沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题02 二次根式的运算（专题强化）-【专题重点突破】(原卷版+解析)

这是一份沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题02 二次根式的运算（专题强化）-【专题重点突破】(原卷版+解析)，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．(2023·江苏仪征·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A．﹣＝B．＝C．＝D．×＝
2．（2022·广东·深圳市福景外国语学校八年级期中）有下列各式①；②；③；④；⑤；⑥．其中最简二次根式有（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2020·江苏昆山·八年级期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．(2023·四川省巴中中学八年级期中）下列二次根式，不能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·河北·石家庄外国语教育集团八年级期中）下列说法：①＝±2；②立方根是本身的数为0，1；③若二次根式有意义，则x＞3；④2﹣的倒数是2+；⑤近似数10.0×104精确到千位，其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．(2023·甘肃·兰州十一中八年级期末）设.其中，则M的取值为( )
A．2B．-2C．D．-1
7．（2022·福建鼓楼·八年级期末）若a＝﹣1，则a+的整数部分是（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．(2023·新疆·乌鲁木齐市第四中学七年级期中）设a，b为非零实数，则所有可能的值为（ ）
A．B．或0C．或0D．或
9．(2023·全国·八年级单元测试）当a＝＋2，b＝－2时，a2＋ab＋b2的值是( )
A．10B．19C．15D．18
10．(2023·广西·浦北中学八年级阶段练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．(2023·重庆市垫江第一中学校八年级阶段练习）计算：=_________．
12．(2023·上海市莘光学校八年级期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝___．
13．(2023·全国·九年级专题练习）已知x＝，则的值等于____________．
14．(2023·浙江·八年级专题练习）对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b＝，例如3◆2，因为3＞2，所以3◆2＝＝，若x，y满足方程组，则（x◆y）◆x＝__．
三、解答题
15．(2023·黑龙江·五常市教师进修学校八年级期末）计算：（1）
（2）
16．（2022·全国·九年级专题练习）计算：．
17．（2022·福建鼓楼·八年级期末）先化简再求值：，其中a＝﹣3．
18．(2023·河南汝州·八年级期中）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：
，
，
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
若，求的值．
19．(2023·山东济阳·八年级期中）观察下列一组等式，解答后面的问题：
(1)化简：______，______（n为正整数）
(2)比较大小：______（填“”，“”或“”）
(3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：______
20．(2023·福建省莆田市中山中学八年级期中）同学们学过数轴知道数轴上点与实数一一对应，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是P．
(1)若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算P的值；
(2)若原点为O且，求P的值．
21．（2020·浙江杭州·七年级期末）观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：
；
；
；
（1）推算出____________；
（2）若一个三角形的面积是3，则它是第几个三角形？
（3）用含n（n是正整数）的等式表达上述面积变化规律，即____________；
（4）求出的值．
22．（2022·山东峄城·八年级期中）设一个三角形的三边长分别为a、b、c，，则有下列面积公式：
（海伦公式）．
（1）一个三角形边长依次为5、6、7，利用海伦公式求这个三角形的面积；
（2）一个三角形边长依次为2、、3，利用海伦公式求这个三角形的面积．
23．(2023·四川·安岳县李家镇初级中学九年级阶段练习）阅读下列材料，回答问题：
如图，
点A（x1，y1），点B（x2，y2），以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y1），于是，，所以，反之，可将代数式的值看作点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离.
例如：
故代数式的值看作点（x，y）到点（1，-1）的距离.
已知：代数式
（1）该代数式的值可看作点（x，y）到点 、 的距离之和.
（2）求出这个代数式的最小值,
（3）在（2）的条件下求出此时y与x之间的函数关系式并写出x的值范围.
