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专题05反比例函数最新模拟40道（性质、与一次函数、应用、几何综合）-【临考预测】2023中考数学重难题型押题培优【全国通用】
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类型一、反比例函数的图象与性质
1．（2023·北京丰台·北京市第十二中学校考一模）作出反比例函数y=−4x的图象，结合图象回答：
(1)当1
【答案】(1)−4
【分析】（1）先求出当x=1时，y=−4；当x=4时，y=−1，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可；
（2）先求出当y=−1时，x=4；当y=4时，x=−1，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可．
【详解】（1）解：当x=1时，y=−41=−4；当x=4时，y=−44=−1，
∵−4<0，
∴反比例函数经过第二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，
∴当1
∵−4<0，
∴反比例函数经过第二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，
∴当−1≤y<4y≠0时，x≥4或x<−1．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的增减性，解题的关键在于熟知反比例函数y=kxk≠0的性质．
2．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知反比例函数y=2m+5nx及一次函数y=mx+3n的图象相交于点1,−2，
(1)求这两个函数的解析式；
(2)一次函数y=mx+3n的图象不经过第______象限，y随x的增大而______；
(3)反比例函数y=2m+5nx的图象的两个分支分别在第______象限内，如果Aa1,b1、Ba2,b2两点在该双曲线的同一支上，且a1
(2)二；增大
(3)二、四；<
【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数求得反比例函数的解析式后进一步求得一次函数的解析式即可；
（2）根据一次函数解析式判断一次函数的增减性以及经过的的象限，即可求解；
（3）根据反比例函数的k的符合确定其所在象限和增减性．
【详解】（1）解：将点1,−2，代入y=2m+5nx，
得2m+5n=−2①
∴反比例函数的解析式为y=−2x，
将点1,−2代入y=mx+3n，
得m+3n=−2②
联立①②得2m+5n=−2m+3n=−2.
解得：m=4n=−2.
∴一次函数的解析式为y=4x−6；
（2）∵一次函数y=4x−6中，k=4>0，b=−6<0，
∴一次函数y=mx+3n的图象不经过第二象限，y随x的增大而增大；
故答案为：二；增大．
（3）∵反比例函数中的k=−2<0，
∴反比例函数y=2m+5nx的图象的两个分支分别在第二、四象限内，
如果Aa1,b1、Ba2,b2两点在该双曲线的同一支上，且a1
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
3．（2022·浙江杭州·校考模拟预测）设函数y1=kx，y2=kx−3k>0．
(1)当12≤x≤1时，函数y1的最小值是a，函数y2的最小值是a−4，求a和k的值．
(2)在（1）的条件下，若y1>y2，求x的取值范围．
【答案】(1)a和k的值都为2
(2)x<−12或0
（2）首先求得两函数图象交点的横坐标，再结合图象即可求解．
【详解】（1）解：函数y1=kx与y2=kx−3k>0的图象如下图：
∵当12≤x≤1时，函数y1的最小值是a，函数y2的最小值是a−4，
∴由函数图象可知：当x=1时，y1的值最小，可得k=a，
当x=12时，y2的值最小，可得12k−3=a−4，
解得a=k=2，
故a和k的值都为2；
（2）解：由(1)可知：y1=2x，y2=2x−3，
当y1=y2时，得2x=2x−3，
得2x2−3x−2=0，
解得x1=−12，x2=2，
由图象可知：当x<−12或0
故x的取值范围是x<−12或0
4．（2023·重庆黔江·校联考模拟预测）设函数y1=kx， y2=−kxk>0．
(1)当1≤x≤2时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a−2，求a和k的值；
(2)设m≠0且m≠1，当x=m时，y2=p；当x=m−1时，y2=q，芳芳说：“p一定大于q”．你认为芳芳的说法正确吗？为什么？
【答案】(1)a=1，k=1；
(2)芳芳的说法不正确，理由见解析
【分析】（1）由反比例函数的性质可得k=a①；−k=a−2②；可求a的值和k的值；
（2）设m=m0，且0
【详解】（1）∵k>0，1≤x≤2，
∴y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，
∴当x=1时，y1最大值为k=a①；y2最小值为−k=a−2②；
由①，②得：a=1，k=1；
（2）芳芳的说法不正确，
理由如下：设m=m0，且0
∴当x=m0时，p=y2=−km0<0，
当x=m0−1时，q=y2=−km0−1>0，
∴q>0>p．
∴芳芳的说法不正确．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是本题的关键．
5．（2022·广东佛山·佛山市惠景中学校考三模）已知：反比例函数y=k−1x的图象分别位于第二、第四象限．
(1)填空：k﹣1_______0（用“>”、“<”或“=”填空）
(2)化简：k2k−4−16k−4+k+12−4k．
【答案】(1)<
(2)5
【分析】(1)根据反比例函数的图象与性质即可解答；
(2)根据k<1，分式的加减及二次根式的化简运算，进行运算即可求得．
【详解】（1）解：∵反比例函数y=k−1x的图象分别位于第二、第四象限，
∴k−1<0，
故答案为：<；
（2）解： k2k−4−16k−4+k+12−4k
=k2−16k−4+k2+2k+1−4k
=k+4k−4k−4+k−12
=k+4+k−1
∵k−1<0，
∴k−1=−k−1=−k+1，
∴原式=k+4−k+1
=5．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，分式的加减运算及二次根式的化简运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
6．（2022·浙江杭州·杭州采荷实验学校校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2＋2ax﹣a2﹣a＋2（a是常数）上．
(1)若该二次函数图象的顶点在第二象限时，求a的取值范围；
(2)若抛物线的顶点在反比例函数y＝﹣8x（x＜0）的图象上，且y1＝y2，求x1＋x2的值；
(3)若当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，求a的取值范围．
【答案】(1)a＜0
(2)x1+x2＝﹣4
(3)a≤0或a＝1
【分析】（1）先将抛物线解析式化成顶点式，求出抛物线顶点坐标为（a，﹣a+2），再根据第二象限内点的坐标特征得出不等式组a<0−a+2>0，求解即可；
（2）将抛物线顶点坐标为（a，﹣a+2）代入反比例函数解析式即可求得a=-2，从而得出抛物线顶点坐标（﹣2，4），再利用抛物线的对称性和中点坐标公式求解即可；
（3）根据当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，得出不等式组a<1−1+2a−a2−a+2≤1或方程组a=1−a+2=−1+2−a2−a+2，求解即可．
（1）
解：∵y＝﹣x2+2ax﹣a2﹣a+2＝﹣（x﹣a）2﹣a+2，
∴抛物线y＝﹣x2+2ax﹣a2﹣a+2的顶点为（a，﹣a+2），
∵抛物线的顶点在第二象限，
∴a<0−a+2>0，
解得a＜0；
（2）
解：∵抛物线y=﹣x2+2ax﹣a2﹣a+2=﹣（x﹣a）2﹣a+2的顶点坐标为(a,-a+2)，
又∵抛物线y=﹣x2+2ax﹣a2﹣a+2=﹣（x﹣a）2﹣a+2的顶点坐标在反比例函数y=﹣8x（x＜0）的图象上，
∴a（﹣a+2）＝﹣8，
解得a＝4或a＝﹣2，
∵a＜0，
∴a＝﹣2，
∴顶点为（﹣2，4），
∵y1＝y2，
∴点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线x＝﹣2对称，
∴x1+x22＝﹣2，
∴x1+x2＝﹣4；
（3）
解：∵当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，
∴a<1−1+2a−a2−a+2≤1或a=1−a+2=−1+2−a2−a+2，
解得a≤0或a＝1，
故a的取值范围为a≤0或a＝1．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例函数图形上点的坐标特征，二次函数与不等式的关系，解题关键是熟练掌握二次函数图象的性质．
7．（2022·江苏南通·统考二模）定义：如果在给定的自变量取值范围内，函数既有最大值，又有最小值，则称该函数在此范围内有界，函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值．
(1)当−2≤x≤1时，下列函数有界的是______（只要填序号）；
