专题15 二次函数最值问题分类训练（5种类型50道）-备战2024年中考数学二轮复习之高频考点高效训练（重庆专用）

专题15 二次函数最值问题分类训练（5种类型50道）目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc29966" 【题型1 线段的最值问题】  PAGEREF _Toc29966 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc16626" 【题型2 线段和差的最值问题】  PAGEREF _Toc16626 \h 22 HYPERLINK \l "_Toc13483" 【题型3 周长的最值问题】  PAGEREF _Toc13483 \h 49 HYPERLINK \l "_Toc6723" 【题型4 面积的最值问题】  PAGEREF _Toc6723 \h 70 HYPERLINK \l "_Toc4711" 【题型15 线段比值的最值问题】  PAGEREF _Toc4711 \h 92【题型1 线段的最值问题】1．直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于点A12,52和点B(4,m)，点P是线段AB上异于A、B的动点．过点P作PC⊥x轴交抛物线于点C．  (1)求此抛物线的顶点坐标．(2)求△PAC以A为直角顶点时点P的坐标．(3)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)顶点坐标为：2,−2；(2)P3,5(3)当t=94时，当P点坐标为94,174，线段PC有最大值且为498．【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）先求得直线AB的解析式为y=x+2，设动点P得坐标为m,m+2，则C点得坐标为m,2m2−8m+6，再利用勾股定理建立方程求解即可．（3）设动点P得坐标为t,t+2，则C点得坐标为t,2t2−8t+6，进而表示出PC的长度，根据二次函数的性质求得最值即可求解．【详解】（1）解：∵直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于点A12,52和点B(4,m)，∴m=6，即B4,6，∵A12,52、B4,6在抛物线y=ax2+bx+6上，∴52=122a+12b+66=16a+4b+6，解得a=2b=−8，∴抛物线的解析式为y=2x2−8x+6，∴顶点横坐标为x=−−82×2=2，纵坐标为y=−2，∴顶点坐标为：2,−2；（2）如图，∠PAC=90°，P是线段AB上异于A、B的动点，  设直线AB的解析式为：y=mx+n，∵A12,52、B4,6在直线y=mx+n上，∴12m+n=524m+n=6，解得m=1n=2，∴直线AB的解析式为y=x+2，设动点P得坐标为m,m+2，则C点得坐标为m,2m2−8m+6，∴m−122+m+2−522+m−122+2m2−8m+6−522=−2m2+9m−42，解得：m=12（舍去）或m=3，∴P3,5；（3）∵直线AB的解析式为y=x+2，设动点P得坐标为t,t+2，则C点得坐标为t,2t2−8t+6，∴PC=t+2−2t2−8t+6=−2t2+9t−4=−2t−942+498，∵−2<0，12≤t≤4，∴当t=94时，当P点坐标为94,174，线段PC有最大值且为498．【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，二次函数与特殊三角形，一次函数图象的性质，线段问题，待定系数法求解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．2．如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A−1,0、B3,0，与y轴交于点C．直线y=−x+3与抛物线交于点B与点C．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点D是第一象限抛物线上一点，设D点横坐标为m．连接OD，将线段OD绕O点逆时针旋转90°，得到线段OE，过点E作EF∥x轴交直线BC于F，求线段EF的最大值；(3)如图3，将抛物线y=ax2+bx+3在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，与原抛物线在x轴下方部分的图象组成新图象，若直线y=5x+n与新图象有且只有两个交点，请你直接写出n的取值范围．【答案】(1)y=−x2+2x+3(2)254(3)n<214【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，证明△OEH≌△DOG，进而得到点E的坐标，进而求出点F的坐标，转化为二次函数求最值即可；（3）分别求出直线与新图象相切时，以及直线过点B时的n值，利用平移的思想即可得出结论．