2023-2024学年广东省东莞外国语学校等联考八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省东莞外国语学校等联考八年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，咸宁市积极普及科学防控知识，如图是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是( )
A. 打喷嚏捂口鼻B. 防控疫情我们在一起
C. 有症状早就医D. 勤洗手勤通风
2.下列各组线段中，能构成三角形的是( )
A. 2，5，8B. 3，3，6C. 3，4，5D. 4，5，9
3.“诺如病毒”感染性腹泻是一种急性肠道传染病，这种病毒的直径约为0.000000031m，请将数据0.000000031m用科学记数法表示为( )
A. 3.1×10−8B. 0.31×10−9C. 31×10−7D. 3.1×10−7
4.△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A的度数为( )
A. 35°B. 40°C. 70°D. 110°
5.下列计算正确的是( )
A. a4+a2=a6B. a5⋅a2=a7C. (ab5)2=ab10D. a10÷a2=a5
6.如果把分式x2x+y中x、y的值都变为原来的2倍，则分式的值( )
A. 变为原来的2倍B. 不变C. 变为原来的12D. 变为原来的4倍
7.一个长方形的面积是xy2−x2y，若长为xy，那么宽为( )
A. x−yB. y−xC. x+yD. −x−y
8.如图，△ABC≌△ADE，D在BC边上，∠E=35°，∠DAC=30°，则∠BDA的度数为( )
A. 35°
B. 40°
C. 50°
D. 65°
9.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点.若PA=2，则PQ的长不可能是( )
A. 4
B. 3.5
C. 2
D. 1.5
10.如图，S1、S2分别表示边长为x、y的正方形的面积，且A、B、C三点在一条直线上，若S1+S2=20，AB=x+y=6，则图中阴影部分的面积为( )
A. 16
B. 12
C. 8
D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若分式x+12−x有意义，则x的取值范围是 ．
12.一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是______．
13.分解因式：9y−x2y=______．
14.在平面直角坐标系中，点(m,−2)与点(3,n)关于x轴对称，则m+n= ______．
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是(0,1)，以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3…，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2021A2021A2022，则点A2021的纵坐标为______．
三、解答题：本题共11小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
计算：(−1)2023+(π−4)0+3−2．
17.(本小题5分)
已知ax=2，ay=3，则ax+y和a2x−3y的值．
18.(本小题6分)
如图，点A，C，D，E在同一条直线上，BC⊥AE，FD⊥AE，∠F=∠B，且AB=EF．
(1)求证：△ABC≌△EFD；
(2)若AE=8，CD=2，求DE的长．
19.(本小题6分)
如图，已知∠AOB，直线l平行OB交OA于点M．
(1)尺规作图：作∠AOB的角平分线交直线l于点N(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，若∠AOB=70°，求∠MNO的度数．
20.(本小题6分)
先化简，再求值：x2−1x2+2x+1÷(1x+1−1)，从−221.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为(2,4)．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)求△A1B1C1的面积；
(3)在x轴上找一点P，使PB+PC的和最小.(标出点P即可，不用求点P的坐标)
22.(本小题7分)
已知在△ABC中，∠C=3∠B，AD平分∠BAC交BC于D．
(1)如图1.若AE⊥BC于E，∠C=75°，求∠DAE的度数；
(2)如图2，若DF⊥AD交AB于F，求证：BF=DF．
23.(本小题7分)
如图，现有一块长为(3a+b)米，宽为(a+b)米的长方形地块，规划将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为(2a−b)米的正方形．
(1)求绿化的面积S(用含a，b的代数式表示，并化简)；
(2)若a=3，b=2，绿化成本为100元/平方米，则完成绿化共需要多少元？
24.(本小题7分)
某中学为了止学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动，据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的1.5倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少5捆．
(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格；
(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元，学校决定在菜苗基地购买A、B两种菜苗共100捆，所花的费用不超过2400元，求在菜苗基地购买A种菜苗至少多少捆．
25.(本小题10分)
如图，在△ABC中，120°<∠BAC<180°，AD为边BC的垂直平分线，以AC为边作等边△ACE，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，直线BE交DA的延长线于点F，连接FC交AE于点M．
