2023-2024学年湖南省长沙市长沙县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市长沙县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.“一片甲骨惊天下”，甲骨文是我国目前发现最早的文字，其图画性强的特点非常明显，如所示甲骨文图画是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.一种细菌的半径用科学记数法表示为1.2×10−5米，则这个数据可以写成( )
A. 120000B. 0.00012C. 0.000012D. 0.0000012
3.如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的( )
A. 全等形
B. 稳定性
C. 灵活性
D. 对称性
4.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. (a2)3=a5C. a2+a2=a4D. 2a2−a2=a2
5.要使分式x+1x−1有意义，则x的取值应满足( )
A. x<1B. x≠1C. x>1D. x≠−1
6.如图△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是( )
A. ∠B=∠C
B. AD⊥BC
C. AD平分∠BAC
D. AC=2CD
7.已知：a+b=3，a−b=1，则a2−b2等于( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.如图，已知AB=DE，AC=DF，添加下列一个条件后，可判定△ABC≌△DEF的是( )
A. AC/​/DFB. ∠B=∠DEF
C. ∠BCA=∠EFDD. ∠A=∠D
9.用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是
( )
A. SSSB. SASC. ASAD. AAS
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10.如果点D，E分别为BC，AB上的动点，那么AD+DE的最小值是( )
A. 8.4
B. 9.6
C. 10
D. 10.8
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知三角形三条边长分别是2、a、3，且a为奇数，则a= ______．
12.如图所示，某三角形材料断裂成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三块，现要配置与原材料一样的三角形材料，应该用材料______(填Ⅰ或Ⅱ或Ⅲ)，理由是______．
13.如图，△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交BC于D，若∠CAD=20°，则∠B= ______．
14.若x2+(k+3)x+9是完全平方式，则k= ______．
15.A、B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg所用的时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？若设A型机器人每小时搬运xkg，可列方程：______．
16.如图，通过计算大长方形的面积可得到的恒等式为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
如图，在8×8网格纸中，每个小正方形的边长都为1．
(1)请在网格纸中建立平面直角坐标系，使点B、C坐标分别为B(−2,0)，C(−1,2)；
(2)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，BB1长为______．
18.(本小题6分)
分解因式：
(1)16x2−y2；
(2)a(x−y)+b(y−x)．
19.(本小题6分)
先化简，再求值：(1−2x−1)⋅x2−xx2−6x+9，其中x为小于3的正整数．
20.(本小题8分)
计算：
(1)x3y2⋅(y2)3÷(xy)2；
(2)(2x+3y)(2x−3y)−(x−2y)(4x+y)．
21.(本小题8分)
已知正x边形的内角和为1080°，边长为2．
(1)求正x边形的周长；
(2)若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小63°，求n的值．
22.(本小题9分)
为顺利通过“文明城市”验收，某市拟对城区部分排水主干道公用设施全面更新改造，为响应城市建设的需要，需在一个月内完成工程，现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的1.5倍，若甲、乙两工程队合作只需12天完成．
(1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？
(2)若甲工程队每天的工程费用是4万元，乙工程队每天的工程费用是3万元，现提供以下三种方案，请你选择其中一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少．
方案一：甲工程队单独完成；
方案二：乙工程队单独完成；
方案三：甲、乙工程队合作完成．
23.(本小题9分)