【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A−1,0、B3,0，∴a−b+3=09a+3b+3=0，解得：a=−1b=2，∴y=−x2+2x+3；（2）∵点D的横坐标为m 00），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q的坐标；(3)在满足（2）的情况下，在抛物线的对称轴上存在点E，使得△QEA的周长最小，请求点E的坐标．【答案】(1)y=x2−4x−6(2)m=6，Q−2，6(3)2，−2【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先得到点P在直线y=x上，联立y=xy=x2−4x−6求出点P的坐标即可求出m的值，再根据P、Q都在抛物线上切关于对称轴对称即可求出点Q的坐标；（3）作点A关于对称轴对称的点C，连接CE，则C4，−6 ，由轴对称的性质可得△AEQ的周长=AQ+QE+CE，则当Q、E、C三点共线时，QE+CE最小，即△AEQ的周长最小，求出直线CQ的解析式即可求出点E的坐标 ．【详解】（1）解：把A0，−6、B3，−9代入抛物线解析式中得：9a−12+c=−9c=−6，∴a=1c=−6，∴抛物线解析式为y=x2−4x−6；（2）解：∵点P的坐标为m，m，∴点P在直线y=x上，联立y=xy=x2−4x−6，解得x=6y=6或x=−1y=−1（舍去），∴点P的坐标为6，6，即m=6，∵抛物线解析式为y=x2−4x−6=x−22−10，∴抛物线对称轴为直线x=2，∵点P和点Q均在抛物线上，且这两点关于抛物线的对称轴对称，∴点Q的坐标为−2，6（3）解：作点A关于对称轴对称的点C，连接CE，则C4，−6 ，∴AE=CE，∴△AEQ的周长=AE+QE+AQ=AQ+QE+CE，∴当Q、E、C三点共线时，QE+CE最小，即△AEQ的周长最小，设直线CQ的解析式为y=kx+b，∴4k+b=−6−2k+b=6，∴k=−2b=2，∴直线CQ的解析式为y=−2x+2，在y=−2x+2中，当x=2时，则y=−2，∴点E的坐标为2，−2．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，灵活运用所学知识是解题的关键．27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与直线AB交于点A0，−2，B2，0．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，交线段AB于点H．求PC的最大值及此时点P的坐标．(3)若点M是抛物线的顶点，在x轴上存在一点N，使△AMN的周长最小，求此时点N的坐标．【答案】(1)y=x2−x−2(2)PC得到最大值为1，此时点P的坐标为1，−2(3)N417，0【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AB的解析式为y=x−2，设Pm，m2−m−2，则Cm2−m，m2−m−2，求出PC=−m−12+1，由此利用二次函数的性质求解即可；（3）先求出抛物线顶点M的坐标为12，−94；如图所示，作点A关于x轴的对称点E，则E0，2，连接EN，AN，MN，由轴对称的性质可得AN=EN，进一步推出当E、M、N三点共线时，△AMN的周长最小，求出直线EM的解析式为y=−172x+2，再求出当y=0时，x=417，则N417，0．【详解】（1）解：把A0，−2，B2，0代入抛物线y=x2+bx+c中得：4+2b+c=0c=−2，∴b=−1c=−2，∴抛物线的解析式为y=x2−x−2；（2）解：设直线AB的解析式为y=kx+t，把A0，−2，B2，0代入，得2k+t=0t=−2，∴k=1t=−2，∴直线AB的解析式为y=x−2，设Pm，m2−m−2，在y=x−2中，令y=m2−m−2，得x=m2−m，∴Cm2−m，m2−m−2，∴PC=m−m2−m=−m2+2m=−m−12+1，∴当m=1时，PC有最大值1，∴此时点P的坐标为1，−2（3）解：∵抛物线解析式为y=x2−x−2=x−122−94，∴抛物线顶点M的坐标为12，−94；如图所示，作点A关于x轴的对称点E，则E0，2，连接EN，AN，MN，有轴对称的性质可得AN=EN，∴△AMN的周长=AM+AN+MN=EN+MN+AM，∵AM是定值，∴当EN+MN最小时，△AMN的周长最小，∴当E、M、N三点共线时，△AMN的周长最小，设直线EM的解析式为y=k1x+b1，∴12k1+b1=−94b1=2，∴k1=−172b1=2，∴直线EM的解析式为y=−172x+2，在y=−172x+2中，当y=0时，x=417，∴N417，0．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，轴对称最短路径问题，一次函数与几何综合，灵活运用所学知识是解题的关键．28．如图1，在平面直角坐标系中，以直线x=1为对称轴的抛物线y=−x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标是3,0．