(1)求证：BA=AE；
(2)求∠EFC的度数；
(3)点N在线段PC上且FN=FE，连接EN，证明：FE+FA=2FD．
26.(本小题10分)
综合与实践：
如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是y轴、x轴上的两个动点，以AB为直角边作等腰直角三角形ABC，AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E．
问题解决：
(1)如图①，OB=2OA，点A的坐标为(0,1)，求点C的坐标．
变式探索：
(2)如图②，若将△CDE沿着CB折叠，点D恰好落在y轴的点G处，求证：点D是AC的中点．
拓展与应用：
(3)如图③，点B在x轴负半轴上且B(−6,0)，分别以AB，OA为直角边在第二、一象限作等腰直角三角形ABC和ADO，且∠BAC=∠OAD=90°，连接CD交y轴于点P.当点A在y轴的正半轴上运动时，AP的长度是否变化？若变化，请说明理由.若不变化，请求出AP的长度．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称，进行判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边．
A、2+5=7<8，不能构成三角形，此项不符题意；
B、3+3=6，不能构成三角形，此项不符题意；
C、4+5>5，能构成三角形，此项符合题意；
D、4+5=9，不能构成三角形，此项不符题意．
故选：C．
根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得．
本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．
3.【答案】A
【解析】解：0.000000031=3.1×10−8．
故选：A．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【答案】B
【解析】解：∵△ABC中∠A：∠B：∠C=2：3：4，
∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x．
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2x+3x+4x=180°，解得x=20°，
∴∠A=2x=40°．
故选：B．
设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，再根据∠A+∠B+∠C=180°求出x的值，进而可得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、a4与a2无法合并，故此选项错误；
B、a5⋅a2=a7，正确；
C、(ab5)2=a2b10，故此选项错误；
D、a10÷a2=a8，故此选项错误；
故选：B．
直接利用整式的乘除运算法则以及积的乘方运算法则和合并同类项法则分别计算得出答案．
此题主要考查了整式的乘除运算以及积的乘方运算和合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵分式x2x+y中的x与y都扩大为原来的2倍，
∴分式x2x+y中的分子扩大为原来的4倍，分母扩大为原来的2倍，
∴分式的值扩大为原来的2倍，故A正确．
故选：A．
根据x，y都扩大2倍，即可得出分子扩大4倍，分母扩大2倍，由此即可得出结论．
本题主要考查分式的性质，解题关键在于掌握其性质进行化简．
7.【答案】B
【解析】解：长方形的宽为：(xy2−x2y)÷xy
=xy2÷xy−x2y÷xy
=y−x．
故选：B．
利用长方形的面积公式先列出代数式，再利用除法法则计算．
本题考查了整式的除法，掌握多项式除以单项式法则是解决本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵△ABC≌△ADE，∠E=35°，
∴∠C=∠E=35°，
∵∠DAC=30°，
∴∠BDA=∠DAC+∠C=30°+35°=65°，
故选：D．
由全等三角形的性质求得∠C=∠E=35°，再根据三角形外角定理可得∠BDA=∠DAC+∠C即可求得结论．
本题主要考查了全等三角形的性质和三角形外角定理，由全等三角形的性质求得∠C=∠E=35°是解决问题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON，
∴点P到OM的距离等于PA，即点P到OM的距离为2，
∴PQ≥2．
故选：D．
根据角平分线的性质得到点P到OM的距离等于PA，根据垂线段最短得到PQ≥2，然后对各选项进行判断．
本题考查了角平分线的性质，正确记忆角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵S1+S2=20，
∴x2+y2=20，
∵x+y=6，
∴(x+y)2=62，
∴x2+y2+2xy=36，
∴xy=8，
∵△BCD的面积=12BC⋅CD=12xy，△ACF的面积=12AC⋅CF=12xy，
∴阴影部分的面积=△BCD的面积+△ACF的面积=xy=8．
故选：C．
由正方形面积公式得到x2+y2=20，由完全平方公式求出xy=8，由三角形面积公式即可求出阴影的面积．
本题考查三角形的面积，正方形的面积，完全平方公式，关键是由完全平方公式得到xy=8．
11.【答案】x≠2
【解析】解：根据题意得，2−x≠0，
解得x≠2．
故答案为：x≠2．
根据分母不等于0列式进行计算即可得解．
本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义⇔分母为零；
(2)分式有意义⇔分母不为零；
(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
12.【答案】10
【解析】解：设这个多边形的边数为n，
(n−2)⋅180°=4×360°，
解得n=10，
故答案为：10．
设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式和外角和定理，列出方程求解即可．
