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沪科版八年级数学下册举一反三训练 专题1.2 一元二次方程章末重难点题型（举一反三）（原卷版+解析）
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这是一份沪科版八年级数学下册举一反三训练 专题1.2 一元二次方程章末重难点题型（举一反三）（原卷版+解析），共51页。
【考点1 一元二次方程的概念】
【方法点拨】解决此类问题掌握一元二次方程的定义是关键；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并
且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
【例1】（2020•富顺县校级一模）下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x23＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-1】（2020春•青羊区校级期末）关于x的方程（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m＝（ ）
A．2或﹣2B．2C．﹣2D．0
【变式1-2】（2020春•太湖县期末）若关于x的方程7＝0是一元二次方程，则a＝ ．
【变式1-3】（2020秋•新罗区校级期中）已知关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0．
（1）当m为何值时，该方程为一元二次方程？
（2）当m为何值时，该方程为一元一次方程？
【考点2 一元二次方程的一般形式】
【方法点拨】一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【例2】（2020春•沙坪坝区校级月考）将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（ ）
A．﹣4，2B．4x，﹣2C．﹣4x，2D．3x2，2
【变式2-1】（2023秋•青龙县期中）已知一元二次方程﹣5x2+16x+3＝0，若把二次项系数变为正数，且使得方程根不变的是（ ）
A．5x2+16x+3＝0B．5x2﹣16x﹣3＝0
C．5x2+16x﹣3＝0D．5x2﹣16x+3＝0
【变式2-2】（2020春•招远市期末）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项是0，则m的值（ ）
A．1B．1或2C．2D．±1
【变式2-3】（2020秋•邗江区校级月考）已知M＝2x2﹣2x+1，N＝ax2+bx+c（a，b，c为常数），若存在x使得M＝N，则a，b，c的值可以分别为（ ）
A．1，﹣1，0B．1，0，﹣1C．0，1，﹣1D．0，﹣1，1
【考点3 一元二次方程的解】
【方法点拨】一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二
次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.
【例3】（2020春•沙坪坝区校级期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2020+2a﹣2b的值为（ ）
A．2018B．2020C．2022D．2024
【变式3-1】（2020•中山市校级一模）a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2a2﹣2a+2020的值是（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
【变式3-2】（2020春•崇川区校级期末）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为（ ）
A．2020B．﹣2020C．2019D．﹣2019
【变式3-3】（2020春•雁塔区校级期末）已知m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2017m3的值等于 ．
【考点4 解一元二次方程（指定方法）】
【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握直接开方法、配方法、公式法、因式分解法的步骤.
【例4】（2020秋•合肥校级期中）用指定的方法解下列方程：
（1）4（x﹣1）2﹣36＝0（直接开平方法）
（2）2x2﹣5x+1＝0 （配方法）
（3）（x+1）（x﹣2）＝4（公式法）
（4）2（x+1）﹣x（x+1）＝0（因式分解法）
【变式4-1】（2020春•文登区期末）解下列方程：
（1）（y﹣2）（y﹣3）＝12；
（2）4（x+3）2＝25（x﹣1）2；
（3）2x2+3x﹣1＝0（请用配方法解）．
【变式4-2】（2023春•寿县期中）按指定的方法解下列方程：
（1）2x2﹣5x﹣4＝0（配方法）；
（2）3（x﹣2）+x2﹣2x＝0（因式分解法）
【变式4-3】（2023春•崇左期中）用指定的方法解方程：
（1）（y﹣3）2+3（y﹣3）+2＝0（因式分解法）
（2）（x+3）（x﹣1）＝5（公式法）
【考点5 解一元二次方程（换元法）】
【方法点拨】换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
【例5】（2020春•文登区期中）已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（ ）
A．﹣1或3B．﹣3或1C．3D．1
【变式5-1】（2020春•崇川区期末）已知实数x满足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3＝0，则代数式x2﹣x+2020的值为 ．
【变式5-2】（2020春•开江县期末）基本事实：“若ab＝0，则a＝0或b＝0”．方程x2﹣x﹣6＝0可通过因式分解化为（x﹣3）（x+2）＝0，由基本事实得x﹣3＝0或x+2＝0，即方程的解为x＝3或x＝﹣2．
（1）试利用上述基本事实，解方程：3x2﹣x＝0；
（2）若实数m、n满足（m2+n2）（m2+n2﹣1）﹣6＝0，求m2+n2的值．
【变式5-3】（2020春•龙泉驿区期中）阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
例：用换元法分解因式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+2）﹣12．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+1）（y+2）﹣12
＝y2+3y﹣10
＝（y+5）（y﹣2）
＝（x2﹣4x+5）（x2﹣4x﹣2）
（1）请你用换元法对多项式（x2﹣3x+2）（x2﹣3x﹣5）﹣8进行因式分解；
（2）凭你的数感，大胆尝试解方程：（x2﹣2x+1）（x2﹣2x﹣3）＝0．
【考点6 根的判别式】
【方法点拨】根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
【例6】（2020•潍坊）关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
【变式6-1】（2020•盐田区二模）关于x的方程ax2+（1﹣a）x﹣1＝0，下列结论正确的是（ ）
A．当a＝0时，方程无实数根
B．当a＝﹣1时，方程只有一个实数根
C．当a＝1时，有两个不相等的实数根
D．当a≠0时，方程有两个相等的实数根
【变式6-2】（2020•闽侯县模拟）若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2ax+a＝6有两个不相等的实数根，则a的取值范围为（ ）
A．a＞0B．a＞0且a≠2C．aD．a且a≠2
【变式6-3】（2020春•沙坪坝区校级月考）若整数a使得关于x的一元二次方程（a+2）x2+2ax+a﹣1＝0有实数根，且关于x的不等式组有解且最多有6个整数解，则符合条件的整数a的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【考点7 根的判别式（三角形的边）】
【例7】（2020•菏泽）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（ ）
A．3B．4C．3或4D．7
【变式7-1】（2020•铜仁市）已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（ ）
A．7B．7或6C．6或﹣7D．6
【变式7-2】（2020春•奉化区期末）已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根．
（2）若等腰三角形ABC的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【变式7-3】（2023秋•雷州市期末）已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【考点8 根与系数关系（求代数式的值）】
【方法点拨】根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
【例8】（2023秋•东湖区校级月考）已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的两根．
（1）填空：x1+x2＝ ，x1•x2＝ ， ， ；
（2）求x1﹣x2的值．
【变式8-1】（2020春•越城区期中）若α，β是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则α2+β2+αβ的值为（ ）
A．10B．9C．7D．5
【变式8-2】（2020•文登区模拟）已知a，b是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，则a2﹣3b+2020的值是（ ）
A．2016B．2020C．2025D．2034
【变式8-3】（2020春•泰兴市校级期末）设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为 ．
【考点9 根与系数关系（构造方程求值）】
【例9】（2020春•崇川区期末）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+3ax﹣x+2a2＝1的两个实数根，其满足（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）+80＝0．求实数a的所有可能值．
【变式9-1】（2020•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．
【变式9-2】（2020•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）xk2﹣2＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．
【变式9-3】（2020春•东城区校级期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，利用一元二次方程的求根公式x1+x2，x1x2可得利用上述结论来解答下列问题：
（1）已知2x2﹣x﹣1＝0的两个根为m，n，则m+n＝ ，mn＝ ；
（2）若m，n为x2﹣px+q＝0的两个根，且m+n＝﹣3，mn＝4，则p＝ ，q＝ ；
（3）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2，求k的值．
【考点10 一元二次方程的应用（传播问题）】
【例10】（2020•海丰县一模）某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有81个人被感染．
（1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一个人会感染几个人？
（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？
【变式10-1】（2020春•慈溪市期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：
（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？
（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
【变式10-2】（2020•揭西县模拟）新冠肺炎疫情在全球蔓延，造成了严重的人员伤亡和经济损失，其中一个原因是新冠肺炎病毒传播速度非常快．一个人如果感染某种病毒，经过了两轮的传播后被感染的总人数将达到64人．
（1）求这种病毒每轮传播中一个人平均感染多少人？
（2）按照上面的传播速度，如果传播得不到控制，经过三轮传播后一共有多少人被感染？
【变式10-3】（2020•晋安区一模）卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者”．如果某镇有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有169人成为新冠肺炎病毒的携带者．
（1）经过计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？写出过程．
（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？
【考点11 一元二次方程的应用（面积问题）】
【例11】（2020春•溧水区期末）如图，有一块宽为16m的矩形荒地，某公园计划将其分为A、B、C三部分，分别种植不同的植物．若已知A、B地块为正方形，C地块的面积比B地块的面积少40m2，试求该矩形荒地的长．
【变式11-1】（2023春•乳山市期中）如图，某旅游景点要在长、宽分别为10米、6米的矩形水池内部建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的（每条道路的一侧均与正方形观赏亭的一边在同一直线上），若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，求道路的宽度．
【变式11-2】（2020春•西湖区期末）有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为xm，面积为ym2．
（1）用含有x的代数式表示y．
（2）如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？
（3）能围成面积为72m2的花圃吗！如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由．
【变式11-3】（2023秋•望花区校级月考）一块长30cm，宽12cm的矩形铁皮，
（1）如图1，在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为144cm2的无盖方盒，如果设切去的正方形的边长为xcm，则可列方程为 ．
（2）由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否折出底面积为104cm2的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由．
【考点12 一元二次方程的应用（增长率问题）】
【例12】（2020春•雨花区校级期末）随着全球疫情的爆发，医疗物资的极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：
（1）求每天增长的百分率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天，现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
【变式12-1】（2020春•天心区校级期末）甲商品的进价为每件20元，商场确定其售价为每件40元．
（1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；
（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月能盈利10000元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？
【变式12-2】（2020•福田区模拟）为抗击新型肺炎疫情，某服装厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产10万件，第三天生产14.4万件，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：
（1）求每天增长的百分率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是20万件/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少2万件/天，现该厂要保证每天生产口罩60万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
【变式12-3】（2020春•越秀区校级月考）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，计划到2020年底，全省5G基站数量将达到6万座，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
（1）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率；
（2）若2023年保持前两年5G基站数量的年平均增长率不变，到2023年底，全省5G基站数量能否超过25万座？
【考点13 一元二次方程的应用（利润问题）】
【例13】（2020春•蜀山区期末）某水果连锁店将进货价为20元/千克的某种热带水果现在以25元/千克的价格售出，每日能售出40千克．
（1）现在每日的销售利润为 元．
（2）调查表明：售价在25元/千克～32元/千克范围内，这种热带水果的售价每千克上涨1元，其销售量就减少2千克，若要使每日的销售利润为300元，售价应为多少元/千克？
【变式13-1】（2020春•霍邱县期末）“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x元/件（20≤x≤40）．
（1）请用含售价x（元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数；
（2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元．
①求该商品的售价；
②为了支持“抗疫”行动，李晨决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元，求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额．
【变式13-2】（2020•沈河区二模）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利50元．经调查发现：这种衬衫的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件衬衫降价x元．
（1）降价后，每件衬衫的利润为 元，平均每天的销量为 件；（用含x的式子表示）
（2）为了扩大销售，尽快滅少库存，商场决定采取降价措施，但需要平均每天盈利1600元，那么每件衬衫应降价多少元？
【变式13-3】（2020春•邗江区校级期中）悠悠食品店的A、B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元．
（1）该店每天卖出这两种菜品共多少份？
（2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售的总份数不变，这两种菜品一天的总利润是316元．求A种菜品每天销售多少份？
【考点14 一元二次方程的应用（动点问题）】
【例14】（2020春•定远县期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：
（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）经过几秒后，P，Q两点间距离是cm？
【变式14-1】（2020•灌南县一模）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，PQ的长度等于cm？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．
【变式14-2】（2020•于都县模拟）如图等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝8，点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿AB边向点B运动，过点P作PR∥BC、PQ∥AC分别交AC、BC于R、Q．问：
（1）平行四边形PQCR面积能否为7？如果能，请求出P点运动所需要的时间；如不能，请说明理由；
（2）平行四边形PQCR面积能否为16？能为20吗？如果能，请求分别出P点运动所需要的时间；如不能，请说明理由．
【变式14-3】（2023春•西湖区校级月考）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为cm？
（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？
（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，△PBQ的面积为1cm2？
专题1.2 一元二次方程章末重难点题型
【沪科版】
【考点1 一元二次方程的概念】
【方法点拨】解决此类问题掌握一元二次方程的定义是关键；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并
且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
【例1】（2020•富顺县校级一模）下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x23＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【答案】解：一元二次方程只有④，共1个，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
【变式1-1】（2020春•青羊区校级期末）关于x的方程（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m＝（ ）
A．2或﹣2B．2C．﹣2D．0
【分析】根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，即|m|＝2，且m+2≠0，解出m的值即可．
【答案】解：由题意可知：|m|＝2，且m+2≠0，
所以m＝±2且m≠﹣2．
所以m＝2．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，要注意系数不为0，这是比较容易漏掉的条件．
【变式1-2】（2020春•太湖县期末）若关于x的方程7＝0是一元二次方程，则a＝ ．
【分析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a的值．
【答案】解：∵关于x的方程（a﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程，
∴a2+1＝2，且a﹣1≠0，
解得，a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．
【变式1-3】（2020秋•新罗区校级期中）已知关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0．
（1）当m为何值时，该方程为一元二次方程？
（2）当m为何值时，该方程为一元一次方程？
【分析】（1）由一元二次方程的定义可得关于m的不等式，可求得m的取值；
（2）由一元一次方程的定义可利关于m的方程，可求得m的值．
【答案】解：
（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0为一元二次方程，
∴m2﹣1≠0，解得m≠±1，
即当m≠±1时，方程为一元二次方程；
（2）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0为一元一次方程，
∴m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，解得m＝﹣1，
即当m为﹣1时，方程为一元一次方程．
【点睛】本题主要考查方程的定义，掌握一元一次方程、一元二次方程的定义是解题的关键．
【考点2 一元二次方程的一般形式】
【方法点拨】一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【例2】（2020春•沙坪坝区校级月考）将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（ ）
A．﹣4，2B．4x，﹣2C．﹣4x，2D．3x2，2
【分析】首先把﹣4x移到等号左边，把右边化为0，然后再确定答案．
【答案】解：∵﹣3x2﹣2＝﹣4x，
∴﹣3x2+4x﹣2＝0，
则3x2﹣4x+2＝0
则一次项是﹣4x，常数项是2，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
【变式2-1】（2023秋•青龙县期中）已知一元二次方程﹣5x2+16x+3＝0，若把二次项系数变为正数，且使得方程根不变的是（ ）
A．5x2+16x+3＝0B．5x2﹣16x﹣3＝0
C．5x2+16x﹣3＝0D．5x2﹣16x+3＝0
【分析】本题主要是考查的移项的问题，移项的依据是等式的基本性质一：在等式的左右两边同时加上或减去同一个数或式子，所得结果仍然是等式．因此注意移项时要变号．
【答案】解：方程﹣5x2+16x+3＝0的二次项系数化为正数，得5x2﹣16x﹣3＝0．
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．
【变式2-2】（2020春•招远市期末）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项是0，则m的值（ ）
A．1B．1或2C．2D．±1
【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【答案】解：由题意，得
m2﹣3m+2＝0且m﹣1≠0，
解得m＝2，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【变式2-3】（2020秋•邗江区校级月考）已知M＝2x2﹣2x+1，N＝ax2+bx+c（a，b，c为常数），若存在x使得M＝N，则a，b，c的值可以分别为（ ）
A．1，﹣1，0B．1，0，﹣1C．0，1，﹣1D．0，﹣1，1
【分析】把M与N代入M＝N中，整理为一般形式，判断方程有解即可得到结果．
【答案】解：由M＝2x2﹣2x+1，N＝ax2+bx+c（a，b，c为常数），且M＝N，
得到2x2﹣2x+1＝ax2+bx+c，即（a﹣2）x2+（b+2）x+c﹣1＝0，
则a，b，c的值可以分别为0，﹣1，1，即﹣2x2+x＝0，方程有解，
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握其一般形式是解本题的关键．
【考点3 一元二次方程的解】
【方法点拨】一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二
次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.