①y=2x−1；②y=−2x；③y=−x2+2x+3．
(2)当m≤x≤m+2时，一次函数y=k+1x−2的界值不大于2，求k的取值范围；
(3)当a≤x≤a+2时，二次函数y=x2+2ax−3的界值为94，求a的值．
【答案】(1)①③
(2)−2≤k<−1或−1
【分析】（1）利用函数有意义时自变量x的取值范围结合有界函数的定义判定；
（2）分情况讨论，①k＞0时；②k＜0时，然后求出x=m和x=m+2时的函数值，再结合有界函数与界高的定义列出方程求得k的取值，最后得到一次函数的解析式；
（3）先求得二次函数的对称轴，得到函数的增减性，从而求得a≤x≤a+2时的最大值与最小值，再结合界值为94求得a的值．
【详解】（1）解：函数y=2x−1，
∵2＞0，
∴y随x的增大而增大，；
∵−2≤x≤1，
∴ymin=2×−2−1=−5,ymax=2×1−1=1，
∴①有界；
函数y=−2x，-2＜0，
∴函数的图像在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴y≥−2−2=1或y≤−21=2
∴②无界
如图，
函数y=−x2+2x+3的称轴为x=−22×−1=1，
∵-1＜0，
∴当x≤1时，y随x增大而增大，
∵−2≤x≤1
∴ymin=−−22+2×−2+3=−5,ymax=12+2×1+3=6，
如图，
∴ ③有界；
故答案为：①③．
（2）解：当x=m时，y=k+1m−2；当x=m+1时，y=k+1m+1−2．
①当k+1>0时，即k>−1时，y随x的增大而增大，由题意得
k+1m+2−2−k+1m−2≤2，解得，k≤0．
∴−1
k+1m−2−k+1m+2−2≤2，解得，k≥−2．
∴−2≤k<−1．
∴k的取值范围为−2≤k<−1或−1
∴该抛物线开口向上，对称轴为x=−2a2=−a．
∴当x>−a时，y随x的增大而增大；当x<−a时，y随x的增大而减小．
令x=a，得y=3a2−3；令x=a+2，得y=3a2+8a+1；令x=−a，得y=−a2−3．
①当−a
②当a≤−a
综上所述，a的值为−34或−14．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的增减性，解题的关键是熟练利用函数的性质进行分类讨论．
8．（2022·河北唐山·统考一模）已知反比例函数y＝m−3x（m为常数，且m≠3）
(1)若在其图象的每一个分支上，y随x增大而减小，求m的取值范围；
(2)若点A（2，32）在该反比例函数的图象上；
①求m的值；
②当x＜﹣1时，直接写出y的取值范围．
【答案】(1)m>3
(2)①m=6；②-3
（2）①把A（2，32）代入y=m−3x中，可得m值；
②根据反比例函数关系式，结合x＜−1，列出含y的不等式即可．
（1）
解：∵在反比例函数图象的每一个分支上，y随x增大而减小，
∴m−3＞0，解得m＞3；
即m的取值范围是m＞3．
（2）
①把A（2，32）代入y=m−3x得：m−3＝3，解得m＝6；
②由①可得y=6−3x=3x，
当x＜−1时，3y＜−1，
解得：y＞−3，
y的取值范围为：−3＜y＜0．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解决此类问题一般依据函数关系式构造不等式求解未知数的取值范围．
9．（2022·北京海淀·北京市十一学校校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=−x+b与双曲线G：y=−12x的一个交点为A−3,n．
(1)求n和b的值；
(2)若直线l2：y=kxk≠0与双曲线G：y=−12x有两个公共点，它们的横坐标分别为x1,x2x1
(2)k<−43或−34
（2）画出函数图象，然后根据斜率的性质可以得解．
【详解】（1）由已知可得：
n=3+bn=4，解之可得：b=1n=4；
（2）如图，
由（1）可得：y=−x+1y=−12x，
解之可得直线l1与双曲线G的交点为（-3，4）或（4，-3），
分别过这两点和原点画直线可得：y=−4x3，y=−3x4，
这两条直线的斜率分别为−43和−34，
由图可知，当直线在上两条直线形成的公共区域之外时x1
10．（2021·浙江杭州·校考一模）已知函数y1＝kx+k+1与y2＝k+1x．
(1)若y1过点（1，3），求y1，y2的解析式；
(2)在（1）的条件下，若1≤y2≤2，求出此时y1的取值范围；
(3)若y1的图象过一、二、四象限，判断y2的图象所在的象限．
【答案】(1)y1＝x+2；y2＝2x
(2)3≤y1≤4
(3)y3的图象过第一、三象限
【分析】（1）函数y1过点（1，3），将点代入y1解析式中即可得k值，可得y1，y2的解析式；
（2）由1≤y2≤2，求出自变量取值范围1≤x≤2，再根据y1的增减性确定y1的取值范围；
（3）由一次函数经过第一、二、四象限，可得不等式组，解不等式组即可得到k的范围，进而判断y2的图象所在的象限．
【详解】（1）把点（1，3）代入y1＝kx+k+1中，得：
3＝k+k+1，
解得：k＝1．
故y1＝x+2；y2＝k+1x＝2x．
（2）在（1）的条件下，若1≤y2≤2，
∵y2＝2x，1≤y2≤2
∴1≤2x≤2
解得：1≤x≤2
∵y1＝x+2，1≤x≤2
∴3≤y1≤4
（3）∵y1的图象过一、二、四象限
∴{k＜0k+1＞0 ，
解得：-1＜k＜0．
∴0＜k+1＜1，
故y2的图象过第一、三象限．
【点睛】本题考查了一次函数性质、反比例函数的性质、函数解析式的求法及一次函数图象上点的坐标的特点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
类型二、反比例函数与一次函数相结合问题
11．（2022·河南·校联考模拟预测）如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于两点A（1，n），B（﹣2，﹣1），与y轴相交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数解析式；
(2)直接写出：不等式kx+b＞mx＞0的解集是 ；
(3)依据相关数据求△AOB的面积．
【答案】(1)y=2x，y=x+1
(2)x＞1或-2＜x＜0；
(3)32
【分析】（1）把B（2，-1）代入y=mx可得m的值，求得反比例函数的解析式；根据反比例函数解析式求得点A坐标，再由A、B两点的坐标可得一次函数的解析式；
（2）根据图象得出不等式kx+b＞mx的解集即可；
（3）利用面积的和差关系可求解．
（1）
∵反比例函数y=mx的图象过B（﹣2，﹣1），
∴m＝（﹣2）×（﹣1）＝2，
∴反比例函数的解析式为：y=2x，
∵点A（1，n）在反比例函数图象上，
∴1×n＝2，
∴n＝2，
∴点A的坐标为（1，2），
将点A，B坐标代入一次函数y＝kx+b中，
得k+b=2−2k+b=−1，
解得k=1b=1，
∴一次函数的解析式为：y＝x+1．
（2）
根据图象可知，不等式kx+b＞mx＞0的解集是：x＞1或-2＜x＜0．
故答案为：x＞1或-2＜x＜0；
（3）
过点A作AG⊥y轴于点G，过点B作BH⊥y轴于点H，如下图所示：
∵一次函数y＝x+1与y轴相交于点C，
∴C点坐标为（0，1），
∴OC＝1，
∵A点坐标为（1，2），
∴AG＝1，
∵B点坐标为（﹣2，﹣1），
∴BH＝2，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC=1×12+1×22=32．
【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．
12．（2022·甘肃武威·校考一模）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A（－1，n）、B（2，－1）两点，与y轴相交于点C．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；
(3)若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y=mx上的两点，当x1＜x2＜0时，比较y2与y1的大小关系．
【答案】(1)一次函数为：y=-x+1，反比例函数为：y=−2x，
(2)3；
(3)当x1＜x2＜0时，y2＞y1 ；
【分析】（1）由B点坐标求得反比例函数解析式，再由反比例函数解析式求得A点坐标，由A、B两点坐标求得一次函数解析式；
（2）由一次函数解析式求得C点坐标，再求得D点坐标，根据△ABD面积=△ACD面积+△BCD面积便可解答；
（3）根据反比例函数在x1＜x2＜0时的增减性判断即可；
【详解】（1）解：B点代入反比例函数得：m=-2，
∴反比例函数为：y=−2x，
A点代入反比例函数得：n=2，
∴A（-1，2），B（2，-1），
代入一次函数得：{2=−k+b−1=2k+b，
解得：{k=−1b=1，
∴一次函数为：y=-x+1，
（2）解：一次函数y=-x+1，与y轴交点为：C（0，1），
若点D与点C关于x轴对称，
则D点为（0，-1），
∵CD=2，A（-1，2）到y轴距离为1，B（2，-1）到y轴距离为2，
∴△ABD面积=△ACD面积+△BCD面积=12×2×1+12×2×2=3；
（3）解：∵反比例函数y=−2x，在x＜0时递增，
∴当x1＜x2＜0时，y2＞y1 ；
【点睛】本题考查了反比例函数解析式，一次函数解析式，坐标的对称特征，掌握反比例函数的性质是解题关键．
13．（2023·黑龙江绥化·校联考一模）如图，已知一次函数y1=k1x+bk≠0和反比例函数y2=k2xk2≠0的图像交于点A−3,2，B1,m，求：
(1)求一次函数及反比例函数的解析式；
