专题08 解直角三角形实际问题（4种类型40道）-备战2024年中考数学二轮复习之高频考点高效训练（重庆专用）

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\l "_Tc24816" 【题型1直接求线段长】 PAGEREF _Tc24816 \h 1
\l "_Tc19680" 【题型2求造价问题】 PAGEREF _Tc19680 \h 14
\l "_Tc28523" 【题型3 判断谁先到达】 PAGEREF _Tc28523 \h 27
\l "_Tc26277" 【题型4 判断能否达到目标】 PAGEREF _Tc26277 \h 44
【题型1直接求线段长】
1．如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山A处的位置向乙山B处拉电线．已知甲山上A点到CD的垂直高度AC=120米；乙山BD的坡比为4:3，乙山上B点到河边D的距离BD=650米，从B处看A处的俯角为25°．（A、B、C、D在同一平面内，参考值：sin25°≈0.423,cs25°≈0.906,tan25°≈0.466）

(1)求乙山B处到河边CD的垂直距离；
(2)求河CD的宽度（结果保留整数）．
【答案】(1)乙山B处到河边CD的垂直距离为520米
(2)河CD的宽度约为468米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题．
（1）过点B作BE⊥CD，垂足为E，根据已知可设BE=4k米，则DE=3k米，然后在Rt△BDE中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）过点A作AF⊥BE，垂足为F，根据题意可得：AF=CE，AC=EF=120米，BG∥AF，从而可得∠ABG=∠BAF=25°，再利用（1）的结论可得BF=400米，然后在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而求出CE的长，进行计算即可解答．
【详解】（1）过点B作BE⊥CD，垂足为E，
∵乙山BD的坡比为4：3，
∴BEDE=43，
∴设BE=4k米，则DE=3k米，
在Rt△BDE中，BD=DE2+BE2=3k2+4k2=5k（米），
∵BD=650米，
∴5k=650，
∴k=130，
∴BE=520米，DE=390米，
∴乙山B处到河边CD的垂直距离为520米；
（2）如图：过点A作AF⊥BE，垂足为F，
由题意得：AF=CE，AC=EF=120米，BG∥AF，
∴∠ABG=∠BAF=25°，
∵BE=520米，
∴BF=BE-EF=520-120=400（米），
在Rt△ABF中，AF=BFtan25°≈4000.466≈858.4（米），
∴CE=AF=858.4米，
∴CD=CE-DE=858.4-390≈468（米），
∴河CD的宽度约为468米．
2．如图AB是一条东西走向的海岸线，一艘货船在点A处以每小时30海里的速度沿北偏东30°方向航行，经过2小时后到达点D处，在D处测得灯塔C位于南偏东54°方向，已知灯塔C距离海岸的距离BC是30海里，求此时货船与灯塔之间的距离CD．（结果精确到0.1海里．参考数据：sin54°≈0.81,cs54°≈0.59,tan54°≈1.38,3≈1.73）
【答案】此时货船与灯塔之间的距离CD约为37.1海里．
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，作DF⊥AB于点F，先求得DF=303海里，再求得CE≈21.9海里，最后解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，作DF⊥AB于点F，
由题意可知BC=30海里，AD=30×2=60海里，∠CDF=∠DCE=54°,∠ADF=30°，
∴在Rt△ADF中，DF=AD⋅sin60°=60×32=303海里
∴BE=DF=303海里
∴CE=BE-BC=303-30≈21.9海里
∵DE⊥BC，
∴cs∠DCE=CEDC，
即303-30DC≈0.59
∴CD≈37.1海里
答：此时货船与灯塔之间的距离CD约为37.1海里．
3．在一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，AB表示窗户，且AB=2米，BCD表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD的最小夹角α为18.6°，最大夹角β为64.5度，请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳蓬中CD的长是多少米？（结果保留两个有效数字）（参考数据：sin18.6°=0.32，tan18.6°=0.34，sin64.5°=0.90，tan64.5°=2.1）
【答案】CD长约为1.1米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，设CD为x，解直角三角形求出BC=0.34x米，AC=2.1x米，由AB=AC-BC得到方程2=2.1x-0.34x，解方程即可求解，通过解直角三角形求出AC和BC的长是解题的关键．
【详解】解：设CD为x，在Rt△BCD中，∠BDC=α=18.6°，
∵tan∠BDC=BCCD，
∴BC=CD⋅tan∠BDC=0.34x，
在Rt△ACD中，∠ADC=β=64.5°，
∵tan∠ADC=ACCD，
∴AC=CD⋅tan∠ADC=2.1x，
∵AB=AC-BC，
∴2=2.1x-0.34x，
解得x≈1.1，
答：CD长约为1.1米．
4．如图所示，实习期间小田接到任务测量塔AB的高度，但是无法直接测量．于是他先在塔附近的空地C处地面上水平放置了一个平面镜，然后他沿着BC方向移动，当移动到点E时，他刚好在平面镜内看到这座塔的顶端A的像，此时，测得顶端A的仰角为40°，CE=1米，小田同学眼睛与地面的距离DE=1.5米，已知点B，C，E在同一水平线上，且DE，AB均垂直于BE，若平面镜的厚度忽略不计，则这座塔的高度AB约为多少米．（参考数据：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84）（结果精确到0.1米）
【答案】这座塔的高度AB约为5.3米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形．作DF⊥AB于F，则DF=EB，BF=DE=1.5，证△CDE∽△CAB，得出DECE=ABBC=32，设AB=3x，BC=2x，再分别用含x的式子表示出DF、AF，根据三角函数tan∠ADF=tan40°≈0.84=AFDF，即可得到关于x的一元一次方程，即可求解．
【详解】解：作DF⊥AB于F，如图：
则DF=EB，BF=DE=1.5，
依题意可得：∠ADF=40°，∠DCE=∠ACB，∠DEC=∠ABC=90°，
∴△CDE∽△CAB，
∴DECE=ABBC，
∵DECE=1.51=32，
∴ABBC=32，
设AB=3x，BC=2x，
∴DF=EB=CE+BC=1+2x， AF=AB-BF=3x-1.5，
在Rt△ADF中，
tan∠ADF=tan40°≈0.84=AFDF，
∴3x-1.51+2x=0.84，
解得：x≈1.77，
∴AB=3x≈5.3（米），
答：这座塔的高度AB约为5.3米．
5．如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为45°，沿斜坡走35米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为31°，且斜坡AF的坡比为1:2．

(1)求小明从点A到点D的过程中，他上升的高度；
(2)大树BC的高度约为多少米？（参考数据：sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60）
【答案】(1)小明从点A到点D的过程中，他上升的高度为3米
(2)大树的高度约为16.5米
【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，熟练掌握勾股定理的内容，解直角三角形的方法和步骤，以及正确画出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
（1）作DH⊥AE于H，根据DHAH=12，得出AH=2DH，再根据勾股定理得出AH2+DH2=AD2，列出方程求解即可；
（2）延长BD交AE于点G，设BC=xm，则GH=DHtan∠G≈30.60=5，根据AH=2DH=6，得出GA=GH+AH=11，根据tan∠G=BCGC，得出CG=53x，再根据∠BAC=45°，得出AC=BC=x．最后根据GC-AC=AG，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：作DH⊥AE于H，如图1所示：
AI
在Rt△ADH中，
∵DHAH=12，
∴AH=2DH，
∵AH2+DH2=AD2，
∴2DH2+DH2=352，
∴DH=3．
答：小明从点A到点D的过程中，他上升的高度为3米；
（2）解：如图2所示：延长BD交AE于点G，
设BC=xm，
由题意得，∠G=31°，
∴GH=DHtan∠G≈30.60=5，
∵AH=2DH=6，
∴GA=GH+AH=5+6=11，
在Rt△BGC中，tan∠G=BCGC，
∴CG=BCtan∠G≈x0.60=53x，
在Rt△BAC中，∠BAC=45°，
∴AC=BC=x．
∵GC-AC=AG，
∴53x-x=11，
解得：x=16.5．
答：大树的高度约为16.5米．

6．某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为37°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】13米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，由tan37°=DEAE≈0.75可得AE=40，进而得到BE=17，由四边形BCFE是矩形得到CF=BE=17，进而得到DF=CF=17，即可求解，利用数形结合以及锐角三角函数关系求解是解题的关键．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，则四边形BCFE是矩形，
由题意得，AB=57，DE=30，∠A=37°，∠DCF=45°，
在Rt△ADE中，∠AED=90°，
∴tan37°=DEAE≈0.75，
∴AE=40，
∵AB=57，
∴BE=17，
∵四边形BCFE是矩形，
∴CF=BE=17，
在Rt△DCF中，∠DFC=90°，
∴∠CDF=∠DCF=45°，
∴DF=CF=17，
∴BC=EF=30-17=13，
答：教学楼BC高约13米．
7．长泰大桥是长春市“两横三纵”快速路的关键节点工程，大桥建筑类型为斜拉式高架桥，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是31°，拉索AB的长AB=100米，主塔处桥面距地面CD=7.84米，试求BD的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°=0.52，cs31°=0.86，tan31°=0.60）
【答案】主塔BD的高约为59.8米
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，根据直角三角形中由三角函数得出BC相应长度，再由BD=BC+CD可得出.
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinA=BCAB，
∴BC=AB⋅sinA=100×sin31°=100×0.52=52，
∴BD=BC+CD=52+7.84=59.84≈59.8（米）
答：主塔BD的高约为59.8米．
8．无锡市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD=64°，BC=60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm．
(1)求坐垫E到地面的距离；
(2)根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE'的长．
（结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cs64°≈0.44，tan64°≈2.05）
【答案】(1)99.5cm
(2)3.9cm
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出相应的辅助线，熟练掌握三角函数的定义．
（1）过点E作EM⊥CD于点M，解直角三角形求出EM，然后求出结果即可；
（2）过点E'作E'H⊥CD于点H，先求出E'H=80×0.8=64cm，根据三角函数求出E'C，然后求出结果即可．
【详解】（1）解：如图1，过点E作EM⊥CD于点M，
由题意知∠BCM=64°，EC=BC+BE=60+15=75cm，
∴EM=ECsin∠BCM=75sin64°≈67.5cm，
则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5cm；
（2）解：如图2，过点E'作E'H⊥CD于点H，
由题意知E'H=80×0.8=64cm，
则E'C=64sin64°≈71.1cm，
∴EE'=CE-CE'=75-71.1=3.9cm．
9．如图，小明在高楼BC上观测河对岸的斜坡AD．斜坡AD处有一段路在抢修，导致无法通行，BD是一条河流，P是斜坡AD上一照明灯（不计高度）．当小明到达楼层E时，发现E处与坡顶A在同一水平面上，此时在E测得坡底D的俯角为α（即∠DEA=α），且tanα=23，当小明到达楼层F处时，在F处测得坡顶A的俯角恰好也为α．现测得EB=8m，EF=32m．