专题02 二次根式的运算（专题强化）
一、单选题
1．(2023·江苏仪征·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A．﹣＝B．＝C．＝D．×＝
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次根式加减运算法则判定ABC选项，根据二次根式的乘法运算法则判定D选即可．
【详解】
解：A．没有同类二次根式，不能合并 ，故A错误；
B．没有同类二次根式，不能合并 ，故B错误；
C．=3+4=7，故C错误；
D．，故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查二次根式的加减运算，二次根式的乘法运算法则．熟练掌握二次根式的加减运算，二次根式的乘法运算法则是解题的关键．
2．（2022·广东·深圳市福景外国语学校八年级期中）有下列各式①；②；③；④；⑤；⑥．其中最简二次根式有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，把满足这两个条件的二次根式叫做最简二次根式；按照最简二次根式的概念进行判断即可．
【详解】
①、⑤符合最简二次根式的定义，故符合题意；
②、③；④、⑥中的被开方数含分母或被开方数含能开得尽方的因数或因式，不是最简二次根式．
故选：B．
【点睛】
本题考查了最简二次根式的识别，理解最简二次根式的概念是本题的关键．
3．（2020·江苏昆山·八年级期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据合并同类项，二次根式的乘除运算逐项判断即可
【详解】
解：A. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查了合并同类项，二次根式的乘除，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
4．(2023·四川省巴中中学八年级期中）下列二次根式，不能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先将各选项进行二次根式的化简，再根据同类二次根式的概念求解即可．
【详解】
解：A、，，故能合并，本选项不合题意；
B、，，故能合并，本选项不合题意；
C、，，故能合并，本选项不合题意；
D、，，故不能合并，本选项符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的概念．
5．(2023·河北·石家庄外国语教育集团八年级期中）下列说法：①＝±2；②立方根是本身的数为0，1；③若二次根式有意义，则x＞3；④2﹣的倒数是2+；⑤近似数10.0×104精确到千位，其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据算术平方根，立方根，二次根式有意义的条件，分母有理化，近似数的定义逐个分析判断即可
【详解】
解：①，故①不正确；
②立方根是本身的数为0，，故②不正确；
③若二次根式有意义，则x3，故③不正确；
④2﹣的倒数是，故④正确；
⑤10.0×104
近似数10.0×104精确到千位，故⑤正确
故正确的有④⑤，共计2个
故选B
【点睛】
本题考查了算术平方根，立方根，二次根式有意义的条件，分母有理化，近似数的定义，掌握以上知识是解题的关键．
6．(2023·甘肃·兰州十一中八年级期末）设.其中，则M的取值为( )
A．2B．-2C．D．-1
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用二次根式的乘法运算法则化简，进而将已知代入求出答案．
【详解】
解：原式=××
=1-，
=1-|a|，
∵a=3，b=2，
∴原式=1-3=-2．
故选B．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适用.
7．（2022·福建鼓楼·八年级期末）若a＝﹣1，则a+的整数部分是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
把a的值代入，利用二次根式的混合运算法则计算得出最简结果，再估算即可求解．
【详解】
解：∵a=，
∴a+，
∵4<8<9，
∴2<<3，
∴a+的整数部分是2，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算能力，掌握二次根式的混合运算法则是解决问题的关键．
8．(2023·新疆·乌鲁木齐市第四中学七年级期中）设a，b为非零实数，则所有可能的值为（ ）
A．B．或0C．或0D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
分类讨论a与b的正负，利用绝对值的代数意义以及二次根式性质化简即可得到结果．
【详解】
①a，b同号时，，也同号，即同为1或，故此时；②a，b异号时，，也异号，即一个是1，另一个是，故此时.故选C.
【点睛】
此题考查二次根式的化简求值，解题关键在于分情况讨论.
9．(2023·全国·八年级单元测试）当a＝＋2，b＝－2时，a2＋ab＋b2的值是( )
A．10B．19C．15D．18
【答案】B
【解析】
【分析】
首先由，，即可求得与的值，然后将变形为，代入求值即可.
【详解】
，，
，，
.
故选.
【点睛】
此题考查了二次根式的运算.注意整体思想的应用.
