沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题01 二次根式的有关概念和性质（专题强化）-【专题重点突破】(原卷版+解析)

这是一份沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题01 二次根式的有关概念和性质（专题强化）-【专题重点突破】(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(共40分)
1．(本题4分)（2020·安徽·利辛县阚疃金石中学八年级阶段练习）在式子，，，（），（）中，一定是二次根式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．(本题4分)(2023·广西宁明·八年级期中）计算的结果为（ ）
A．B．±5C．-5D．5
3．(本题4分)(2023·全国·七年级专题练习）在平面直角坐标系中，点M（a，b）的坐标满足（a﹣3）2+＝0，则点M在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．(本题4分)(2023·广西·浦北中学八年级阶段练习）已知n为正整数，且是整数，则n的取值不可能是( )
A．20B．5C．2D．45
5．(本题4分)(2023·浙江·杭州第十四中学附属学校八年级阶段练习）若x，y为实数，且y＝2+，则|x+y|的值是（ ）
A．5B．3C．2D．1
6．(本题4分)(2023·四川省内江市第六中学八年级期中）化简的结果是（ ）
A．B．C．1D．－1
7．(本题4分)(2023·上海松江·八年级期中）已知，那么可化简为（ ）
A．B．C．D．
8．(本题4分)（2022·北京市第十一中学九年级开学考试）估算的值应在（ ）
A．7和8之间B．8和9之间C．9和10之间D．10和11之间
9．(本题4分)(2023·全国·八年级单元测试）已知为有理数，且满足等式，则的值为( ).
A．2B．4C．6D．8
10．(本题4分)(2023·重庆巴南·八年级期中）如果关于x的不等式组的解集为，且式子的值是整数，则符合条件的所有整数m的个数是（ ）．
A．5B．4C．3D．2
二、填空题(共20分)
11．(本题5分)（2022·全国·八年级课前预习）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________．
12．(本题5分)（2020·全国·八年级单元测试）根据下列条件，求字母x的取值范围：＝1﹣x：___．
13．(本题5分)（2022·重庆南开中学八年级开学考试）若实数，满足，则的值是______．
14．(本题5分)(2023·山东·济南市槐荫区西城实验初级中学八年级阶段练习）对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：a*b＝．根据这个规则，则方程2*x＝12的解为_________．
三、解答题(共90分)
15．(2023·福建省漳州第一中学八年级期中）已知数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：．
16．(本题8分)(2023·四川遂宁·中考真题）先化简，再求值：，其中a，b满足．
17．(本题8分)(2023·全国·八年级专题练习）若，则的平方根．
18．(本题8分)（2020·福建翔安·七年级阶段练习）如图，//，为线段上一点，，，且．