(1)求线段BD的长．
(2)求tan∠DAE的值．
(3)小明到达楼顶C处时，在C处测得探照灯P的俯角为45°，CF=5m，求点P到点A的距离．
【答案】(1)BD=12m；
(2)tan∠DAE=29；
(3)点P到点A的距离为85m．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．
（1）由tanα=BEBD=23，EB=8m，据此即可求解；
（2）作DI⊥AE，则四边形BDIE是矩形，由∠EAF=α，EF=32m，利用正切函数求得AE的长，据此求解即可；
（3）作PG⊥BC，设EG=HI=a，证明△DPH∽△DAI，利用相似三角形的性质求得a=2，据此求解即可．
【详解】（1）解：由题意得∠EDB=∠DAE=α，
∵tanα=23，EB=8m，
∴tanα=BEBD=23，即8BD=23，
∴BD=12m；
（2）解：作DI⊥AE，则四边形BDIE是矩形，
∴IE=BD=12，ID=BE=8，
∵∠EAF=α，EF=32m，
∴tanα=EFAE=23，
∴AE=48m，
∴AI=AE-IE=48-12=36，DA=82+362=485，
∴tan∠DAE=DIAT=836=29；
；
（3）解：如图，作PG⊥BC，则四边形BDHG、EIHG是矩形，
设EG=HI=a，
∵∠PCG=45°，
∴PG=CG=5+32+a=37+a，
∴PH=PG-HG=37+a-12=25+a，
∵PH∥AI，
∴△DPH∽△DAI，
∴PHAI=DHDI=DPDA，即25+a36=8-a8=DP485，
∴a=2，
∴DP=385，
∴AP=485-385=85．
∴点P到点A的距离为85m．
10．如图，小岛B位于小岛A的南偏东37°方向，在AB的中点处建设了灯塔C，一艘物资船位于小岛A的正南方向、小岛B的正西方向的D处，它从D处沿正北方向航行5km，到达E处，此时测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离小岛A有多远?（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】35km
【分析】作CH⊥AD于H．设CH=x，在Rt△ACH中，AH=4x3，在Rt△CEH中，得到EH=CH=x，证明CH∥BD，则AHHD=ACCB，进一步得到AH=HD，则4x3=x+5，求出x的值，进一步即可得到答案．
此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握方位角和利用数形结合思想是解题的关键．
【详解】解：如图，作CH⊥AD于H．设CH=x，
在Rt△ACH中，∠A=37°，
∵tan37°=CHAH，
∴AH=CHtan37°=x0.75=4x3，
在Rt△CEH中，∵∠CEH=45°，
∴EH=CH=x，
∵CH⊥AD,BD⊥AD，
∴CH∥BD，
∴AHHD=ACCB，
∵AC=CB，
∴AH=HD，
∴4x3=x+5，
∴x=15，
∴AH=4x3=20，
∴AE=AH+HE=20+15=35，
∴E处距离港口A有35km．
【题型2求造价问题】
11．济南黄河大桥位于济南北郊，该桥于1982年7月建成通车，至今已40年整，大桥总长2023.44米，是当时亚洲跨径最大的桥梁，在当时世界十大预应力混凝土斜拉桥中排行第8位．某校数学“综合与实践”小组的同学利用课余时间按照如图所示的测量示意图对该桥进行了实地测量，测得如下数据：∠ADC=60°，∠ABC=30°，垂直高度AC=150米．
(1)求BD的长（保留根号）；
(2)若要在最长的斜拉链条AB和斜塔AD上装LED节能灯带，灯带每米造价200元，求斜拉链条AB和斜塔AD上灯带的总造价是多少元？（取2≈1.4，3≈1.7，5≈2.2）
【答案】(1)1003米
(2)94000元
【分析】（1）根据∠ADC=60°，，AC=150米，即可求出AD的长度，根据三角形的外角定理可得出∠DAB的读书，最后根据等角对等边即可解答；
（2）先求出AD和AB的总长度，即可求解．
【详解】（1）解：在Rt△ACD中，AC=150米，∠ADC=60°，
∴AD=ACsin60°=15032=1003（米），
∵∠ADC是△ADB的一个外角，
∴∠DAB=∠ADC-∠ABC=30°，
∴∠DAB=∠ABC=30°，
∴AD=BD=1003（米），
∴BD的长为1003米；
（2）在Rt△ACD中，AC=150米，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=300（米），
∴AD+AB=1003+300≈470（米），
∴470×200=94000（元）．
答：斜拉链条AB和斜塔AD上灯带的总造价约为94000元．
【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握各个三角函数的定义，根据已知条件求解直角三角形的边．
12．巫云开高速起于巫溪县， 经云阳县， 止于开州区， 是渝东北地区与主城都市区联系的重要通道， 也是重庆过境大通道的重要组成部分， 预计在 2025 年建成通车． 为及时学握巫云开高速通车后是否会对沿途居民生活产生噪音影响， 施工单位派出了两名勘测师对已经修建好的高速路段 DE 进行勘测． 如图， 勘测师甲在一段自西向东的的高速路上的 A 处发现民宿 C 在 A 处北偏西 45∘ 方向上， 与 A 处距离为 80 米， 民宿 B在 A 处北偏东 60∘ 方向上； 勘测师乙在民宿 B 处测得民宿 C 在 B 处北偏西 75∘ 的方向上．
(1)求 BC 的距离（结果保留一位小数）；
(2)当居住场所与高速路的距离不大于 30 米的时候， 人们的生活会被高速路上的噪声影响， 相关部门可通过加装隔音堜来减少噪声污染， 每米隔音墙的单价为 158 元． 请判断民宿 B 是否会被高速路上的噪声影响? 如果有被影响， 则在对民宿有噪音影响的高速路段上全部安装隔音墙， 请计算出安装隔音墙需要资金多少元? 如果没有被影响， 请说明理由．（参考数据： 2≈1.414,3≈1.732 ）
【答案】(1)109.3米
(2)3160元
【分析】（1）过点A作AT⊥DE，过点B作BK⊥DE于N，过点A作AM⊥BC于M，证△AMB是等腰直角三角形得AM=BM，∠BAM=45°，再由含30°角的直角三角形的性质得AM=12AC=40（米），然后由勾股定理得CM=403（米），即可解决问题；
（2）由含30°角的直角三角形的性质得BN=12AB=202（米），再由202米＜30米，得民宿B会被高速路上的噪声影响，设在DE上从G到H处受影响，则BG=BH=30米，然后由勾股定理得GN=HN=10（米），即可解决问题．
【详解】（1）如图，过点A作AT⊥DE，过点B作BK⊥DE于N，过点A作AM⊥BC于M，
则AT∥KN，
∴∠ABN=∠BAT，
由题意得：∠CAT=45°，∠BAT=60°，∠CBK=75°，
∴∠ABN=60°，
∴∠ABC=180°-∠CBK-∠ABN=180°-75°-60°=45°，
∴△AMB是等腰直角三角形，
∴AM=BM，∠BAM=45°，
∴∠CAM=∠CAT+∠BAT-∠BAM=45°+60°-45°=60°，
∴∠C=30°，
∴AM=12AC=12×80=40（米），
∴CM=AC2-AM2=802-402=403（米），
∴BC=BM+CM=AM+CM=40+403≈109.3（米）；
（2）由（1）得：△AMB是等腰直角三角形，AM=40米，
∴AB=2AM=402（米），
∵∠BAN=90°-∠BAT=90°-60°=30°，
∴BN=12AB=202（米），
∵202米＜30米，
∴民宿B会被高速路上的噪声影响，
设在DE上从G到H处受影响，则BG=BH=30米，
∵BN⊥DE，
∴GN=HN=BG2-BN2=302-(202)2=10（米），
∴GH=2×10=20（米），
∴安装隔音墙需要资金为：20×158=3160（元）．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
13．如图1，和平大桥是徐州市地标建筑，也是国内跨铁路最多的大桥，某数学小组的同学利用课余时间对该桥进行了实地测量，如图2所示的测量示意图，测得如下数据；∠A＝27°，∠B＝31°，斜拉主跨度AB＝368米．
（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，求CD的长（结果精确到0.1）；
（2）若主塔斜拉链条上的LED节能灯带每米造价90元，求斜拉链条AC上灯带的总造价是多少元？（参考数据tan27°≈0.5，sin27°≈0.45，cs27°≈0.9：tan31°≈0.6）
【答案】（1）100.4米；（2）20080元
【分析】（1）设CD＝x（米），在Rt△ADC中表示出AD＝2x，在Rt△BDC中，表示出BD＝53x，根据AB＝AD+BD建立关于x的方程，解之求出x的值，从而得出答案；
（2）先求出AC的长度，再乘以单价即可得出答案．
【详解】解：（1）∵CD⊥AB于点D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
设CD＝x，
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠A＝27°，
∴tan27°＝CDAD，
即xAD≈0.5，
∴AD＝2x，
在Rt△BDC中，∠B＝31°，
∵tan31°＝CDBD，
即0.6≈xBD，
∴BD＝53x，
∵AB＝AD+BD．
∴2x+53x＝368，
∴x＝100.4，
∴CD＝100.4（米）；
（2）在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠A＝27°，
∴费用：90×AC＝90×CDsin27°≈90×＝20080（元），
答：斜拉链条AC上灯带的总造价是20080元．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握三角函数的应用、直角三角形的有关性质．
14．大数据时代的降临带来了大量爆炸性的知识增长，其中很大一部分被转化为实用技术推入商用，激光电视就是近几年发展相当迅猛的其中一支．激光电视最值得一提的是对消费者眼睛的保护方面，其光源是激光，运用了反射成像原理，屏幕不通电，无辐射，观看时不会感到刺眼．根据THX、isf观影标准，水平视角33－40°时，双眼处于肌肉放松状态，是享受震撼感官体验的客厅黄金观影位．
（1）如图，小佳家决定要换一个激光电视，他家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，请你计算一下小佳家要选择电视屏幕宽（BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54，cs33°≈0.84，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，cs16.5°≈0.96，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36）
（2）由于技术革新，激光电视的功能越来越强大，价格也逐渐下降，某电器行经营的某款激光电视去年销售总额为50万元，今年每台销售价比去年降低4000元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？
【答案】（1）小佳家要选择电视屏幕宽为2.10m－2.52m之间的激光电视就能享受黄金观看体验；（2）16000元
【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，由等腰三角形三线合一性质可得BC＝2BD，∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC，利用锐角三角函数得出BC即可；
（2）设：今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x＋4000）元．根据去年总销售额除以去年单价和今年总销售额除以今年单价相同构建方程，解方程即可．
【详解】解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD，∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC，
当∠BAC＝33°时，∠BAD＝∠CAD＝16.5°，
在△ABD中，BD＝AD×tan16.5°≈3.5×0.30＝1.05 m，
∴BC＝2BD＝2.10 m ，
当∠BAC＝40°时，∠BAD＝∠CAD＝20°，
在△ABD中，BD＝AD×tan20°≈3.5×0.36＝1.26 m，
∴BC＝2BD＝2.52 m，