【例3】（2020春•沙坪坝区校级期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2020+2a﹣2b的值为（ ）
A．2018B．2020C．2022D．2024
【分析】把x＝﹣1代入方程即可求得a﹣b的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．
【答案】解：∵把x＝﹣1代入ax2+bx﹣1＝0得：a﹣b﹣1＝0，
∴a﹣b＝1，
∴2014+2a﹣2b＝2020+2（a﹣b）＝2020+2＝2022．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解题时，逆用一元二次方程解的定义易得出所求式子的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析．
【变式3-1】（2020•中山市校级一模）a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2a2﹣2a+2020的值是（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
【分析】根据一元二次方程根的定义得到a2+a＝1，再把﹣2a2﹣2a+2020变形为﹣2（a2+a）+2020，然后利用整体代入的方法计算．
【答案】解：∵a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，
∴a2+a﹣1＝0，即a2+a＝1，
∴﹣2a2﹣2a+2020＝﹣2（a2+a）+2020＝﹣2×1+2020＝2018．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【变式3-2】（2020春•崇川区校级期末）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为（ ）
A．2020B．﹣2020C．2019D．﹣2019
【分析】先把a代入对已知进行变形，再利用整体代入法求解．
【答案】解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a2﹣1＝a，﹣a2+a＝﹣1，
∴﹣a3+2a+2020＝﹣a（a2﹣1）+a+2020＝﹣a2+a+2020＝2019．
故选：C．
【点睛】考查了一元二次方程的解的知识，解题关键是把a的值代入原方程，从中获取代数式a2﹣1的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
【变式3-3】（2020春•雁塔区校级期末）已知m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2017m3的值等于 ．
【分析】利用m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根得到m2＝2018m﹣1，m2+1＝2018m，利用整体代入的方法得到原式＝m2，然后通分后再利用整体代入的方法计算．
【答案】解：∵m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，
∴m2﹣2018m+1＝0，
∴m2＝2018m﹣1，m2+1＝2018m，
∴m2﹣2017m3＝2018m﹣1﹣2017m3
＝m2
2
2
＝2018+2
＝2020．
故答案为2020．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【考点4 解一元二次方程（指定方法）】
【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握直接开方法、配方法、公式法、因式分解法的步骤.
【例4】（2020秋•合肥校级期中）用指定的方法解下列方程：
（1）4（x﹣1）2﹣36＝0（直接开平方法）
（2）2x2﹣5x+1＝0 （配方法）
（3）（x+1）（x﹣2）＝4（公式法）
（4）2（x+1）﹣x（x+1）＝0（因式分解法）
【分析】（1）方程变形后，利用平方根的定义开方即可求出解；
（2）方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解；
（3）方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，当根的判别式大于等于0时，代入求根公式即可求出解；
（4）方程左边提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【答案】解：（1）方程变形得：（x﹣1）2＝9，
开方得：x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，
解得：x1＝4，x2＝﹣2；
（2）方程变形得：x2x，
配方得：x2x（x）2，
开方得：x±，
则x1，x2；
（3）方程整理得：x2﹣x﹣6＝0，
这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6，
∵△＝1+24＝25，
∴x，
则x1＝3，x2＝﹣2；
（4）分解因式得：（x+1）（2﹣x）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，以及直接开平方法，熟练掌握各自解法是解本题的关键．
【变式4-1】（2020春•文登区期末）解下列方程：
（1）（y﹣2）（y﹣3）＝12；
（2）4（x+3）2＝25（x﹣1）2；
（3）2x2+3x﹣1＝0（请用配方法解）．
【分析】（1）根据因式分解法即可求出答案．
（2）根据因式分解法即可求出答案．
（3）根据配方法即可求出答案．
【答案】解：（1）∵（y﹣2）（y﹣3）＝12，
∴y2﹣5y﹣6＝0，
∴（y﹣6）（y+1）＝0，
∴y＝6或y＝﹣1．
（2）∵4（x+3）2＝25（x﹣1）2，
∴4（x+3）2﹣25（x﹣1）2＝0，
∴[2（x+3）﹣5（x﹣1）][2（x+3）+5（x﹣1）]＝0，
∴（﹣3x+11）（7x+1）＝0，
∴x或x．
（3）∵2x2+3x﹣1＝0，
∴x2x0，
∴x2x，
∴（x）2，
∴x．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
【变式4-2】（2023春•寿县期中）按指定的方法解下列方程：
（1）2x2﹣5x﹣4＝0（配方法）；
（2）3（x﹣2）+x2﹣2x＝0（因式分解法）
【分析】（1）方程两边都除以2将二次项系数化为1，常数项移动右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解；
（2）将方程整理后，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解
【答案】解：（1）2x2﹣5x﹣4＝0，
变形得：x2x＝2，
配方得：x2x，即（x）2，
开方得：x±，
则x1，x2；
（2）3（x﹣2）+x2﹣2x＝0，
变形得：3（x﹣2）+x（x﹣2）＝0，即（x﹣2）（x+3）＝0，
可得x﹣2＝0或x+3＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣3．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法及配方法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【变式4-3】（2023春•崇左期中）用指定的方法解方程：
（1）（y﹣3）2+3（y﹣3）+2＝0（因式分解法）
（2）（x+3）（x﹣1）＝5（公式法）
【分析】（1）将y﹣3看做整体，利用因式分解法求解可得；
（2）先整理为一般式，再利用公式法求解可得．
【答案】解：（1）∵（y﹣3）2+3（y﹣3）+2＝0，
∴（y﹣3+1）（y﹣3+2）＝0，即（y﹣2）（y﹣1）＝0，
则y﹣2＝0或y﹣1＝0，
解得y＝2或y＝1；
（2）方程整理为一般式得x2﹣3x﹣8＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣8，
∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣8）＝41＞0，
则x．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【考点5 解一元二次方程（换元法）】
【方法点拨】换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
【例5】（2020春•文登区期中）已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（ ）
A．﹣1或3B．﹣3或1C．3D．1
【分析】设x2﹣2x+1＝a，则（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝化为a2+2a﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可．
【答案】解：设x2﹣2x+1＝a，
∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，
∴a2+2a﹣3＝0，
解得：a＝﹣3或1，
当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，
即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无解；
当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，
此时方程有解，
故选：D．
【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键．
【变式5-1】（2020春•崇川区期末）已知实数x满足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3＝0，则代数式x2﹣x+2020的值为 ．
【分析】令x2﹣x＝t，代入原方程后根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【答案】解：令x2﹣x＝t，
∴t＝x2﹣x＝（x）2，
∴t2﹣2t﹣3＝0，
解得：t＝3或t＝﹣1（舍去），
∴t＝3，
即x2﹣x＝3，
∴原式＝3+2020＝2023，
故答案为：2023．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
【变式5-2】（2020春•开江县期末）基本事实：“若ab＝0，则a＝0或b＝0”．方程x2﹣x﹣6＝0可通过因式分解化为（x﹣3）（x+2）＝0，由基本事实得x﹣3＝0或x+2＝0，即方程的解为x＝3或x＝﹣2．
（1）试利用上述基本事实，解方程：3x2﹣x＝0；
（2）若实数m、n满足（m2+n2）（m2+n2﹣1）﹣6＝0，求m2+n2的值．
【分析】（1）利用材料中的因式分解法解该方程；
（2）设t＝m2+n2（t≥0），将原方程转化为关于t的一元二次方程，通过解该方程求得t的值即可．
【答案】解：（1）由原方程，得x（3x﹣1）＝0
∴x＝0或3x﹣1＝0
解得：x1＝0，x2；
（2）t＝m2+n2（t≥0），则由原方程，得t（t﹣1）﹣6＝0．
整理，得（t﹣3）（t+2）＝0．
所以t＝3或t＝﹣2（舍去）．
即m2+n2的值是3．
【点睛】本题主要考查了因式分解法和换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
【变式5-3】（2020春•龙泉驿区期中）阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
例：用换元法分解因式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+2）﹣12．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+1）（y+2）﹣12
＝y2+3y﹣10
＝（y+5）（y﹣2）
＝（x2﹣4x+5）（x2﹣4x﹣2）
（1）请你用换元法对多项式（x2﹣3x+2）（x2﹣3x﹣5）﹣8进行因式分解；
（2）凭你的数感，大胆尝试解方程：（x2﹣2x+1）（x2﹣2x﹣3）＝0．
【分析】（1）根据材料，用换元法进行分解因式；
（2）设t＝x2﹣2x．将已知方程转化为关于t的一元二次方程，通过解方程求得t的值；然后解关于x的一元二次方程即可．
【答案】解：（1）设x2﹣3x＝y，
原式＝（y+2）（y﹣5）﹣8
＝y2﹣3y﹣18
＝（y﹣6）（y+3）
＝（x2﹣3x﹣6）（x2﹣3x+3）；
（2）设t＝x2﹣2x．则（t+1）（t﹣3）＝0．
解得t＝﹣1或t＝3．
当t＝﹣1时，x2﹣2x＝﹣1，即（x﹣1）2＝0．
解得x1＝x2＝1．
当t＝3时，x2﹣2x＝3，即（x﹣3）（x+1）＝0．
解得x3＝3，x4＝﹣1．
综上所述，原方程的解为x1＝x2＝1，x3＝3，x4＝﹣1．
【点睛】本题主要考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
【考点6 根的判别式】
【方法点拨】根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
【例6】（2020•潍坊）关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
【分析】先计算判别式，再进行配方得到△＝（k﹣1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．
【答案】解：△＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）
＝k2﹣6k+9﹣4+4k
＝k2﹣2k+5
＝（k﹣1）2+4，
∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
【变式6-1】（2020•盐田区二模）关于x的方程ax2+（1﹣a）x﹣1＝0，下列结论正确的是（ ）
A．当a＝0时，方程无实数根
B．当a＝﹣1时，方程只有一个实数根
C．当a＝1时，有两个不相等的实数根
D．当a≠0时，方程有两个相等的实数根
【分析】直接利用方程解的定义根的判别式分析求出即可．
【答案】解：A、当a＝0时，方程为x﹣1＝0，
解得x＝1，
故当a＝0时，方程有一个实数根；不符合题意；
B、当a＝﹣1时，关于x的方程为﹣x2+2x﹣1＝0，
∵△＝4﹣4＝0，
∴当a＝﹣1时，方程有两个相等的实数根，故不符合题意；
C、当a＝1时，关于x的方程x2﹣1＝0，
故当a＝1时，有两个不相等的实数根，符合题意；
D、当a≠0时，△＝（1﹣a）2+4a＝（1+a）2≥0，
∴当a≠0时，方程有相等的实数根，故不符合题意，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式，正确把握其定义是解题关键．
【变式6-2】（2020•闽侯县模拟）若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2ax+a＝6有两个不相等的实数根，则a的取值范围为（ ）
A．a＞0B．a＞0且a≠2C．aD．a且a≠2
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a﹣2≠0且△＝（﹣2a）2﹣4（a﹣2）×（a﹣6）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【答案】解：根据题意得a﹣2≠0且△＝（﹣2a）2﹣4（a﹣2）×（a﹣6）＞0，
解得a且a≠2．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
【变式6-3】（2020春•沙坪坝区校级月考）若整数a使得关于x的一元二次方程（a+2）x2+2ax+a﹣1＝0有实数根，且关于x的不等式组有解且最多有6个整数解，则符合条件的整数a的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】先根据根的判别式和一元二次方程的定义求出a的范围，再求出不等式组的解集，再根据题意得出a的值，最后得出选项即可．
【答案】解：∵整数a使得关于x的一元二次方程（a+2）x2+2ax+a﹣1＝0有实数根，
∴△＝（2a）2﹣4（a+2）（a﹣1）≥0且a+2≠0，
解得：a≤2且a≠﹣2，
∵关于x的不等式组有解且最多有6个整数解，
∴解不等式组得：a＜x≤3，
∴a可以为2，1，0，﹣1，﹣3，共5个，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元一次不等式组的整数解和根的判别式等知识点，能求出a的范围和不等式组的范围是解此题的关键．
【考点7 根的判别式（三角形的边）】
【例7】（2020•菏泽）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（ ）
A．3B．4C．3或4D．7
【分析】当3为腰长时，将x＝3代入原一元二次方程可求出k的值，将k值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出k＝3符合题意；当3为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式△＝0，解之可得出k值，将k值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出k＝4符合题意．
【答案】解：当3为腰长时，将x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0，
解得：k＝3，
当k＝3时，原方程为x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∵1+3＝4，4＞3，
∴k＝3符合题意；
当3为底边长时，关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝4，
当k＝4时，原方程为x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2，
∵2+2＝4，4＞3，
∴k＝4符合题意．
∴k的值为3或4．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质、三角形三边关系以及根与系数的关系，分3为腰长及3为底边长两种情况，求出k值是解题的关键．
【变式7-1】（2020•铜仁市）已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（ ）
A．7B．7或6C．6或﹣7D．6
【分析】当m＝4或n＝4时，即x＝4，代入方程即可得到结论，当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，解方程即可得到结论．
【答案】解：∵m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，
∴当m＝4或n＝4时，即x＝4，
∴方程为42﹣6×4+k+2＝0，
解得：k＝6，
当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，
解得：k＝7，
综上所述，k的值等于6或7，
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
【变式7-2】（2020春•奉化区期末）已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根．
（2）若等腰三角形ABC的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【分析】（1）先计算出△＝（k+2）2﹣4×2k＝（k﹣2）2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；
（2）依题意有△＝0，则k＝2，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长．
【答案】（1）证明：△＝（k+2）2﹣4×2k＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，
∴无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：依题意有△＝（k﹣2）2＝0，则k＝2，
方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，
故△ABC的周长＝2+2+1＝5．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：①当△＞0，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0，方程有两个相等的实数根；③当△＜0，方程没有实数根．
【变式7-3】（2023秋•雷州市期末）已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【分析】（1）将x＝﹣1代入方程中，化简即可得出b＝c，即可得出结论；
（2）利用一元二次方程有两个相等的实数根，用△＝0建立方程，即可得出a2+c2＝b2，进而得出结论；
（3）先判断出a＝b＝c，再代入化简即可得出方程x2+x＝0，解方程即可得出结论．
【答案】解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由：当x＝﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，
∴b＝c，
∴△ABC是等腰三角形，
（2）△ABC是直角三角形，
理由：∵方程有两个相等的实数根，
∴△＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）∵△ABC是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴原方程可化为：2ax2+2ax＝0，
即：x2+x＝0，
∴x（x+1）＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣1，
即：这个一元二次方程的根为x1＝0，x2＝﹣1．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，直角三角形的判定，等边三角形的性质，解一元二次方程，解本题的关键是建立方程．