（1）求的值．
（2）过点作//，若点在直线上向左运动，写出与之间所有的数量关系，请自行画出相应的图形，并说明理由．（不考虑与、重合的情况）
19．(本题10分)(2023·湖南省隆回县第二中学八年级阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简； （2）化简；
20．(本题10分)(2023·河北·保定市第十七中学八年级期中）求代数式a+的值，其中a＝1007，如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质： ；
（3）求代数式a+2的值，其中a＝﹣2022．
21．(本题12分)(2023·四川省巴中中学八年级期中）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．
小亮：解：
小芳：解：
（1）______的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______；
（2）先化简，再求值：，其中；
（3）有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，化简．
22．(本题14分)(2023·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级阶段练习）的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果．请利用的双重非负性解决以下问题：
（1）已知，求b2﹣2b＋2a的值；
（2）若a，b为实数，且，求a＋b的值；
（3）已知实数a，b满足，求a＋b的值．
23．(本题12分)(2023·河南·郑州外国语中学八年级期中）先阅读，后解答：
（1）由根式的性质计算下列式子得：
①＝3，②＝，③＝，④＝5，⑤＝0
由上述计算，请写出的结果（a为任意实数）．
（2）利用（1）中的结论，直接写出下列问题的结果：
①＝_____；
②化简：（x＜2）＝_____．
（3）应用：若＋＝3，求满足条件的所有整数x的和_____．
专题01 二次根式的有关概念和性质（专题强化）
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)（2020·安徽·利辛县阚疃金石中学八年级阶段练习）在式子，，，（），（）中，一定是二次根式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次根式的定义进行判断．
【详解】
解：式子，，（），（）一定是二次根式，共4个
故选：C．
【点睛】
本题考查二次根式的概念，掌握形如（a≥0）的式子叫做二次根式是本题的解题关键．
2．(本题4分)(2023·广西宁明·八年级期中）计算的结果为（ ）
A．B．±5C．-5D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质进行化简即可判断．
【详解】
解：=5．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简，关键是理解以下几点：①定义：一般地，形如(a≥0)的代数式叫做二次根式．当a＞0时，表示a的算术平方根；当a=0时，=0；当a＜0时，②性质：=|a|．
3．(本题4分)(2023·全国·七年级专题练习）在平面直角坐标系中，点M（a，b）的坐标满足（a﹣3）2+＝0，则点M在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用偶次方的性质以及二次根式的性质得出a，b的值，进而确定其所在象限．
【详解】
解：∵（a﹣3）2+＝0，
∴a＝3，b＝2，
∴点M（3，2），
故点M在第一象限．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
4．(本题4分)(2023·广西·浦北中学八年级阶段练习）已知n为正整数，且是整数，则n的取值不可能是( )
A．20B．5C．2D．45
【答案】C
【解析】
【分析】
首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值．
【详解】
解： ，
∵是整数，
∴n可以是20，5，45，不能等于2，
故选C．
【点睛】
本题考查了二次根式的意义，关键是正确进行化简．
5．(本题4分)(2023·浙江·杭州第十四中学附属学校八年级阶段练习）若x，y为实数，且y＝2+，则|x+y|的值是（ ）
A．5B．3C．2D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次根式的有意义的条件求出x的值，故可求出y的值，故可求解．
【详解】
依题意可得
解得x=3
∴y=2
∴|x+y|=|3+2|=5
故选A．
【点睛】
此题主要考查二次根式的性质应用，解题的关键是熟知二次根式被开方数为非负数．
6．(本题4分)(2023·四川省内江市第六中学八年级期中）化简的结果是（ ）
A．B．C．1D．－1
【答案】C
【解析】
【分析】
先由求解的取值范围，再化简二次根式，从而可得答案.
【详解】
解：由题意得：




故选C
【点睛】
本题考查的是二次根式有意义的条件，二次根式的化简，二次根式的乘方运算，掌握“二次根式有意义的隐含条件”是解题的关键.
7．(本题4分)(2023·上海松江·八年级期中）已知，那么可化简为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件得到，而，则，根据二次根式的性质得到原式．
【详解】
解：，
而，
，
原式．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握．
8．(本题4分)（2022·北京市第十一中学九年级开学考试）估算的值应在（ ）
A．7和8之间B．8和9之间C．9和10之间D．10和11之间
【答案】A
【解析】
【分析】
将3转入根号内比较相邻的整数；
【详解】
解：=，
∵＜＜，
∴9＜＜10，
∴7＜＜8，
故答案选：A
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，无理数的估值，找出与无理数相近的整数判断其取值范围是关键．
9．(本题4分)(2023·全国·八年级单元测试）已知为有理数，且满足等式，则的值为( ).
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
利用完全平方公式将逐步化简为，代入等式得出，从而得出答案.
【详解】
∵
∴
∴，
，即．
∵，为有理数，
，，即．
【点睛】
本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.
10．(本题4分)(2023·重庆巴南·八年级期中）如果关于x的不等式组的解集为，且式子的值是整数，则符合条件的所有整数m的个数是（ ）．
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为可得出m≤2，再由式子的值是整数，得出|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m≤2，得m=-3，-2或2．
【详解】
解：解不等式得x＞m，
解不等式得x＞2，
∵不等式组解集为x＞2，
∴m≤2，
∵式子的值是整数，
则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2，
由m≤2得，m=-3，-2或2．
即符合条件的所有整数m的个数是3个．
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．
二、填空题(共20分)
11．(本题5分)（2022·全国·八年级课前预习）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________．
【答案】x≥0且x≠2
【解析】
略
12．(本题5分)（2020·全国·八年级单元测试）根据下列条件，求字母x的取值范围：＝1﹣x：___．
【答案】x≤1．
【解析】
【分析】
根据二次根式本身的非负性，列一元一次不等式即可求解．
【详解】
解：∵＝1﹣x≥0，
∴x≤1，
故答案为：x≤1．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，二次根式被开方数非负，二次根式本身非负是二次根式的重要性质，也是解本题的关键．
13．(本题5分)（2022·重庆南开中学八年级开学考试）若实数，满足，则的值是______．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件得出x-5≥0且5-x≥0，求出x=5，再求出y，最后代入求出即可．
【详解】
解：要使有意义，必须x-5≥0且5-x≥0，
解得：x=5，
把x=5代入得：y=4，
所以，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件和解不等式，能根据二次根式有意义的条件得出x-5≥0和5-x≥0是解此题的关键．
14．(本题5分)(2023·山东·济南市槐荫区西城实验初级中学八年级阶段练习）对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：a*b＝．根据这个规则，则方程2*x＝12的解为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
分两种情况讨论：当时，当＜时，再根据自定义的提示公式列方程，解方程可得答案.
【详解】
解：当时，