答：小佳家要选择电视屏幕宽为2.10m－2.52m之间的激光电视就能享受黄金观看体验；
（2）设：今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x＋4000）元．
由题意可得：500000x+4000=500000×(1-20%)x ，
解得：x＝16000 ，
经检验x＝16000是原方程的解，符合题意，
答：今年这款激光电视每台的售价是16000元．
【点睛】本题考查等腰三角形性质，锐角三角函数，列分式方程解应用题，掌握等腰三角形性质，锐角三角函数，列分式方程解应用题是解题关键．
15．如图1，通海桥是座大规模斜拉式大桥，通海桥主塔两侧斜拉链条在夜间亮灯后犹如天鹅之翼，优雅非凡．某数学“综合与实践”小组的同学利用课余时间按照如图2所示的测量示意图对该桥进行了实地测量，测得如下数据：∠A=30°，∠B=45°，斜拉主跨度AB=260米．
（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，求CD的长(3取1.7)；
（2）若主塔斜拉链条上的LED节能灯带每米造价800元，求斜拉链条AC上灯带的总造价是多少元？
【答案】（1）CD=91米；（2）斜拉链条AC上的LED节能灯带造价是145600元
【分析】（1）设CD=x，在Rt△ADC中表示出AD=3x，在Rt△BDC中，表示出CD=BD=x，根据AB=AD+BD建立关于x的方程，解之求出x的值，从而得出答案；
（2）先求出AC的长度，再乘以单价即可得出答案．
【详解】解：（1）∵CD⊥AB于点D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
设CD=x，
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠A=30°，
∴ tan30°=CDAD，即xAD=33，
∴ AD=3x，
在Rt△BDC中，∠B=45°，
∴CD=BD=x，
∵AB=AD+BD．
∴ 3x+x=260，
∴ x=2603+1，
∴ x=130(3-1)=130×0.7=91，
∴CD=91米．
（2）在Rt△ADC中∠ADC=90°，∠A=30°，
∴AC=2CD（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴AC=182，
∵LED节能灯带每米造价为800元，
∴800×182=145600（元)，
答：斜拉链条AC上的LED节能灯带造价是145600元．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握三角函数的应用、直角三角形的有关性质．
16．一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形．现需将其整修并进行美化，方案如下：①将背水坡AB的坡度由1:0.75改为1:3；②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花．
（1）求整修后背水坡面的面积；
（2）如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？
【答案】(1)720米2(2)16000元
【分析】（1）本题可通过构建直角三角形来解，过A作AE⊥BC于E，直角三角形ABE中根据AB的坡度，设出AE、BE的长，然后根据勾股定理求出未知数的值，也就求出了AE、BE的长，直角三角形AB′E中，有坡度，有AE的长，就能求出AB′的长，有了AB′的长，坡的面积便可求出了；
（2）可通过不同种植方法的成本来得出最佳种植方案．
【详解】（1）作AE⊥BC于E．
∵原来的坡度是1：0.75，∴AEEB=10.75=43，设AE=4k，BE=3k，∴AB=5k．
又∵AB=5米，∴k=1，则AE=4米，设整修后的斜坡为AB′，由整修后坡度为1：3，有tan∠AB′E=AEEB'=13，∴∠AB′E=30°，∴AB′=2AE=8米，∴整修后背水坡面面积为90×8=720米2．
（2）∵要依次相间地种植花草，则必然有一种是5块，有一种是4块，而栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，∴两种方案中，选择种草5块、种花4块的方案花费较少．
∵整修后背水坡面面积为720米2，∴每一小块的面积是7209=80米2，∴需要花费20×5×80+25×4×80=16000元．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题．解题的关键是构造直角三角形．两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边是解决此类题目的基本出发点．
17．小明家准备建造长为28米的蔬菜大棚，示意图如图（1）．它的横截面为如图（2）所示的四边形ABCD，已知AB=3米，BC=6米，∠BCD=45°，AB⊥BC，D到BC的距离DE为1米．矩形棚顶ADD'A'及矩形DCC'D'由钢架及塑料薄膜制作，造价为每平方米120元，其它部分（保温墙体等）造价共9250元，则这个大棚的总造价为多少元？（精确到1元）
（下列数据可供参考2=1.41，3=1.73，5=2.24，29=5.39，34=5.83）
【答案】32098元
【详解】如图所示，过D作DF⊥AB于F，墙体费用已知为9250元，因此必须求出薄膜费用，而面积是关键，由DE=BF=1，DF=BE，∠BCD=45°，可得CE=1，利用勾股定理知CD=，又BC=6，那么DF=BE=5．在Rt△AFD中，AF=2，DF=5，∴AD==5.39，∴塑料薄膜总面积为（+）×28，由此可以求出总造价了；
解：过D作DF⊥AB于F，
∵AB⊥BC，∴DF∥BC，
又∵DE⊥BC，∴DE∥AB，
∴四边形BEDF为矩形，
∴DE=BF=1，DF=BE，
又∵∠BCD=45∘，∴CE=1，CD=2，
又BC=6，∴DF=BE=5，
在Rt△AFD中，AF=2，DF=5，
∴AD=4+25=29=5.39，
∴ S四边形ADD'A'=29×28≈150.9，
S四边形DCC'D'=2×28≈39.5，
∴总造价为(150.9+39.5)×120+9250≈32098（元）．
18．郑州市农业路高架桥二层的开通，较大程度缓解了市内交通的压力，最初设计南阳路口上桥匝道时，其坡角为15°，后来从安全角度考虑将匝道坡角改为5°(见示意图)，如果高架桥高CD＝6米，匝道BD和AD每米造价均为4 000元，那么设计优化后修建匝道AD的投资将增加多少元？(参考数据：sin5°≈0.08，sin15°≈0.25，tan5°≈0.09，tan15°≈0.27，结果保留整数)
【答案】204000元.
【详解】试题分析：根据锐角三角函数可以分别表示出AD和BD的长，从而可以求得设计优化后修建匝道AD的投资将增加多少元．
试题解析：由题意可得，
∵∠DCA=90∘，CD=6米，
∴在Rt△ACD中, ∠CAD=5∘，
∴AD=6sin5∘≈75.
在Rt△BCD中, ∠CBD=15∘，
∴BD=6sin15∘≈24.
∴设计优化后修建匝道AD的投资将增加：(75-24)×4000=204000 (元)，
即设计优化后修建匝道AD的投资将增加204000元．
19．近年来，劳动教育引起了政府和各级教育部门的高度重视，县政府准备把一块四边形ABCD的空地整理出来作为城内各学校的公共劳动教育基地，如图，点C在点D的南偏东45°方向上，点A在点D的北偏东60°方向上，点B在点A的正东方向，点C在点B的正南方向．已知AB=100米，CD=4002米．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
(1)求四边形空地AD边的长（精确到0.1千米）
(2)政府计划用5万元在空地四周建立防护栏，每米防护栏的改造费用为30元，判断费用是否充足？
【答案】(1)346.4
(2)改造费用不充足
【分析】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键.
（1）延长BA交SN于点E，过点C作CF⊥SN于点F， 在Rt△CDF中，解直角三角形即可求出AD的长；
（2）分别在Rt△CDF中和Rt△ADE中, 求出CF,DF,CD,AE,DE, 求出四边形ABCD的周长，再求出改造费用与计划费用比较即可作出判断.
【详解】（1）延长BA交SN于点E，过点C作CF⊥SN于点F，
由题意，知BCFE是矩形，AB=100米, CD=4002米, ∠CDF=45°,∠ADE=60°,
∴BE=CF,
在Rt△CDF中,
CF=CD⋅sin∠CDF=4002⋅sin45°=400(米)，
DF=CD·cs∠CDF=4002·cs45°=400(米)，
∴BE=CF=400米，
AE=BE-AB=300(米)，
在Rt△ADE中，
AD=AEsin∠ADE=300sin60°=2003≈346.4(米)，
答：四边形空地AD边的长约为346.4米；
（2）∵ED=AEtan∠ADE=300tan60°=1003(米)，AB=100米，
BC=EF=DE+DF=1003+400(千米)，CD=4002米, AD=2003米,
∴AB+BC+CD+AD=100 +1003+400+4002+2003 ≈1758.4(米)，
需要改造费用 1758.4×30=52752(元)，
∵52752>50000，
∴改造费用不充足．
20．随着精准扶贫政策的落地实施，小亮家所在的村落进行了整村搬迁，小亮同家人一起告别了祖辈们世代居住的窑洞，搬进了宽敞明亮的新房．他家的新房全部安装的是内倒式窗户．为帮助家人确定窗边家具摆放位置，小亮想要知道开启窗扇时，窗扇顶端向屋内移动的水平距离．如图，小亮测得窗扇高度AB＝80cm，开启时的最大张角∠A＝22.5°，窗扇开启后的位置为AB'．
（1）请根据这些数据帮助小亮计算开启窗扇时，窗扇顶端向屋内移动的最大水平距离（不考虑窗扇的厚度，参考数据sin22.5°≈0.38，cs22.5°≈0.92，tan22.5°≈0.41）；
（2）小亮的爸爸说：“咱家安装窗户总共花了4800元，隔壁小明家安装的是平移式窗户，他家窗户总面积比咱家多3平方米，但他家总共才花了3680元，咱家安装的这种内倒式窗户每平方米的价格是小明家安装的平移式窗户每平方米价格的1.5倍.”请你根据以上信息求出小亮家安装的这种内倒式窗户每平方米多少元？
【答案】（1）窗扇顶端向屋内移动的最大水平距离为30.4cm；（2）小亮家安装的这种内倒式窗户每平方米240元
【分析】（1）过点B'作AB的垂线，垂足为C，根据平移的性质得出AB'＝AB，进而利用三角函数解答即可；
（2）设小明家安装的平移式窗户每平方米价格为x元，根据题意列出分式方程解答即可．
【详解】解：（1）过点B'作AB的垂线，垂足为C，
可得窗扇顶端向屋内移动的水平距离为B'C，AB'＝AB，
在Rt△AB'C中，B'C＝AB'•sin∠A≈80×0.38＝30.4（cm），
答：窗扇顶端向屋内移动的最大水平距离为30.4cm；
（2）设小明家安装的平移式窗户每平方米价格为x元，
根据题意得：3680x-48001.5x=3，
解得：x＝160，
经检验，x＝160是原方程的根，1.5x＝240，
答：小亮家安装的这种内倒式窗户每平方米240元．
【点睛】本题考查解直角三角形，解分式方程等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【题型3 判断谁先到达】
21．如图，五边形ABCDE是某公园的游览步道，把公园的五个景点连接起来，为方便游览，增设了步道AC．经勘测，∠BAE=90°，景点C在景点A的东北方向，且在景点B的南偏东60°方向的800米处，景点D在景点C的正南方向500米处，∠AED=150°．（参考数据：2≈1.414,3≈1.732）
(1)求景点A与景点E的距离：（结果精确到1米）
(2)甲、乙两人同时从景点A出发，选择相反的路线依次游览其余四个景点，最后回到景点A，两人在各景点处停留时间忽略不计．其中甲的游览路线是A→B→C→D→E→A，甲游览的平均速度是100米/分，乙游览的平均速度是80米/分．请通过计算说明在游览过程中，甲、乙谁先到达景点C？
【答案】(1)359米
(2)乙先到达景点C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点D作DM⊥AE，交AE的延长线于点M，过点C作CN⊥AB，垂足为C，求出CN=AN=4003，再求出EM即可解答；
（2）利用（1）的结论再在Rt△DEM中，利用勾股定理可求出DE的长，从而求出甲和乙的路程，最后进行计算即可解答．
【详解】（1）解：过点D作DM⊥AE，交AE的延长线于点M，过点C作CN⊥AB，垂足为C，
由题意得：