10．(2023·广西·浦北中学八年级阶段练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由，得，故，将平方展开计算，后开平方即可．
【详解】
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴=-或=，
∵，
∴＜0，
∴= -，=不符合题意，舍去，
故选B．
【点睛】
本题考查了实数的大小比较，完全平方公式，倒数的意义，平方根，熟练进行大小比较，灵活运用公式计算是解题的关键．
二、填空题
11．(2023·重庆市垫江第一中学校八年级阶段练习）计算：=_________．
【答案】1
【解析】
【分析】
利用平方差公式计算．
【详解】
解：
=
=3-2
=1．
故答案为1
【点睛】
此题考查了二次根式的乘法计算，正确掌握平方差公式的计算法则是解题的关键．
12．(2023·上海市莘光学校八年级期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝___．
【答案】3
【解析】
【分析】
由最简二次根式与是同类二次根式，可得 再解方程并检验即可.
【详解】
解： 最简二次根式与是同类二次根式，

整理得：

解得：
当时， 不符合题意，舍去，
当时， 符合题意，
所以
故答案为：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解法，同类二次根式的概念，最简二次根式的含义，掌握“同类二次根式的含义”是解本题的关键.
13．(2023·全国·九年级专题练习）已知x＝，则的值等于____________．
【答案】4
【解析】
【分析】
先求出x、的值，再代入代数式即可．
【详解】
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，解题关键是先化简再代入，这是代数式求值的一般步骤．
14．(2023·浙江·八年级专题练习）对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b＝，例如3◆2，因为3＞2，所以3◆2＝＝，若x，y满足方程组，则（x◆y）◆x＝__．
【答案】
【解析】
【分析】
先求方程组的解，再求出x◆y的值，再代入求出答案即可．
【详解】
解：∵解方程组得：，则x＞y
∴x◆y＝4◆（﹣1）＝＝，
∵<4，
∴（x◆y）◆x＝◆4＝×4＝4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组，实数的运算，解二元一次方程组等知识点，能求出x、y的值是解此题的关键．
三、解答题
15．(2023·黑龙江·五常市教师进修学校八年级期末）计算：（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
⑴先把各二次根式化为最简二次根式，然后利用二次根式的乘除法则计算.
⑵先利用二次根式的完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可．
【详解】
解：（1）
=
=
=
=
=
=
=3+
（2）
=
=
=
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，熟练运用运算法则是解题的关键.
16．（2022·全国·九年级专题练习）计算：．
【答案】．
【解析】
【分析】
先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的加减法即可得．
【详解】
解：原式，
，
．
【点睛】
本题考查了二次根式的乘法与加减法，熟练掌握运算法则是解题关键．
17．（2022·福建鼓楼·八年级期末）先化简再求值：，其中a＝﹣3．
【答案】，．
【解析】
【分析】
先根据分式的运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
【详解】
解：
=，
当a=时，原式=．
【点睛】
本题考查分式的运算，分母有理化，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．
18．(2023·河南汝州·八年级期中）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：
，
，
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
若，求的值．
【答案】－3
【解析】
【分析】
将a的值的分子、分母都乘以3-得a=3+，据此先后求出a-3、（a-3）2及a2-6a、2a2-12a的值，代入计算可得答案．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
则，
即的值为-3．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则、分母有理化等知识点．
19．(2023·山东济阳·八年级期中）观察下列一组等式，解答后面的问题：
(1)化简：______，______（n为正整数）
(2)比较大小：______（填“”，“”或“”）
(3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：______
【答案】(1) ；
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据题意，分子分母分别乘以，，即可求解；
（2）先求出和，即可求解；