如图，D为BC延长线上的一点，△ABC与△ADE均为等边三角形．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)求证：CE平分∠ACD．
24.(本小题10分)
阅读理解：待定系数法是设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值.待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解x3−1.因为x3−1为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积.故我们可以猜想x3−1可以分解成(x−1)(x2+ax+b)，即：x3−1=(x−1)(x2+ax+b)，展开等式右边得：x3+(a−1)x2+(b−a)x−b，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：a−1=0，b−a=0，−b=−1可以求出a=1，b=1.所以x3−1=(x−1)(x2+x+1)．
(1)若x取任意值，等式x2+2x+3=x2+(3+a)x+b恒成立，则a+b= ______；
(2)已知多项式x3+x2−5x+3有因式x−1，请用待定系数法求出该多项式的另一因式；
(3)根据(2)可将多项式x3+x2−5x+3分解因式为______.(直接写答案)
25.(本小题10分)
如图1所示，B，C，E三点在同一条直线上，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD．

(1)在如图1，已知AB=5cm，DE=3.5cm，求BE的长．
(2)如图2，在平面直角坐标系中，OC⊥BC且OC=BC，且C(1,3)，则B点坐标为______．
(3)如图3，点M，E分别在x轴，y轴上，OM=OE，点A在x轴负半轴上，连AE，作BE⊥AE且BE=AE，连MB交y轴于N，请猜想线段ON与线段AM的数量关系，并证明你的猜想．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项B的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：一种细菌的半径用科学记数法表示为1.2×10−5米，则这个数据可以写成0.000012．
故选：C．
科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10−n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数．
本题考查了科学记数法−原数．解题的关键是掌握科学记数法表示的数恢复原数的方法，把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．根据三角形具有稳定性解答．
【解答】
解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性．
故选：B．
4.【答案】D
【解析】解：A.a2⋅a3=a5，故本选项不合题意；
B.(a2)3=a6，故本选项不合题意；
C.a2+a2=2a2，故本选项不合题意；
D.2a2−a2=a2，正确．
故选：D．
分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，合并同类项法则逐一判断即可．
本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：由分式有意义的条件可知：x−1≠0，
∴x≠1．
故选：B．
根据分式有意义的条件：分母不为0，即可求出答案．
本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC中点，
∴∠B=∠C，故A正确，不符合题意；
AD⊥BC，故B正确，不符合题意；
∠BAD=∠CAD，故C正确，不符合题意；
无法得到AB=2BD，故D不正确，符合题意；
故选：D．
根据等腰三角形“三线合一”的性质解答．
此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质．
7.【答案】C
【解析】解：∵a+b=3，a−b=1，
∴原式=(a+b)(a−b)
=3×1
=3．
故选：C．
根据平方差公式即可得出答案．
本题考查了平方差公式，掌握(a+b)(a−b)=a2−b2是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：在△ABC与△DEF中，
AB=DE∠A=∠DAC=DF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
故选：D．
根据三角形全等的判定，可以添加条件是：一边或一角，这个角必须是已知两条边的夹角，据此判断即可．
本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点；由作法找准已知条件是正确解答本题的关键．由作法可知，两三角形的三条边对应相等，所以利用SSS可证得△OCD≌△O′C′D′，那么∠A′O′B′=∠AOB．
【解答】
解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，
那么△OCD≌△O′C′D′，
可得∠A′O′B′=∠AOB，
所以利用的条件为SSS．
故选：A．
10.【答案】B