∠B=60°，BC=800米，∠BAC=∠EAC=45°,CD=500米
在RtΔCNB中，∠B=60°，BC=800米
∴BN=CB⋅cs60°=800×12=400米，
CN=BC⋅sin60°=800×32=4003（米)，
∵∠BAC=∠EAC=45°
∴CN=AN=4003米，
∵∠ANC=∠EAN=∠M=90°
∴四边形NAMC为矩形
∴CM=AN=4003，CN=AM=4003
∵CD=500米
∴DM=4003-500米
∵∠AED=150°
∴∠MED=30°
在Rt△DEM中，∠MED=30°，DM=4003-500米
∴EM=DM⋅tan60°=4003-500×3=1200-5003米
∴AE=AM-EM=4003-1200-5003=9003-1200=358.8≈359（米）
答：景点A与景点E的距离约为359米
（2）在Rt△DEM中，∠MED=30°，DM=4003-500米
∴DE=8003-1000米
∴甲的路程=AB+BC=AN+BN+BC=4003+400+800=1200+4003=1892.8≈1893米，
乙的路程=AE+DE+CD=9003-1200+8003-1000+500
=17003-1700=1244.4≈1244（米)，
∵乙的速度为80米/分钟，
∴乙所用的时间=124480=15.56（分钟），
∵甲所用的时间=1893100=18.93（分钟），
∴15.56<18.93
∴乙先到达景点C
22．如图，小明家A和商店C都在地铁站D的正西方向，小亮家B在地铁站的西北方，且在小明家北偏东15°方向．一天，小明和小亮相约去地铁站坐地铁，小明到离家4千米的商店C时，小亮家B恰在商店C的北偏西30°方向．（参考数据：2≈1.41，6≈2.45）
(1)求小明和小亮家的距离（保留根号）；
(2)小明从商店出发继续前往地铁站，此时小亮也从家出发乘坐公交车沿BD方向前往地铁站，其中小明的步行速度为每小时8千米，公交车的行驶速度为每小时25千米，谁先到达地铁站呢？请说明理由．
【答案】(1)26千米
(2)小明先到，见解析
【分析】本题主要考查了直角三角形的应用—方向角问题，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用三角函数的定义来解决问题．
（1）过A作AM⊥BC于M，根据题意得∠ACB=60°，∠BAC=75°，
∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=45°，在Rt△AMC中，由AC=4、∠ACB=60°，求出AM，在Rt△AMB中，由∠ABC=45°，得出AB=2AM即可求解；
（2）过B作BN⊥AC于N，由（1）得CM=12AC=2, BM=AM=23，进而求出BC=CM+BM=2+23，在Rt△BCN中，CN=12BC=1+3，BN=CN·tan∠BCA=3+3，由题意得△BND为等腰直角三角形，进而得到DN=BN=3+3，再根据线段的和差求出CD=2，根据BD=2BN，求出BD，最后分别求出小明和小亮的时间即可．
【详解】（1）．
解：由题意得∠ACB=90°-30°=60°，∠BAC=90°-15°=75°，
∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-75°-60°=45°，
过A作AM⊥BC于M，
在Rt△AMC中，∵AC=4，∠ACB=60°，
∴AM=4×sin60°=4×32=23，
在Rt△AMB中，∠ABC=45°，
AB=2AM=2×23=26
∴小明和小亮家的距离为26千米；
（2）由（1）得CM=12AC=2, BM=AM=23，
∴ BC=CM+BM=2+23，
过B作BN⊥AC于N，∠BCA=60°，
在Rt△BCN中，CN=12BC=1+3，BN=CN·tan∠BCA=3+3，
∵∠BDA=90°-45°=45°，
∴△BND为等腰直角三角形，
∴DN=BN=3+3，
∴CD=ND-NC=3+3-(1+3)=2，
BD=2BN=2(3+3)=32+6，
∴t小明=28=0.25小时 t小亮=6+3225≈0.27
∵0.27>0.25
∴小明先到．
23．在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经测量，点D、E均在点C的正北方向且CE=900米，点B在点C的正西方向，且BC=3003米，点B在点A的南偏东60°方向且AB=600米，点D在点A的东北方向．（参考数据：2≈1.414,3≈1.732,6≈2.449）
(1)求道路AD的长度（结果保留根号）；
(2)若甲从A点出发沿A-D-E的路径去点E，与此同时乙从点B出发，沿B-A-E的路径去点E，在两人速度相同的情况下谁先到达点E？（结果精确到十分位）
【答案】(1)道路AD的长度约为6006米
(2)乙先到达点E
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，过点A作AG⊥DC，垂足为G，根据题意可得：AF=CG，AG=CF，然后在Rt△AFB中，利用锐角三角函数的定义求出AF，BF的长，从而求出CF的长，再在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，即可解答；
（2）利用（1）的结论可求出EG的长，再在Rt△AGE中，利用勾股定理可求出AE的长，然后在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，从而求出甲和乙的路程，最后进行判定即可解答．
【详解】（1）解：过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，过点A作AG⊥DC，垂足为G，如图所示：
由题意得：
AF=CG，AG=CF，
在Rt△AFB中，∠BAF=60°，AB=600米，
∴AF=AB⋅cs60°=600×12=300（米)，
BF=AB⋅sin60°=600×32=3003（米)，
∴CG=AF=300米，
∵ BC=3003米，
∴CF=BF+BC=3003+3003=6003（米)，
∴AG=CF=6003米，
在Rt△ADG中，∠DAG=90°-45°=45°，
∴AD=AGcs45°=600322=6006（米)，
∴道路AD的长度约为6006米；
（2）解：∵CE=900米，CG=300米，
∴EG=CE-CG=600（米)，
在Rt△AGE中，AG=6003米，
∴AE=AG2+GE2=60032+6002=1200（米)，
在Rt△ADG中，∠DAG=45°，
∴DG=AG⋅tan45°=6003（米)，
∴甲的路程=AD+DE=AD+DG-EG=6006+6003-600≈1908.6（米），
乙的路程=AB+AE=600+1200=1800（米)，
∵1908.6>1800，两人速度相同，
∴乙先到达点E．
24．周末，小明和小红相约爬山到山顶点C处观景（山脚处的点A、B在同一水平线上），小明在A点处测得山顶点C的仰角为37°，他从点A出发，沿AC爬山到达山顶C．小红从点B出发，先爬长为260米的山坡BD到达点D，BD的坡度为2.4：1，然后沿水平观景步道DE走了450米到达点E，此时山顶C正好在点E距离900米且仰角30°处，最后爬山坡EC到达山顶C（点A、B、C、D、E在同一平面内，小明、小红的身高忽略不计），（参考数据：sin37°=0.6，cs37°=0.8，tan37°=0.75）
(1)求山顶C到AB的距离；
(2)若小明和小红分别从点A、点B同时出发，小明的爬山速度为50米/分，小红的爬山速度为58米/分（小红在山坡BD、山坡EC段的速度相同），小红的平路速度为90米/分，请问谁先到达山顶C处？请通过计算说明理由．
【答案】(1)山顶C到AB的距离为4503+240m
(2)小红先到山顶，理由见详解
【分析】本题主要考查仰俯角、勾股定理与行程问题，三角函数的计算的综合，掌握仰俯角求路程，勾股定理的运用，三角函数的计算方法是解题的关键．
（1）如图所示，过点D作DF⊥AB于点F，过点E作MG⊥AB于点G，过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EN⊥CH于点N，由坡比可算出DF,EG,NH的值，在Rt△AEN中，根据含30°角的直角三角形的性质可求出CN的值，由此即可求解；
（2）根据行程问题的数量关系分别算出小明，小红的时间，进行比较即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点D作DF⊥AB于点F，过点E作MG⊥AB于点G，过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EN⊥CH于点N，
根据题意可得，BD=260m，且BD的坡度为2.4：1，即DFBF=2.4，
∴在Rt△BDF中，BF2+DF2=BD2，
∴BF2+2.4BF2=2602，
解得，BF=100m，
∴DF=2.4BF=240m，
根据题意可得，DF=EG=NH=240m，
∵点E的仰角为30°，即∠CEM=30°，
∴∠CEN=60°，CE=900m，
∴在Rt△AEN中，∠ECN=30°，
∴EN=12CE=12×900=450m，CN=3EN=4503m，
∴CH=CN+NH=4503+240m，
∴山顶C到AB的距离为4503+240m．
（2）解：小红先到山顶，理由如下，
根据题意可得，在Rt△ACH中，∠A=37°，
∴sin37°=CHAC，
∴AC=CHsin37°=4503+2400.6≈450×1.7+2400.6=1675(m)，
∵小明的爬山速度为50米/分，
∴小明在A点处测得山顶点C的时间为：1675÷50=33.5（分钟），
根据题意，BD+EC=260+900=1160m，小红的爬山速度为58米/分，
∴小红上坡的时间为：1160÷58=20（分钟），
∵DE=450m，小红的平路速度为90米/分，
∴小红平路的时间为：450÷90=5（分钟），
∴小红从B→C的时间为：20+5=25（分钟），
∵25<33.5，
∴小红先到山顶．
25．周末，小明和小红相约爬山到山顶点C处观景（山脚处的点A、B在同一水平线上）．小明在A点处测得山顶点C的仰角为30°，他从点A出发，沿AC爬山到达山顶C．小红从点B出发，先爬长为4003米的山坡BD到达点D，BD的坡度为3:1，然后沿水平观景步道DE走了900米到达点E，此时山顶C正好在点E的东北方向1800米处，最后爬山坡EC到达山顶C（点A、B、C、D、E在同一平面内，小明、小红的身高忽略不计）．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
(1)求山顶C到
AB的距离（结果保留整数）；
(2)若小明和小红分别从点A、点B同时出发，小明的爬山速度为70米/分，小红的爬山速度为60米/分（小红在山坡
BD、山坡
EC段的速度相同），小红的平路速度为90米/分，请问谁先到达山顶C处？请通过计算说明理由．
【答案】(1)山顶C到AB的距离约为1873米
(2)小红先到达山顶C处，理由见解析
【分析】（1）过点D作DH⊥AB于点H，过点C作CM⊥AB于点M，交DE延长线于点K．由BD的坡度为3:1，得到∠B=60°，在Rt△DBH和Rt△ECK中，利用特殊三角函数值分别求出DH，CK，即可求出AB；
（2）在Rt△ACM中，∠CAM=30°，得到AC=2CM=1200+18002，分别计算出小明，小红所用的时间比较即可．
【详解】（1）解：过点D作DH⊥AB于点H，过点C作CM⊥AB于点M，交DE延长线于点K．
由题意得，DH=KM，CK⊥EK，
∵BD的坡度为3:1，
∴∠B=60°，
在Rt△DBH中，sinB=DHBD=32，BD=4003米，
∴DH=BD⋅sinB=4003×32=600米，
在Rt△ECK中，∠CEK=45°，EC=1800米，
∴CK=sin∠CEK⋅EC=22EC=9002米，
∴CM=KM+CK=DH+CK=600+9002≈1873（米）
答：山顶C到AB的距离约为1873米．
（2）解：小红先到达山顶C处，理由如下：
由题意得，在Rt△ACM中，∠CAM=30°，
∴AC=2CM=1200+18002米，
∴小明到达山顶所需时间为：1200+1800270≈53.5（分），小红到达山顶所需时间为：4003+180060+90090≈51.5（分），
∵53.5>51.5，
∴小红先到达山顶C处．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
26．如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向的点A处，它沿着点A的正南方向以每小时10千米的速度航行6小时到达点C处，此时点C位于点B的北偏东75°．

