2023-2024学年湖南省株洲市天元区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省株洲市天元区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.2023的倒数是( )
A. 2023B. −2023C. −12023D. 12023
2.以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、浙江大学的校徽，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是( )
A. 2m+3m=5m2B. m2⋅m3=m6
C. (m+7)2=m2+49D. (m−3n)(m+3n)=m2−9n2
4.2023年5月30日上午，我国载人航天飞船“神舟十六号”发射圆满成功，与此同时，中国载人航天办公室也宣布计划在2030年前实现中国人首次登陆距地球平均距离为38.4万千米的月球.将384000用科学记数法表示应为( )
A. 38.4×104B. 3.84×105C. 3.84×106D. 0.384×106
5.如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别在M、N的位置上，EM与BC的交点为G，若∠EFC=125°，则∠1=( )
A. 35°
B. 55°
C. 70°
D. 65°
6.某校足球社团有50名成员，下表是社团成员的年龄分布统计表，对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是( )
A. 平均数、中位数B. 平均数、方差C. 众数、中位数D. 众数、方差
7.刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元.某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形.若⊙O的半径为1，则这个圆内接正八边形的面积为( )
A. πB. 2πC. 24D. 2 2
8.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A. a>0B. 3是方程ax2+bx+c=0的一个根
C. a+b+c=0D. 当x0)经过D点，交BC的延长线于E点，且OB⋅AC=160，有下列四个结论，其中正确的结论是______．
①双曲线的解析式为y=20x(x>0)；
②sin∠COA=45；
③E点的坐标是(4,8)；
④AC+OB=12 5．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.先化简，再求值：(1−3x+1)÷x2−4x+4x+1，其中x=3．
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算：(12)−2−(π−1)0+2sin60°．
19.(本小题8分)
如图，无人机爱好者小明在家附近放无人机，当无人机飞行到小明头顶一定高度D点处时，无人机测得楼房BC顶端点C处的俯角为30°，已知小明A和小区楼房BC之间的距离为36米，楼房BC的高度为12 3米．
(1)求此时无人机离地面的高度；
(2)在(1)条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以4米/秒的速度继续向前匀速飞行，问：经过多少秒时，无人机刚好离开了小明的视线？(假定点A，B，C，D都在同一平面内)
20.(本小题8分)
2023年10月26日“神州十七号”成功发射，展示了国家科技实力的飞跃.某校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校800名学生进行了“航天知识竞赛”.活动组织部门从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩(满分100分，每名学生的成绩记为x分)分成A组、B组、C组、D组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图.根据图中信息，解答下列问题：

(1)a的值为______．
(2)扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数为______°.
(3)若规定学生竞赛成绩x≥80为优秀，请估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数．
21.(本小题8分)
2023年12月8日，中国国际轨道交通和装备制造产业博览会在株洲国际会展中心开幕，株洲为此次展出推出30多款具有株洲特色的文创产品.某商家用3200元购进了一批文创品，上市后供不应求：商家又用7200元购进了第二批这种文创品，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件贵了10元．
(1)该商家购进的第一批文创品单价是多少元．
(2)若两批文创品按相同的标价销售，最后剩下20件按标价八折优惠卖出，若两批文创品全部售完利润不低于3520元(不考虑其他因素)，那么每件文创品的标价至少是多少元？
22.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于E，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．
(1)求证：△ABF∽△EAD；
(2)若AB=6，AD=4，∠BAE=30°，求BF的长．
23.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点P在BC的延长线上，且∠BAC=2∠P．
(1)求证：直线AP是⊙O的切线；