【考点8 根与系数关系（求代数式的值）】
【方法点拨】根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
【例8】（2023秋•东湖区校级月考）已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的两根．
（1）填空：x1+x2＝ ，x1•x2＝ ， ， ；
（2）求x1﹣x2的值．
【分析】（1）利用根与系数的关系得到x1+x2和x1•x2的值，利用通分得，利用因式分解得到x1x2（x1+x2），然后利用整体代入的方法计算；
（2）利用完全平方公式得到x1﹣x2＝±，然后利用整体代入的方法计算．
【答案】解：（1）x1+x2＝4，x1•x2＝2，
2；
x1x2（x1+x2）＝2×4＝8；
故答案为4，2，2，8；
（2）x1﹣x2＝±±±2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
【变式8-1】（2020春•越城区期中）若α，β是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则α2+β2+αβ的值为（ ）
A．10B．9C．7D．5
【分析】根据根与系数的关系得到α+β＝2，αβ＝﹣3，再利用完全平方公式得到α2+β2+αβ＝（α+β）2﹣αβ，然后利用整体代入的方法计算．
【答案】解：根据题意得α+β＝2，αβ＝﹣3，
所以α2+β2+αβ＝（α+β）2﹣αβ
＝22﹣（﹣3）
＝7．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
【变式8-2】（2020•文登区模拟）已知a，b是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，则a2﹣3b+2020的值是（ ）
A．2016B．2020C．2025D．2034
【分析】利用根与系数的关系，求出a2+3a＝5，a+b＝﹣3，再代入计算即可求解．
【答案】解：∵a，b是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，
∴a2+3a＝5，a+b＝﹣3，
则a2﹣3b+2020＝a2+3a﹣3（a+b）+2020＝5+9+2020＝2034．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系的综合应用，题目非常典型，是中考中一个热点问题．
【变式8-3】（2020春•泰兴市校级期末）设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为 ．
【分析】由于m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n＝﹣1，并且m2+m﹣1001＝0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果
【答案】解：∵m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
并且m2+m﹣1001＝0，
∴m2+m＝1001，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝1001﹣1＝1000．
故答案为：1000．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
【考点9 根与系数关系（构造方程求值）】
【例9】（2020春•崇川区期末）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+3ax﹣x+2a2＝1的两个实数根，其满足（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）+80＝0．求实数a的所有可能值．
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣3a+1，x1•x2＝2a2﹣1，结合（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）+80＝0即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a的值，分别将a1＝3，a2代入原方程，取使得根的判别式△≥0的a值即可得出结论．
【答案】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+3ax﹣x+2a2＝1的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣3a+1，x1•x2＝2a2﹣1．
∵（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）+80＝0，即3x12﹣10x1•x2+x22+80＝0，
∴3（x1+x2）2﹣16x1•x2+80＝0，
∴3（﹣3a+1）2﹣16（2a2﹣1）+80＝0，
整理，得：5a2+18a﹣99＝0，
∴a1＝3，a2．
当a＝3时，原方程为x2+8x+17＝0，
∵△＝82﹣4×1×17＝﹣4＜0，
∴此时原方程无解，不符合题意，舍去；
当a时，原方程为x2x0，
∵△＝（）2﹣4×10，
∴符合题意．
∴实数a的值为．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，利用根与系数的关系结合（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）+80＝0，找出关于a的一元二次方程是解题的关键．
【变式9-1】（2020•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．
【分析】（1）根据△≥0建立不等式即可求解；
（2）先提取公因式对等式变形为，再结合韦达定理求解即可．
【答案】解：（1）由题意可知，△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2k+8）≥0，
整理得：16+8k﹣32≥0，
解得：k≥2，
∴k的取值范围是：k≥2．
故答案为：k≥2．
（2）由题意得：，
由韦达定理可知：x1+x2＝4，x1x2＝﹣2k+8，
故有：（﹣2k+8）[42﹣2（﹣2k+8）]＝24，
整理得：k2﹣4k+3＝0，
解得：k1＝3，k2＝1，
又由（1）中可知k≥2，
∴k的值为k＝3．
故答案为：k＝3．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、韦达定理、一元二次方程的解法等知识点，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．
【变式9-2】（2020•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）xk2﹣2＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．
【分析】（1）根据根的判别式得出△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2）＝2（k+1）2+7＞0，据此可得答案；
（2）先根据根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2k2﹣2，由x1﹣x2＝3知（x1﹣x2）2＝9，即（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，从而列出关于k的方程，解之可得答案．
【答案】解：（1）∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2）
＝4k2+4k+1﹣2k2+8
＝2k2+4k+9
＝2（k+1）2+7＞0，
∵无论k为何实数，2（k+1）2≥0，
∴2（k+1）2+7＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2k2﹣2，
∵x1﹣x2＝3，
∴（x1﹣x2）2＝9，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，
∴（2k+1）2﹣4×（k2﹣2）＝9，
化简得k2+2k＝0，
解得k＝0或k＝﹣2．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
【变式9-3】（2020春•东城区校级期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，利用一元二次方程的求根公式x1+x2，x1x2可得利用上述结论来解答下列问题：
（1）已知2x2﹣x﹣1＝0的两个根为m，n，则m+n＝ ，mn＝ ；
（2）若m，n为x2﹣px+q＝0的两个根，且m+n＝﹣3，mn＝4，则p＝ ，q＝ ；
（3）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2，求k的值．
【分析】（1）根据方程的系数，利用根与系数的关系可得出m+n，mn的值；
（2）根据方程的系数结合m+n＝﹣3，mn＝4，可求出p，q的值；
（3）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝k﹣1，x1x2＝2﹣k，结合（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2可得出关于k的一元二次方程，利用公式法解该方程即可得出k值，再将k值分别代入原方程中，验证根的判别式是否大于等于0．
【答案】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0的两个根为m，n，
∴m+n，mn．
故答案为：；．
（2）∵m，n为x2﹣px+q＝0的两个根，且m+n＝﹣3，mn＝4，
∴p＝﹣3，q＝4．
故答案为：﹣3；4．
（3）∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝2﹣k．
∵（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2，即（x1+x2）2﹣4+2x1x2＝﹣2，
∴（k﹣1）2﹣4+2（2﹣k）＝﹣2，
整理，得：k2﹣4k+3＝0，
∴k，
∴k1＝3，k2＝1．
当k＝3时，原方程为x2﹣2x﹣1＝0，
∵△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8，
∴k＝3符合题意；
当k＝1时，原方程为x2+1＝0，
∵△＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，
∴k＝1不符合题意，舍去．
∴k的值为3．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“x1+x2，x1x2”；（2）牢记“x1+x2，x1x2”；（3）根据根与系数的关系结合（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2，找出关于k的一元二次方程．
【考点10 一元二次方程的应用（传播问题）】
【例10】（2020•海丰县一模）某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有81个人被感染．
（1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一个人会感染几个人？
（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？
【分析】（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，根据一个人被感染经过两轮感染后就会有81个人被感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据3轮感染后被感染的人数＝2轮感染后被感染的人数×（1+8），即可求出3轮感染后被感染的人数，再将其与700进行比较后即可得出结论．
【答案】解：（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，
依题意，得：1+x+x（1+x）＝81，
解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．
答：每轮感染中平均一个人会感染8个人．
（2）81×（1+8）＝729（人），729＞700．
答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过700人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式10-1】（2020春•慈溪市期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：
（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？
（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
【分析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有169人患病，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患病人数＝经过两轮传染后患病人数×（1+12），即可求出结论．
【答案】解：（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，
依题意，得：1+x+x（1+x）＝169，
解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每个人传染了12个人．
（2）169×（1+12）＝2197（人）．
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197人患病．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式10-2】（2020•揭西县模拟）新冠肺炎疫情在全球蔓延，造成了严重的人员伤亡和经济损失，其中一个原因是新冠肺炎病毒传播速度非常快．一个人如果感染某种病毒，经过了两轮的传播后被感染的总人数将达到64人．
（1）求这种病毒每轮传播中一个人平均感染多少人？
（2）按照上面的传播速度，如果传播得不到控制，经过三轮传播后一共有多少人被感染？
【分析】（1）设一个人平均感染x人，根据经过了两轮的传播后被感染的总人数将达到64人，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）将x＝7代入（x+1）3中即可求出结论．
【答案】（1）解：设一个人平均感染x人，可列方程：
1+x+（1+x）x＝64，
解得：x1＝7，x2＝﹣9（舍去）．
故这种病毒每轮传播中一个人平均感染7人；
（2）（7+1）3＝512（人）
答：经过三轮传播后一共有512人被感染．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式10-3】（2020•晋安区一模）卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者”．如果某镇有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有169人成为新冠肺炎病毒的携带者．
（1）经过计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？写出过程．
（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？
【分析】（1）设每人每轮传染x人，根据经过两轮传染后共有169人成为新冠肺炎病毒的携带者，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值与10比较后即可得出结论；
（2）根据经过3轮传染后病毒携带者的人数＝经过两轮传染后病毒携带者的人数×（1+每人每轮传染的人数），即可求出结论．
【答案】解：（1）设每人每轮传染x人，
依题意，得：1+x+（1+x）•x＝169，
解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去），
∵12＞10，
∴最初的这名病毒携带者是“超级传播者”，
（2）169×（1+12）＝2197（人），
答：若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有2197人成为新冠肺炎病毒的携带者．
【点睛】本题考查了一元二次方程应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【考点11 一元二次方程的应用（面积问题）】
【例11】（2020春•溧水区期末）如图，有一块宽为16m的矩形荒地，某公园计划将其分为A、B、C三部分，分别种植不同的植物．若已知A、B地块为正方形，C地块的面积比B地块的面积少40m2，试求该矩形荒地的长．
【分析】设B地块的边长为xm，根据“C地块的面积比B地块的面积少40m2”列出方程求解即可．
【答案】解：设B地块的边长为xm，
根据题意得：x2﹣x（16﹣x）＝40，
解得：x1＝10，x2＝﹣2（不符题意，舍去），
∴10+16＝26m，
答：矩形荒地的长为26m．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系，难度不大．
【变式11-1】（2023春•乳山市期中）如图，某旅游景点要在长、宽分别为10米、6米的矩形水池内部建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的（每条道路的一侧均与正方形观赏亭的一边在同一直线上），若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，求道路的宽度．
【分析】设道路的宽为x米，根据道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【答案】解：设道路的宽为x米，
依题意，得：x（10﹣4x）+x（6﹣4x）+（4x）210×6，
整理，得：x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3（不合题意，舍去）．
答：道路的宽为1米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式11-2】（2020春•西湖区期末）有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为xm，面积为ym2．
（1）用含有x的代数式表示y．
（2）如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？
（3）能围成面积为72m2的花圃吗！如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）利用矩形面积公式建立函数关系式；
（2）把y＝63代入函数解析式，求自变量的值，由于是实际问题，自变量的值也要受到限制；
（3）把y＝72代入函数解析式，求自变量的值，然后检验即可得出结论．
【答案】解：（1）由题意得：
y＝x（30﹣3x），即y＝﹣3x2+30x．
（2）当y＝63时，﹣3x2+30x＝63．
解此方程得x1＝7，x2＝3．
当x＝7时，30﹣3x＝9＜10，符合题意；
当x＝3时，30﹣3x＝21＞10，不符合题意，舍去；
∴当AB的长为7m时，花圃的面积为63m2．
（3）不能围成面积为72m2的花圃．理由如下：
如果y＝72，那么﹣3x2+30x＝72，
整理，得x2﹣10x+24＝0，
解此方程得x1＝4，x2＝6，
当x＝4时，30﹣3x＝18，不合题意舍去；
当x＝6时，30﹣3x＝12，不合题意舍去；
故不能围成面积为72m2的花圃．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题目的条件，得出y与x的函数关系式是解题的关键．
【变式11-3】（2023秋•望花区校级月考）一块长30cm，宽12cm的矩形铁皮，
（1）如图1，在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为144cm2的无盖方盒，如果设切去的正方形的边长为xcm，则可列方程为 ．
（2）由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否折出底面积为104cm2的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）设切去的正方形的边长为xcm，则折成的方盒的底面为长（30﹣2x）cm，宽为（12﹣2x）cm的矩形，根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此问得解；
（2）设切去的正方形的边长为ycm，则折成的长方体盒子的底面为长（y）cm，宽为（12﹣2y）cm的矩形，根据矩形的面积公式，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值，再利用长方体的体积公式即可求出结论．
【答案】解：（1）设切去的正方形的边长为xcm，则折成的方盒的底面为长（30﹣2x）cm，宽为（12﹣2x）cm的矩形，
依题意，得：（30﹣2x）（12﹣2x）＝144．
故答案为：（30﹣2x）（12﹣2x）＝144．
（2）设切去的正方形的边长为ycm，则折成的长方体盒子的底面为长（y）cm，宽为（12﹣2y）cm的矩形，
依题意，得：（y）（12﹣2y）＝104，
整理，得：y2﹣21y+38＝0，
解得：y1＝2，y2＝19（不合题意，舍去），
∴盒子的体积＝104×2＝208（cm3）．
答：能折出底面积为104cm2的有盖盒子，盒子的体积为208m3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【考点12 一元二次方程的应用（增长率问题）】
【例12】（2020春•雨花区校级期末）随着全球疫情的爆发，医疗物资的极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：