(1)求A、B两点间的距离（结果保留一位小数）；
(2)渔船到达点C后，按原航线继续航行一段时间后，船长发现生活物资未带，于是立即向小岛B的工作人员求救，小岛B立即派快艇前去支援，已知快艇的速度为每小时20千米，他们相约在位于小岛B正东方向的小岛D处汇合，且小岛D位于渔船的正南方向，请问谁先到达点D？（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
【答案】(1)82.0千米；
(2)快艇先到达点D．
【分析】（1）过点C作CM⊥AB交于点M，解直角三角形得AM和CM长，最终得出答案；
（2）解直角三角形得BD、CD长，再计算出用时，比较大小后得出结果．
【详解】（1）解：过点C作CM⊥AB交于点M
由题可得：∠A=30°，∠ABC=75°-30°=45°
∵∠CMA=90°，∠A=30°
∴在Rt△ACM中，AM=AC⋅cs30°，CM=AC⋅sin30°
∴AM=6×10×32=303（千米），CM=6×10×12=30（千米）
∵在Rt△BCM中，∠ABC=45°
∴CM=BM=30（千米）
∴AB=AM+BM=303+30≈30×1.732+30=81.96≈82.0（千米）
答：AB约为82.0千米．

（2）解：由题可得：∠BDA=90°
∵在Rt△ABD中，∠A=30°
∴BD=AB⋅sin30°=153+15（千米），AD=AB⋅cs30°=45+153（千米）
∴CD=AD-AC=153-15（千米）
∴快艇所用的时间t1=153+1520=33+34≈3×1.732+34=2.049（小时）
渔船所用的时间t2=153-1510=33-32≈3×1.732-32=1.098（小时）
∵2.049>1.098
∴快艇先到达点D．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，其中准确理解题目中的条件，建立适当的直角三角形是解题的关键．
27．黄葛树是重庆的市树，走在重庆的大街小巷，总能看到它巨大的身影．某天学校九年级某班的两名同学小宇和小航在校园的操场边看见一颗特别高大的黄葛树，他们便准备测量这颗黄葛树的高度．如图小宇在点A处观测到黄葛树最高点P的仰角为45°，再沿正对黄葛树的方向前进6m至B处测得最高点P的仰角为60°，小航先在点C处竖立一根长为2.6m标杆FC，再后退至其眼睛所在位置点D、标杆顶F、最高点P在一条直线上，此时测得最高点P的仰角为30°，已知两人身高均为1.6m（头顶到眼睛的距离忽略不计）．
(1)求黄葛树PQ的高度．（结果保留一位小数）；（参考数据：3≈1.73）
(2)测量结束时小宇站在点E处，小航在点C处，两人相约在树下Q点见面，小宇的速度为1.5m/s，小航速度是其2倍，你认为谁先到达Q点？请说明理由．
【答案】(1)15.8m
(2)小宇先到达Q点，理由见解析
【分析】（1）设PQ与AD相交于点G，根据题意可得：AB=6m，BE=GQ=1.6m，然后设BG=xm，则AG=x+6m，在Rt△BPG中，利用锐角三角函数的定义求出PG的长，再在Rt△APG中，利用锐角三角函数的定义可得AG=PG，从而列出关于x的方程，进而求出PG的长，最后进行计算即可解答；
（2）设FC与AD相交于点H，根据题意可得：CH=BE=1.6m，则FH=1m，然后在Rt△PGD中，利用含30度角的直角三角形的性质求出DG的长，再在Rt△DFH中，利用含30度角的直角三角形的性质求出DH的长，从而求出GH的长，最后分别求出他们所用的时间，进行比较即可解答．
【详解】（1）设PQ与AD相交于点G，
由题意得：AB=6m，BE=GQ=1.6m，设BG=xm，
∴AG=AB+BG=x+6m，
在Rt△BPG中，∠PBG=60°，
∴PG=BG⋅tan60°=3xm，
在Rt△APG中，∠PAG=45°，
∴tan45°=PGAG=1，∴PG=AG，
∴3x=x+6，
∴x=33+3，
∴PG=3x=9+33 m，
∴PQ=PG+GQ=9+33+1.6≈15.8（m），
∴黄葛树PQ的高度约为15.8m．
（2）小宇先到达塔底，
理由：设FC与AD相交于点H，
由题意得：
CH=BE=1.6m，
∵FC=2.6m，
∴FH=FC-CH=1m，
在Rt△PGD中，PG=9+33m，∠PDG=30°，
∴DG=3PG=93+9m，
在Rt△DFH中，DH=3FH=3m，
∴GH=DG-DH=83+9m，
∵小宇的速度为1.5m/s，小航速度是其2倍，
∴小航的速度为3m/s，
∴BG1.5=33+31.5=23+2≈5.5s，GH3=83+93≈7.6s，
∵7.6>5.5，
∴小宇先到达Q点．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
28．黄果树是重庆的市树，走在重庆的大街小巷，总能看到它巨大的身影．某天凤鸣山中学九年级某班的两名同学小语和小航在校园的操场边看见一颗特别高大的黄果树，他们便准备测量这颗黄果树的高度．如图小宇在点A处观测到黄果树最高点P的仰角为45°，再沿正对黄果树的方向前进6m至B处测得最高点P的仰角为60°，小航先在点C处竖立一根标杆FC，再后退至其眼睛所在位置点D、标杆顶F、最高点P在一条直线上，此时测得最高点P的仰角为30°，已知两人身高均为1.6m（头顶到眼睛的距离忽略不计）．
(1)求黄果树PQ的高度．（结果保留一位小数）；（参考数据：3≈1.73）
(2)测量结束时小宇站在点E处，小航在点D处，两人相约在树下Q点见面，小宇的速度为1.5m/s，小航速度是其2倍，你认为谁先到达Q点？请说明理由．
【答案】(1)黄果树PQ的高度约为15.8米
(2)小宇先到Q点，理由见解析
【分析】（1）设BG=x米，根据三角函数用x表示出PG=3x，AG=PG=3x，根据AB=6米列出关于x的方程，求出x的值，求出PG=9+33米，即可得出答案；
（2）分解求出小宇和小航分别到达Q点所用的时间进行比较即可得出答案．
【详解】（1）解：设BG=x米，
在Rt△BGP中∠PBG=60°，∠BGP=90°，
∴tan∠PBG=PGBG=3，
∴PG=3x，
在Rt△PAG中，∠A=45°，∠PGA=90°，
∴AG=PG=3x，
又∵AB=6米，
∴3x-x=6，
解得：x=33+3，
∴PG=33+33=9+33米，
又∵GQ=BE=1.6米，
∴PQ=PG+GQ=9+33+1.6≈15.8（米），
答，黄果树PQ的高度约为15.8米．
（2）解：在Rt△PGD中，∠PGD=90°，∠D=30°，PG=9+33米，
tan∠D=PGDG=33，
∴GD=3PG=93+9米，
∴小宇所用时间t1=BG1.5=3+331.5=23+2秒，
小航所用时间t2=CD1.5×2=93+93=33+3秒，
∵23+2<33+3，
∴小宇先到达Q点，
答：小宇先到Q点．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，数形结合．
29．在某湖中有一瞭望台C，小明在C处测得沙滩标志物A在南偏西53°的方向上，测得沙滩标志物B在南偏西45°的方向上，标志物B在标志物A的正东方向，且AB＝40米，（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，2≈1.41）
(1)求点C到AB的距离；
(2)周末小华和小明在湖中游泳，当他们游到C处时，在沙滩上的小西让他们回到A处吃午餐，小明从C处沿CA方向直接游到A处，小华从C处沿CB方向游到沙滩B处，再沿BA方向快走到A处．已知小华在沙滩上快走的速度为2m/s，小明和小华在水中游泳的速度均为0.8m/s．请用数据说明，小明和小华谁先到达A处？
【答案】(1)120米
(2)小华先到达A处，计算见解析
【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x，根据CDAD=x40+x =tan37°；
（2）根据题意分别求得AC,CB的长，根据路程除以速度分别求得小明，小华所用的时间即可求解．
【详解】（1）如图，过点C作CD⊥AB于点D，则∠CDA=90°
∵∠ACD=53°,∠BCD=45°
∴∠CBD=45°，∠CAD=37°
∴CD=BD
∵AB=40
设CD=x，
∴ tan∠CAD=tan37°=0.75 =CDAD=x40+x，
解得x=120，
即CD=120；
（2）∵CD=120,AD=AB+BD=40+120=160
∴AC=AD2+CD2=1202+1602=200米，
CB=2CD=1.41×120=169.2米，
小明所用时间为：200÷0.8=250s，
小华所用时间为：169.2÷0.8+40÷2=211.5+20=231.5s，
∵231.5<250，
∴小华先到达A处．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
30．如图，某地海岸线可以近似地看作一条直线，两救生员在岸边A处巡查，发现在海中B处有人求救，救生员甲与乙都没有直接从A处游向B处，甲是沿岸边A处跑到离B最近的D处，然后游向B处；乙是沿岸边A处跑到点C处然后游向B处，若两救生员在岸边的行进速度都为6米∕秒，在海水中的行进速度都为2米∕秒，试分析救生员的选择是否正确？谁先到达点B处？（2≈1.41，3≈1.73）
【答案】救生员的选择正确，救生员乙先到达．
【详解】分析：因为速度已知，比较时间，需求路程，即求AB、AC、BC、BD的长以后再计算时间进行比较，解△ABD和△BCD即可．
详解：∵BD=300，∠BAD=45°，∴AD=300，∴AB=3002，∴t甲=3006+3002=200（s），tAB=30022=211.5(s)．
在Rt△BCD中，CD=300tan60°=3003=1003，BC=BDsin60°=30032=2003，AC=AD﹣CD=300﹣1003，∴t乙=AC6+BC2=300-10036+20032≈194.1（s）．
∴tAB ＞t甲＞t乙，∴救生员的选择正确，救生员乙先到达．