(2)若BC=12，tanP=34，求⊙O的半径长及sin∠PAC的值．
24.(本小题10分)
如图，点M(n,4)为反比例函数y=mx的图象在第一象限内一点，在x轴正半轴上有一点C，且OC=6，连接OM，CM且OM=CM，在y轴上有一点A(0,−2)，直线AM交x轴于点B．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)设点P(0,t)(t>0)是y轴上一动点，过点P作PQ⊥AM交直线AM于点Q，连接BP，设T= 5PQ−BP2，
①用含t的代数式表示T；
②求T取最大值时P点坐标．
25.(本小题10分)
如图，抛物线y=ax2+x+c(a>0)与x轴交于A(−2,0)，B(1,0)两点，与y轴负半轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D是抛物线上第三象限内的一点，连接CD，若∠ACD=30°，求点D的坐标；
(3)如图2，经过定点P作一次函数y=kx+k2−2与抛物线交于M，N两点，试探究1PM+1PN是否为定值？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：2023的倒数是12023．
故选：D．
乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的意义．
2.【答案】B
【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
利用轴对称图形定义进行解答即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
3.【答案】D
【解析】解：A、2m+3m=5m，故A不符合题意；
B、m2⋅m3=m5，故B不符合题意；
C、(m+7)2=m2+14m+49，故C不符合题意；
D、(m−3n)(m+3n)=m2−9n2，故D符合题意；
故选：D．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，完全平方公式，平方差公式对各项进行运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】B
【解析】解：384000=3.84×105，
故选：B．
利用科学记数法表示大数．
本题考查了科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的表达形式．
5.【答案】C
【解析】解：∵长方形对边AD//BC，
∴∠DEF+∠EFC=180°，
∴∠DEF=180°−∠EFC=180°−125°=55°，
由翻折的性质得：∠DEF=∠MEF=55°，
∴∠1=180°−55°×2=70°，
故选：C．
根据两直线平行，同旁内角互补可得∠DEF+∠EFC=180°，再根据翻折的性质和平角的定义列式计算，即可求出∠1．
本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质和折叠的性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+14−x=14，而14岁人数有15人，
故该组数据的众数为14岁，
中位数为：(14+14)÷2=14(岁)．
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数．
故选：C．
由频数分布表可知年龄15岁和年龄16岁的两组的频数和为14，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第25、26个数据的平均数，可得答案．
本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：如图，过A作AC⊥OB于C，
∵圆的内接正八边形的圆心角为360°8=45°，OA=1，
∴AC=OC= 22，
∴S△OAB=12×1× 22= 24，
∴这个圆的内接正八边形的面积为8× 24=2 2，
故选：D．
如图，过A作AC⊥OB于C，得到圆的内接正八边形的圆心角为360°8=45°，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是从抛物线中的得到正确信息．
二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，根据对称轴和与x轴的一个交点可以判断B，根据对称轴对应的函数值可以判断C，根据二次函数的性质可以判断D．
【解答】解：A.因为抛物线开口向下，因此a0，故此选项错误；
D.当x0)上，
∴4=k8，解得：k=32，
∴双曲线的解析式为y=32x(x>0)，故①不正确；
∵点E在双曲线y=32x上，且E的纵坐标为8，
∴E(4,8)，故③正确；
∵四边形OABC为菱形，
∴AB/​/OC，
∴∠COA=∠BAM，sin∠COA=sin∠BAM=BMAB=810=45，故②正确；
在Rt△OBM中，BM=8，OM=16，
∴OB= BM2+OM2=8 5，
∵OB⋅AC=160，
∴AC=4 5，OB+AC=12 5，故④正确，
综上可知：②③④正确，
故答案为：②③④．
过点B作BM⊥x轴于点M，结合菱形的性质以及三角形的面积公式找出点的坐标即可．
本题考查了菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及勾股定理再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数的解析式是解题的关键．
17.【答案】解：原式=(x+1x+1−3x+1)÷(x−2)2x+1
=x−2x+1⋅x+1(x−2)2
=1x−2，
当x=3时，
原式=13−2=1．
【解析】先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．