（1）求每天增长的百分率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天，现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
【分析】（1）设每天增长的百分率为x，根据开工第一天及第三天的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50m）万件/天，根据每天生产口罩6500万件，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【答案】解：（1）设每天增长的百分率为x，
依题意，得：500（1+x）2＝720，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：每天增长的百分率为20%；
（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50m）万件/天，
依题意，得：（1+m）（1500﹣50m）＝6500，
解得：m1＝4，m2＝25．
又∵在增加产能同时又要节省投入，
∴m＝4．
答：应该增加4条生产线．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式12-1】（2020春•天心区校级期末）甲商品的进价为每件20元，商场确定其售价为每件40元．
（1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；
（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月能盈利10000元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？
【分析】（1）设调价百分率为x，根据售价从原来每件40元经两次调价后调至每件32.4元，可列方程求解．
（2）根据已知条件求出多售的件数，根据该商场希望该商品每月能盈利10000元列出方程，求解即可．
【答案】解：（1）设这种商品平均降价率是x，依题意得：40（1﹣x）2＝32.4，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）；
答：这个降价率为10%；
（2）设降价y元，则多销售y÷0.2×10＝50y件，
根据题意得（40﹣20﹣y）（500+50y）＝10000，
解得：y＝0（舍去）或y＝10，
答：该商品在原售价的基础上，再降低10元．
【点睛】考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
【变式12-2】（2020•福田区模拟）为抗击新型肺炎疫情，某服装厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产10万件，第三天生产14.4万件，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：
（1）求每天增长的百分率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是20万件/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少2万件/天，现该厂要保证每天生产口罩60万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
【分析】（1）设每天增长的百分率为x，根据开工第一天及第三天的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（20﹣2m）万件/天，根据每天生产口罩60万件，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【答案】解：（1）设每天增长的百分率为x，
依题意，得：10（1+x）2＝14.4，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：每天增长的百分率为20%．
（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（20﹣2m）万件/天，
依题意，得：（1+m）（20﹣2m）＝60，
整理，得：m1＝4，m2＝5．
又∵在增加产能同时又要节省投入，
∴m＝4．
答：应该增加4条生产线．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式12-3】（2020春•越秀区校级月考）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，计划到2020年底，全省5G基站数量将达到6万座，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
（1）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率；
（2）若2023年保持前两年5G基站数量的年平均增长率不变，到2023年底，全省5G基站数量能否超过25万座？
【分析】（1）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据2020年及2022年底全省5G基站的数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据2023年底全省5G基站的数量＝2022年底全省5G基站的数量×（1+增长率），即可求出2023年底全省5G基站的数量，再与29万座比较后即可得出结论．
【答案】解：（1）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，
依题意，得：6×（1+x）2＝17.34，
解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7（不合题意，舍去）．
答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．
（2）17.34×（1+70%）＝29.478（万座），
∵29.478＞25，
∴到2023年底，全省5G基站数量能超过25万座．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【考点13 一元二次方程的应用（利润问题）】
【例13】（2020春•蜀山区期末）某水果连锁店将进货价为20元/千克的某种热带水果现在以25元/千克的价格售出，每日能售出40千克．
（1）现在每日的销售利润为 元．
（2）调查表明：售价在25元/千克～32元/千克范围内，这种热带水果的售价每千克上涨1元，其销售量就减少2千克，若要使每日的销售利润为300元，售价应为多少元/千克？
【分析】（1）根据每日的销售利润＝每千克的利润×日销售量，即可求出结论；
（2）设每千克上涨x元，则售价为（25+x）元/千克，每日可售出（40﹣2x）千克，根据每日的销售利润为300元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【答案】解：（1）（25﹣20）×40＝200（元）．
故答案为：200．
（2）设每千克上涨x元，则售价为（25+x）元/千克，每日可售出（40﹣2x）千克，
依题意，得：（25+x﹣20）（40﹣2x）＝300，
整理，得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10，
当x＝5时，25+x＝30，符合题意；
当x＝10时，25+x＝35＞32，不合题意，舍去．
答：售价应为30元/千克．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式13-1】（2020春•霍邱县期末）“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x元/件（20≤x≤40）．
（1）请用含售价x（元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数；
（2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元．
①求该商品的售价；
②为了支持“抗疫”行动，李晨决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元，求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额．
【分析】（1）由该商品的售价结合售价每降低1元就会多售出3件，即可得出每天售出该工艺品的件数；
（2）①根据总利润＝每件工艺品的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
②根据每天通过销售该工艺品面捐款的数额＝0.5×每天销售的数量，即可得出结论．
【答案】解：（1）∵该商品的售价为x元/件（20≤x≤40），且当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，
∴每天能售出该工艺品的件数为60+3（40﹣x）＝（180﹣3x）件．
（2）①依题意，得：（x﹣20）（180﹣3x）＝900，
整理，得：x2﹣80x+1500＝0，
解得：x1＝30，x2＝50（不合题意，舍去）．
答：该商品的售价为30元/件．
②0.5×（180﹣3×30）＝45（元）．
答：李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额为45元．
【点睛】本题考查了一元二次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式13-2】（2020•沈河区二模）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利50元．经调查发现：这种衬衫的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件衬衫降价x元．
（1）降价后，每件衬衫的利润为 元，平均每天的销量为 件；（用含x的式子表示）
（2）为了扩大销售，尽快滅少库存，商场决定采取降价措施，但需要平均每天盈利1600元，那么每件衬衫应降价多少元？
【分析】（1）根据“这种衬衫的售价每降低1元时，平均每天能多售出2件”结合每件衬衫的原利润及降价x元，即可得出降价后每件衬衫的利润及销量；
（2）根据总利润＝每件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【答案】解：（1）∵每件衬衫降价x元，
∴每件衬衫的利润为（50﹣x）元，销量为（20+2x）件．
故答案为：（50﹣x）；（20+2x）．
（2）依题意，得：（50﹣x）（20+2x）＝1600，
整理，得：x2﹣40x+300＝0，
解得：x1＝10，x2＝30．
∵为了扩大销售，尽快减少库存，
∴x＝30．
答：每件衬衫应降价30元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式13-3】（2020春•邗江区校级期中）悠悠食品店的A、B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元．
（1）该店每天卖出这两种菜品共多少份？
（2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售的总份数不变，这两种菜品一天的总利润是316元．求A种菜品每天销售多少份？
【分析】（1）由A种菜和B种菜每天的营业额为1120和总利润为280建立方程组即可；
（2）设A种菜品售价降0.5a元，即每天卖（20+a）份，则B种菜品卖（40﹣a）份，每份售价提高0.5a元，最后建立利润与卖出的份数的函数关系式即可得出结论．
【答案】（1）设该店每天卖出A、B两种菜品分别为x份、y份，
根据题意得，．
解得：．
答：该店每天卖出这两种菜品共60份．
（2）设A种菜品售价降0.5a元，即每天卖（20+a）份，则B种菜品卖（40﹣a）份，每份售价提高0.5a元．
（20﹣14﹣0.5a）（20+a）+（18﹣14+0.5a）（40﹣a）＝316．
即a2﹣12a+36＝0
a1＝a2＝6
答：A种菜品每天销售26份．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
【考点14 一元二次方程的应用（动点问题）】
【例14】（2020春•定远县期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：
（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）经过几秒后，P，Q两点间距离是cm？
【分析】（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8cm2，则BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，利用三角形的面积公式结合△PBQ的面积等于8cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）设经过y秒后，P，Q两点间距离是cm，则BP＝（6﹣y）cm，BQ＝2ycm，利用勾股定理结合P，Q两点间距离是cm，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【答案】解：（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8cm2，则BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，
依题意，得：（6﹣x）×2x＝8，
化简，得：x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4．
答：经过2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2．
（2）设经过y秒后，P，Q两点间距离是cm，则BP＝（6﹣y）cm，BQ＝2ycm，
依题意，得：（6﹣y）2+（2y）2＝（）2，
化简，得：5y2﹣12y﹣17＝0，
解得：y1，y2＝﹣1（不合题意，舍去）．
答：经过秒后，P，Q两点间距离是cm．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式14-1】（2020•灌南县一模）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，PQ的长度等于cm？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．
【分析】（1）根据PQ＝2利用勾股定理BP2+BQ2＝PQ2，求出即可；
（2）由（1）得，当△PQB的面积等于7cm2，然后利用根的判别式判断方程根的情况即可；
【答案】（1）设x秒后，PQ＝2
BP＝5﹣x BQ＝2x
∵BP2+BQ2＝PQ2
∴（5﹣x）2+（2x）2＝（2）2
解得：x1＝3，x2＝﹣1（舍去）
∴3秒后，PQ的长度等于2；
（2）△PQB的面积不能等于7cm2，原因如下：
设t秒后，PB＝5﹣t QB＝2t
又∵S△PQBBP×QB＝7
（5﹣t）×2t＝7
∴t2﹣5t+7＝0
△＝52﹣4×1×7＝25﹣28＝﹣3＜0
∴方程没有实数根
∴△PQB的面积不能等于7cm2．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于7m2”，得出等量关系是解决问题的关键．
【变式14-2】（2020•于都县模拟）如图等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝8，点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿AB边向点B运动，过点P作PR∥BC、PQ∥AC分别交AC、BC于R、Q．问：
（1）平行四边形PQCR面积能否为7？如果能，请求出P点运动所需要的时间；如不能，请说明理由；
（2）平行四边形PQCR面积能否为16？能为20吗？如果能，请求分别出P点运动所需要的时间；如不能，请说明理由．
【分析】（1）设动点P从A点出发移动x个单位时，▱PQCR的面积等于7，根据等腰三角形的性质和平行四边形的面积公式可列方程求解；
（2）利用（1）中的方法建立方程，进一步解方程，根据方程根的情况判定即可．
【答案】解：（1）设动点P从A点出发移动x个单位时，▱PQCR的面积等于7，依题意有
82x2（8﹣x）2＝7，
解得：x1＝1，x2＝7．
故运动时间是或秒
答：当动点P从A点出发移动或秒时，▱PQCR的面积等于7cm2．
（2）由题意得
82x2（8﹣x）2＝16
解得：x1＝x2＝4，
此时运动时间为：2（秒）
82x2（8﹣x）2＝20，
此方程无解．
所以当动点P从A点出发移动2秒时，▱PQCR的面积等于16．不存在PQCR的面积等于20．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用三角形和平行四边形的面积得出等量关系是解决问题的关键．
【变式14-3】（2023春•西湖区校级月考）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为cm？
（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？
（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，△PBQ的面积为1cm2？
【分析】（1）设经过x秒，点P，Q之间的距离为cm，根据勾股定理列式求解即可；
（2）设经过y秒，使△PBQ的面积等于8cm2，由三角形的面积公式列式并求解即可；
（3）分三种情况列方程求解即可：①点P在线段AB上，点Q在射线CB上；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上；点P在射线AB上，点Q在射线CB上．
【答案】解：（1）设经过x秒，点P，Q之间的距离为cm，
则AP＝x（cm），QB＝2x（cm），
∵AB＝6cm，BC＝8cm
∴PB＝（6﹣x）（cm），
∵在△ABC中，∠B＝90°
∴由勾股定理得：（6﹣x）2+（2x）2＝6
化简得：5x2﹣12x+30＝0
∵△＝（﹣12）2﹣4×5×30＝144﹣600＜0
∴点P，Q之间的距离不可能为cm．
（2）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，由题意得：
（6﹣x）•2x＝8
解得：x1＝2，x2＝4
检验发现x1，x2均符合题意
∴经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2．
（3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上
设经过m秒，0＜m≤4，依题意有
（6﹣m）（8﹣2m）＝1
∴m2﹣10m+23＝0
解得；m1＝5（舍），m2＝5
∴m＝5符合题意；
②点P在线段AB上，点Q在射线CB上
设经过n秒，4＜n≤6，依题意有
（6﹣n）（2n﹣8）＝1
∴n2﹣10n+25＝0
解得n1＝n2＝5
∴n＝5符合题意；
③点P在射线AB上，点Q在射线CB上
设经过k秒，k＞6，依题意有
（k﹣6）（2k﹣8）＝1
解得k1＝5，k2＝5（舍）
∴k＝5符合题意；
∴经过（5）秒，5秒，（5）秒后，△PBQ的面积为1cm2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，数形结合、分类讨论以及找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【考点1 一元二次方程的概念】
【方法点拨】解决此类问题掌握一元二次方程的定义是关键；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并
且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
【例1】（2020•富顺县校级一模）下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x23＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-1】（2020春•青羊区校级期末）关于x的方程（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m＝（ ）
A．2或﹣2B．2C．﹣2D．0
【变式1-2】（2020春•太湖县期末）若关于x的方程7＝0是一元二次方程，则a＝ ．
【变式1-3】（2020秋•新罗区校级期中）已知关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0．
（1）当m为何值时，该方程为一元二次方程？
（2）当m为何值时，该方程为一元一次方程？
【考点2 一元二次方程的一般形式】
【方法点拨】一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【例2】（2020春•沙坪坝区校级月考）将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（ ）
A．﹣4，2B．4x，﹣2C．﹣4x，2D．3x2，2
【变式2-1】（2023秋•青龙县期中）已知一元二次方程﹣5x2+16x+3＝0，若把二次项系数变为正数，且使得方程根不变的是（ ）
A．5x2+16x+3＝0B．5x2﹣16x﹣3＝0
C．5x2+16x﹣3＝0D．5x2﹣16x+3＝0
【变式2-2】（2020春•招远市期末）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项是0，则m的值（ ）
A．1B．1或2C．2D．±1
【变式2-3】（2020秋•邗江区校级月考）已知M＝2x2﹣2x+1，N＝ax2+bx+c（a，b，c为常数），若存在x使得M＝N，则a，b，c的值可以分别为（ ）
A．1，﹣1，0B．1，0，﹣1C．0，1，﹣1D．0，﹣1，1
【考点3 一元二次方程的解】
【方法点拨】一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二
次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.