(2)在y轴取一点P，当△PAB的面积为6时，求P的坐标？
(3)当x取何值时，y2>y1？
【答案】(1)y1=−2x−4，y2=−6x
(2)0,−7或0,−1
(3)−3
【分析】（1）把A−3,2代入y2=k2xk2≠0解得k2=−6，即可得到反比例函数的解析式为y2=−6x，再把B1,m代入得，m=−6，得到B1,−6，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）设点P的坐标为0,n，设直线y1=−2x−4与y轴交于点Q,求出Q0，−4，则利用S△PAB=S△PAQ+S△PBQ=6求得n的值，即可得到点P的坐标；
（3）根据图象的位置关系即可得到答案．
【详解】（1）解：把A−3,2代入y2=k2xk2≠0得，2=k2−3，
解得k2=−6，
∴反比例函数的解析式为y2=−6x，
把B1,m代入y2=−6x得，m=−61=−6，
∴B1,−6，
把点A−3,2和B1,−6代入y1=k1x+bk≠0得，
2=−3k1+b−6=k1+b，解得k1=−2b=−4，
∴一次函数的解析式为y1=−2x−4；
（2）设点P的坐标为0,n，设直线y1=−2x−4与y轴交于点Q,
当x=0时，y=−4，
∴直线y1=−2x−4与y轴交于点Q0，−4，
则PQ=n+4，
则S△PAB=S△PAQ+S△PBQ=12PQ⋅xA+12PQ⋅xB=12×n+4×3+12×n+4×1=6，
则n+4=3，
解得n=−7或n=−1，
∴点P的坐标是0,−7或0,−1；
（3）由图象可知当−3
∴当−3
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合题，用到了待定系数法、函数图象的交点等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
14．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，已知一次函数y1=32x−3的图象与反比例函数y2=kx第一象限内的图象相交于点A4,n，与x轴相交于点B．
(1)求n和k的值；
(2)如图，以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交CD于点E，连接AE、BE，求S△ABE．
【答案】(1)n=3；k=12
(2)3132
【分析】（1）把点A4,n代入一次函数y1=32x−3，得到n的值为3；再把点A4,3代入反比例函数y2=kx，得到k的值为12；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为2,0，过点A作AG⊥x轴，垂足为G，根据勾股定理得到AB=13，再根据菱形的性质可得S△ABE=12S菱形ABCD，即可求解．
【详解】（1）解：把点A4,n代入一次函数y1=32x−3，得：
n=32×4−3=3；
∴点A4,3，
把点A4,3代入反比例函数y2=kx，得：
3=k4，解得：k=12；
（2）解：∵一次函数y1=32x−3与x轴相交于点B，
当y=0时，32x−3=0，
解得x=2，
∴点B的坐标为2,0，
如图，过点A作AG⊥x轴，垂足为G，
∵A4,3,B2,0，
∴OG=4,AG=3,OB=2，
∴BG=OG−OB=4−2=2，
在Rt△ABG中，AB=AG2+BG2=32+22=13．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD=BC=13，S△ABE=12S菱形ABCD，
∴S△ABE=12×AG×BC=12×3×13=3132．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，涉及了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
15．（2023·河南安阳·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+1的图象与反比例函数y=kx的图象相交于A2，2，B两点，与y轴交于点C，连接AO，BO．
(1)求m和k的值；
(2)求△AOB的面积；
(3)请直接写出不等式mx+1>kx的解集．
【答案】(1)m=12，k=4
(2)3
(3)−4
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点B、C的坐标，再根据S△AOB=S△BOC+S△AOC进行求解即可；
（3）利用图象法求解即可．
【详解】（1）解：把A2，2代入一次函数解析式中得：2=2m+1，
∴m=12；
把A2，2代入到反比例函数解析式中得：2=k2，
∴k=4；
（2）解：由（1）得一次函数解析式为y=12x+1，反比例函数解析式为y=4x，
在y=12x+1中，令x=0，则y=1，
∴C0，1，
∴OC=1；
联立y=4xy=12x+1，解得x=−4y=−1或x=2y=2，
∴B−4，−1，
∴S△AOB=S△BOC+S△AOC
=12OC⋅−xB+12OC⋅xA
=12×1×4+12×1×2
=3；
（3）解：由函数图象可知，当−4
∴当−4
∴不等式mx+1>kx的解集为−4
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
16．（2023·浙江宁波·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x与双曲线y=kx相交于A3,m，B两点，BC⊥x轴．垂足为C．
(1)求双曲线y=kx的解析式，并直接写出点B的坐标．
(2)求△ABC的面积．
【答案】(1)y=9x，−3,−3
(2)9
【分析】（1）先求出点A的坐标，把点A的坐标代入y=kx求得k的值，即可得到双曲线y=kx的解析式，再令x=9x，解得x1=3,x2=−3，即可得到点B的坐标；
（2）先求出点C的坐标，再利用S△ABC=S△AOC+S△BOC即可得到△ABC的面积．
【详解】（1）解：把点A3,m代入y=x中得到，m=3，
∴ 点A3,3，
把点A3,3代入y=kx得3=k3，
解得k=9，
∴y=9x，
令x=9x，
解得x1=3,x2=−3，
∵点B在第三象限，
∴x=−3，
当x=−3时，y=−3，
∴点B的坐标是−3,−3；
（2）∵点B的坐标是−3,−3，BC⊥x轴，
∴点C的坐标是−3,0，
∴OC=3，
∴S△ABC=S△AOC+S△BOC=12×3×3+12×3×3=9，
即△ABC的面积为9．
【点睛】此题是反比例函数和一次函数综合题，考查了待定系数法、反比例函数和一次函数的图象交点问题、三角形的面积等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
17．（2023·河北石家庄·校考模拟预测）已知：如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=−2x的图象交于点A−1,m，与x轴正半轴交于点B，A−1,m轴于点P，且S△ABP=2．
(1)求点B的坐标及一次函数的解析式；
(2)设点C是x轴上的一个点，如果∠ACO=∠BAO，求出点C的坐标．
【答案】(1)点B1,0；y=−x+1；
(2)5,0，−7,0
【分析】（1）首先把A−1,m代入y=−2x，即可求得m的值，又由S△ABP=2，则可求得点B的坐标，然后利用待定系数法即可求得此一次函数的解析式；
（2）由（1）可求得OA=5，AB=22，分别从当点C在x轴的正半轴上与当点C在x轴的负半轴上时去分析，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【详解】（1）把A−1,m代入y=−2x，
得m=−2−1=2，
即点A的坐标为：−1,2，即AP=2，OP=1，
又∵S△ABP=12PB×AP，
∴2=12PB×2，
∴PB=2，
∴OB=PB−OP=1，
∴点B1,0；
设直线AB的解析式为y=kx+bk≠0，
把点A、B的坐标代入得：0=k+b2=−k+b，
解得：k=−1b=1，
故直线AB的解析式为y=−x+1；
（2）∵点A−1,2、B1,0，
∴OA=5，AB=22．如图：
当点C在x轴的正半轴上时,即点C1，
∵∠AC1O=∠BAO，∠AOC1=∠BOA，
∴△OAC1∽△OBA，
∴OAOC1=OBOA，
∴5OC1=15，
∴OC1=5，
即点C15,0；
当点C在x轴的负半轴上时，即点C2，
∵∠AC2O=∠BAO，∠AOC2=∠BOA，
∴△ABC2∽△OBA，
∴ABBC2=OBAB，
∴22BC2=122，
∴BC2=8，
∴OC2=8−1=7，
即点C2−7,0．
综上，点C的坐标为：5,0，−7,0．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形面积问题．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．
18．（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+b经过点A−2，0，与y轴交于点B，与反比例函数y=kxx>0的图象交于点Cm，6，过B作BD⊥y轴，交反比例函数y=kxx>0的图象于点D，连接AD、CD．
(1)b=________，k=________，不等式kx>2x+b的解集是________；
(2)求△ACD的面积．
【答案】(1)4，6，0
【分析】（1）先把点A坐标代入直线解析式求出b的值，即求出直线解析式，进而求出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式求出k的值；再根据图象法求出不等式的解集即可；