点睛：本题考查了解直角三角形的应用，要注意运用三角关系及已知线段．
【题型4 判断能否达到目标】
31．如图，码头A在码头B的正东方向，它们之间的距离为100海里．一货船由码头A出发，沿北偏东45°方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏西60°方向．
(1)那么码头A与小岛C距离；（结果保留根号）．
(2)货船在小岛C处准备返回码头B时发生故障，在原地等待救援，一艘救援船在码头A的正东方向和小岛C的南偏东60°方向D处以每小时60海里的速度沿射线DC方向前往进行救援，一艘补给船以每小时45海里的速度从码头A处沿射线AC方向前小岛C，请通过计算说明救援船能否在补给船到达之前赶到小岛C．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
【答案】(1)506+502；
(2)不能；
【分析】（1）本题考查解直角三角形解决仰俯角问题，根据方位角得到∠ACE=∠CAE=45°，即可得到AE=CE，结合∠BAE的正切及余弦求解即可得到答案；
（2）本题考查解直角三角形解决仰俯角问题，根据∠ECD的余弦求出CD，结合行程问题判断即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
∠CAE=45°，∠ECB=60°，
∴∠ACE=∠CAE=45°，
∴AE=CE，
∴tan60°=3=100+AECE，
解得：AE=CE=503+50，
∴AC=CEcs45°=503+5022=506+502海里；
（2）解：由题意可得，
∠ECD=60°，
∴CD=CEcs60°=506+50212=1006+1002海里，
∵救援船以每小时60海里的速度沿射线DC方向前往进行救援，
∴t救=1006+100260=536+532≈6.43小时，
∵补给船以每小时45海里的速度从码头A处沿射线AC方向前小岛C，
∴t补=506+50245≈4.29小时，
∴4.29<6.43，
答：救援船不能在补给船到达之前赶到小岛C．
32．如图，在小明家所住的高楼AD的正西方有一座小山坡BC，已知小山坡的坡面距离BC为200米，坡度i=1:0.75，在B点处测得楼顶D的仰角为45°，在山顶C处测得楼顶D的仰角为15°．