但是＞，不合题意，舍去，

当＜时，


但是＜

综上： 或
故答案为：
【点睛】
本题考查的是利用平方根解方程，弄懂自定义的含义，分情况列方程是解题的关键.
三、解答题(共90分)
15．(2023·福建省漳州第一中学八年级期中）已知数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：．
【答案】
【解析】
【分析】
从数轴上可得出a，b的取值范围，再进行二次根式的化简，最后合并即可得到答案．
【详解】
解：从数轴可得， -2
∴
∴
=
=
=
=
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的符号是解题关键．
16．(本题8分)(2023·四川遂宁·中考真题）先化简，再求值：，其中a，b满足．
【答案】-1
【解析】
【分析】
根据平方差公式进行变形，再根据分式混合运算法则进行计算，再根据平方差公式的性质和二次根式的性质进行求解，即可得到答案.
【详解】
解：原式
，
∵a，b满足，
∴，，
，，
原式．
【点睛】
本题考查平方差公式和二次根式的性质，解题的关键是掌握平方差公式和二次根式的性质.
17．(本题8分)(2023·全国·八年级专题练习）若，则的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】
分式值为零的条件是分子等于零且分母不为零，根据条件求出的值．
【详解】
解：若，其中，
则，
即，
由，解得：（舍去）
由，解得：，
，
的平方根为，
故答案是：．
【点睛】
本题考查零分式值为零的条件及平方根的性质，解题的关键是：分母不为零的条件不能少．
18．(本题8分)(2023·湖南省隆回县第二中学八年级阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简； （2）化简；
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先根据二次根式的性质，得到，再由分母有理化的步骤进行化简，即可求解；
（2）根据分母有理化的步骤进行化简，即可求解．
【详解】
（1）；
（2）．
【点睛】
本题主要考查了分母有理化，明确题意，理解分母有理化的步骤是解题的关键．
19．(本题10分)(2023·河北·保定市第十七中学八年级期中）求代数式a+的值，其中a＝1007，如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质： ；
（3）求代数式a+2的值，其中a＝﹣2022．
【答案】（1）小亮；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）由知，据此可得，从而做出判断；
（2）根据二次根式的性质可得答案；
（3）利用二次根式的性质化简、代入求值即可得．
【详解】
解：（1）∵，∴，
则，
所以小亮的解法是错误的．
故答案为小亮；
（2）错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质．
故答案为．
（3）
∵
∴
∴
∴原式
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质．
20．(本题10分)(2023·四川省巴中中学八年级期中）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．
小亮：解：
小芳：解：
（1）______的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______；
（2）先化简，再求值：，其中；
（3）有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，化简．
【答案】（1）小亮，；（2），8；（3）a
【解析】
【分析】
（1）根据二次根式的性质判断即可；
（2）根据二次根式的性质把原式化简，把a=-2代入计算即可．
（3）由数轴可得：c＜b＜0＜a，再根据二次根式的化简法则计算即可．
【详解】
解：（1）小亮的解法是错误的，
错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；
（2）原式==，
∵a=-2＜3，
∴原式=a+2（3-a）=a+6-2a=6-a=8．
（3）由图可知：c＜b＜0＜a，
∴a-b＞0，a-c＞0，
∴
=
=a-b+c-（a-b）+a-c
=a-b+c-a+b+a-c
=a．
【点睛】
本题考查的是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质：是解题的关键．