【例3】（2020春•沙坪坝区校级期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2020+2a﹣2b的值为（ ）
A．2018B．2020C．2022D．2024
【变式3-1】（2020•中山市校级一模）a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2a2﹣2a+2020的值是（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
【变式3-2】（2020春•崇川区校级期末）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为（ ）
A．2020B．﹣2020C．2019D．﹣2019
【变式3-3】（2020春•雁塔区校级期末）已知m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2017m3的值等于 ．
【考点4 解一元二次方程（指定方法）】
【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握直接开方法、配方法、公式法、因式分解法的步骤.
【例4】（2020秋•合肥校级期中）用指定的方法解下列方程：
（1）4（x﹣1）2﹣36＝0（直接开平方法）
（2）2x2﹣5x+1＝0 （配方法）
（3）（x+1）（x﹣2）＝4（公式法）
（4）2（x+1）﹣x（x+1）＝0（因式分解法）
【变式4-1】（2020春•文登区期末）解下列方程：
（1）（y﹣2）（y﹣3）＝12；
（2）4（x+3）2＝25（x﹣1）2；
（3）2x2+3x﹣1＝0（请用配方法解）．
【变式4-2】（2023春•寿县期中）按指定的方法解下列方程：
（1）2x2﹣5x﹣4＝0（配方法）；
（2）3（x﹣2）+x2﹣2x＝0（因式分解法）
【变式4-3】（2023春•崇左期中）用指定的方法解方程：
（1）（y﹣3）2+3（y﹣3）+2＝0（因式分解法）
（2）（x+3）（x﹣1）＝5（公式法）
【考点5 解一元二次方程（换元法）】
【方法点拨】换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
【例5】（2020春•文登区期中）已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（ ）
A．﹣1或3B．﹣3或1C．3D．1
【变式5-1】（2020春•崇川区期末）已知实数x满足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3＝0，则代数式x2﹣x+2020的值为 ．
【变式5-2】（2020春•开江县期末）基本事实：“若ab＝0，则a＝0或b＝0”．方程x2﹣x﹣6＝0可通过因式分解化为（x﹣3）（x+2）＝0，由基本事实得x﹣3＝0或x+2＝0，即方程的解为x＝3或x＝﹣2．
（1）试利用上述基本事实，解方程：3x2﹣x＝0；
（2）若实数m、n满足（m2+n2）（m2+n2﹣1）﹣6＝0，求m2+n2的值．
【变式5-3】（2020春•龙泉驿区期中）阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
例：用换元法分解因式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+2）﹣12．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+1）（y+2）﹣12
＝y2+3y﹣10
＝（y+5）（y﹣2）
＝（x2﹣4x+5）（x2﹣4x﹣2）
（1）请你用换元法对多项式（x2﹣3x+2）（x2﹣3x﹣5）﹣8进行因式分解；
（2）凭你的数感，大胆尝试解方程：（x2﹣2x+1）（x2﹣2x﹣3）＝0．
【考点6 根的判别式】
【方法点拨】根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
【例6】（2020•潍坊）关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
【变式6-1】（2020•盐田区二模）关于x的方程ax2+（1﹣a）x﹣1＝0，下列结论正确的是（ ）
A．当a＝0时，方程无实数根
B．当a＝﹣1时，方程只有一个实数根
C．当a＝1时，有两个不相等的实数根
D．当a≠0时，方程有两个相等的实数根
【变式6-2】（2020•闽侯县模拟）若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2ax+a＝6有两个不相等的实数根，则a的取值范围为（ ）
A．a＞0B．a＞0且a≠2C．aD．a且a≠2
【变式6-3】（2020春•沙坪坝区校级月考）若整数a使得关于x的一元二次方程（a+2）x2+2ax+a﹣1＝0有实数根，且关于x的不等式组有解且最多有6个整数解，则符合条件的整数a的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【考点7 根的判别式（三角形的边）】
【例7】（2020•菏泽）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（ ）
A．3B．4C．3或4D．7
【变式7-1】（2020•铜仁市）已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（ ）
A．7B．7或6C．6或﹣7D．6
【变式7-2】（2020春•奉化区期末）已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根．
（2）若等腰三角形ABC的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【变式7-3】（2023秋•雷州市期末）已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【考点8 根与系数关系（求代数式的值）】
【方法点拨】根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
【例8】（2023秋•东湖区校级月考）已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的两根．
（1）填空：x1+x2＝ ，x1•x2＝ ， ， ；
（2）求x1﹣x2的值．
【变式8-1】（2020春•越城区期中）若α，β是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则α2+β2+αβ的值为（ ）
A．10B．9C．7D．5
【变式8-2】（2020•文登区模拟）已知a，b是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，则a2﹣3b+2020的值是（ ）
A．2016B．2020C．2025D．2034
【变式8-3】（2020春•泰兴市校级期末）设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为 ．
【考点9 根与系数关系（构造方程求值）】
【例9】（2020春•崇川区期末）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+3ax﹣x+2a2＝1的两个实数根，其满足（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）+80＝0．求实数a的所有可能值．
【变式9-1】（2020•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．
【变式9-2】（2020•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）xk2﹣2＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．
【变式9-3】（2020春•东城区校级期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，利用一元二次方程的求根公式x1+x2，x1x2可得利用上述结论来解答下列问题：
（1）已知2x2﹣x﹣1＝0的两个根为m，n，则m+n＝ ，mn＝ ；
（2）若m，n为x2﹣px+q＝0的两个根，且m+n＝﹣3，mn＝4，则p＝ ，q＝ ；
（3）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2，求k的值．
【考点10 一元二次方程的应用（传播问题）】
【例10】（2020•海丰县一模）某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有81个人被感染．
（1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一个人会感染几个人？
（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？
【变式10-1】（2020春•慈溪市期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：
（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？
（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
【变式10-2】（2020•揭西县模拟）新冠肺炎疫情在全球蔓延，造成了严重的人员伤亡和经济损失，其中一个原因是新冠肺炎病毒传播速度非常快．一个人如果感染某种病毒，经过了两轮的传播后被感染的总人数将达到64人．
（1）求这种病毒每轮传播中一个人平均感染多少人？
（2）按照上面的传播速度，如果传播得不到控制，经过三轮传播后一共有多少人被感染？
【变式10-3】（2020•晋安区一模）卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者”．如果某镇有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有169人成为新冠肺炎病毒的携带者．
（1）经过计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？写出过程．
（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？
【考点11 一元二次方程的应用（面积问题）】
【例11】（2020春•溧水区期末）如图，有一块宽为16m的矩形荒地，某公园计划将其分为A、B、C三部分，分别种植不同的植物．若已知A、B地块为正方形，C地块的面积比B地块的面积少40m2，试求该矩形荒地的长．
【变式11-1】（2023春•乳山市期中）如图，某旅游景点要在长、宽分别为10米、6米的矩形水池内部建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的（每条道路的一侧均与正方形观赏亭的一边在同一直线上），若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，求道路的宽度．
【变式11-2】（2020春•西湖区期末）有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为xm，面积为ym2．
（1）用含有x的代数式表示y．
（2）如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？
（3）能围成面积为72m2的花圃吗！如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由．
【变式11-3】（2023秋•望花区校级月考）一块长30cm，宽12cm的矩形铁皮，
（1）如图1，在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为144cm2的无盖方盒，如果设切去的正方形的边长为xcm，则可列方程为 ．
（2）由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否折出底面积为104cm2的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由．
【考点12 一元二次方程的应用（增长率问题）】
【例12】（2020春•雨花区校级期末）随着全球疫情的爆发，医疗物资的极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：
（1）求每天增长的百分率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天，现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
【变式12-1】（2020春•天心区校级期末）甲商品的进价为每件20元，商场确定其售价为每件40元．
（1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；
（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月能盈利10000元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？
【变式12-2】（2020•福田区模拟）为抗击新型肺炎疫情，某服装厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产10万件，第三天生产14.4万件，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：
（1）求每天增长的百分率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是20万件/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少2万件/天，现该厂要保证每天生产口罩60万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
【变式12-3】（2020春•越秀区校级月考）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，计划到2020年底，全省5G基站数量将达到6万座，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
（1）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率；
（2）若2023年保持前两年5G基站数量的年平均增长率不变，到2023年底，全省5G基站数量能否超过25万座？
【考点13 一元二次方程的应用（利润问题）】
【例13】（2020春•蜀山区期末）某水果连锁店将进货价为20元/千克的某种热带水果现在以25元/千克的价格售出，每日能售出40千克．
（1）现在每日的销售利润为 元．
（2）调查表明：售价在25元/千克～32元/千克范围内，这种热带水果的售价每千克上涨1元，其销售量就减少2千克，若要使每日的销售利润为300元，售价应为多少元/千克？
【变式13-1】（2020春•霍邱县期末）“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x元/件（20≤x≤40）．
（1）请用含售价x（元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数；
（2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元．
①求该商品的售价；
②为了支持“抗疫”行动，李晨决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元，求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额．
【变式13-2】（2020•沈河区二模）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利50元．经调查发现：这种衬衫的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件衬衫降价x元．
（1）降价后，每件衬衫的利润为 元，平均每天的销量为 件；（用含x的式子表示）
（2）为了扩大销售，尽快滅少库存，商场决定采取降价措施，但需要平均每天盈利1600元，那么每件衬衫应降价多少元？
【变式13-3】（2020春•邗江区校级期中）悠悠食品店的A、B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元．
（1）该店每天卖出这两种菜品共多少份？
（2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售的总份数不变，这两种菜品一天的总利润是316元．求A种菜品每天销售多少份？
【考点14 一元二次方程的应用（动点问题）】
【例14】（2020春•定远县期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：
（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）经过几秒后，P，Q两点间距离是cm？
【变式14-1】（2020•灌南县一模）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，PQ的长度等于cm？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．
【变式14-2】（2020•于都县模拟）如图等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝8，点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿AB边向点B运动，过点P作PR∥BC、PQ∥AC分别交AC、BC于R、Q．问：
（1）平行四边形PQCR面积能否为7？如果能，请求出P点运动所需要的时间；如不能，请说明理由；
（2）平行四边形PQCR面积能否为16？能为20吗？如果能，请求分别出P点运动所需要的时间；如不能，请说明理由．
【变式14-3】（2023春•西湖区校级月考）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为cm？
（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？
（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，△PBQ的面积为1cm2？
专题1.2 一元二次方程章末重难点题型
【沪科版】
【考点1 一元二次方程的概念】
【方法点拨】解决此类问题掌握一元二次方程的定义是关键；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并
且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
【例1】（2020•富顺县校级一模）下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x23＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【答案】解：一元二次方程只有④，共1个，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
【变式1-1】（2020春•青羊区校级期末）关于x的方程（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m＝（ ）
A．2或﹣2B．2C．﹣2D．0
【分析】根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，即|m|＝2，且m+2≠0，解出m的值即可．
【答案】解：由题意可知：|m|＝2，且m+2≠0，
所以m＝±2且m≠﹣2．
所以m＝2．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，要注意系数不为0，这是比较容易漏掉的条件．
【变式1-2】（2020春•太湖县期末）若关于x的方程7＝0是一元二次方程，则a＝ ．
【分析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a的值．
【答案】解：∵关于x的方程（a﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程，
∴a2+1＝2，且a﹣1≠0，
解得，a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．
【变式1-3】（2020秋•新罗区校级期中）已知关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0．
（1）当m为何值时，该方程为一元二次方程？
（2）当m为何值时，该方程为一元一次方程？
【分析】（1）由一元二次方程的定义可得关于m的不等式，可求得m的取值；
（2）由一元一次方程的定义可利关于m的方程，可求得m的值．
【答案】解：
（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0为一元二次方程，
∴m2﹣1≠0，解得m≠±1，
即当m≠±1时，方程为一元二次方程；
（2）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0为一元一次方程，
∴m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，解得m＝﹣1，
即当m为﹣1时，方程为一元一次方程．
【点睛】本题主要考查方程的定义，掌握一元一次方程、一元二次方程的定义是解题的关键．
【考点2 一元二次方程的一般形式】
【方法点拨】一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【例2】（2020春•沙坪坝区校级月考）将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（ ）
A．﹣4，2B．4x，﹣2C．﹣4x，2D．3x2，2
【分析】首先把﹣4x移到等号左边，把右边化为0，然后再确定答案．
【答案】解：∵﹣3x2﹣2＝﹣4x，
∴﹣3x2+4x﹣2＝0，
则3x2﹣4x+2＝0
则一次项是﹣4x，常数项是2，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
【变式2-1】（2023秋•青龙县期中）已知一元二次方程﹣5x2+16x+3＝0，若把二次项系数变为正数，且使得方程根不变的是（ ）
A．5x2+16x+3＝0B．5x2﹣16x﹣3＝0
C．5x2+16x﹣3＝0D．5x2﹣16x+3＝0
【分析】本题主要是考查的移项的问题，移项的依据是等式的基本性质一：在等式的左右两边同时加上或减去同一个数或式子，所得结果仍然是等式．因此注意移项时要变号．
【答案】解：方程﹣5x2+16x+3＝0的二次项系数化为正数，得5x2﹣16x﹣3＝0．
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．
【变式2-2】（2020春•招远市期末）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项是0，则m的值（ ）
A．1B．1或2C．2D．±1
【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【答案】解：由题意，得
m2﹣3m+2＝0且m﹣1≠0，
解得m＝2，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【变式2-3】（2020秋•邗江区校级月考）已知M＝2x2﹣2x+1，N＝ax2+bx+c（a，b，c为常数），若存在x使得M＝N，则a，b，c的值可以分别为（ ）
A．1，﹣1，0B．1，0，﹣1C．0，1，﹣1D．0，﹣1，1
【分析】把M与N代入M＝N中，整理为一般形式，判断方程有解即可得到结果．
【答案】解：由M＝2x2﹣2x+1，N＝ax2+bx+c（a，b，c为常数），且M＝N，
得到2x2﹣2x+1＝ax2+bx+c，即（a﹣2）x2+（b+2）x+c﹣1＝0，
则a，b，c的值可以分别为0，﹣1，1，即﹣2x2+x＝0，方程有解，
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握其一般形式是解本题的关键．
【考点3 一元二次方程的解】
【方法点拨】一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二
次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.
