25，山东省青岛市城阳区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份25，山东省青岛市城阳区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题请用直尺，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 方程x2=x的解是（ ）
A. x=1B. x=0C. x1=1，x2=0D. x1=﹣1，x2=0
【答案】C
【解析】
【详解】解：x2-x=0，
x（x-1）=0，
x=0或x-1=0，
∴x1=0，x2=1．
故选：C．
【点睛】考点：解一元二次方程-因式分解法．
2. 三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．得到从几何体正面看得到的平面图形即可．
【详解】解：从正面看，底层是两个小正方形，上层是一个小正方形．
故选：B．
3. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点B的坐标为，则点A的坐标为 （ ）
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【答案】A
【解析】
【分析】由点坐标求得，再解，求得，于是得到结论．
【详解】解：点的坐标为，
，
四边形是菱形，，
，
，
，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了直角坐标系中点的坐标，菱形的性质，含30度直角三角形的性质，关键是根据含30度直角三角形的性质求得对角线的长度．
4. 如图，在平面直角坐标系中，大鱼与小鱼是关于原点O的位似图形，则下列说法中错误的是（ ）
A. 小鱼与大鱼的周长之比是
B. 小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比是
C. 大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的2倍
D. 若小鱼上一点的坐标是，则大鱼上的对应点的坐标是
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了位似变换．由于大鱼与小鱼是关于原点的位似图形，则利用对应点和得到大鱼与小鱼的位似比为，于是可对A选项、C选项、D选项进行判断；根据相似三角形的性质可对C选项进行判断．
【详解】解：A、小鱼与大鱼的相似比是，则周长之比是，所以A选项不符合题意；
B、小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比是，所以B选项不符合题意；
C、大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的4倍，所以C选项符合题意；
D、若小鱼上一点的坐标是，则在大鱼上的对应点的坐标是，所以D选项不符合题意．
故选：C．
5. 平地上立有三根等高的木杆，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行投影，解题的关键是理解平行投影的定义，属于中考常考题型；
根据平行投影的定义判断即可；
【详解】解：根据平行投影的定义可知，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是：
故选：D．
6. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的平移，正确理解二次函数的平移规律是解答本题的关键．根据“上加下减，左加右减”的平移规律，即得答案．
【详解】将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为．
故选B．
7. 神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（ ）
A. 平移B. 旋转C. 轴对称D. 黄金分割
【答案】D
【解析】
【分析】根据黄金分割的定义即可求解．
【详解】解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割．
故选：D
【点睛】本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约等于0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．熟知黄金分割的定义是解题关键．
8. 随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2023年底某市汽车拥有量为万辆．已知2021年底该市汽车拥有量为10万辆，如果设2021年底至2023年底该市汽车拥有量的年均增长率为x，那么根据题意列出的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是掌握平均变化率的方法，根据题意可得：2021年底该市汽车拥有量增长率）年底某市汽车拥有量，根据等量关系列出方程即可．
【详解】解：设2021年底至2023年底该市汽车拥有量的年均增长率为x，根据题意列出的方程为，
故选：A．
9. 如图，四边形中，，，连接，的角平分线交，分别于点O、E，若，，则的长为（ ）

A. 4B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的运用以及菱形的判定和性质，连接，因为，平分，，可证四边形为菱形，从而得到、的长，进而解答即可．根据条件能够发现图中的菱形是关键．
详解】解：连接．

在中，，，根据勾股定理，得．
∵，平分，
∴，，
∴垂直平分，．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是菱形，
由勾股定理得出，
∴，
故选：D．
10. 如图，已知抛物线与直线交于两点．下列结论：；；③关于x的不等式的解集是；；⑤关于x的方程无解；其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数与不等式（组）、根的判别式、二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点， 根据二次函数图象与系数的关系可判断①和②；结合图象可直接得关于x的不等式的解集是或，即可判断③；将代入，结合图象可得，而，则，即可判断④；由图象可知，抛物线与直线没有交点，即关于x的方程无解，即可判断⑤．
【详解】解：由抛物线图象可知，，
∴，
∴，故结论①不正确，不符合题意；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，故结论②正确，符合题意；
由图象可知，关于x的不等式的解集是或，
故结论③不正确，不符合题意；
由抛物线图象可知，当时，抛物线对应的函数值小于0，
即，
∵，
∴，故结论④正确，符合题意；
由抛物线图象可知，抛物线的最低点的纵坐标介于和之间，
∴抛物线与直线没有交点，
∴关于x的方程无解，故结论⑤正确，符合题意．
综上所述，正确的结论有3个．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 计算： _______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的计算，根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 如图①，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是 _______．
【答案】42
【解析】
【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率．
根据图②可得，小球落在不规则图案内的概率约为0.6，设不规则图案的面积为，根据几何概率可得：不规则图案的面积÷长方形的面积＝小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解．
【详解】根据题意可得：
小球落在不规则图案内的概率约为0.6，长方形的面积为（），
设不规则图案的面积为，
则，
解得：，
∴不规则图案的面积约为．
故答案为：42．
13. 已知正方形，分别以为边长作等边和等边，连接，则_______．
【答案】15
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握正方形的性质是解题的关键．由正方形的性质可得，由等边三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：15．
14. 考察函数的图象，当时，的取值范围是 _______．
【答案】或##或
【解析】
【分析】作出和的函数图象，通过观察得出直线上方的反比例函数图象均符合题意，解出交点坐标，最终确定的取值范围，本题考查了画反比例函数的图象，一次函数与反比例函数的综合判断，解题的关键是：应用数形结合的方法，理解函数图象与自变量取值范围之间的关系．
【详解】解：画函数和的图象如下：
由图象可知，反比例函数上，第二象限内的一支符合题意，即，
第四象限内，与直线交点及交点上方的图象符合题意，
联立两函数解析式：
解得：
即，
故答案为：或．
15. 若直线与抛物线只有一个交点，则a的值是____.