（2）先求出点B的坐标，进而求出点D的坐标，再根据S△ACD=S△ABD+S△BCD进行求解即可．
【详解】（1）解：把A−2，0代入到直线y=2x+b中得：0=2×−2+b，
∴b=4，
∴直线解析式为y=2x+4，
把点Cm，6代入到直线y=2x+4中得：6=2m+4，
∴m=1，
∴C1，6，
把C1，6代入到反比例函数y=kxx>0中得：6=k1，
∴k=6；
由函数图象可知，当0
在y=2x+4中，令x=0，则y=4，
∴B0，4，
在y=6xx>0中，令y=4，则x=32，
∴D32，4，
∴BD=32，
∴S△ACD=S△ABD+S△BCD
=12BD⋅yC−yB+12BD⋅yB−yA
=12×32×4+12×32×6−4
=3+32
=92．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
19．（2023·河南焦作·统考一模）思考：关于函数y=6x的图像，下列说法正确的有 （填写正确选项的序号，可以多选）
a．图像是双曲线，该双曲线的两支分别在第二、四象限．
b．图像是中心对称图形，对称中心是0,0．
c．图像是轴对称图形，两条对称轴分别是函数y=x与y=−x的图像．
d．当x>0时，y随x增大而减小，当x<0时，y随x增大而增大．
e．图像与函数y=x的图像交点坐标为6,6、−6,−6．
探究：我们曾研究过：一次函数y=x−2的图像可以由正比例函数y=x的图像向下（或向右）平移2个单位长度得到，我们可以借鉴这一经验，探究某些函数的图像和性质：
（1）填写下面两个表格：
（2）对比这两个表格，可以看出：把函数y=6x的图像向 （填“左”或“右”）平移 个单位长度可以得到函数y=6x−1的图像．
应用：对于函数y=6x−1+2，请解决下列问题：
①它的图像是中心对称图形，对称中心的坐标为 ．
②它的图像是轴对称图形，两条对称轴分别为 和 ．
（3）请描述y随x的变化情况： ．
拓展：
（1）函数y=2x+8x+1的图像可由反比例函数y=kx的图像平移得到，求k的值．
（2）请直接写出不等式6x−m>x−m＞（m为常数）的解集： （用含m的代数式表示）．
【答案】思考：b，c，e；探究：（1）−1，−2，−3，3，2，1，...，0，−1，−2，4，3，2；（2）右，1；应用：①1,2；②直线y=−x+3，直线y=x+3；（3）当x>1时，y随x的增大而减小，当x<1时，y随x的增大而减小；拓展：（1）6；（2）x
探究：根据正比例函数图像x−2是指图像向下移动两个单位，以此类推反比例函数y=6x到y=6x−1是图像向下移动一个单位，由此来填写表格即可；
应用：y=6x到y=6x−1是图像向下移动一个单位，对称中心和对称轴也会向下移动一个单位，y=6x−1到y=6x−1+2是函数向右移动两个单位得到的，期间对称中心和对称轴都会和函数一样向右移动2个单位，函数增减性，由当x>0时，y随x增大而减小，当x<0时，y随x增大而增大，变为当x>1时，y随x的增大而减小，当x<1时，y随x的增大而减小；
拓展：函数2x+8x+1=6x+1+2，∵函数y=2x+8x+1的图像可由反比例函数y=kx的图像平移得到，∴k=6；根据函数的平移规律，将m看成一个常数求解即可．
【详解】解：思考：
y=6x的图像是双曲线，该双曲线的两支分别在第一、三象限，故a错误；
y=6x的图像是中心对称图形，对称中心是0,0，故b正确；
y=6x的图像是轴对称图形，两条对称轴分别是函数y=x与y=−x的图像，故c正确；
y=6x中，当x>0时，y随x增大而减小，当x<0时，y随x增大而减小，故d错误；
y=6x的图像与函数y=x的图像交点坐标为6,6、−6,−6，故e正确；
故答案为：b，c，e；
探究：
（1）
故答案为：−1，−2，−3，3，2，1，...，0，−1，−2，4，3，2；
（2）表格可知，把函数y=6x的图像向右平移1个单位长度可以得到函数y=6x−1的图像，
故答案为：右，1；
应用：
①函数y=6x−1+2的图像是中心对称图形，对称中心的坐标为1,2；
故答案为：1,2；
②将直线y=x与y=−x先向右平移1个单位，再向上平移2个单位可得直线y=x+3和直线y=−x+3，
∴函数y=6x−1+2的图像是轴对称图形，两条对称轴分别为直线y=x+3和直线y=−x+3；
故答案为：直线y=x+3和直线y=−x+3；
（3）函数y=6x−1+2中，当x>1时，y随x的增大而减小，当x<1时，y随x的增大而减小；
故答案为：x>1时，y随x的增大而减小，当x<1时，y随x的增大而减小；
拓展：
（1）∵2x+8x+1=6x+1+2，
∴y=6x+1+2，
∵函数y=2x+8x+1的图像可由反比例函数y=kx的图像平移得到，
∴k=6；
（2）y=6x−m+m的图像看作y=6x向右平移m个单位，再向上平移m个单位，
而6x−m+m=x的解是x=m−6或x=m+6，
∴不等式6x−m>x−m的解集为x
20．（2021·重庆綦江·校考三模）在函数学习中，我们经历了“确定函数表达式−画函数图象−利用函数图象研究函数性质−利用图象解决问题”的学习过程，小姚同学根据函数的学习经验，对函数y1=1x+xx≠0的性质及其应用进行了探究，请你按要求完成下列问题．
(1)列表：下表为变量x与y1的几组对应数值：
则a=______，b=______；
(2)描点、连线：在平面直角坐标中画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)观察函数图象：一次函数y2=74x−114的图象如图所示，则关于x的不等式y1≥y2的解集为______．
【答案】(1)174，52
(2)图见解析；x>1时，y随x值的增大而增大
(3)x≤4
【分析】（1）利用函数解析式分别求出对应的函数值即可；
（2）利用描点法画出图象即可；观察图象可知：x＞1时，y随x值的增大而增大；
（3）利用图象即可解决问题．
（1）
解：把x=−14代入y1=1x+xx≠0得，
y1=−4−14=174；
把x=12代入y1=1x+xx≠0得，
y1=2+12=52，
∴a=174，b=52，
故答案为：174，52；
（2）
描点、连线画出函数图象如图：
观察图象可知：x＞1时，y随x值的增大而增大；
（3）
由图象可知，关于x的不等式y1≥y2的解集为x≤4．
故答案为：x≤4．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，图像法解不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．
类型三、反比例函数与实际应用问题
21．（2023·广东广州·统考一模）一辆客车从A地出发前往B地，平均速度v（千米小时）与所用时间t（小时）的函数关系如图所示，其中60≤v≤120．
(1)求v与t的函数关系式及t的取值范围；
(2)客车上午8点从A地出发，客车需在当天14点至15点30分（含14点与15点30分）间到达B地，求客车行驶速度v的取值范围．
【答案】(1)v=600t，5≤t≤10
(2)80≤v≤100
【分析】（1）由待定系数法即可得到函数关系式，再由v的取值范围得到t的取值范围；
（2）由题意得到6≤t≤7.5，根据t的取值范围和反比例函数的增减性即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可知v与t的函数关系是反比例函数，
设v与t的函数关系式为v=kt，
把点6,100代入v=kt得，100=k6，
解得，k=600，
∴v与t的函数关系式是v=600t，
∵60≤v≤120，
∴t的取值范围5≤t≤10；
（2）由题意得到6≤t≤7.5，
当t=6时，v=600t=100，
当t=7.5时，v=600t=6007.5=80，
由图象可知v随着t的增大而减小，
∴80≤v≤100，
即客车行驶速度v的取值范围为80≤v≤100．
【点睛】此题考查了反比例函数，考查了待定系数法、反比例函数的图象和性质等知识，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
22．（2023·山东枣庄·统考一模）电灭蚊器的电阻y（kΩ）随温度x（℃）变化的大致图象如图所示，通电后温度由室温10℃上升到30℃时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加415kΩ．
(1)当10≤x≤30时，求y与x之间的关系式；
(2)电灭蚊器在使用过程中，温度x在什么范围内时，电阻不超过5kΩ？
【答案】(1)y=60x
(2)12≤x≤4114
【分析】（1）设y与x之间的关系式为y=mx，把点10,6代入，即可求解；
（2）当x>30时，设y与x的关系式为y=kx+b，根据题意可得函数图象过点30,2，点31,2415，再代入，然后分别求出y=5时，两函数的函数值，即可求解．
【详解】（1）解：当10≤x≤30时，设y与x之间的关系式为y=mx，
根据题意得：该函数图象过点10,6，
∴m=xy=10×6=60．
∴当10≤x≤30时，y与x的关系式为：y=60x；
（2）解：∵y=60x，
∴当x=30时，y=603=2．
根据题意得：该函数图象过点30,2，
∵温度每上升1℃，电阻增加415kΩ．
∴该函数图象过点31,2415，
∴30k+b=231k+b=2415，解得：k=415b=−6，
∴当x>30时，y与x的关系式为：y=415x−6；
对于y=60x当y=5时，x=12；
对于y=415x−6当y=5时，x=4114；