【例3】（2020春•沙坪坝区校级期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2020+2a﹣2b的值为（ ）
A．2018B．2020C．2022D．2024
【分析】把x＝﹣1代入方程即可求得a﹣b的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．
【答案】解：∵把x＝﹣1代入ax2+bx﹣1＝0得：a﹣b﹣1＝0，
∴a﹣b＝1，
∴2014+2a﹣2b＝2020+2（a﹣b）＝2020+2＝2022．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解题时，逆用一元二次方程解的定义易得出所求式子的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析．
【变式3-1】（2020•中山市校级一模）a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2a2﹣2a+2020的值是（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
【分析】根据一元二次方程根的定义得到a2+a＝1，再把﹣2a2﹣2a+2020变形为﹣2（a2+a）+2020，然后利用整体代入的方法计算．
【答案】解：∵a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，
∴a2+a﹣1＝0，即a2+a＝1，
∴﹣2a2﹣2a+2020＝﹣2（a2+a）+2020＝﹣2×1+2020＝2018．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【变式3-2】（2020春•崇川区校级期末）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为（ ）
A．2020B．﹣2020C．2019D．﹣2019
【分析】先把a代入对已知进行变形，再利用整体代入法求解．
【答案】解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a2﹣1＝a，﹣a2+a＝﹣1，
∴﹣a3+2a+2020＝﹣a（a2﹣1）+a+2020＝﹣a2+a+2020＝2019．
故选：C．
【点睛】考查了一元二次方程的解的知识，解题关键是把a的值代入原方程，从中获取代数式a2﹣1的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
【变式3-3】（2020春•雁塔区校级期末）已知m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2017m3的值等于 ．
【分析】利用m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根得到m2＝2018m﹣1，m2+1＝2018m，利用整体代入的方法得到原式＝m2，然后通分后再利用整体代入的方法计算．
【答案】解：∵m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，
∴m2﹣2018m+1＝0，
∴m2＝2018m﹣1，m2+1＝2018m，
∴m2﹣2017m3＝2018m﹣1﹣2017m3
＝m2
2
2
＝2018+2
＝2020．
故答案为2020．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【考点4 解一元二次方程（指定方法）】
【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握直接开方法、配方法、公式法、因式分解法的步骤.
【例4】（2020秋•合肥校级期中）用指定的方法解下列方程：
（1）4（x﹣1）2﹣36＝0（直接开平方法）
（2）2x2﹣5x+1＝0 （配方法）
（3）（x+1）（x﹣2）＝4（公式法）
（4）2（x+1）﹣x（x+1）＝0（因式分解法）
【分析】（1）方程变形后，利用平方根的定义开方即可求出解；
（2）方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解；
（3）方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，当根的判别式大于等于0时，代入求根公式即可求出解；
（4）方程左边提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【答案】解：（1）方程变形得：（x﹣1）2＝9，
开方得：x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，
解得：x1＝4，x2＝﹣2；
（2）方程变形得：x2x，
配方得：x2x（x）2，
开方得：x±，
则x1，x2；
（3）方程整理得：x2﹣x﹣6＝0，
这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6，
∵△＝1+24＝25，
∴x，
则x1＝3，x2＝﹣2；
（4）分解因式得：（x+1）（2﹣x）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，以及直接开平方法，熟练掌握各自解法是解本题的关键．
【变式4-1】（2020春•文登区期末）解下列方程：
（1）（y﹣2）（y﹣3）＝12；
（2）4（x+3）2＝25（x﹣1）2；
（3）2x2+3x﹣1＝0（请用配方法解）．
【分析】（1）根据因式分解法即可求出答案．
（2）根据因式分解法即可求出答案．
（3）根据配方法即可求出答案．
【答案】解：（1）∵（y﹣2）（y﹣3）＝12，
∴y2﹣5y﹣6＝0，
∴（y﹣6）（y+1）＝0，
∴y＝6或y＝﹣1．
（2）∵4（x+3）2＝25（x﹣1）2，
∴4（x+3）2﹣25（x﹣1）2＝0，
∴[2（x+3）﹣5（x﹣1）][2（x+3）+5（x﹣1）]＝0，
∴（﹣3x+11）（7x+1）＝0，
∴x或x．
（3）∵2x2+3x﹣1＝0，
∴x2x0，
∴x2x，
∴（x）2，
∴x．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
【变式4-2】（2023春•寿县期中）按指定的方法解下列方程：
（1）2x2﹣5x﹣4＝0（配方法）；
（2）3（x﹣2）+x2﹣2x＝0（因式分解法）
【分析】（1）方程两边都除以2将二次项系数化为1，常数项移动右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解；
（2）将方程整理后，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解
【答案】解：（1）2x2﹣5x﹣4＝0，
变形得：x2x＝2，
配方得：x2x，即（x）2，
开方得：x±，
则x1，x2；
（2）3（x﹣2）+x2﹣2x＝0，
变形得：3（x﹣2）+x（x﹣2）＝0，即（x﹣2）（x+3）＝0，
可得x﹣2＝0或x+3＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣3．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法及配方法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【变式4-3】（2023春•崇左期中）用指定的方法解方程：
（1）（y﹣3）2+3（y﹣3）+2＝0（因式分解法）
（2）（x+3）（x﹣1）＝5（公式法）
【分析】（1）将y﹣3看做整体，利用因式分解法求解可得；
（2）先整理为一般式，再利用公式法求解可得．
【答案】解：（1）∵（y﹣3）2+3（y﹣3）+2＝0，
∴（y﹣3+1）（y﹣3+2）＝0，即（y﹣2）（y﹣1）＝0，
则y﹣2＝0或y﹣1＝0，
解得y＝2或y＝1；
（2）方程整理为一般式得x2﹣3x﹣8＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣8，
∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣8）＝41＞0，
则x．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【考点5 解一元二次方程（换元法）】
【方法点拨】换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
【例5】（2020春•文登区期中）已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（ ）
A．﹣1或3B．﹣3或1C．3D．1
【分析】设x2﹣2x+1＝a，则（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝化为a2+2a﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可．
【答案】解：设x2﹣2x+1＝a，
∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，
∴a2+2a﹣3＝0，
解得：a＝﹣3或1，
当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，
即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无解；
当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，
此时方程有解，
故选：D．
【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键．
【变式5-1】（2020春•崇川区期末）已知实数x满足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3＝0，则代数式x2﹣x+2020的值为 ．
【分析】令x2﹣x＝t，代入原方程后根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【答案】解：令x2﹣x＝t，
∴t＝x2﹣x＝（x）2，
∴t2﹣2t﹣3＝0，
解得：t＝3或t＝﹣1（舍去），
∴t＝3，
即x2﹣x＝3，
∴原式＝3+2020＝2023，
故答案为：2023．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
【变式5-2】（2020春•开江县期末）基本事实：“若ab＝0，则a＝0或b＝0”．方程x2﹣x﹣6＝0可通过因式分解化为（x﹣3）（x+2）＝0，由基本事实得x﹣3＝0或x+2＝0，即方程的解为x＝3或x＝﹣2．
（1）试利用上述基本事实，解方程：3x2﹣x＝0；
（2）若实数m、n满足（m2+n2）（m2+n2﹣1）﹣6＝0，求m2+n2的值．
【分析】（1）利用材料中的因式分解法解该方程；
（2）设t＝m2+n2（t≥0），将原方程转化为关于t的一元二次方程，通过解该方程求得t的值即可．
【答案】解：（1）由原方程，得x（3x﹣1）＝0
∴x＝0或3x﹣1＝0
解得：x1＝0，x2；
（2）t＝m2+n2（t≥0），则由原方程，得t（t﹣1）﹣6＝0．
整理，得（t﹣3）（t+2）＝0．
所以t＝3或t＝﹣2（舍去）．
即m2+n2的值是3．
【点睛】本题主要考查了因式分解法和换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
【变式5-3】（2020春•龙泉驿区期中）阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
例：用换元法分解因式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+2）﹣12．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+1）（y+2）﹣12
＝y2+3y﹣10
＝（y+5）（y﹣2）
＝（x2﹣4x+5）（x2﹣4x﹣2）
（1）请你用换元法对多项式（x2﹣3x+2）（x2﹣3x﹣5）﹣8进行因式分解；
（2）凭你的数感，大胆尝试解方程：（x2﹣2x+1）（x2﹣2x﹣3）＝0．
【分析】（1）根据材料，用换元法进行分解因式；
（2）设t＝x2﹣2x．将已知方程转化为关于t的一元二次方程，通过解方程求得t的值；然后解关于x的一元二次方程即可．
【答案】解：（1）设x2﹣3x＝y，
原式＝（y+2）（y﹣5）﹣8
＝y2﹣3y﹣18
＝（y﹣6）（y+3）
＝（x2﹣3x﹣6）（x2﹣3x+3）；
（2）设t＝x2﹣2x．则（t+1）（t﹣3）＝0．
解得t＝﹣1或t＝3．
当t＝﹣1时，x2﹣2x＝﹣1，即（x﹣1）2＝0．
解得x1＝x2＝1．
当t＝3时，x2﹣2x＝3，即（x﹣3）（x+1）＝0．
解得x3＝3，x4＝﹣1．
综上所述，原方程的解为x1＝x2＝1，x3＝3，x4＝﹣1．
【点睛】本题主要考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
【考点6 根的判别式】
【方法点拨】根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
【例6】（2020•潍坊）关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
【分析】先计算判别式，再进行配方得到△＝（k﹣1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．
【答案】解：△＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）
＝k2﹣6k+9﹣4+4k
＝k2﹣2k+5
＝（k﹣1）2+4，
∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
【变式6-1】（2020•盐田区二模）关于x的方程ax2+（1﹣a）x﹣1＝0，下列结论正确的是（ ）
A．当a＝0时，方程无实数根
B．当a＝﹣1时，方程只有一个实数根
C．当a＝1时，有两个不相等的实数根
D．当a≠0时，方程有两个相等的实数根
【分析】直接利用方程解的定义根的判别式分析求出即可．
【答案】解：A、当a＝0时，方程为x﹣1＝0，
解得x＝1，
故当a＝0时，方程有一个实数根；不符合题意；
B、当a＝﹣1时，关于x的方程为﹣x2+2x﹣1＝0，
∵△＝4﹣4＝0，
∴当a＝﹣1时，方程有两个相等的实数根，故不符合题意；
C、当a＝1时，关于x的方程x2﹣1＝0，
故当a＝1时，有两个不相等的实数根，符合题意；
D、当a≠0时，△＝（1﹣a）2+4a＝（1+a）2≥0，
∴当a≠0时，方程有相等的实数根，故不符合题意，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式，正确把握其定义是解题关键．
【变式6-2】（2020•闽侯县模拟）若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2ax+a＝6有两个不相等的实数根，则a的取值范围为（ ）
A．a＞0B．a＞0且a≠2C．aD．a且a≠2
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a﹣2≠0且△＝（﹣2a）2﹣4（a﹣2）×（a﹣6）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【答案】解：根据题意得a﹣2≠0且△＝（﹣2a）2﹣4（a﹣2）×（a﹣6）＞0，
解得a且a≠2．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
【变式6-3】（2020春•沙坪坝区校级月考）若整数a使得关于x的一元二次方程（a+2）x2+2ax+a﹣1＝0有实数根，且关于x的不等式组有解且最多有6个整数解，则符合条件的整数a的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】先根据根的判别式和一元二次方程的定义求出a的范围，再求出不等式组的解集，再根据题意得出a的值，最后得出选项即可．
【答案】解：∵整数a使得关于x的一元二次方程（a+2）x2+2ax+a﹣1＝0有实数根，
∴△＝（2a）2﹣4（a+2）（a﹣1）≥0且a+2≠0，
解得：a≤2且a≠﹣2，
∵关于x的不等式组有解且最多有6个整数解，
∴解不等式组得：a＜x≤3，
∴a可以为2，1，0，﹣1，﹣3，共5个，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元一次不等式组的整数解和根的判别式等知识点，能求出a的范围和不等式组的范围是解此题的关键．
【考点7 根的判别式（三角形的边）】
【例7】（2020•菏泽）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（ ）
A．3B．4C．3或4D．7
【分析】当3为腰长时，将x＝3代入原一元二次方程可求出k的值，将k值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出k＝3符合题意；当3为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式△＝0，解之可得出k值，将k值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出k＝4符合题意．
【答案】解：当3为腰长时，将x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0，
解得：k＝3，
当k＝3时，原方程为x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∵1+3＝4，4＞3，
∴k＝3符合题意；
当3为底边长时，关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝4，
当k＝4时，原方程为x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2，
∵2+2＝4，4＞3，
∴k＝4符合题意．
∴k的值为3或4．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质、三角形三边关系以及根与系数的关系，分3为腰长及3为底边长两种情况，求出k值是解题的关键．
【变式7-1】（2020•铜仁市）已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（ ）
A．7B．7或6C．6或﹣7D．6
【分析】当m＝4或n＝4时，即x＝4，代入方程即可得到结论，当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，解方程即可得到结论．
【答案】解：∵m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，
∴当m＝4或n＝4时，即x＝4，
∴方程为42﹣6×4+k+2＝0，
解得：k＝6，
当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，
解得：k＝7，
综上所述，k的值等于6或7，
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
【变式7-2】（2020春•奉化区期末）已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根．
（2）若等腰三角形ABC的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【分析】（1）先计算出△＝（k+2）2﹣4×2k＝（k﹣2）2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；
（2）依题意有△＝0，则k＝2，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长．
【答案】（1）证明：△＝（k+2）2﹣4×2k＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，
∴无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：依题意有△＝（k﹣2）2＝0，则k＝2，
方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，
故△ABC的周长＝2+2+1＝5．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：①当△＞0，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0，方程有两个相等的实数根；③当△＜0，方程没有实数根．
【变式7-3】（2023秋•雷州市期末）已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【分析】（1）将x＝﹣1代入方程中，化简即可得出b＝c，即可得出结论；
（2）利用一元二次方程有两个相等的实数根，用△＝0建立方程，即可得出a2+c2＝b2，进而得出结论；
（3）先判断出a＝b＝c，再代入化简即可得出方程x2+x＝0，解方程即可得出结论．