【解析】解：作点A关于BC的对称点A′，作点A′E⊥AB，交BC于点D．
则AD=A′D，
∴AD+DE=A′D+DE≥A′E．
即AD+DE的最小值为A′E．
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，AA′=12，
∵S△AA′B=12AA′⋅BC=12AB⋅A′E，
∴A′E=AA′⋅BCAB=12×810=9.6，
即AD+DE的最小值为9.6．
故选：B．
作点A关于BC的对称点A′，作点A′E⊥AB，交BC于点D.则AD=A′D，所以AD+DE=A′D+DE≥A′E.即AD+DE的最小值为A′E．
此题考查了角平分线的性质，角平分线的性质为：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟练掌握此性质是解本题的关键．
11.【答案】3
【解析】解：根据三角形的三边之间的关系得：3−2∴1∵a为奇数，
∴a=3．
故答案为：3．
首先根据三角形的三边之间的关系得：3−2此题主要考查了三角形的三边之间关系，解答此题的关键是熟练掌握三角形的三边之间关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
12.【答案】Ⅱ 两角及其夹边对应相等的三角形全等(ASA)
【解析】解：要配置与原材料一样的三角形材料，应该用材料Ⅱ，理由是两角及其夹边对应相等的三角形全等(ASA)，
故答案为：Ⅱ，两角及其夹边对应相等的三角形全等(ASA)．
利用全等三角形的判定方法进行判断即可．
本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是了解全等三角形的判定方法，难度不大．
13.【答案】35°
【解析】解：∵AB的垂直平分线DE交BC于D，
∴AD=BD，
∴∠B=∠DAB，
∵∠C=90°，∠CAD=20°，
∴∠CDA=70°，
∴∠DAB=∠B=35°．
故答案为：35°．
直接利用线段垂直平分线的性质得出AD=BD，再利用三角形内角和定理以及三角形外角的性质得出答案．
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，得出AD=BD是解题关键．
14.【答案】3或−9
【解析】解：∵x2±6+9=(x±3)2，
∴k+3=±6，
解得：k=3或k=−9，
故答案为：3或−9．
a2±2ab+b2=(a±b)2，据此即可求解．
本题考查求完全平方公式中的字母系数．掌握公式形式是解题关键．
15.【答案】900x=600x−30
【解析】解：设A种机器人每小时搬运x千克化工原料，则B种机器人每小时搬运(x−30)千克化工原料，由题意得
900x=600x−30，
故答案为：900x=600x−30．
设A种机器人每小时搬运x千克化工原料，则B种机器人每小时搬运(x−30)千克化工原料，根据A型机器人搬运900kg原料所用时间与B型机器人搬运600kg原料所用时间相等建立方程求出其解就可以得出结论．
本题考查了列分时方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时根据A型机器人搬运900kg原料所用时间与B型机器人搬运600kg原料所用时间相等建立方程是关键．
16.【答案】2a(a+b)=2a2+2ab
【解析】解：从“整体”上看是长为2a，宽为a+b的长方形，因此面积为2a(a+b)，
组成“整体”的四个部分的面积和为2a2+2ab，
所以有2a(a+b)=2a2+2ab．
故答案为：2a(a+b)=2a2+2ab．
从“整体”和“部分”两个方面用代数式表示图形的面积即可．
本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的计算方法，会用代数式表示图形各个部分的面积是正确解答的关键．
17.【答案】4
【解析】解：(1)建立平面直角坐标系如图所示．
(2)如图，△A1B1C1即为所求．
由图可得，BB1=4．
故答案为：4．
(1)根据点B，C的坐标建立平面直角坐标系即可．
(2)根据轴对称的性质作图，由图可得BB1的长．
本题考查作图−轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
18.【答案】解：(1)原式=(4x+y)(4x−y)；
(2)原式=a(x−y)−b(x−y)
=(x−y)(a−b)．
【解析】(1)利用平方差公式因式分解即可；
(2)将原式变形后利用提公因式法因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
19.【答案】解：(1−2x−1)⋅x2−xx2−6x+9
=x−1−2x−1⋅x(x−1)(x−3)2
=x−3x−1⋅x(x−1)(x−3)2
=xx−3，
∵x为小于3的非负整数，x−1≠0，x−3≠0，
∴x=0或x=2，
当x=0时，原式=00−3=0．
【解析】先算括号内的式子，再算括号外的乘法，然后根据x为小于3的非负整数和分母不为0，选出一个使得原分式有意义的整数，代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)x3y2⋅(y2)3÷(xy)2
=x3y2⋅y6÷x2y2
=x3y8÷x2y2
=xy6；
(2)(2x+3y)(2x−3y)−(x−2y)(4x+y)
=4x2−9y2−(4x2−7xy−2y2)
=4x2−9y2−4x2+7xy+2y2
=−7y2+7xy．