(1)点A的坐标为______；(2)求抛物线的解析式；(3)如图2，设抛物线的顶点为D，若将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过原点O，且与x轴的另一个交点为E，若在y轴上存在一点F，连接DE，DF，EF，使得△DEF的周长最小，求F点的坐标．【答案】(1)−1,0(2)y=−x2+2x+3(3)F0,83【分析】（1）由抛物线y=−x2+bx+c的对称轴为直线x=1，点B的坐标是3,0，利用抛物线的对称性可得答案；（2）利用待定系数法先求解抛物线的解析式即可；（3）先求解原抛物线的顶点坐标为1,4，再求解平移后的抛物线的解析式为y=−x2+2x及点E的坐标，取E关于y轴对称的对称点M−2,0，连接DM，交y轴于F，则C△DEF=DE+DF+EF=DE+DF+MF=DE+DM，此时周长最短，再利用一次函数的解析式可得答案．【详解】（1）解：∵抛物线y=−x2+bx+c的对称轴为直线x=1，点B的坐标是3,0．∴A的横坐标为：1−3−1=1−2=−1，∴A−1,0．（2）∵抛物线y=−x2+bx+c的对称轴为直线x=1，点B的坐标是3,0．∴−b2×−1=1−9+3b+c=0，解得：b=2c=3，∴抛物线为y=−x2+2x+3，（3）∵抛物线为y=−x2+2x+3=−x−12+4，∴D1,4，将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过原点O，且与x轴的另一个交点为E，设平移后的抛物线为：y=−x−12+n，∴n−1=0，即n=1，∴平移后的抛物线为：y=−x−12+1=−x2+2x，令y=0，则−x2+2x=0，解得：x1=0，x2=2，即E2,0，如图，取E关于y轴对称的对称点M−2,0，连接DM，交y轴于F，则C△DEF=DE+DF+EF=DE+DF+MF=DE+DM，此时周长最短，设DM的解析式为：y=kx+e，∴−2k+e=0k+e=4，解得：k=43e=83，∴DM的解析式为：y=43x+83，当x=0时，y=83，∴F0,83．【点睛】本题考查的是抛物线的对称性的应用，求解抛物线的解析式，一次函数的解析式，抛物线的平移，利用轴对称的性质求解三角形的周长的最小值时点的坐标，掌握抛物线的相关知识是解本题的关键．29．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c经过点A−4,0，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA=OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C2,6．(1)求抛物线的解析式：(2)直线AB的函数解析式为______，点M的坐标为______，连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1:2的两部分，则点P的坐标为______；(3)在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小，则点Q的坐标为______【答案】(1)y=12x2+2x(2)y=x+4，−2,−2，−2,2或0,4；(3)Q0，−43【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式，待定系数法求解析式即可求解；（2）求得直线AB的表达式为：y=x+4，依题意OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则AP=13AC或23AC，进而求得P的纵坐标，即可求解．（3）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′M与y轴交于点Q，连接AQ、MQ、AM，根据题意得出点A′(4，0)，进而待定系数法求得直线A′M的表达式为：y=13x−43 ，进而求得点Q的坐标．【详解】（1）解：将点A、C的坐标代入抛物线表达式，12×16−4b+c=012×4+2b+c=6，解得b=2c=0，故二次函数的表达式为：y=12x2+2x；（2）点A(−4，0)，OB=OA=4，故点B(0，4)，设直线AB的表达式y=k1x+b1，−4k1+b1=0b1=4，解得k1=1b1=4，∴直线AB的表达式为：y=x+4；对于y=12x2+2x，函数的对称轴为直线x=−2，故点M(−2，−2)；OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则AP=13AC或23AC，则yPyC=13或23，即yP6=13或23，解得：yP=2或4，故点P(−2，2)或(0，4)；故答案为：y=x+4，−2,−2，−2,2或0,4；（3）如图所示，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′M与y轴交于点Q，连接AQ、MQ、AM，△AMQ的周长=AM+AQ+MQ=AM+A′M最小，点A′(4，0)，设直线A′M的表达式为：y=kx+b′，则4k+b′=0−2k+b′=−2，解得k=13b′=−43，故直线A′M的表达式为：y=13x−43 ，令x=0，则y=−43，故点Q0，−43．