【答案】解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由：当x＝﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，
∴b＝c，
∴△ABC是等腰三角形，
（2）△ABC是直角三角形，
理由：∵方程有两个相等的实数根，
∴△＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）∵△ABC是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴原方程可化为：2ax2+2ax＝0，
即：x2+x＝0，
∴x（x+1）＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣1，
即：这个一元二次方程的根为x1＝0，x2＝﹣1．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，直角三角形的判定，等边三角形的性质，解一元二次方程，解本题的关键是建立方程．
【考点8 根与系数关系（求代数式的值）】
【方法点拨】根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
【例8】（2023秋•东湖区校级月考）已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的两根．
（1）填空：x1+x2＝ ，x1•x2＝ ， ， ；
（2）求x1﹣x2的值．
【分析】（1）利用根与系数的关系得到x1+x2和x1•x2的值，利用通分得，利用因式分解得到x1x2（x1+x2），然后利用整体代入的方法计算；
（2）利用完全平方公式得到x1﹣x2＝±，然后利用整体代入的方法计算．
【答案】解：（1）x1+x2＝4，x1•x2＝2，
2；
x1x2（x1+x2）＝2×4＝8；
故答案为4，2，2，8；
（2）x1﹣x2＝±±±2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
【变式8-1】（2020春•越城区期中）若α，β是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则α2+β2+αβ的值为（ ）
A．10B．9C．7D．5
【分析】根据根与系数的关系得到α+β＝2，αβ＝﹣3，再利用完全平方公式得到α2+β2+αβ＝（α+β）2﹣αβ，然后利用整体代入的方法计算．
【答案】解：根据题意得α+β＝2，αβ＝﹣3，
所以α2+β2+αβ＝（α+β）2﹣αβ
＝22﹣（﹣3）
＝7．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
【变式8-2】（2020•文登区模拟）已知a，b是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，则a2﹣3b+2020的值是（ ）
A．2016B．2020C．2025D．2034
【分析】利用根与系数的关系，求出a2+3a＝5，a+b＝﹣3，再代入计算即可求解．
【答案】解：∵a，b是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，
∴a2+3a＝5，a+b＝﹣3，
则a2﹣3b+2020＝a2+3a﹣3（a+b）+2020＝5+9+2020＝2034．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系的综合应用，题目非常典型，是中考中一个热点问题．
【变式8-3】（2020春•泰兴市校级期末）设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为 ．
【分析】由于m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n＝﹣1，并且m2+m﹣1001＝0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果
【答案】解：∵m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
并且m2+m﹣1001＝0，
∴m2+m＝1001，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝1001﹣1＝1000．
故答案为：1000．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
【考点9 根与系数关系（构造方程求值）】
【例9】（2020春•崇川区期末）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+3ax﹣x+2a2＝1的两个实数根，其满足（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）+80＝0．求实数a的所有可能值．
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣3a+1，x1•x2＝2a2﹣1，结合（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）+80＝0即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a的值，分别将a1＝3，a2代入原方程，取使得根的判别式△≥0的a值即可得出结论．
【答案】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+3ax﹣x+2a2＝1的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣3a+1，x1•x2＝2a2﹣1．
∵（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）+80＝0，即3x12﹣10x1•x2+x22+80＝0，
∴3（x1+x2）2﹣16x1•x2+80＝0，
∴3（﹣3a+1）2﹣16（2a2﹣1）+80＝0，
整理，得：5a2+18a﹣99＝0，
∴a1＝3，a2．
当a＝3时，原方程为x2+8x+17＝0，
∵△＝82﹣4×1×17＝﹣4＜0，
∴此时原方程无解，不符合题意，舍去；
当a时，原方程为x2x0，
∵△＝（）2﹣4×10，
∴符合题意．
∴实数a的值为．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，利用根与系数的关系结合（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）+80＝0，找出关于a的一元二次方程是解题的关键．
【变式9-1】（2020•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．
【分析】（1）根据△≥0建立不等式即可求解；
（2）先提取公因式对等式变形为，再结合韦达定理求解即可．
【答案】解：（1）由题意可知，△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2k+8）≥0，
整理得：16+8k﹣32≥0，
解得：k≥2，
∴k的取值范围是：k≥2．
故答案为：k≥2．
（2）由题意得：，
由韦达定理可知：x1+x2＝4，x1x2＝﹣2k+8，
故有：（﹣2k+8）[42﹣2（﹣2k+8）]＝24，
整理得：k2﹣4k+3＝0，
解得：k1＝3，k2＝1，
又由（1）中可知k≥2，
∴k的值为k＝3．
故答案为：k＝3．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、韦达定理、一元二次方程的解法等知识点，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．
【变式9-2】（2020•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）xk2﹣2＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．
【分析】（1）根据根的判别式得出△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2）＝2（k+1）2+7＞0，据此可得答案；
（2）先根据根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2k2﹣2，由x1﹣x2＝3知（x1﹣x2）2＝9，即（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，从而列出关于k的方程，解之可得答案．
【答案】解：（1）∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2）
＝4k2+4k+1﹣2k2+8
＝2k2+4k+9
＝2（k+1）2+7＞0，
∵无论k为何实数，2（k+1）2≥0，
∴2（k+1）2+7＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2k2﹣2，
∵x1﹣x2＝3，
∴（x1﹣x2）2＝9，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，
∴（2k+1）2﹣4×（k2﹣2）＝9，
化简得k2+2k＝0，
解得k＝0或k＝﹣2．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
【变式9-3】（2020春•东城区校级期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，利用一元二次方程的求根公式x1+x2，x1x2可得利用上述结论来解答下列问题：
（1）已知2x2﹣x﹣1＝0的两个根为m，n，则m+n＝ ，mn＝ ；
（2）若m，n为x2﹣px+q＝0的两个根，且m+n＝﹣3，mn＝4，则p＝ ，q＝ ；
（3）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2，求k的值．
【分析】（1）根据方程的系数，利用根与系数的关系可得出m+n，mn的值；
（2）根据方程的系数结合m+n＝﹣3，mn＝4，可求出p，q的值；
（3）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝k﹣1，x1x2＝2﹣k，结合（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2可得出关于k的一元二次方程，利用公式法解该方程即可得出k值，再将k值分别代入原方程中，验证根的判别式是否大于等于0．
【答案】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0的两个根为m，n，
∴m+n，mn．
故答案为：；．
（2）∵m，n为x2﹣px+q＝0的两个根，且m+n＝﹣3，mn＝4，
∴p＝﹣3，q＝4．
故答案为：﹣3；4．
（3）∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝2﹣k．
∵（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2，即（x1+x2）2﹣4+2x1x2＝﹣2，
∴（k﹣1）2﹣4+2（2﹣k）＝﹣2，
整理，得：k2﹣4k+3＝0，
∴k，
∴k1＝3，k2＝1．
当k＝3时，原方程为x2﹣2x﹣1＝0，
∵△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8，
∴k＝3符合题意；
当k＝1时，原方程为x2+1＝0，
∵△＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，
∴k＝1不符合题意，舍去．
∴k的值为3．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“x1+x2，x1x2”；（2）牢记“x1+x2，x1x2”；（3）根据根与系数的关系结合（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2，找出关于k的一元二次方程．
【考点10 一元二次方程的应用（传播问题）】
【例10】（2020•海丰县一模）某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有81个人被感染．
（1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一个人会感染几个人？
（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？
【分析】（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，根据一个人被感染经过两轮感染后就会有81个人被感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据3轮感染后被感染的人数＝2轮感染后被感染的人数×（1+8），即可求出3轮感染后被感染的人数，再将其与700进行比较后即可得出结论．
【答案】解：（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，
依题意，得：1+x+x（1+x）＝81，
解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．
答：每轮感染中平均一个人会感染8个人．
（2）81×（1+8）＝729（人），729＞700．
答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过700人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式10-1】（2020春•慈溪市期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：
（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？
（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
【分析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有169人患病，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患病人数＝经过两轮传染后患病人数×（1+12），即可求出结论．
【答案】解：（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，
依题意，得：1+x+x（1+x）＝169，
解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每个人传染了12个人．
（2）169×（1+12）＝2197（人）．
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197人患病．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式10-2】（2020•揭西县模拟）新冠肺炎疫情在全球蔓延，造成了严重的人员伤亡和经济损失，其中一个原因是新冠肺炎病毒传播速度非常快．一个人如果感染某种病毒，经过了两轮的传播后被感染的总人数将达到64人．
（1）求这种病毒每轮传播中一个人平均感染多少人？
（2）按照上面的传播速度，如果传播得不到控制，经过三轮传播后一共有多少人被感染？
【分析】（1）设一个人平均感染x人，根据经过了两轮的传播后被感染的总人数将达到64人，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）将x＝7代入（x+1）3中即可求出结论．
【答案】（1）解：设一个人平均感染x人，可列方程：
1+x+（1+x）x＝64，
解得：x1＝7，x2＝﹣9（舍去）．
故这种病毒每轮传播中一个人平均感染7人；
（2）（7+1）3＝512（人）
答：经过三轮传播后一共有512人被感染．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式10-3】（2020•晋安区一模）卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者”．如果某镇有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有169人成为新冠肺炎病毒的携带者．
（1）经过计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？写出过程．
（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？
【分析】（1）设每人每轮传染x人，根据经过两轮传染后共有169人成为新冠肺炎病毒的携带者，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值与10比较后即可得出结论；
（2）根据经过3轮传染后病毒携带者的人数＝经过两轮传染后病毒携带者的人数×（1+每人每轮传染的人数），即可求出结论．
【答案】解：（1）设每人每轮传染x人，
依题意，得：1+x+（1+x）•x＝169，
解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去），
∵12＞10，
∴最初的这名病毒携带者是“超级传播者”，
（2）169×（1+12）＝2197（人），
答：若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有2197人成为新冠肺炎病毒的携带者．
【点睛】本题考查了一元二次方程应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【考点11 一元二次方程的应用（面积问题）】
【例11】（2020春•溧水区期末）如图，有一块宽为16m的矩形荒地，某公园计划将其分为A、B、C三部分，分别种植不同的植物．若已知A、B地块为正方形，C地块的面积比B地块的面积少40m2，试求该矩形荒地的长．
【分析】设B地块的边长为xm，根据“C地块的面积比B地块的面积少40m2”列出方程求解即可．
【答案】解：设B地块的边长为xm，
根据题意得：x2﹣x（16﹣x）＝40，
解得：x1＝10，x2＝﹣2（不符题意，舍去），
∴10+16＝26m，
答：矩形荒地的长为26m．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系，难度不大．
【变式11-1】（2023春•乳山市期中）如图，某旅游景点要在长、宽分别为10米、6米的矩形水池内部建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的（每条道路的一侧均与正方形观赏亭的一边在同一直线上），若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，求道路的宽度．
【分析】设道路的宽为x米，根据道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【答案】解：设道路的宽为x米，
依题意，得：x（10﹣4x）+x（6﹣4x）+（4x）210×6，
整理，得：x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3（不合题意，舍去）．
答：道路的宽为1米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式11-2】（2020春•西湖区期末）有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为xm，面积为ym2．
（1）用含有x的代数式表示y．
（2）如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？
（3）能围成面积为72m2的花圃吗！如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）利用矩形面积公式建立函数关系式；
（2）把y＝63代入函数解析式，求自变量的值，由于是实际问题，自变量的值也要受到限制；
（3）把y＝72代入函数解析式，求自变量的值，然后检验即可得出结论．
【答案】解：（1）由题意得：
y＝x（30﹣3x），即y＝﹣3x2+30x．
（2）当y＝63时，﹣3x2+30x＝63．
解此方程得x1＝7，x2＝3．
当x＝7时，30﹣3x＝9＜10，符合题意；
当x＝3时，30﹣3x＝21＞10，不符合题意，舍去；
∴当AB的长为7m时，花圃的面积为63m2．
（3）不能围成面积为72m2的花圃．理由如下：
如果y＝72，那么﹣3x2+30x＝72，
整理，得x2﹣10x+24＝0，
解此方程得x1＝4，x2＝6，
当x＝4时，30﹣3x＝18，不合题意舍去；
当x＝6时，30﹣3x＝12，不合题意舍去；
故不能围成面积为72m2的花圃．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题目的条件，得出y与x的函数关系式是解题的关键．
【变式11-3】（2023秋•望花区校级月考）一块长30cm，宽12cm的矩形铁皮，
（1）如图1，在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为144cm2的无盖方盒，如果设切去的正方形的边长为xcm，则可列方程为 ．