(1)求AB的长度；（结果精确到整数）
(2)一天傍晚，小明从A出发散步去山顶C，已知小明从A到B的速度为每分钟44米，从B沿着BC上山的速度为每分钟25米，若他6：00出发，请通过计算说明他在6:20前能否到达山顶C处？（A，B，C，D在同一平面内，参考数据：tan15°≈0.27，sin15°≈0.26，cs15°≈0.96）
【答案】(1)AB=264米
(2)能在6:20前到达山顶C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题．
（1）过点C作CE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AD，垂足为F，根据已知可设CE=4x米，则BE=3x米，从而在Rt△CEB中，利用勾股定理可求出CE 和BE的长，然后设AB=y米，则CF=AE=120+y米，从而分别在Rt△CFD和Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出DF和AD的长，最后根据AF+DF=AD，列出关于y的方程进行计算，即可解答；
（2）利用（1）的结论进行计算，即可解答．
【详解】（1）过点C作CE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AD，垂足为F，

由题意得：CE=AF，CF=AE，
∵小山坡BC的坡度i=1：0.75，
∴CEBE=10.75=43，
∴设CE=4x米，则BE=3x米，
在Rt△CEB中，BC=CE2+BE2=4x2+3x2=5x（米），
∵BC=200米，
∴5x=200，
解得：x=40，
∴CE=AF=160米，BE=120米，
设AB=y米，
∴CF=AE=AB+BE=120+y米，
在Rt△CFD中，∠DCF=15°，
∴DF=CF⋅tan15°≈0.27120+y米，
在Rt△ABD中，∠ABD=45°，
∴AD=AB⋅tan45°=y（米），
∵AF+DF=AD，
∴160+0.27120+y=y,
解得：y≈264，
∴AB=264米，
∴AB的长度约为264米；
（2）若他6：00出发，他在6：20前能到达山顶C处，
理由：∵小明从A到B的速度为每分钟44米，从B沿着BC上山的速度为每分钟25米，
∴小明从A出发散步去山顶C需要的时间=26444+20025=6+8=14（分钟），
∵14<20，
∴若他6：00出发，他在6：20前能到达山顶C处．
33．某海域上，码头A处的海警同时接到B处和C处的求救信号，海警一组前往B处，海警二组前往C处，B在A的北偏东45°方向，C在A的南偏东30°方向，C在B的正南方向，AC=10海里．
(1)求AB的距离（结果精确到0.1）；
(2)B处的人员得到解救后，C处还未完成解救任务，海警一组决定前往C处协助二组完成任务，若海警一组的快艇速度为每小时65海里，问海警一组能否在15分钟内到达C处？请说明理由．（参考数据：2≈1.414,3≈1.732）
【答案】(1)AB=7.1（海里）；
(2)海警一组能在15分钟内到达C处，理由见解析
【分析】本题考查的是解直角三角形知识的应用．
（1）作AE⊥BC于E，根据30°角所对直角边等于斜边一半得出AE=5，再证明△ABE是等腰直角三角形即可得出结论；
（3）根据勾股定理求出EC=53，从而可得BC的长，再由路程除以速度得出海警一组的时间，再与15分钟进行比较即可．
【详解】（1）作AE⊥BC于E，如图，
根据题意得，∠BAE=45°,∠CAE=60°，
∴∠ACE=30°,∠ABE=∠BAE=45°
∴AE=12AC=12×10=5（海里）
∴BE=AE=5（海里）
∴AB=AE2+BE2=52≈5×1.414=7.07≈7.1（海里）；
（2）在Rt△ACE中，AC=10,AE=5,
∴CE=AC2-CE2=53（海里）；
∴BC=BE+CE=5+53≈5+5×1.732=13.66（海里）；
∴海警一组到达C处所需时间为：13.6665×60≈12.6<15（分钟），
所以，海警一组能在15分钟内到达C处．
34．消防车是救援火灾的重要装备．图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AB可伸缩，伸缩范围为10m≤AB≤40m，且起重臂AB可绕点A在一定范围内转动，张角为∠CAB，张角范围为90°≤∠CAB≤150°，转动点A距离地面MN的高度AC为5m（参考数据：3≈1.73）

(1)当起重臂AB长度为20m，张角为135°时，求云梯消防车最高点B距地面的高度；（结果保留根号）
(2)某栋楼高39m，若该楼中有居民家突发险情，请问该消防车能否实施有效救援？请说明理由．
【答案】(1)距地面的高度为102+5m
(2)能实施有效救援，理由见解析
【分析】（1）过点A作AG⊥AC，过点B作BF⊥MN，交MN于点F，交AG于点G，在Rt△ABG中求出BG的长度，然后计算BF=BG+GF即可；
（2）当起重臂最长，转动张角最大时，同样求出BF的长度，与39m比较即可.
【详解】（1）解：如图，过点A作AG⊥AC，过点B作BF⊥MN，交MN于点F，交AG于点G，

∵∠ACN=90°,
∴四边形ACFG是矩形，
∴∠CAG=90°，GF=AC=5m，
∵ ∠CAB=135°，
∴ ∠BAG=45°，
在Rt△ABG中，
∵ AB=20m，
∴ BG=AB⋅sin45°=102，
∴ BF=BG+GF=102+5m．
（2）解：能实施救援；
当起重臂最长，转动张角最大时，云梯消防车最高点B距地面最高，
即：AB=40m米，∠CAB=150°，
∴ ∠BAG=60°，
∴ BG=AB⋅sin60°=40×32=203≈34.6m，
∴ BF=BG+GF=34.64+5=39.6m．
∵ 39.6>39，
∴能实施有效救援．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，准确从图中提取数学模型是解题关键．
35．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为30海里．

(1)求观测站A，B之间的距离（结果保留根号）；
(2)渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西15°的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时25海里的速度前往C处，请问补给船能否在100分钟之内到达C处？（参考数据：3≈1.73）
【答案】(1)观测站A，B之间的距离为152+156海里；
(2)补给船能在100分钟之内到达C处，理由见解析
【分析】（1）过点P作PD⊥AB于D点，可得∠BDP=∠ADP=90°，然后在Rt△PBD中，利用锐角三角函数的定义求出BD，DP的长，再在Rt△PAD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，进行计算即可解答；
（2）过点B作BF⊥AC，垂足为F，根据题意得：∠ABC=105°，∠PAD=30°，从而求出∠C=45°，然后在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，再在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：过点P作PD⊥AB于D点，

∴∠BDP=∠ADP=90°，
∵点P在点B的东北方向上，
∴∠PBD=45°，
在Rt△PBD中，BP=30海里，
∴DP=BP⋅sin45°=30×22=152（海里），BD=BP⋅cs45°=30×22=152（海里），
在Rt△PAD中，∠PAD=90°-60°=30°，
∴AD=DPtan30°=15233=156（海里），
∴AB=BD+AD=152+156（海里），
∴观测站A，B之间的距离为152+156海里；
（2）解：补给船能在100分钟之内到达C处，
理由：过点B作BF⊥AC，垂足为F，

∴∠AFB=∠CFB=90°，
由题意得：∠ABC=90°+15°=105°，∠PAD=90°-60°=30°，
∴∠C=180°-∠ABC-∠PAD=45°，
在Rt△ABF中，∠BAF=30°，
∴BF=12AB=152+62）海里，
在Rt△BCF中，∠C=45°，
∴BC=BFsin45°=152+6222=15+153海里，
∴补给船从B到C处的航行时间=15+15325×60=36+363≈98.3（分钟），
∵ 98.3<100，
∴补给船能在100分钟之内到达C处．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
36．如图，四边形ABCD是某公园的休闲步道．经测量，点B在A的正西方向，AB=2003米，点D在A的正北方向，点C在B的西北方向，BC=3002米，点C在D的南偏西60°方向上．
(1)求步道AD的长度；（精确到个位数）；
(2)小亮以90米/分的速度沿A→B→C→D的方向步行，小明骑自行车以300米/分的速度沿D→C→B→A的方向行驶．两人能否在4分钟内相遇？请说明理由．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
【答案】(1)步道AD的长度为673米
(2)两人能否在4分钟内相遇；理由见解析
【分析】（1）过点B作BE⊥AB交CD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，过点C作CG⊥BE于点G，证明四边形ABEF为矩形，得出∠BEF=90°，EF=AB=2003米，AF=BE，证明△BCG为等腰直角三角形，得出CG=BG=22BC=22×3002=300（米），根据三角函数得出GE=CG×tan∠ECG=300×tan30°=1003≈173（米），求出AF=BE=BG+GE=300+173=473（米），解直角三角形得出DF=EFtan∠EDF=2003tan60°=200（米），即可求出结果；
（2）根据直角三角形性质求出CE=2EG=2×173=346（米），DE=2DF=400米，求出CD=CE+DE=346+400=746（米），根据AB=2003≈346（米），BC=3002≈423（米），得出AB+BC+CD=346+423+746=1515（米），根据1515÷90+300≈3.9（分钟），即可得出结论．
【详解】（1）解：过点B作BE⊥AB交CD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，过点C作CG⊥BE于点G，如图所示：
根据作图和已知条件可知，∠A=∠AFE=∠ABE=90°，
∴四边形ABEF为矩形，
∴∠BEF=90°，EF=AB=2003米，AF=BE，
∵∠BGC=90°，∠CBG=45°，
∴△BCG为等腰直角三角形，
∴CG=BG=22BC=22×3002=300（米），
∵∠CGE=∠BEF=90°，
∴BG∥EF，
∴∠ECG=∠DEF=90°-∠EDF=30°，
∴GE=CG×tan∠ECG=300×tan30°=1003≈173（米），
∴AF=BE=BG+GE=300+173=473（米），
∵∠DFE=90°，∠EDF=60°，
∴DF=EFtan∠EDF=2003tan60°=200（米），
∴AD=AF+FD=473+200=673（米），
即步道AD的长度为673米．
（2）解：两人能在4分钟内相遇；理由如下：
∵在Rt△CEG中∠ECG=30°，GE≈173米，
∴CE=2EG=2×173=346（米），
∵在Rt△DEF中∠DEF=30°，DF=200米，
∴DE=2DF=400米，
∴CD=CE+DE=346+400=746（米），
∵AB=2003≈346（米），BC=3002≈423（米），
∴AB+BC+CD=346+423+746=1515（米），
∵1515÷90+300≈3.9（分钟），
有∵3.9<4，
∴两人能在4分钟内相遇．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角函数的定义，求出直角三角形的边长．
37．湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知B在C的正西方向，A在C的北偏西60°方向，B在A的南偏东45°方向1800米处．