【答案】2或
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数图象的交点问题，解题的关键是联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程，然后根据列出方程求解即可．
【详解】解：由题意可知：，
整理得：，
∵只有一个交点，
∴，
解得，，
故答案为：2或．
16. 中，，，分别过点A，C作边的垂线相交于点D，连接，则_______．
【答案】3
【解析】
【分析】作于点F，交的延长线于点E，由，且，，得，求得，则， ，可证明四边形是矩形，则，，再证明，得，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：作于点F，交的延长线于点E，则，
∵，
∴，
∵，且，，
∴，
解得，
∴， ，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
17. 如图，已知：．
求作：点N，使，且距离最短．
【答案】图见解析
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是明确内错角相等，两直线平行．以为边，作，再过点B作交于点N，从而可得解．
【详解】解：1、以点B为圆心，任意长度为半径画弧，交于点K，点P；
2、再以为半径，点C为圆心，画弧，交于点H；
3、以的长度为半径，点H为圆心，画弧，交前弧于点G，连接并延长；
4、以点B为圆心，大于点B到直线的距离为半径，画弧，交于点D，点E；
5、再分别以点D，点E为圆心，大于的长度为半径，画弧，交于点F；
6、连接，交于点N，则点N即可所求．
如图所示：
，
点N即是所求．
四、解答题（本大题共8小题，满分68分）
18. （1）解方程：；
（2）用配方法求二次函数图像的对称轴和顶点坐标．
【答案】（1）；（2）对称轴为直线，顶点坐标为
【解析】
【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程及二次函数的性质；熟练掌握直接开平方法解一元二次方程的求解步骤及二次函数的图像和性质是解题关键．
（1）利用直接开平方法把一般式配成，然后对方程求解；
（2）利用配方法把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
或，
；
（2），
∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为．
19. “春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，这是大家耳熟能详的二十四节气歌，“二十四节气”是中华上古农耕文明的产物，蕴含了中华民族悠久的文化内涵和历史沉淀．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张后（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“大寒”的概率．（立春、立夏、秋分、大寒可以分别用A，B，C，D表示）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列出所有等可能的结果数以及小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“大寒”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：；列表如下：
共有12种等可能的结果，其中选择A和D的有2种，
（立春和大寒），
小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“大寒”的概率为．
20. 大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当时，．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若小孔到蜡烛距离为，求火焰的像高；
（3）若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？
【答案】（1）
（2）火焰的像高为
（3）小孔到蜡烛的距离至少是
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数的应用，掌握待定系数法是解本题的关键；
（1）由题意设，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）把代入，再计算可得答案；
（3）由再建立不等式求解即可．
【小问1详解】
解：由题意设：，
把代入，得，
关于x的函数解析式为：；
【小问2详解】
把代入，得，
∴火焰的像高为．
【小问3详解】
时，
，
，
，
答：小孔到蜡烛的距离至少是．
21. 如图①是位于青岛的山东省内最大的海景摩天轮“琴岛之眼”，游客可以在碧海蓝天之间领略大青岛的磅礴气势．图②是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，是摩天轮垂直地面的直径，小红在E处测得摩天轮顶端A的仰角为，她沿水平方向向左行走到达点D，再沿着坡度的斜坡走了20米到达点C，然后再沿水平方向向左行走到达摩天轮最低点B处（A，B，C，D，E均在同一平面内），求摩天轮的高度．（结果保留整数）（参考数据：）
【答案】摩天轮的高度约68米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．延长交的延长线于点M,过点C作于点N，在中，求得，在中，利用三角函数解出即可求出结论．
【详解】解：延长交的延长线于点M,过点C作于点N，
由题意得，，
∴四边形是矩形，
，
在中，设，
由勾股定理得，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
答：摩天轮的高度约68米．