答：温度x取值范围是12≤x≤4114时，电阻不超过5kΩ．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的实际应用，求出两函数解析式是解题的关键．
23．（2023·陕西西安·校考三模）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日销售量y与上市的天数x之间成正比例函数关系，当广告停止后，日销售量y与上市的天数x之间成反比例函数关系（如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为200件．
(1)写出该商品上市以后日销售量y（件）与上市的天数x（天）之间的表达式．
(2)当上市的天数为多少时，日销售量为100件？
【答案】(1)当0
【分析】（1）将已知点的坐标分别代入到正比例函数和反比例函数中，利用待定系数法确定其解析式即可；
（2）直接利用函数解析式分别得出答案．
【详解】（1）当0
当x≥20时，设y=k2x，把(20,200)代入得：k2=4000，
∴y=4000x，
∴当0
解得：x=10，
当y=100时，100=4000x，
解得：x=40，
故当上市的天数为10天或40天时，日销售量为100件．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数模型．
24．（2023·河北邢台·统考一模）如图1，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强P(Pa)与受力面积S(m2)的关系如下表所示(与长方体A相同重量的长方体均满足此关系)．
(1)根据数据，求桌面所受压强P(Pa)与受力面积S(m2)之间的函数表达式及a的值；
(2)现想将另一长、宽、高分别为0.2m，0.1m，0.3m，且与长方体A相同重量的长方体按如图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为5000Pa，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由，
【答案】(1)P=200S，0.25
(2)这种摆放方式不安全，理由见解析
【分析】（1）观察图表得：压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，然后用待定系数法可得函数关系式，令P=800，可得a的值；
（2）算出S，即可求出P，比较可得答案．
【详解】（1）解：观察图表得：压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，
设压强P(Pa)关于受力面积S(m2)的函数表达式为P=kS，
把(400，0.5)代入得：400=k0.5，
解得：k=200，
∴压强P(Pa)关于受力面积S(m2)的函数表达式为P=200S，
当P=800时，800=200a，
∴a=0.25；
（2）解：这种摆放方式不安全，理由如下：
由图可知S=0.1×0.2=0.02(m2)，
∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上的压强为P=2000.02=10000Pa，
∵10000>5000，
∴这种摆放方式不安全．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．
25．（2023·辽宁大连·模拟预测）根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压U（单位：V）一定时，通过导体的电流I（单位：A）与导体的电阻R（单位：Ω）满足关系式R=UI，其中I与R满足反比例函数关系，它们的图象如图所示．当I=1A时，U=3V．
(1)求电压U关于电流I的函数关系式；
(2)若1.5A≤I≤7.5A，求电压U的变化范围．
【答案】(1)U=3II>0
(2)4.5V≤U≤22.5V
【分析】（1）直接把I=1A，U=3V代入到关系R=UI中求出R的值即可得到答案；
（2）求出当I=1.5时，U=4.5V，当I=7.5时，U=22.5V，再根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵当I=1A时，U=3V，
∴R=31=3，
∴U=3II>0；
（2）解：当I=1.5时，U=3×1.5=4.5V，当I=7.5时，U=3×7.5=22.5V，
∵U=3II>0，3>0，
∴U随I增大而增大，
∴当1.5A≤I≤7.5A时，4.5V≤U≤22.5V，
∴电压U的变化范围为4.5V≤U≤22.5V．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
26．（2023·云南·校考一模）云南某山区冬季经常缺水，政府在山顶修建了一大型蓄水池．据统计，按每天用水0.6立方米计算，蓄水池剩余的水一个月（30天）刚好用完．如果每天的用水量为x立方米，那么这个蓄水池的水能维持y天．
(1)写出y与x之间的函数表达式；
(2)如果每天用水0.5立方米，那么蓄水池剩余的水能维持多少天？
【答案】(1)y=18x
(2)36天
【分析】（1）求出蓄水池总储水量，然后得出关系式即可；
（2）根据（1）中的关系式求出当x=0.5时的y值即可．
【详解】（1）解：0.6×30=18（立方米），
∴y与x之间的函数关系式为：y=18x；
（2）解：当x=0.5时，y=180.5=36（天），
∴蓄水池剩余的水能维持36天．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质和意义是解题的关键．
27．（2023·安徽宿州·统考一模）为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强pkPa与气体体积Vml满足反比例函数关系，其图像如图所示．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)当气体体积为60ml时，气体的压强为______kPa．
(3)若注射器内气体的压强不能超过500kPa，则其体积V要控制在什么范围？
【答案】(1)p=6000V
(2)100
(3)不少于12ml
【分析】(1) 设反比例函数的表达式为p=kV，将30,200代入计算即可．
(2)代入解析式计算即可．
(3)代入解析式计算即可．
【详解】（1）设反比例函数的表达式为p=kV，
将30,200代入，得200=k30，解得k=6000，
∴反比例函数的表达式为p=6000V．
（2）∵p=6000V，
∴当v=60时，p=600060=100，
故答案为：100．
（3）当p=500时，V=6000500=12，
∴为了安全起见，气体的体积应不少于12ml．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
28．（2023·吉林松原·统考一模）把一定体积的钢锭拉成钢丝，钢丝的总长度y（m）是其横截面积x（mm2）的反比例函数，其图像如图所示．
(1)求y与x的函数关系式．
(2)当钢丝总长度不少于80m时，钢丝的横截面积最多是多少mm2．
【答案】(1)y=128x
(2)1.6mm2
【分析】（1）根据反比例函数图像经过点4,32，利用待定系数法进行解答即可；
（2）把y=80代入求得的解析式求得x的值即可．
【详解】（1）解：设反比例表达式为y=kx，
将（4，32）代入y=kx，
得4=k32，
解得：k=128，
∴y与x的函数关系式是y=128x；
（2）将y=80代入y=128x，
解得：x=1.6，
∴钢丝总长度不少于80m时，钢丝的横截面积最多是1.6mm2．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题的关键是求出反比例函数的解析式．
29．（2023·福建福州·福建省福州屏东中学校考一模）如图，是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其中线段PA是竖直高度为6米的平台，PO垂直于水平面，滑道分为两部分，其中AB段是双曲线y=10x的一部分，BCD段是抛物线的一部分，两滑道的连接点B为抛物线的顶点，且B点的竖直高度为2米，滑道与水平面的交点D距PO的水平距离为7米．以点О为坐标原点建立平面直角坐标系，滑道上点的竖直高度为y，距直线PO的水平距离为x．
(1)请求出滑道BCD段y与x之间的函数关系式；
(2)当滑行者滑到C点时，距地面的距离为1米，求滑行者此时距滑道起点A的水平距离；
(3)在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道BCD落地点D与最高点B连线与水平面夹角应不大于45°，且由于实际场地限制，OPOD≥12，求OD长度的取值范围．
【答案】(1)y=-12（x-5）2+2；
(2)滑行者距滑道起点的水平距离为（103+2）米；
(3)OD长度的取值范围为7≤OD≤12．
【分析】（1）B点既在双曲线上，又在抛物线上，根据题中数据可求出B点坐标．又因为点B为抛物线的顶点，且B点到地面的距离为2米，当甲同学滑到C点时，距地面的距离为1米，距点B的水平距离CF为2米．据此可求出解析式；
（2）依据前面的解析式求出A、C的横坐标，它们的差距即为所经过的水平距离；
（3）先判断OD的最小值，再根据已知求出OD最大值即可．
【详解】（1）解：B在双曲线y=10x上，且根据题意yB=2，
∴B（5，2），
∵B为抛物线BCD的最高点，
则设抛物线BCD的解析式为y=a（x-5）2+2顶点式，
根据题意得此时D （7，0），代入解析式得a（7-5）2+2=0，
解得：a=-12，