21．(本题12分)(2023·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级阶段练习）的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果．请利用的双重非负性解决以下问题：
（1）已知，求b2﹣2b＋2a的值；
（2）若a，b为实数，且，求a＋b的值；
（3）已知实数a，b满足，求a＋b的值．
【答案】（1）﹣9；（2）﹣1或3；（3）1
【解析】
【分析】
（1）根据非负数的性质分别求出a、b2-2b，计算即可；
（2）根据非负数的性质求出b，进而求出a2，计算即可；
（3）根据二次根式有意义的条件求出a的范围，再根据非负数的性质计算，得到答案．
【详解】
解：（1）由题意得，a+6=0，b2-2b-3=0，
解得，a=-6，b2-2b=3，
∴b2-2b+2a=3+（-12）=-9；
（2）由题意得，b-1≥0，1-b≥0，
解得，b=1，
∴a2=4，
解得，a=±2，
∴a＋b=﹣1或3；
（3）∵|2a-4|+|b+2|++4=2a，
∴（a-3）b2≥0，
解得，a≥3，
原式变形为：2a-4+|b+2|＋=2a-4，
∴|b+2|+=0，
则b+2=0，a-3=0，
解得，b=-2，a=3，
则a+b=1．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
22．(本题12分)(2023·河南·郑州外国语中学八年级期中）先阅读，后解答：
（1）由根式的性质计算下列式子得：
①＝3，②＝，③＝，④＝5，⑤＝0
由上述计算，请写出的结果（a为任意实数）．
（2）利用（1）中的结论，直接写出下列问题的结果：
①＝_____；
②化简：（x＜2）＝_____．
（3）应用：若＋＝3，求满足条件的所有整数x的和_____．
【答案】（1）；（2）①π﹣3.14，②2﹣x；（3）26．
【解析】
【分析】
（1）将a分为正数、0、负数三种情况得出结果；
（2）①当a=3.14﹣π＜0时，根据（1）中的结论可知，得其相反数﹣a，即得π﹣3.14；②先将被开方数化为完全平方式，再根据公式得结果；
（3）根据（1）式得： ，然后分三种情况讨论：①当x＜5时，②当5≤x≤8时，③当x＞8时，分别计算，哪一个结果为3，哪一个就是它的取值，根据具体取值，即可求答案．
【详解】
解：（1） ；
（2）①=π﹣3.14，
②（x＜2），
=，
=|x﹣2|，
∵x＜2，
∴x﹣2＜0，
∴=2﹣x；
（3）∵，
①当x＜5时，x﹣5＜0，x﹣8＜0，
所以原式=5﹣x+8﹣x=13﹣2x；
②当5≤x≤8时，x﹣5≥0，x﹣8≤0，
所以原式=x﹣5+8﹣x=3；
③当x＞8时，x﹣5＞0，x﹣8＞0，
所以原式=x﹣5+x﹣8=2x﹣13，
∵3，
所以x的取值范围是5≤x≤8，x可取5、6、7、8，满足条件的所有整数x的和5+6+7+8=26．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质和化简，明确二次根式的两个性质：①（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）；②；尤其是第2个性质的运用，注意被开方数是完全平方式时，如第（3）小题，要分情况进行讨论．
23．(本题14分)（2020·福建翔安·七年级阶段练习）如图，//，为线段上一点，，，且．

（1）求的值．
（2）过点作//，若点在直线上向左运动，写出与之间所有的数量关系，请自行画出相应的图形，并说明理由．（不考虑与、重合的情况）
【答案】（1）；（2）当在点右边时，；当在线段上时，；当在点左边时，．画图见解析，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据二次根式有意义的条件求解，再代入计算可求n的值．
（2）分三种情况：①当P在D点右边时；②当P在线段AD上时；③当P在A点左边时；利用平行线的性质，进行讨论即可求解．
【详解】
（1）∵，
∵，即，
，即，
∴，
，
∴，，
∴．
（2）①当在点右边时，
因为，，
∴，
∴，
设，则，
，
∴，
∴，
，
②当在线段上时，
，，
∴，
∴，
设，则，
，
∴，
∴，
；
③当在点左边时，
，，，
∴，，
∴，
设，则，
，
∴，
∴，
．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，角的和差关系，平行线公理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，注意分类思想的运用．