22. 已知：如图，在矩形中，，G，H分别是的中点，E，F是对角线上的两个点，．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若四边形为矩形，求的长度．
【答案】（1）平行四边形，见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，牢记相关性质和判定方法是解题关键，
（1）根据矩形性质证出，进而证出，从而证出结论；
（2）连接，先证明四边形是平行四边形，得，若四边形为矩形，则，即可求出结论．
【小问1详解】
解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵四边形矩形，
，
，
分别是的中点，
，
，
，
，，
，
即，
，
又，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：连接，在矩形中，，
，
，
，
又，
∴四边形是平行四边形，
，
当四边形为矩形时，
，
．
23. 【初建模型】（1）如图①，和都是等腰三角形，，，连接．求证：．分析：要证明，我们可以通过 （只填序号）的方法证明和全等即可．
① ② ③ ④
【类比探究】（2）如图②，和都是等腰直角三角形，，连接．请你写出与的数量关系，并说明理由．
【拓展提升】（3）如图③，在图②的基础上，延长，交于点F，交的延长线于点G，求的值．

【答案】（1）④（2），见解析（3）
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求角的正弦值．掌握手拉手模型，是解题的关键．
（1）利用证明三角形全等即可；
（2）证明即可；
（3）证明，得到，即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∴；
故答案为：④；
（2），理由如下：
和都是等腰直角三角形，
，
，
，
，
；
即；
（3）由（2）可知：，
，
，
，
，
．
24. 高台跃下，凌空旋转，天际中滑翔出优美曲线；跳台滑雪简称“跳雪”，运动员沿着助滑道飞速下滑，在起跳点腾空，身体在空中沿抛物线飞行直至着陆坡，主要考核运动员的飞行距离和动作姿势．在这项运动里，我们可以用数学知识解决一些实际问题．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过起跳点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方50米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．飞行中某一时刻当运动员运动到离A处的水平距离为60米时，高出水平线的高度为60米．
（1）求抛物线所对应的函数表达式．
（2）若运动员在高出水平线10米的小山坡上着地，求此时运动员降落点到A点的水平距离．
（3）在（2）的条件下，当运动员滑行中与小山坡的竖直距离最大时，求运动员运动的水平距离．
【答案】（1）
（2）到A点的水平距离120米时，运动员在距地10米的小山坡上着地
（3）当运动员与小山坡的竖直距离最大时，运动员运动的水平距离50米
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
（1）将代入，求出即可；
（2）由题意将代入，解方程即可解决；
（3）把代入求出表达式，从而得出关于x的函数表达式，根据二次函数性质即可解决．
【小问1详解】
解：把代入，
，
解得，
∴抛物线所对应的函数表达式；
【小问2详解】
解：由题意得：，
解得（舍去），
答：到A点的水平距离120米时，运动员在距地10米的小山坡上着地．
【小问3详解】
把代入，
解得，
，
，
，
时，值最大，
答：当运动员与小山坡的竖直距离最大时，运动员运动的水平距离50米．
25. 如图①，已知在中，cm，cm，以为边作正方形，点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为2cm/s，点M从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另外两个点也停止运动．分别连接，．设运动时间为t（s）（），解答下列问题：
（1）是否存在某一时刻t，使点P在的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（2）当t为何值时，为等腰三角形？
（3）如图②，连接MQ，设四边形的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式．
（4）当时，求t的值．
【答案】（1）不存在，见解析
（2）或
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）根据线段垂直平分线性质，列方程求解即可；
（2）如图1，根据等腰三角形性质，分别当B点、P点、Q点为顶点时，列方程求解；
（3）如图2，过点Q作于点G，先，再，最后，得到y与t之间的函数关系；
（4）根据图1，，求得，，再，解得t值．
【小问1详解】
解：假设存在点P在的垂直平分线上，连接，
∵点P在的垂直平分线上，
，，
又
解得：，
，
故都不符合题意，舍去；
答：不存在．
【小问2详解】
，
当时，
解得：；
当时，
如图1，过点Q作于点F，
，
，
，
又 ，
，
解得：；
当时，如图1，过点P作于点H，
，
，
，
，
；
，
解得：；
答：t的值为或时，为等腰三角形．
图1
【小问3详解】
如图2，过点Q作于点G，
，
；
又
即．
图2
【小问4详解】
如图1，，
，
，
，
，
同理，；
，
，
解得：．
【点睛】本题是一道有关相似的综合题，涉及到段垂直平分线性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形、勾股定理不规则图形面积的求法等知识；根据题意作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 2
1
A
B
C
D
A
B
C
D