(1)求湖岸A与码头C的距离（结果可含根号）；
(2)救援船的平均速度为180米/分，快艇的平均速度为420米/分，在接到通知后，快艇能否在6分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
【答案】(1)18002米
(2)能，理由见详解
【分析】（1）根据题意可知：AB=1800，∠DAB=45°，∠CAD=∠ACM=60°，即有∠ACD=30°，∠ABD=∠DAB=45°，可得AD=ABsin∠ABD=18002=9002，即BD=AD=9002，在Rt△ADC中，有AC=ADsin∠ACD=18002，问题得解；
（2）设快艇将游客送上救援船时间为t分钟，根据等量关系式：救援船行驶的路程+快艇行驶的路程= BC+AC，列出方程，求出时间t，再和6分钟进行比较即可求解．
【详解】（1）解：作AD⊥CB，交BC延长线于点D，

根据题意可知：AB=1800，∠DAB=45°，∠CAD=∠ACM=60°，
∴∠ACD=30°，∠ABD=∠DAB=45°，
∴在Rt△ADB中，AD=ABsin∠ABD=18002=9002（米），
即BD=AD=9002（米），
∴在Rt△ADC中，AC=ADsin∠ACD=18002（米）；
（2）解：设快艇将游客送上救援船时间为tmin，
此时快艇与救援船行驶的总距离为：AC+CB米，
∵在Rt△ADC中，AC=18002米，AD=18002米，
∴DC=AC2-AD2=9006（米），
∴BC=DC-BD=AC2-AD2=9006-9002（米），
则180t+420t=9006-9002+18002=9006+9002，
解得：t=326+2≈5.79<6，
∴6min内可以将该游客送上救援船．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形及其应用，找到等量关系式，构建直角三角形是解答本题的关键．
38．海洋安全预警系统为海洋安全管理起到了巨大作用．某天位于海岛A正东方向的海洋监控中心B收到信息，在B的北偏西30°方向180海里的C处，有疑似船只从C往海岛A方向行驶，并观测到C在A北偏东45°方向上．监控中心B立刻出动海警，打算在该船前往A的途中位于监控中心B北偏西60°的点D处进行拦截．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）

(1)求该船所在位置C到海岛A的距离；（结果保留一位小数）
(2)若海警船的速度是60海里/小时，该船的速度是30海里/小时，那么海警船能否在点D处拦截到可疑船只？请说明理由．
【答案】(1)220.5海里
(2)能，理由见解析
【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E，分别求得CE，AC，即可求解；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，根据三角形内角和定理求得∠BCD=∠BDC=75°，即可得出BC=BD=180，进而解直角三角形，求得CD的长，根据路程除以速度，分别求得，海警船与可疑船只到达D点所需时间，比较即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，

依题意，∠BCE=30°,∠CAE=45°，BC=180，
∴CE=CB×cs∠ECB=32×180=903
在Rt△ACE中，CE=AC⋅sin∠CAE，
AC=CEsin∠CAE=90322=906≈220.5（海里），
（2）解：能，理由如下，
如图所示，过点D作DF⊥AB于点F，

依题意，∠DAF=45°，∠DBF=90°-60°=30°，则∠CBD=90°-30°-30°=30°，
在△ABC中，∠ACB=180°-45°-60°=75°，
则∠BDC=180°-∠BCD-∠CBD=180°-75°-30°=75°，
∴∠BCD=∠BDC，
∴BC=BD=180，
在Rt△BDF中，DF=BD×sin∠DBF=12BD=90，
在Rt△ADF中，AD=2DF=902，
则CD=AC-AD=906-902=906-2，
∵海警船的速度是60海里/小时，该船的速度是30海里/小时，
∴18060=3,906-230=36-2≈3.12，3<3.12，
∴海警船能在点D处拦截到可疑船只
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
39．如图，在小晴家所住的高楼AD的正西方有一座小山坡，坡面BC与水平面的夹角为30°，在B点处测得楼顶D的仰角为45°，在山顶C处测得楼顶D的仰角为15°，B和C的水平距离为300米．（A，B，C，D在同一平面内，参考数据：2≈1.41，3≈1.73）

(1)求坡面BC的长度？（结果保留根号）
(2)一天傍晚，小晴从A出发去山顶C散步，已知小晴从A到B的速度为每分钟50米，从B沿着BC上山的速度为每分钟25米，若她6:00出发，请通过计算说明她在6:20前能否到达山顶C处？（结果精确到0.1）
【答案】(1)BC=2003米
(2)不能；计算过程见解析
【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E，根据∠CBE=30°，利用三角函数求出BC=2003米即可；
（2）过点B作BF⊥CD于点F，根据平行线的性质得出∠BCG=∠CBE=30°，求出∠BCF=15°+30°=45°，得出CF=BF=BC2=20032=1006（米），求出∠DBF=180°-30°-45°-45°=60°，解直角三角形得出BD=BFcs60°=100612=2006（米），求出AB=BD×cs45°=2006×22=2003（米），求出到达山顶的时间为200350+200325≈20.8（分），根据20.8>20，得出结果即可．
【详解】（1）解：过点C作CE⊥AB于点E，如图所示：

∵B和C的水平距离为300米，
∴BE=300米，
∵∠CBE=30°，
∴BC=BEcs30°=30032=2003（米）；
（2）解：如图，过点B作BF⊥CD于点F，
∵CG∥AB，
∴∠BCG=∠CBE=30°，
∵∠GCF=15°，
∴∠BCF=15°+30°=45°，
∵∠BFC=90°，
∴△BCF为等腰直角三角形，
∴CF=BF=BC2=20032=1006（米），∠CBF=∠BCF=45°，
∴∠DBF=180°-30°-45°-45°=60°，
∵∠BFD=90°，
∴BD=BFcs60°=100612=2006（米），
∵∠ABD=45°，∠BAD=90°，
∴AB=BD×cs45°=2006×22=2003（米），
∴小晴从A出发去山顶C所用时间为：
200350+200325≈20.8（分），
∵20.8>20，
∴她在6:20前不能到达山顶C处．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，数形结合．
40．如图，小开家所在居民楼AC，楼底C点的左侧30米处有一个山坡DE，坡角为30°，E点处有一个图书馆，山坡坡底到图书馆的距离DE为40米，在图书馆E点处测得小开家的窗户B点的仰角为45°，居民楼AC与山坡DE的剖面在同一平面内．
(1)求BC的高度；（结果精确到个位，参考数据：3≈1．73）
(2)某天，小开到家后发现有资料落在图书馆，此时离图书馆闭馆仅剩5分钟，若小开在平地的速度为6m/s，上坡速度为4m/s，电梯速度为1．25m/s，等候电梯及上、下乘客所耽误时间共3分钟，请问小开能否在闭馆前赶到图书馆？
【答案】(1)BC的高度约为85米
(2)小开能在闭馆前赶到图书馆
【分析】（1）如图，作EF⊥AC于F，作EG⊥CD，解直角三角形即可；
（2）根据题意，列算式计算出小开到图书馆所用时间即可．
【详解】（1）如图，作EF⊥AC于F，作EG⊥CD，交CD延长线于点G，
得矩形EFCG，
∴EF=CG，EG=FC，
根据题意可知：CD=30米，∠BEF=45°，DE=40米，∠EDG=30°，
∴EG=12DE=20米，
∴DG=3EG=203（米），
∴EF=GC=GD+CD=(203+30)米，
∴BF=EF=(203+30)米，
∴BC=BF+FC=BF+EG=203+30+20=203+50=85（米），
答：BC的高度约为85米；
（2）根据题意得：30÷6+40÷4+85÷1.25+3×60=263（秒），
∵263<300，
∴小开能在闭馆前赶到图书馆．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，通过添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．