本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
18.【答案】解：原式=4−1+2× 32，
=3+ 3．
【解析】先求负整数指数幂，零指数幂和特殊角的三角函数值，然后进行加减运算即可．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
19.【答案】解：(1)延长BC交DF于点E，

则∠DEC=90°，AD=BE，AB=DE=36米，∠CDE=30°，
在Rt△CDE中，CE=DE⋅tan30°=36× 33=12 3(米)，
∴AD=BE=BC+CE=12 3+12 3=24 3(米)，
∴此时无人机离地面的高度为24 3米；
(2)延长AC交DF于点G，

在Rt△ACB中，AB=36米，BC=12 3米，
∴tan∠CAB=BCAB=12 336= 33，
∴∠CAB=30°，
∵∠DAB=90°，
∴∠DAC=∠DAB−∠CAB=60°，
在Rt△ADG中，AD=24 3米，
∴DG=AD⋅tan60°=24 3× 3=72(米)，
∴72÷4=18(秒)，
∴经过18秒时，无人机刚好离开了小明的视线．
【解析】(1)延长BC交DF于点E，则∠DEC=90°，AD=BE，AB=DE=36米，∠CDE=30°，在Rt△CDE中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，然后根据AD=BE=BC+CE，进行计算即可解答；
(2)延长AC交DF于点G，在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出∠CAB=30°，从而可得∠DAC=60°，
然后在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】8 144
【解析】解：(1)n=24÷30%=80，
∴a=80×10%=8，
故答案为：8；
(2)扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数为360°×3280=144°，
故答案为：144；
(3)b=80−(8+24+32)=16，
全校竞赛成绩达到优秀的学生人数约为800×32+1680=480(人)．
(1)由B等级人数及其所占百分比求出被调查的总人数n，再乘以A等级人数所占百分比可得a的值；
(2)用360°乘以C等级人数所占比例即可；
(3)用总人数乘以C、D等级人数和所占比例即可．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确统计图的特点和中位数的含义，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】解：(1)设该商家购进的第一批纪念衫单价是x元，则第二批纪念衫单价是(x+10)元，
根据题意得：3200x×2=7200x+10，
解得：x=80，
经检验x=80是分式方程的解，且符合题意，
则该商家购进的第一批纪念衫单价是80元；
(2)根据(1)得：第一批数量为40件，第二批为80件，
设每件纪念衫的标价是y元，
根据题意得：40y−3200+60y+20×80%y−7200≥3520，
解得：y≥120，
则每件纪念衫的标价至少是120元．
【解析】(1)设该商家购进的第一批纪念衫单价是x元，则第二批纪念衫单价是(x+10)元，根据购进了第二批这种纪念衫数量是第一批购进量的2倍列出方程，求出方程的解即可得到结果；
(2)根据(1)得：第一批数量为40件，第二批为80件，设每件纪念衫的标价是y元，由题意列出不等式，求出不等式的解集确定出y的最小值即可．
本题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，能列出方程是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//DC，
∴∠C+∠EDA=180°，∠BAF=∠AED，
∵∠BFE=∠C，∠BFE+∠AFB=180°，
∴∠AFB=∠EDA，
∴△ABF∽△EAD；
(2)解：∵AB/​/CD，BE⊥CD，
∴∠ABE=∠BEC=90°，
∵AB=6，∠BAE=30°，
∴AE=2BE，
在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2，
得AE2=36+14AE2，
解得AE=4 3(负值舍去)，
∵△ABF∽△EAD，
∴BFAD=ABEA，
∴BF4=64 3，
∴BF=2 3．
【解析】(1)由平行四边形的性质结合条件可得到∠AFB=∠EDA，∠BAF=∠AED，据此即可证得结论；
(2)由平行线的性质可知∠ABE=90°，在Rt△ABE中，由含30度角直角三角形的性质及勾股定理可求得AE，再根据相似三角形的性质即可解答．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵∠ABC=∠ACB，
∴AC=AB，
∴AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD=12∠BAC，
∵∠BAC=2∠P，
∴∠BAD=∠P，
∵∠BAD+∠B=90°，
∴∠P+∠B=90°，
∴∠BAP=180°−90°=90°，
即AB⊥AP，
∵OA是⊙O的半径，
∴PA是⊙O的切线；
(2)解：过点C作CE⊥PA，垂足为E，
∴CE/​/AB，
由(1)可得BD=CD=12BC=6，
∵tan∠P=34=tan∠BAD=BDAD，
∴AD=8，
∴AB= AD2+BD2=10，
即⊙O的半径为5；
∵tan∠P=34=ABAP，AB=10，
∴PA=403，
∴PB= AB2+PA2=503，
∴PC=PB−BC=503−12=143，