∴滑道BCD段y与x之间函数关系式为y=-12（x-5）2+2；
（2）解：令y=1时，则-12（x-5）2+2=1，
解得x1=5+2，x2=5-2（舍去），
∴C（5+2，1），
将y=6代入y=10x中得x=53，
∴A（53，6），
∴5+2-53=103+2，
此时滑行者距滑道起点的水平距离为（103+2）米；
（3）解：根据上面所得B （5，2），D （7，0）时，此时∠BDO=45°，
则D点不可往左，可往右，则OD最小值为7，
又∵OPOD≥12，
∴OD≤2OP=12，
∴7≤OD≤12．
∴OD长度的取值范围为7≤OD≤12．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法及二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想．
30．（2023·山东青岛·统考一模）长为300m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t（s），排头与O的距离为S头（m）．
（1）当v=2时，解答：
①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围）；
②当甲赶到排头位置时，求S头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m），求S甲与t的函数关系式（不写t的取值范围）
（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．
【答案】（1）①S头＝2t+300；②S甲=−4t+1200；（2）T与v的函数关系式为：T=400v，此时队伍在此过程中行进的路程为400m．
【分析】（1）①排头与O的距离为S头（m）．等于排头行走的路程+队伍的长300，而排头行进的时间也是t（s），速度是2m/s，可以求出S头与t的函数关系式；
②甲赶到排头位置的时间可以根据追及问题的数量关系得出，代入求S即可；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m）是在S的基础上减少甲返回的路程，而甲返回的时间=总时间t－甲从排尾赶到排头的时间，于是可以求S甲与t的函数关系式；
（2）甲这次往返队伍的总时间为T（s），是甲从排尾追到排头用的时间与从排头返回排尾用时的和，可以根据追及问题和相遇问题的数量关系得出结果；在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程=队伍速度×返回时间．
【详解】（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），∴S头=2t+300；
②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v﹣v）=300÷v=300÷2=150 s，此时S头=2t+300=600 m，甲返回时间为：（t﹣150）s，∴S甲=S头﹣S甲回=2×150+300﹣4（t﹣150）=﹣4t+1200；
因此，S头与t的函数关系式为S头=2t+300，当甲赶到排头位置时，S的值为600m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲=﹣4t+1200．
（2）T=t追及+t返回=3002v−v+3002v+v=400v，在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v×400v=400；
因此T与v的函数关系式为：T=400v，此时队伍在此过程中行进的路程为400m．
【点睛】本题考查了行程问题中相遇、追及问题，同时还考查了函数思想方法的应用，切实理解变量之间的变化关系，由于时间有重合的部分，容易出现错误．
类型四、反比例函数与几何综合问题
31．（2023·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=−12x+m（m为常数，且m>0）的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴上，点D在反比例函数y=−24xx>0的图象上，已知四边形ABCD为矩形．
(1)直接写出点A，B，D的坐标（用含m的式子表示）．
(2)求矩形ABCD的面积．
【答案】(1)A2m,0，B0,m，D24m,−m
(2)40
【分析】（1）把x=0，代入y=−12x+m，求出y值，即可得点B坐标；把y=0代入y=−12x+m，求出x值，即可得点A坐标；再过点D作DE⊥x轴于E，证△BOC≌△DEAAAS，即可得DE=OB=m，把y=−m代入y=−24x，求得x=24m，即得D点坐标．
（2）证明△BOC∽△AOB，得OBOA=OCOB，即OB2=OC⋅OA，m2=2m2m−24m，解得m2=16，再由S矩形ABCD=2S△ABC=2×12AC⋅OB =m4m−24m=4m2−24，即可求解．
【详解】（1）解：对于一次函数y=−12x+m，令x=0，则y=m，
∴B0,m，
令y=0，则−12x+m=0，
解得：x=2m，
∴A2m,0，
过点D作DE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD为矩形．
∴BC=AD，BC∥AD，
∴∠BCO=∠DAE，
∵∠BOC=∠DEA=90°
∴△BOC≌△DEAAAS，
∴DE=OB=m，
∴点D纵坐标为−m，
把y=−m代入y=−24x，得
−m=−24x，解得：x=24m，
∴D24m,−m；
（2）解：∵四边形ABCD为矩形．
∴∠ABO+∠CBO=90°，
∵∠BCO+∠CBO=90°，
∴∠ABO=∠BCO
∵∠BOC=∠AOB=90°
∴△BOC∽△AOB
∴OBOA=OCOB
∴OB2=OC⋅OA，
由（1）知：△BOC≌△DEA，A2m,0，B0,m，
∴OC=AE=2m−24m，
∴m2=2m2m−24m，
∴m2=16
∴AC=OA+OC=4m−24m，
∴S矩形ABCD=2S△ABC=2×12AC⋅OB
=m4m−24m=4m2−24=4×16−24=40．
【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数与反比例函数图象性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
32．（2023·山东聊城·统考一模）如图，矩形OCBD的顶点O与坐标原点重合，点C在x轴上，点A在对角线OB上，且OA=25，tan∠BOC=12．反比例函数y=kx的图象经过点A，交BC，BD于点M，N，CM=43，连接OM，ON，MN．
(1)求反比例函数y=kx的解析式及点N的坐标；
(2)若点P在x轴上，且△OPN的面积与四边形OMBN的面积相等，求点P的坐标．
【答案】(1)反比例函数的解析式为y=8x，点N的坐标为83,3
(2)点P的坐标为203，0或−203，0
【分析】（1）作AE⊥x轴于点E，由点的坐标与图形的性质求得点A(4,2)，代入反比例函数解析式求得该双曲线方程；由点M的坐标易得点B的坐标，再由此设点N的坐标为n,3，代入y=8x求得n的值即可；
（2）S四边形BMON=S矩形OCBD−S△OCM−S△OND=10．设点P的坐标为(p,0)，由“△OPN的面积与四边形BMON的面积相等”可得S△OPN=12×p×3=10，由此求得p的值即可．
【详解】（1）解：作AE⊥x轴，由OA=25，tan∠BOC=12，可得AE=2，OE=4．
∴点A的坐标为(4,2)．
∴反比例函数的解析式为y=8x，
由y=8x，CM=43，
可得点M的坐标为6,43．
由tan∠BOC=12，OC=6，
可得BC=3．
∴点B的坐标为6,3．
设点N的坐标为n,3，代入y=8x中，得n=83．
∴点N的坐标为83,3．
（2）解：S四边形BMON=S矩形OCBD−S△OCM−S△OND
=6×3−12×6×43−12×3×83=10．
设点P的坐标为(p,0)．
由S△OPN=12×p×3=10，得p=±203．
∴点P的坐标为203，0或−203，0．
【点睛】本题考查了反比例函数综合题，涉及到了待定系数法求反比例函数解析式，矩形的面积公式，三角形的面积公式，锐角三角函数的定义以及反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，综合性比较强，但是难度不是很大．
33．（2023·广东揭阳·校联考模拟预测）如图，矩形OABC的边AB,BC分别与反比例函数y=4x的图象相交于点D、E，OB与DE相交于点F．
(1)若点B的坐标为4,2，求点D、E、F的坐标；
(2)求证：点F是ED的中点．
【答案】(1)D4,1，E2,2，F3,23
(2)见解析
【分析】（1）根据题意可得D点横坐标为4，E点纵坐标为2，从而得到D4,1，E2,2，再求出直线ED和OB的解
析式，再联立，即可求解；
（2）设点B的坐标为a,b，可得Da,4a，E4b,b，再求出直线ED和OB的解析式，再联立，可得到点
F的坐标，再求出ED的中点坐标，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：BC⊥y轴，AB⊥x轴，
∵点B的坐标为4,2，
∴D点横坐标为4，E点纵坐标为2，
∵点D、E在反比例函数y=4x的图象上，
∴D4,1，E2,2，
设直线ED的解析式为y=kx+nk≠0，
∴4k+n=12k+n=2，解得k=−12n=3，
∴直线ED的解析式为y=−12x+3，
设直线OB的解析式为y=mx，
把点4,2代入得：2=4m，