（2）由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否折出底面积为104cm2的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）设切去的正方形的边长为xcm，则折成的方盒的底面为长（30﹣2x）cm，宽为（12﹣2x）cm的矩形，根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此问得解；
（2）设切去的正方形的边长为ycm，则折成的长方体盒子的底面为长（y）cm，宽为（12﹣2y）cm的矩形，根据矩形的面积公式，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值，再利用长方体的体积公式即可求出结论．
【答案】解：（1）设切去的正方形的边长为xcm，则折成的方盒的底面为长（30﹣2x）cm，宽为（12﹣2x）cm的矩形，
依题意，得：（30﹣2x）（12﹣2x）＝144．
故答案为：（30﹣2x）（12﹣2x）＝144．
（2）设切去的正方形的边长为ycm，则折成的长方体盒子的底面为长（y）cm，宽为（12﹣2y）cm的矩形，
依题意，得：（y）（12﹣2y）＝104，
整理，得：y2﹣21y+38＝0，
解得：y1＝2，y2＝19（不合题意，舍去），
∴盒子的体积＝104×2＝208（cm3）．
答：能折出底面积为104cm2的有盖盒子，盒子的体积为208m3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【考点12 一元二次方程的应用（增长率问题）】
【例12】（2020春•雨花区校级期末）随着全球疫情的爆发，医疗物资的极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：
（1）求每天增长的百分率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天，现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
【分析】（1）设每天增长的百分率为x，根据开工第一天及第三天的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50m）万件/天，根据每天生产口罩6500万件，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【答案】解：（1）设每天增长的百分率为x，
依题意，得：500（1+x）2＝720，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：每天增长的百分率为20%；
（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50m）万件/天，
依题意，得：（1+m）（1500﹣50m）＝6500，
解得：m1＝4，m2＝25．
又∵在增加产能同时又要节省投入，
∴m＝4．
答：应该增加4条生产线．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式12-1】（2020春•天心区校级期末）甲商品的进价为每件20元，商场确定其售价为每件40元．
（1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；
（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月能盈利10000元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？
【分析】（1）设调价百分率为x，根据售价从原来每件40元经两次调价后调至每件32.4元，可列方程求解．
（2）根据已知条件求出多售的件数，根据该商场希望该商品每月能盈利10000元列出方程，求解即可．
【答案】解：（1）设这种商品平均降价率是x，依题意得：40（1﹣x）2＝32.4，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）；
答：这个降价率为10%；
（2）设降价y元，则多销售y÷0.2×10＝50y件，
根据题意得（40﹣20﹣y）（500+50y）＝10000，
解得：y＝0（舍去）或y＝10，
答：该商品在原售价的基础上，再降低10元．
【点睛】考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
【变式12-2】（2020•福田区模拟）为抗击新型肺炎疫情，某服装厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产10万件，第三天生产14.4万件，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：
（1）求每天增长的百分率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是20万件/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少2万件/天，现该厂要保证每天生产口罩60万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
【分析】（1）设每天增长的百分率为x，根据开工第一天及第三天的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（20﹣2m）万件/天，根据每天生产口罩60万件，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【答案】解：（1）设每天增长的百分率为x，
依题意，得：10（1+x）2＝14.4，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：每天增长的百分率为20%．
（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（20﹣2m）万件/天，
依题意，得：（1+m）（20﹣2m）＝60，
整理，得：m1＝4，m2＝5．
又∵在增加产能同时又要节省投入，
∴m＝4．
答：应该增加4条生产线．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式12-3】（2020春•越秀区校级月考）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，计划到2020年底，全省5G基站数量将达到6万座，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
（1）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率；
（2）若2023年保持前两年5G基站数量的年平均增长率不变，到2023年底，全省5G基站数量能否超过25万座？
【分析】（1）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据2020年及2022年底全省5G基站的数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据2023年底全省5G基站的数量＝2022年底全省5G基站的数量×（1+增长率），即可求出2023年底全省5G基站的数量，再与29万座比较后即可得出结论．
【答案】解：（1）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，
依题意，得：6×（1+x）2＝17.34，
解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7（不合题意，舍去）．
答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．
（2）17.34×（1+70%）＝29.478（万座），
∵29.478＞25，
∴到2023年底，全省5G基站数量能超过25万座．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【考点13 一元二次方程的应用（利润问题）】
【例13】（2020春•蜀山区期末）某水果连锁店将进货价为20元/千克的某种热带水果现在以25元/千克的价格售出，每日能售出40千克．
（1）现在每日的销售利润为 元．
（2）调查表明：售价在25元/千克～32元/千克范围内，这种热带水果的售价每千克上涨1元，其销售量就减少2千克，若要使每日的销售利润为300元，售价应为多少元/千克？
【分析】（1）根据每日的销售利润＝每千克的利润×日销售量，即可求出结论；
（2）设每千克上涨x元，则售价为（25+x）元/千克，每日可售出（40﹣2x）千克，根据每日的销售利润为300元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【答案】解：（1）（25﹣20）×40＝200（元）．
故答案为：200．
（2）设每千克上涨x元，则售价为（25+x）元/千克，每日可售出（40﹣2x）千克，
依题意，得：（25+x﹣20）（40﹣2x）＝300，
整理，得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10，
当x＝5时，25+x＝30，符合题意；
当x＝10时，25+x＝35＞32，不合题意，舍去．
答：售价应为30元/千克．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式13-1】（2020春•霍邱县期末）“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x元/件（20≤x≤40）．
（1）请用含售价x（元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数；
（2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元．
①求该商品的售价；
②为了支持“抗疫”行动，李晨决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元，求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额．
【分析】（1）由该商品的售价结合售价每降低1元就会多售出3件，即可得出每天售出该工艺品的件数；
（2）①根据总利润＝每件工艺品的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
②根据每天通过销售该工艺品面捐款的数额＝0.5×每天销售的数量，即可得出结论．
【答案】解：（1）∵该商品的售价为x元/件（20≤x≤40），且当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，
∴每天能售出该工艺品的件数为60+3（40﹣x）＝（180﹣3x）件．
（2）①依题意，得：（x﹣20）（180﹣3x）＝900，
整理，得：x2﹣80x+1500＝0，
解得：x1＝30，x2＝50（不合题意，舍去）．
答：该商品的售价为30元/件．
②0.5×（180﹣3×30）＝45（元）．
答：李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额为45元．
【点睛】本题考查了一元二次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式13-2】（2020•沈河区二模）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利50元．经调查发现：这种衬衫的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件衬衫降价x元．
（1）降价后，每件衬衫的利润为 元，平均每天的销量为 件；（用含x的式子表示）
（2）为了扩大销售，尽快滅少库存，商场决定采取降价措施，但需要平均每天盈利1600元，那么每件衬衫应降价多少元？
【分析】（1）根据“这种衬衫的售价每降低1元时，平均每天能多售出2件”结合每件衬衫的原利润及降价x元，即可得出降价后每件衬衫的利润及销量；
（2）根据总利润＝每件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【答案】解：（1）∵每件衬衫降价x元，
∴每件衬衫的利润为（50﹣x）元，销量为（20+2x）件．
故答案为：（50﹣x）；（20+2x）．
（2）依题意，得：（50﹣x）（20+2x）＝1600，
整理，得：x2﹣40x+300＝0，
解得：x1＝10，x2＝30．
∵为了扩大销售，尽快减少库存，
∴x＝30．
答：每件衬衫应降价30元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式13-3】（2020春•邗江区校级期中）悠悠食品店的A、B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元．
（1）该店每天卖出这两种菜品共多少份？
（2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售的总份数不变，这两种菜品一天的总利润是316元．求A种菜品每天销售多少份？
【分析】（1）由A种菜和B种菜每天的营业额为1120和总利润为280建立方程组即可；
（2）设A种菜品售价降0.5a元，即每天卖（20+a）份，则B种菜品卖（40﹣a）份，每份售价提高0.5a元，最后建立利润与卖出的份数的函数关系式即可得出结论．
【答案】（1）设该店每天卖出A、B两种菜品分别为x份、y份，
根据题意得，．
解得：．
答：该店每天卖出这两种菜品共60份．
（2）设A种菜品售价降0.5a元，即每天卖（20+a）份，则B种菜品卖（40﹣a）份，每份售价提高0.5a元．
（20﹣14﹣0.5a）（20+a）+（18﹣14+0.5a）（40﹣a）＝316．
即a2﹣12a+36＝0
a1＝a2＝6
答：A种菜品每天销售26份．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
【考点14 一元二次方程的应用（动点问题）】
【例14】（2020春•定远县期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：
（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）经过几秒后，P，Q两点间距离是cm？
【分析】（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8cm2，则BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，利用三角形的面积公式结合△PBQ的面积等于8cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）设经过y秒后，P，Q两点间距离是cm，则BP＝（6﹣y）cm，BQ＝2ycm，利用勾股定理结合P，Q两点间距离是cm，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【答案】解：（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8cm2，则BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，
依题意，得：（6﹣x）×2x＝8，
化简，得：x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4．
答：经过2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2．
（2）设经过y秒后，P，Q两点间距离是cm，则BP＝（6﹣y）cm，BQ＝2ycm，
依题意，得：（6﹣y）2+（2y）2＝（）2，
化简，得：5y2﹣12y﹣17＝0，
解得：y1，y2＝﹣1（不合题意，舍去）．
答：经过秒后，P，Q两点间距离是cm．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式14-1】（2020•灌南县一模）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，PQ的长度等于cm？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．
【分析】（1）根据PQ＝2利用勾股定理BP2+BQ2＝PQ2，求出即可；
（2）由（1）得，当△PQB的面积等于7cm2，然后利用根的判别式判断方程根的情况即可；
【答案】（1）设x秒后，PQ＝2
BP＝5﹣x BQ＝2x
∵BP2+BQ2＝PQ2
∴（5﹣x）2+（2x）2＝（2）2
解得：x1＝3，x2＝﹣1（舍去）
∴3秒后，PQ的长度等于2；
（2）△PQB的面积不能等于7cm2，原因如下：
设t秒后，PB＝5﹣t QB＝2t
又∵S△PQBBP×QB＝7
（5﹣t）×2t＝7
∴t2﹣5t+7＝0
△＝52﹣4×1×7＝25﹣28＝﹣3＜0
∴方程没有实数根
∴△PQB的面积不能等于7cm2．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于7m2”，得出等量关系是解决问题的关键．
【变式14-2】（2020•于都县模拟）如图等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝8，点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿AB边向点B运动，过点P作PR∥BC、PQ∥AC分别交AC、BC于R、Q．问：
（1）平行四边形PQCR面积能否为7？如果能，请求出P点运动所需要的时间；如不能，请说明理由；
（2）平行四边形PQCR面积能否为16？能为20吗？如果能，请求分别出P点运动所需要的时间；如不能，请说明理由．
【分析】（1）设动点P从A点出发移动x个单位时，▱PQCR的面积等于7，根据等腰三角形的性质和平行四边形的面积公式可列方程求解；
（2）利用（1）中的方法建立方程，进一步解方程，根据方程根的情况判定即可．
【答案】解：（1）设动点P从A点出发移动x个单位时，▱PQCR的面积等于7，依题意有
82x2（8﹣x）2＝7，
解得：x1＝1，x2＝7．
故运动时间是或秒
答：当动点P从A点出发移动或秒时，▱PQCR的面积等于7cm2．
（2）由题意得
82x2（8﹣x）2＝16
解得：x1＝x2＝4，
此时运动时间为：2（秒）
82x2（8﹣x）2＝20，
此方程无解．
所以当动点P从A点出发移动2秒时，▱PQCR的面积等于16．不存在PQCR的面积等于20．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用三角形和平行四边形的面积得出等量关系是解决问题的关键．
【变式14-3】（2023春•西湖区校级月考）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为cm？
（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？
（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，△PBQ的面积为1cm2？
【分析】（1）设经过x秒，点P，Q之间的距离为cm，根据勾股定理列式求解即可；
（2）设经过y秒，使△PBQ的面积等于8cm2，由三角形的面积公式列式并求解即可；
（3）分三种情况列方程求解即可：①点P在线段AB上，点Q在射线CB上；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上；点P在射线AB上，点Q在射线CB上．
【答案】解：（1）设经过x秒，点P，Q之间的距离为cm，
则AP＝x（cm），QB＝2x（cm），
∵AB＝6cm，BC＝8cm
∴PB＝（6﹣x）（cm），
∵在△ABC中，∠B＝90°
∴由勾股定理得：（6﹣x）2+（2x）2＝6
化简得：5x2﹣12x+30＝0
∵△＝（﹣12）2﹣4×5×30＝144﹣600＜0
∴点P，Q之间的距离不可能为cm．
（2）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，由题意得：
（6﹣x）•2x＝8
解得：x1＝2，x2＝4
检验发现x1，x2均符合题意
∴经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2．
（3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上
设经过m秒，0＜m≤4，依题意有
（6﹣m）（8﹣2m）＝1
∴m2﹣10m+23＝0
解得；m1＝5（舍），m2＝5
∴m＝5符合题意；
②点P在线段AB上，点Q在射线CB上
设经过n秒，4＜n≤6，依题意有
（6﹣n）（2n﹣8）＝1
∴n2﹣10n+25＝0
解得n1＝n2＝5
∴n＝5符合题意；
③点P在射线AB上，点Q在射线CB上
设经过k秒，k＞6，依题意有
（k﹣6）（2k﹣8）＝1
解得k1＝5，k2＝5（舍）
∴k＝5符合题意；
∴经过（5）秒，5秒，（5）秒后，△PBQ的面积为1cm2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，数形结合、分类讨论以及找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
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