（3）根据题意，原式可变形为，即可求解．
(1)
解：；
，
故答案是：，；
(2)
解：∵，，
且，
∴，
∴，
∴，
故答案是：＜；
(3)
解：

．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的分母有理化，二次根式的混合运算，比较二次根式的大小，明确题意，理解题意是解题的关键．
20．(2023·福建省莆田市中山中学八年级期中）同学们学过数轴知道数轴上点与实数一一对应，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是P．
(1)若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算P的值；
(2)若原点为O且，求P的值．
【答案】(1)点A表示-，点C表示：，点P的值为
(2)点P的值为或．
【解析】
【分析】
（1）根据点B为原点，利用两点距离公式，求出点A与点C表示的数，然后求三数和即可求即；
（2）分两种情况，点O在点C的左侧与右侧，根据两点距离公式，求出三点表示的数，然后求和即可．
(1)
解：∵以B为原点，，，
∴点A表示0-=-，点C表示：，
∴P表示的数为；
∴点P的值为
(2)
分两种情况，
当点O在点C的左侧时，
∵，
∴点C表示，
∵，
∴点B表示：，
∵，
∴点A表示: ，
点P表示：，
当点O在点C的右侧时，
∵，
∴点C表示，
∵，
∴点B表示：，
∵，
∴点A表示: ，
点P表示：，
∴点P的值为或．
【点睛】
本题考查数轴上点表示数，两点距离，二次根式加减混合运算，掌握数轴上点表示数的方法，两点距离公式，二次根式加减混合运算法则，同类二次根式的识别与合并法则是解题关键．
21．（2020·浙江杭州·七年级期末）观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：
；
；
；
（1）推算出____________；
（2）若一个三角形的面积是3，则它是第几个三角形？
（3）用含n（n是正整数）的等式表达上述面积变化规律，即____________；
（4）求出的值．
【答案】（1）；（2）第36个；（3）；（4）
【解析】
【分析】
（1）根据题中给出的规律即可得出结论；
（2）若一个三角形的面积是3，利用前面公式可以得到它是第几个三角形；
（3）利用已知可得OAn2，注意观察数据的变化；
（4）将前10个三角形面积相加，利用数据的特殊性即可求出．
【详解】
解：（1）由题意可知：OAn2=n，
∴OA5=；
（2）若一个三角形的面积是3，
则，
∴，
∴它是第36个三角形；
（3）结合已知数据，可得：
OAn2=n，
则；
（4）S12+S22+S23+…+S2100
=
=
=．
【点睛】
本题考查了二次根式的应用以及勾股定理的应用，涉及到数据的规律性，综合性较强，希望同学们能认真的分析总结数据的特点．
22．（2022·山东峄城·八年级期中）设一个三角形的三边长分别为a、b、c，，则有下列面积公式：
（海伦公式）．
（1）一个三角形边长依次为5、6、7，利用海伦公式求这个三角形的面积；
（2）一个三角形边长依次为2、、3，利用海伦公式求这个三角形的面积．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）把a、b、c的长代入求出P，进一步代入求得S即可得解；
（2）把a、b、c的长代入求出P，进一步代入求得S即可得解．
【详解】
解：（1）P=×（5+6+7）=9，
；
（2）P=×（2++3）=，
P-a=，
P-b=，
P-c=，
所以，S2
，
所以，S=．
【点睛】
本题考查了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用平方差公式计算．
23．(2023·四川·安岳县李家镇初级中学九年级阶段练习）阅读下列材料，回答问题：
如图，
点A（x1，y1），点B（x2，y2），以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y1），于是，，所以，反之，可将代数式的值看作点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离.
例如：
故代数式的值看作点（x，y）到点（1，-1）的距离.
已知：代数式
（1）该代数式的值可看作点（x，y）到点 、 的距离之和.
（2）求出这个代数式的最小值,
（3）在（2）的条件下求出此时y与x之间的函数关系式并写出x的值范围.
【答案】（1）（1，－8）, （－2，2）; （2）;（3）
【解析】
【分析】
（1）利用配方法将代数式中的被开方数配成完全平方式，再根据题中给出的两点之间距离的定义即可求出结果.
（2）画出图形观察即可发现当点（x，y）与点（1，－8），（－2，2）在同一条直线上，并且点（x，y）位于点（1，－8），（－2，2）的之间时，代数式的值最小；
（3）利用待定系数法，列出二元一次方程组解出未知数的值即可.
【详解】
解：（1）根据材料知：
所以可将代数式的值看作点（x，y）到点（1，－8）的距离与点（x，y）到点（－2，2）的距离之和.
（2）当代数式取最小值时,即点（x，y）与点（1，－8），（－2，2）在同一条直线上，并且点（x，y）位于点（1，－8），（－2，2）的中间，
∴的最小值
（3）设过（x，y），且－2≤x≤1,（1，－8），（－2，2）的直线解析式为：y=kx+b则
解得：
∴
【点睛】
本题主要考查了平面内两点之间的距离公式，认真阅计理解题意是解题的关键.