解得：m=12，
∴直线OB的解析式为y=12x，
联立方程组y=−12x+3y=12x，解得x=3y=32，
∴F3,23；
（2）证明：设点B的坐标为a,b，
∴D点横坐标为a，E点纵坐标为b，
∵点D、E在反比例函数y=4x的图象上，
∴Da,4a，E4b,b，
设直线ED的解析式为y=k1x+n1，
∴ak1+n1=4a4b×k1+n1=b，解得k=−ban=ab+4a，
∴直线ED的解析式为y=−bax+ab+4a，
设直线OB的解析式为y=m1x，
把点a,b代入得：b=am1，
解得：m1=ba，
∴直线OB的解析式为y=bax，
联立方程组y=−bax+ab+4ay=bax，解得x=ab+42by=ab+42a，
∴Fab+42b,ab+42a，
∵Da,4a，E4b,b，
∴DE的中点坐标为a+4b2,4a+b2，即ab+42b,ab+42a，
∴点F是DE的中点．
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，矩形的性质，中点坐标公式，直线交点的求法是解题的关键．
34．（2023·广西桂林·统考一模）如图，在矩形AOBC中，OAOB=1n(n>1)，以点O为原点，分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立直角坐标系，反比例函数y=kx的图象与边AC交于点M(1,3)，交BC边于点N，连接MN．
(1)求k的值；
(2)求tan∠CMN的值（用含n的代数式表示）；
(3)将△CNM沿MN翻折，当点C恰好落在x轴上时，求n的值．
【答案】(1)3
(2)3n−13n2−n
(3)10+13
【分析】（1）将点M的坐标代入反比例函数表达式，即可求解；
（2）设点N(3n,1n)，得到CN=3−1n，MC=3n−1，即可求解；
（3）证明∠C'MH=∠NC'B=α，得到cs∠C'MH=cs∠NC'B，即可求解．
【详解】（1）解：将M(1,3)代入反比例函数表达式得：3=k1，
∴k=3×1=3；
（2）由点M的坐标知，AO=BC=3，
∵ OAOB=1n，则OB=3n=AC，
设点N(3n,1n)，
则CN=3−1n，MC=3n−1，
则tan∠CMN=CNMC=3−1n3n−1=3n−13n2−n；
（3）过点M作MH⊥OB于点H，
由（2）知，点C(3n,3)，点N(3n,1n)，
则BN=1n，MC=MC'=3n−1，CN=3−1n=C'N，
∵∠MC″N=90°，
∴∠MC'H+∠NC'B=90°，∠MC'H+∠C'MH=90°，
∴∠C'MH=∠NC'B=α，
∴cs∠C'MH=MHMC'=MHMC=33n−1=csα，
而cs∠NC'B=BC'C'N=C'N2−NB2C'N=(3−1n)2−(1n)23−1n=csα，
∴ 33n−1=(3−1n)2−(1n)23−1n，
解得：n=10+13（负值舍去）．
【点睛】本题考查的反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、图象的折叠、解直角三角形等，综合性强，难度适中．
35．（2023·湖南岳阳·岳阳市弘毅新华中学校考一模）如图，在直角坐标系中，直线y=−13x与反比例函数y=kx的图象交于A、B两点，已知A点的纵坐标是2．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)根据图象求−13x
【答案】(1)y=−12x
(2)−6
(3)36
【分析】（1）利用y=−13x求出点A的坐标，将点A的坐标代入反比例函数y=kx中求出k即可；
（2）联立两个函数解析式，求出B点坐标，再结合图象即可得到解集；
（3）根据平移规则，求出平移后的解析式，连接AC,BC，得到△ABC的面积等于△ABD的面积，利用S△ABC=12CO⋅xA−xB，进行计算即可得出结果．
【详解】（1）解：令一次函数y=−13x中y=2，则2=−13x，
解得：x=−6，即点A的坐标为−6,2，
∵点A−6,2在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=−6×2=−12，
∴反比例函数的表达式为y=−12x；
（2）解：联立y=−x3y=−12x，解得：x=−6y=2或x=6y=−2
∴B6,−2，
由图象可知，−13x
（3）解：由题意，得：平移后的解析式为y=−13x+6,
当x=0时，y=6，
∴C0,6，
∴OC=6，
连接AC、BC如图所示．
∵CD∥AB，
∴S△ABD=S△ABC=12CO⋅xA−xB=12×6×−6−6=36．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题的关键．
36．（2023·江苏宿迁·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A−1,0,B0,b,C1，4,Pm,n，点P在第一象限．
(1)若A、B、C、P在同一直线上
①b= ，
②求4m−2n的值；
(2)如果P、C都在双曲线y=kx上，且四边形ABPC为平行四边形，请直接写出平行四边形ABPC的面积；
(3)若A、B、P都在以C为顶点的抛物线上，该抛物线与x轴的另一交点为D．
①求点D坐标；
②连接BD、AP，若BD与AP相交于点E，则PEAE的最大值为 ．
【答案】(1)①2；②−4
(2)8
(3)①3,0；②916
【分析】（1）求出直线AC的表达式，即可求解；
（2）根据平行四边形的性质结合中点坐标公式，求出点B、P的坐标，进而求解；
（3）①用待定系数法求出抛物线的表达式，即可求解；②证明△ENA∽△EMP可得PEAE=PMAN，再结合二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：①设直线AC的表达式为y=k1x+bk1≠0，
将A−1,0,C1，4代入得：
−k1+b=0k1+b=4，解得：k1=2b=2，
∴直线AC的表达式为y=2x+2，
当x=0时，y=2x+2=2，
∴点B0,2，即b=2，
故答案为：2；
②当x=m时，n=y=2x+2=2m+2，
则4m−2n=4m−22m+2=−4；
（2）解：将点C1，4代入反比例函数的表达式得：k=1×4=4，
∴反比例函数的表达式为：y=4x，
∴mn=4，
∵四边形ABPC为平行四边形，
∴1+0=m−1b+4=nmn=4，
解得：m=2n=2b=−2，
则B0,−2,P2,2，
设直线AC交y轴与点M，作点M作MN⊥PB于点N，
由（1）得：直线AC的表达式为y=2x+2，
当x=0时，y=2，
即点M0,2，
∴OM=2，BM=2−−2=4，
∴tan∠AMO=OAOM=12，
∵AC∥BP，
∴∠AMO=∠MBN，
∴tan∠AMO=12=tan∠MBN，
∴BN=2MN，
∴BM=BN2+MN2=5MN，
∴5MN=4，解得：MN=455，
∵AC=−1−12+0−42=25，
∴平行四边形ABPC的面积=AC×MN=25×455=8；
（3）解：①设抛物线的表达式为：y=ax−12+4，
将点A的坐标代入得：0=4a+4，
解得：a=−1，
∴抛物线的表达式为：y=−x−12+4=−x2+2x+3，
令y=−x2+2x+3=0，
解得：x=−1或3，
即点D3,0；
②当x=0时，y=3，
∴点B0,3，即OB=3，
过点A作AN∥y轴交BD于点N，过点P作PM∥y轴交BD于点M，
设直线DB的表达式为y=k2x+b2，
把点B、D的坐标代入得：
3k2+b2=0b2=3，解得：k2=−1b2=3，
∴直线DB的表达式为y=−x+3，
当x=−1时，y=4，即AN=4，
设点Px,−x2+2x+3，则点Mx,−x+3，
∵AN∥y轴，PM∥y轴，
∴AN∥PM，
∴△ENA∽△EMP，
∴PEAE=PMAN，
∴PEAE=−x2+2x+3+x−34=−14x−322+916，
∵−14<0，
∴PEAE由最大值，最大值为916，
故答案为：916．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
37．（2023·广东佛山·校联考一模）如图，一次函数y=12x+b与反比例函数y=kx（x<0）的图像交于点A−6,a，B−2,3，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
(1)填空：a=______，b=______，k=______；
(2)观察图像，直接写出在第二象限内，反比例函数的值大于一次函数的值时x的取值范围；
(3)点E在线段AB上，连接CE，DE，若S△ACE=S△BDE，求点E的坐标．
【答案】(1)1，4，−6
(2)x<−6或−2
【分析】（1）将B点坐标代入两个函数解析式，求出b,k的值，将A点代入反比例函数解析式，求出a的值；
（2）根据两函数图象的上下关系结合A、B的坐标，即可得解；
（3）E是线段AB上的一点，设E(t,12t+4)，分别表示出S△ACE和S△BDE，列出等式求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数y=12x+b与反比例函数y=kx（x<0）的图像交于点A−6,a，B−2,3，
∴3=12×−2+b,−2×3=−6=−6a=k，
∴b=4,a=1,k=−6；
故答案为：1，4，−6；
（2）解：由图可知：当x<−6或−2
∴C−6,0,D0,3，
∴AC=1，BD=2；
E是线段AB上的一点，设E(t,12t+4)，
则：S△ACE=12⋅AC+xE−xC=12×1⋅t+6=t2+3，S△BDE=12⋅BD⋅yB−yE=12×2⋅3−12t−4=−12t−1,
∴t2+3=−t2−1
∴t=−4，