本题考查了多边形的内角和与外角和，关键是熟练掌握多边形的内角和公式与外角和定理．
13.【答案】y(3+x)(3−x)
【解析】解：9y−x2y=y(9−x2)
=y(3−x)(3+x)．
故答案为：y(3+x)(3−x)．
直接提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
14.【答案】5
【解析】解：∵点(m,−2)与点(3,n)关于x轴对称，
∴m=3，n=2，
∴m+n=3+2=5．
故答案为：5．
根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得m、n的值，进而可得答案．
此题主要考查了关于x轴对称点的性质，掌握关于x轴对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题关键．
15.【答案】122021
【解析】解：∵三角形OAA1为等边三角形，O1A1⊥x轴，
∴∠AOA1=60°，∠A1OO1=30°，∠A1O1O=90°，OA=OA1=1，
∴O1A1=12×1=12，
同理得：O2A2=(12)2，
综上可得：O2021A2021=(12)2021．
则点A2021的纵坐标为(12)2021=122021．
故答案为：122021．
利用含30°的直角三角形的最短边是斜边的一半解题即可．
本题主要考查含30°的直角三角形的性质和点的坐标规律问题，能够熟记掌握含30°的直角三角形的性质是解题关键．
16.【答案】解：原式=−1+1+132，
=−1+1+19，
=19．
【解析】本题涉及负数的乘方、零指数幂、负指数幂3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、负数的乘方等考点的运算．
17.【答案】解：∵ax=2，ay=3，
∴ax+y=ax⋅ay=2×3=6；
a2x−3y=a2x÷a3y=(ax)2÷(ay)3=22÷33=4÷27=427．
【解析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，分别计算即可．
本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
18.【答案】(1)证明：∵BC⊥AE，FD⊥AE，
∴∠ACB=∠EDF=90°，
在△ABC和△EFD中，
∠ACB=∠EDF∠B=∠FAB=EF，
∴△ABC≌△EFD(AAS)；
(2)解：∵△ABC≌△EFD，
∴AC=DE，
∵AE=8，CD=2，
∴AC+DE=6，
∴DE=3．
【解析】(1)由“AAS”可证△ABC≌△EFD；
(2)由全等三角形的性质可得AC=DE，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，ON为所作；
(2)在(1)的条件下，
∵点N在∠AOB的平分线上，
∴∠AON=∠BON=12∠AOB=35°．
∵直线l/​/OB，
∴∠MNO=∠BON=35°．
【解析】(1)根据角平分线的作法即可解决问题；
(2)根据角平分线定义和平行线的性质可得∠ONM=∠BON=35°，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．
本题考查作图−复杂作图，角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
20.【答案】解：原式=(x+1)(x−1)(x+1)2⋅x+1−x
=1−xx，
∵x+1≠0，−x≠0，
∴x≠−1，x≠0，
∵−2∴当x=1时，原式=0．
【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的化简运算，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
21.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)△A1B1C1的面积=2×4−12×1×3−12×1×2−12×1×4=3.5；
(3)如图，点P即为所求．

【解析】(1)利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)把三角形的面积考查矩形的面积截取周围的三个三角形面积即可；
(3)作点B关于x轴的对称点B′，连接CB′交x轴于点P，连接PB，点P即为所求．
本题考查作图−轴对称变换，轴对称最短问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
22.【答案】(1)解：∵∠C=3∠B，∠C=75°，
∴∠B=25°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC=40°，
∴∠ADE=∠BAD+∠B=65°，
∵AE⊥BC，
∴∠AED=90°，
∴∠DAE=90°−∠ADE=90°−65°=25°，
(2)证明：设∠B=α，则∠C=3α，∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−4α，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC，
∵DF⊥AD，
∴∠ADF=90°，
∴∠AFD=90°−∠BAD=2α，
∵∠AFD=∠B+∠BDF，
∴∠BDF=α=∠B，
∴BF=DF．
【解析】(1)根据角平分线的定义和垂直的定义解答即可；
(2)根据角平分线的定义和等腰三角形的判定解答即可．
此题考查等腰三角形的判定，关键是根据角平分线的定义和垂直的定义解答．
23.【答案】解：(1)长方形地块的面积为：(3a+b)(a+b)=3a2+4ab+b2，
中间预留部分的面积为：(2a−b)2=4a2−4ab+b2，S=3a2+4ab+b2−(4a2−4ab+b2)=8ab−a2，
因此绿化的面积S为(8ab−a2)平方米；
(2)由题意知，S=8×3×2−32=48−9=39(平方米)，39×100=3900(元)，
因此完成绿化共需要3900元．
【解析】(1)用代数式表示出长方形和正方形的面积，求差即可；
