
2.62
2.7
2.62
1.72
1.42
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