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，轴对称求线段和，求一次函数解析式，综合运用以上知识是解题的关键．30．如图，抛物线y=x2−bx+3交x轴于点C(1，0)，交y轴交于点A，对称轴是直线x=2．(1)求抛物线的解析式；(2)若在抛物线上且在第一象限内有一点D，使△CBD的面积为8，请求出点D的坐标．(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=x2−4x+3(2)D5，8(3)2，1【分析】（1）根据抛物线经过点C(1，0)，代入解析式即可求解；（2）令y=0，求得B(0，3)，设D(m，n)，根据△CBD的面积为8，列出方程即可解决问题；（3）因为点B与点C关于直线x=2对称，根据轴对称的性质，连接AB与x=2交于点P，则点P即为所求，求出直线AB与x=2的交点即可．【详解】（1）解：由题意得：12−b+3=0，解得b=4，∴抛物线的解析式为y=x2−4x+3；（2）令y=0，则x2−4x+3=0，解得：x1=1，x2=3，∴点B(0，3)，∴BC=2，设D(m，n)(m>0，n>0)，∵△CBD的面积为8，∴12×2n=8，即n=8，当n=8时，x2−4x+3=8，解得x1=5，x2=−1 (不合题意)，∴D(5，8)；（3）解：连接AB与直线x=2交于点P，∵点C与点B关于直线x=2对称，∴PB=CP，∴△PAC的周长为PA+PC+AC=PA+PB+AC≥AB+AC，∴当点P与点A、B共线时，△PAC的周长最小为AB+AC，∴点A为(0，3)，设直线AB的解析式为：y=kx+b′，把点A(0，3)，B(3，0)代入得：3k+b′=0b′=3，解得k=−1b′=3，∴直线AB的解析式为：y=−x+3，当x=2时，y=1，∴直线AB与x=2的交点坐标为(2，1)，∴点P的坐标为：(2，1)．【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，轴对称求线段和最值问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．【题型4 面积的最值问题】31．如图，已知抛物钱经过点A(−1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．  (1)求抛物线的解析式；(2)点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于点N．若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长； (3)在（2）的条件下，连接NB、NC，当m为何值时，△BNC的面积最大，最大面积是多少？【答案】(1)y=−x2+2x+3(2)MN=−m2+3m(3)m=32，最大面积为S△BNC=278．【分析】（1）根据题意，设抛物线解析式为y=ax+1x−3，将点C代入求解即可．（2）求出直线BC的解析式，求出M、N的坐标，即可求解；（3）由题意可得S△BNC=12×MN×OB，根据二次函数的性质求得MN的最大值，即可求解．【详解】（1）解：根据题意，抛物钱与x轴交于点A(−1，0)，B(3，0)设抛物线解析式为y=ax+1x−3将C(0，3)代入可得：−3a=3，解得a=−1即y=−x+1x−3=−x2+2x+3；（2）设直线BC的解析式为y=kx+b将B(3，0)、C(0，3)代入可得：3k+b=0b=3，解得k=−1b=3即y=−x+3，则M(m,−m+3)，N(m,−m2+2m+3)，MN=−m2+2m+3−−m+3=−m2+3m；（3）由题意可得：S△BNC=S△BNM+S△MNC=12×MN×OB=32−m2+3m=−32m2+92m  ∵−32<0，开口向下，∴m=−92−2×32=32时，S△BNC面积最大，∴最大面积为S△BNC=−32×322+92×32=278．【点睛】此题考查了二次函数与几何的综合应用，涉及了待定系数法求一次函数，二次函数的解析式，线段问题，面积问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质．32．已知，抛物线y=−x2+bx+c经过点A−1,0和C0，3．  (1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；(3)设点B是抛物线与x轴的另一个交点，点M是直线BC上方的抛物线上的一点，当△MBC的面积最大时，求点M的坐标．【答案】(1)y=−x2+2x+3(2)存在，点P的坐标为1,2(3)32,154【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）连接BC交抛物线的对称轴于点P，此时PA+PC取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 B的坐标，由点B3,0，C0,3求出直线BC的解析式，利用配方法求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）连接MO，设Mm,−m2+2m+3 0