(2)将a，b的值代入(1)中结论可求出绿化的面积，乘以单价即可求出总费用．
本题考查列代数式、代数式求值的应用，解题的关键是用代数式表示出绿化的面积．
24.【答案】解：(1)设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，
根据题意得：300x−3001.5x=5，
解得x=20，
经检验，x=20是原方程的解，
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；
(2)设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗(100−m)捆，
20m+30(100−m)≤2400，
解得：m≥60，
∴所花的费用不超过2400元，在菜苗基地购买A种菜苗至少60捆．
答：菜苗基地购买A种菜苗至少60捆．
【解析】(1)设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，根据用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少5捆，列方程可得菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；
(2)设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗(100−m)捆，由本次购买花费不超过2400元得：20m+30(100−m)≤2250解即可得答案．
本题考查分式方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．
25.【答案】(1)证明：∵AD为边BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∵△ACE为等边三角形，
∴AC=AE，
∴BA=AE；
(2)解：∵D为边BC的垂直平分线，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB，FB=FC，∠FBC=∠FCB，
∴∠FBC=∠ABC=∠FCB=∠ACB，
即∠ABE=∠ACF，
∵∠ABE=∠AEF，
∴∠AEF=∠ACF，
∵∠FME=∠CMA，
∴∠EFC=∠CAE，
∵等边三角形ACE中，∠CAE=60°，
∴∠EFC=60°；
(3)证明：由(2)得∠EFM=∠CAM=60°，
∴FN=FE，
∴△EFN是等边三角形，
∴∠FEN=∠FNE=60°，EN=EF，
∵△ACE为等边三角形，
∴∠AEC=60°，EA=EC，
∴∠FEN=∠AEC，
∴∠FEN=∠MEN，∠AEC=∠MEN，
即∠AEF=∠CEN，
在△EFA和△ENC中，
EF=EN∠AEF= ∠CENEA=EC，
∴△EFA≌△ENC (SAS)，
∴FA=NC，
∴FE+FA=FN+NC=FC，
∵∠EFC=∠FBC+∠FCB=60°，∠FBC=∠FCB，
∴∠FCB=12×60°=30°，
∵AD⊥BC，
∴∠FDC=90°，
∴FC=2FD，
∴FE+FA=2FD．
【解析】(1)根据垂直平分线的性质可得BA=AC，由等边三角形的性质可得AE=AC，即可证明BA=AE；
(2)利用角之间的相等关系进行等量代换，再根据等边三角形的性质可得出答案；
(3)利用(2)的结论，证明△EFN是等边三角形，得到∠FEN=∠FNE=60°，EN=EF，再证明△EFC≌△ENC(SAS)，得到FA=NC，FE+FA=FN+NC=FC，再利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半得到FC=2FD即可得证．
本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，含30”角的直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用及线段的垂直平分线的性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
26.【答案】(1)解：如图1，过点C作CF⊥y轴于点F，

∵点A的坐标为(0,1)，
∴AO=1，
∵OB=2OA，
∴OB=2，
∵CF⊥y轴于点F，
∴∠CFA=90°，∠ACF+∠CAF=90°，
∵∠CAB=90°，
∴∠CAF+∠BAO=90°，
∴∠ACF=∠BAO，
在△ACF和△ABO中，
∠ACF=∠BAO∠CFA=∠AOB=90°AC=AB，
∴△ACF≌△ABO(AAS)，
∴CF=OA=1，AF=OB=2，
∴OF=1，
∴点C的坐标为(−1,−1)；
(2)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∵将△CDE沿着CB折叠，
∴CD=CG，∠ACB=∠BCG=45°，
∴∠ACG=90°，
∴∠CAG+∠AGC=90°=∠CAG+∠ADO，
∴∠AGC=∠ADO，
又∵AB=AC，∠BAC=∠ACG=90°，
∴△ADB≌△CGA(AAS)，
∴AD=CG=CD，
∴点D是AC的中点；
(3)解：AP的长度不会改变，理由如下：
过点C作CE⊥y轴于点E．

∵∠BAC=90°，
∴∠CAE+∠BAO=90°．
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CAE=∠ABO．
∵∠CEB=∠AOB=90°，AB=AC，
∴△CAE≌△ABO(AAS)，
∴CE=AO，AE=BO=6．
∵AD=AO，
∴CE=AD．
∵∠CEP=∠DAP=90°，∠CPE=∠DPA，
∴△CPE≌△DPA(AAS)，
∴AP=EP=3．
【解析】(1)由“AAS”可证△ACF≌△ABO，可得CF=OA=1，AF=OB=2，可求解；
(2)由折叠的性质可得CD=CG，∠ACB=∠BCG=45°，由“AAS”可证△ADB≌△CGA，可得AD=CG=CD，可得结论；
(3)由“AAS”可证△CAE≌△ABO，可得CE=AO，AE=BO=6.由“AAS”可证△CPE≌△DPA，可得AP=3．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．