∴E−4,2．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
38．（2023·陕西西安·校考三模）如图1，木匠陈师傅现有一块五边形ABFED木板，它是矩形ABCD木板用去△CEF后的余料，AD=4，AB=5，DE=1，F是BC边上一点．陈师傅打算利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在AD上．
(1)[初步探究]
当BF=2时．
①若截取的矩形有一边是DE，则截取的矩形面积的最大值是______；
②若截取的矩形有一边是BF，则截取的矩形面积的最大值是______；
(2)[问题解决]
如图2，陈师傅还有另一块余料，∠BAF=∠AFE=90°，AB=EF=1，CD=3，AF=8，CD∥AF，且CD和AF之间的距离为4，若以AF所在直线为x轴，AF中点为原点构建直角坐标系，则曲线DE是反比例函数y=kx图象的一部分，陈师傅想利用该余料截取一块矩形MNGH材料，其中一条边在AF上，所截矩形MNGH材料面积是736．求GN的长．
【答案】(1)①4；②10
(2)72
【分析】（1）①当DE为矩形一条边，AD为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大；
②当BF为矩形一条边，AB为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大；
（2）由题意可知A−4,0，F4,0，B−4,1，E4,1，再由E点在函数y=kx图象上，求出反比例函数的解析式为y=4x，再求点D1,4，C−2,4，用待定系数法求出直线BC的解析式，设G4t,t，则H23t−143,t，再由方程S=4t−23t+143⋅t=736，求出t的值即可求GN的长．
【详解】（1）解：①当DE为矩形一条边，AD为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大，
∵AD=4，DE=1，
∴S=4×1=4，
∴截取的矩形面积的最大值4；
故答案为：4；
②当BF为矩形一条边，AB为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大，
∵AB=5，BF=2，
∴S=5×2=10，
∴截取的矩形面积的最大值10；
故答案为：10；
（2）解：∵AF=8，
∴A−4,0，F4,0，
∵AB=EF=1，
∴B−4,1，E4,1，
∵E点在函数y=kx图象上，
∴k=4，
∴反比例函数的解析式为y=4x，
∵CD和AF之间的距离为4，CD∥AF，
∴D1,4，
∵CD=3，
∴C−2,4，
设直线BC的解析式为y=k'x+b，
∴−4k'+b=1−2k'+b=4，
解得k'=32b=7，
∴y=32x+7，
设G4t,t，则H23t−143,t，
∴S=4t−23t+143⋅t=736，
解得t=72，
∴GN的长为72．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象及性质，矩形的性质，矩形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键．
39．（2023·广东茂名·校考一模）如图1，在平面直角坐标系中，点A(1，0)，B(0，m)都在直线y=−2x+b上，四边形ABCD为平行四边形，点D在x轴上，AD=3，反比例函数y=kxx>0的图象经过点C．
(1)求出m和k的值；
(2)将线段CD向右平移n个单位长度(n≥0)，得到对应线段EF，EF和反比例函数y=kxx>0的图象交于点M．
①在平移过程中，如图2，求当点M为线段EF中点时点M的坐标；
②在平移过程中，如图3，连接AE，AM．若△AEM是直角三角形，请直接写出所有满足条件n的值．
【答案】(1)m=2，k=6
(2)①M6,1；②n=2或34
【分析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)①根据平移的性质，以及中点坐标公式，得出yM=1，即可求解；
②当∠AEM为直角时，在Rt△AEF中，AF2=AE2+EF2，进而求解；当∠AME为直角时，证明∠ABO=∠TAM根据tan∠ABO=tan∠TAM= 12，进而求解．
【详解】（1）解：∵点A1，0在直线y=−2x+b上，
∴ 0=−2+b，
∴ b=2，
∴直线AB的解析式为y=−2x+2，
令x=0，可得y=2，
∴B点坐标为(0，2)，
即m=2，
∵四边形ABCD为为平行四边形，AD=3，
∴ BC=AD=3，
∴ C(3,2)，
将点C(3,2)代入反比例函数的解析式y=kx(x>0)中，得k=6．
（2）①∵M为EF的中点，C(3,2)
∵ M为EF中点，F的纵坐标为0，
∴yM=1，
又∵ M在反比例函数y=6x上，
∴ 1=6x，
解得x=6，
∴ M6,1
②当∠AEM为直角时，即∠AEF=90°，
设点E的坐标为(x，2)，则点F(x+1，0)，
在Rt△AEF中，AF2=AE2+EF2，
即x2=x−12+22+x+1−x2+22，
解得x=5，
故点F的坐标为(6，0)，
则n=6−4=2；
当∠AME为直角时，过点M作MT⊥x轴交于点T，
∵AB∥EF，AM⊥EF，
∴AB⊥AM，
∵∠BAO+∠MAT=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠TAM，
同理可得：∠MAT=∠FMT，
∴tan∠ABO=tan∠TAM= 12，
故设MT=x，则AT=2x，
故点M的坐标为(2x+1，x)，
将点M的坐标代入反比例函数表达式得：x2x+1=6，
解得x=−2(舍去)或32，
故点M的坐标为(4，32 )，
则MT= 32，AT=3，
∵∠MAT=∠FMT，
∴tan∠MAT=tan∠FMT，
即MTAT=TFMT，即MT2=AT⋅FT
由点M的坐标知，点F(4+n，0)，而点T(4，0)，则FT=n，
即(32)2=3×n．
解得n=34，
综上，n=2或n=34．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数，正切的定义，掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
40．（2023·浙江舟山·统考一模）已知A是反比例函数y=2x（x>0）图象上一个动点，过点A作x轴的平行线，交直线y=−2x于点B，以线段AB为一条对角线，作▱OACB（O为坐标原点）．
(1)如图，当点C在y轴上时，请证明▱OACB是菱形，并求点C的坐标；
(2)如图，当▱OACB是矩形时，求点B，C的坐标．
【答案】(1)点C的坐标为0,4；
(2)B−12,1，C32,2．
【分析】（1）设C0,c c>0，由题意可知AB∥x轴，则可得AB⊥OC，可证得四边形OACB是菱形，再结合菱形的性质，可证点A，点B的纵坐标都是c2，再代入解析式求得横坐标，根据对称可得4c=−−c4，求得c即可得点C的坐标；
（2）设Aa,2a，Bb,−2b，过点A，点B分别作AE⊥x轴，BF⊥x轴，可得△BOF∽△OAE，可列比例式为BFOF=OEAE，求得a的值，可得A2,1，进而可得B的坐标，再结合平移可得点C的坐标．
【详解】（1）解：当点C在y轴上时，设C0,c c>0，则OC=c，
∵AB∥x轴，
∴AB⊥OC，
又∵四边形OACB是平行四边形，
∴四边形OACB是菱形，则OD=OC=c2，
则点A，点B的纵坐标都是c2，
当y=c2时，由c2=2x，得x=4c，即A4c,c2；由c2=−2x，得x=−c4，即B−c4,c2；
由菱形性质可知，点A，点B关于OC对称，
∴4c=−−c4，即c2=16，
∵c>0，
∴c=4，经检验，c=4是原方程的解，
∴点C的坐标为0,4；
（2）设Aa,2aa>0，Bb,−2b，过点A，点B分别作AE⊥x轴，BF⊥x轴，
∵四边形OACB是矩形，
∴AO⊥BO，则∠BFO=∠OEA=∠AOB=90°，
∴∠BOF+∠AOE=∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠BOF=∠OAE，
∴△BOF∽△OAE，则BFOF=OEAE，即：−2bb=a2a=2，解得：a=2，
∴A2,1，
∵AB∥x轴，则点A，点B的纵坐标相同，
当y=1时，1=−2x，则x=−12，
∴B−12,1，
在矩形OACB中，BC∥AO且BC=AO，
∴把B平移到点C与把O平移到点A的规则相同，
∴点C的坐标为：−12+2,1+2，即C32,2．
【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，菱形的判定及性质，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，熟悉相关性质定理是解决问题的关键．
x
…
…
y=6x
…
−6
−3
−2
2
3
6
…
x
…
y=6x−1
…
−6
−3
−2
2
3
6
…
x
...
−1
−2
−3
3
2
1
…
y=6x
...
−6
−3
−2
2
3
6
…
x
...
0
−1
−2
4
3
2
…
y=6x−1
…
−6
−3
−2
2
3
6
…
x
…
−3
−1
−12
−14
13
12
1
3
4
5
…
y1
…
103
2
52
a
103
b
2
103
174
265
…
桌面所受压强P(Pa)
100
200
400
500
800
受力面积S(m2)
2
1
0.5
0.4
a
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