∵CE/​/AB，
∴EAPA=BCBP=12503=1825，
∴AE=485，EC=35PC=145，
∴tan∠PAC=ECAE=724．
【解析】(1)根据圆周角定理以及等腰三角形的性质可得AD是角平分线，进而得出∠B+∠P=90°，由三角形的内角和定理得出∠BAP=90°即可；
(2)由锐角三角函数可求出AB进而得出半径的值，求出EC，AE由锐角三角函数的定义求出答案即可．
本题考查了切线的判定，锐角三角函数，圆周角定理以及平行线分线段成比例，掌握切线的判定方法，锐角三角函数的定义以及圆周角定理是解决问题的关键．
24.【答案】解：(1)过M作MN⊥x轴于点N，

∵OM=CM，OC=6，
∴ON=NC=12OC=3，
∴M(3,4)，
∵M(3,4)在反比例函数y=mx的图象上，
∴m=3×4=12，
∴反比例函数的表达式为y=12x；
(2)①由(1)得：M(3,4)，
设直线AM的解析式为y=kx+b，
则3k+b=40×k+b=−2，解得：k=2b=−2，
∴直线AM的解析式为y=2x−2，
当y=0时，x=1，
∴点B(1,0)，
∵PQ⊥AM
∴∠AQP=90°，
∵∠BAO=∠PAQ，
∴△BAO∽△PAQ
∴BAPA=AOAQ=BOPQ，即 5t+2=2AQ=1PQ，
∴ 5PQ=t+2，PQ= 55(t+2)，AQ=2 55(t+2)，
∴BQ=AQ−AB=2 55(t+2)− 5= 55(2t−1)，
在Rt△BPQ中，BP2=PQ2+BQ2
∴T=t+2−15(t+2)2−15(2t−1)2，
整理得：T=−t2+t+1；
②由①得T=−t2+t+1=−(t−12)2+54，
当t=12时，T有最大值，
此时点P(0,12)．
【解析】(1)过M作MN⊥x轴于点N，根据等腰三角形的性质得出ON=NC=3，求出M(3,4)，用待定系数法即可求解；
(2)①先根据直线解析式求出B点坐标，则OA、OB、BP、AB的长度均可表示出来，由PQ⊥AM及∠ABO=∠PBQ可得△ABO∽△PBQ，进而列出比例式可表示出PQ，进而可表示出T，
②在将T化简可得T取得最大值时t的值，进而求出P点坐标；
本题主要考查了二次函数综合，函数解析式的求法，一次函数与几何图形结合的问题，二次函数最值情况，熟练掌握数形结合处理函数应用问题是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+x+c(a>0)与x轴交于A(−2,0)，B(1,0)两点，代入得：
4a−2+c=0a+1+c=0，
解得：a=1c=−2，
∴该抛物线的解析式为y=x2+x−2；
(2)如图1，以C为顶点，在AC下方作∠ACD=30°，连CD交抛物线于点D，过A作AE⊥AC交CD于E，过点E作EF⊥x轴于点F，

∵y=x2+x−2，令x=0，得y=−2，
∴C(0,−2)，又A(−2,0)，
∴OA=OC=2，
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴AC=2 2，∠OAC=45°，
∵∠EAC=90°，∠ACD=30°，
∴AE= 33AC=2 63，
∵∠CAE=90°，∠OAC=45°，
∴∠EAF=45°，
∵∠AFE=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=EF= 22AE= 22×2 63=2 33，
∴OF=OA+AF=2+2 33，
∴E(−2−2 33,−2 33)，
设直线CE解析式为y=kx+b，把E(−2−2 33,−2 33)，C(0,−2)代入得：
(−2−2 33)k+b=−2 33b=−2，
解得k=−2+ 3b=−2，
∴直线CE解析式为y=(−2+ 3)x−2，
联立方程组得y=(−2+ 3)x−2y=x2+x−2，
解得x=0y=−2(舍去)或x=−3+ 3y=7−5 3，
∵点D是抛物线上第三象限内的一点，
∴D(−3+ 3,7−5 3)；
(3)1PM+1PN是定值．理由如下：

设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
由y=kx+k2−2y=x2+x−2得：x2+(1−k)x−k2=0，
∴x1+x2=k−1，x1x2=−k2，
∵y1=kx1+k2−2，y2=kx2+k2−2，
∴y1−y2=k(x1−x2)，
∴MN= (x1−x2)2+(y1−y2)2
= (x1−x2)2+k2(x1−x2)2
= 1+k2⋅ (x1−x2)2
= 1+k2⋅ (x1+x2)2−4x1x2
= 1+k2⋅ (k−1)2−4×(−k2)
=1+k2，
∵点P是直线y=kx+k2−2上一定点，
∴P(−12,−2)，
∴PM= (−12−x1)2+(−2−y1)2
= (x1+12)2+k2(x1+12)2
= 1+k2⋅ (x1+12)2，
PN= (−12−x2)2+(−2−y2)2
= (x2+12)2+k2(x2+12)2
= 1+k2⋅ (x2+12)2，
∴PM⋅PN=(1+k2)⋅ (x1+12)2(x2+12)2
=(1+k2)⋅ [x1x2+12(x1+x2)+14]2
=(1+k2)⋅ [−k2+12(k−1)+14]2
=14(1+k2)
=14MN，
∴1PM+1PN=PM+PNPM⋅PN=MN14MN=4，
∴1PM+1PN是定值．
【解析】(1)运用待定系数法即可求得答案；
(2)以C为顶点，在AC下方作∠ACD=30°，连CD交抛物线于点D，过A作AE⊥AC交CD于E，过点E作EF⊥x轴于点F，求出C(0,−2)知△OAC是等腰直角三角形，可得AC=2 2，∠OAC=45°，故AE= 33AC=2 63，AF=EF= 22AE= 22×2 63=2 33，可得E(−2−2 33,−2 33)，直线CE解析式为y=(−2+ 3)x−2，联立方程组得y=(−2+ 3)x−2y=x2+x−2，得D(−3+ 3,7−5 3)，而∠ACD