【解析】(1)先算乘方，再算乘除，即可解答；
(2)利用平方差公式，多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21.【答案】解：(1)由题意可得180×(x−2)=1080，
解得x=8．
正x边形的周长为8×2=16；
(2)正x边形每个内角的度数为1080°÷8=135°，
正n边形的每个外角的度数为135°−63°=72°，
360°÷72°=5，
∴n的值为5．
【解析】(1)根据多边形的内角和公式(n−2)×180°列式进行计算求得边数．
(2)根据(1)求出正x边形每个内角的度数，正n边形的每个外角的度数，根据多边形的外角和为360°解题即可．
本题主要考查多边形内角和外角，正确记忆相关知识点是解题关键．
22.【答案】解：(1)设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需1.5x天，
根据题意得：12x+121.5x=1，
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x=1.5×20=30(天)，
答：甲工程队单独完成该工程需20天，乙工程队单独完成该工程需30天；
(2)∵甲、乙两工程队均能在规定的一个月内单独完成，
∴有如下三种方案：
方案一：甲工程队单独完成．所需费用为：4×20=80(万元)；
方案二：乙工程队单独完成．所需费用为：3×30=90(万元)；
方案三：甲乙两队合作完成．所需费用为：(4+3)×12=84(万元)．
∵90>84>80，
∴选择甲工程队承包该项工程，既能按时完工，又能使工程费用最少．
【解析】(1)设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需1.5x天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要12天”，列出分式方程，解方程即可；
(2)根据(1)中的结果可知，符合要求的施工方案有三种，方案一：甲工程队单独完成；方案二：乙工程队单独完成；方案三：甲、乙两队合作完成．分别计算出所需的工程费用，再比较即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵△ABC与△ADE均为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠B=∠ACB=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
(2)∵△ACE≌△ABD，
∴∠ACE=∠B=60°，
∴∠ECD=180°−∠ACE−∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ECD，
∴CE平分∠ACD．
【解析】(1)根据等边三角形的性质及SAS即可求证结论；
(2)根据全等三角形的性质得∠ACE=∠B=60°，再根据角平分线的判定定理即可求证结论．
本题考查了全等三角形的判定及性质、等边三角形的性质、角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定及性质和角平分线的判定是解题的关键．
24.【答案】2 (x−1)2(x+3)
【解析】解：(1)∵x2+2x+3=x2+(3+a)x+b，
∴3+a=2，b=3，
∴a=−1，
∴a+b=−1+3=2．
故答案为2．
(2)设多项式的另一因式为x2+ax+b，
∴x3+x2−5x+3=(x−1)(x2+ax+b)．
x3+x2−5x+3=x3+ax2+bx−x2−ax−b，
x3+x2−5x+3=x3+(a−1)x2+(b−a)x−b．
∴a−1=1，−b=3，
∴a=2，b=−3．
∴另一因式为：x2+2x−3．
(3)∵多项式x3+x2−5x+3有因式x−1，另一因式为x2+2x−3，
∴x3+x2−5x+3=(x−1)(x2+2x−3)=(x−1)(x+3)(x−1)=(x−1)2(x+3)．
(1)根据等式左右两边x的系数相等，常数项相等可得a，b的值，再求a+b即可；
(2)可模仿范例设另一个因式为x2+ax+b，和因式(x−1)相乘，并展开，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即可求解；
(3)根据(2)可将多项式x3+x2−5x+3分解因式为(x−1)(x2+2x−3)，进而把(x2+2x−3)继续分解后再进行整理即可．
本题考查了把待定系数法用到因式分解中求相关系数．理解所给的定义，并模仿范例求解是解决阅读型问题的关键．注意因式分解一定要分解到底，并进行整理．
25.【答案】(4,2)
【解析】解：(1)∵AC⊥CD，
∴∠ACD=∠B=90°，
∴∠A=90°−∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△CED中，
∠A=∠DCE∠B=∠EAC=CD，
∴△ABC≌△CED(AAS)，
∴AB=CE=5cm，CB=DE=3.5cm，
∴BE=CB+CE=8.5(cm)；
(2)如图2，过点C作DE⊥x轴于E，过点B作BF⊥CE交EC延长线于F，
∴∠OEC=∠CFB=90°，
∵∠BCO=90°，
∴∠EOC=90°−∠OCE=∠FCB，
在△OEC和△CFB中，
∠EOC=∠FCB∠OEC=∠CFBOC=BC
∴△OEC≌△CFB(AAS)，
∴OE=CF，CE=BF，
∵C(1,3)，
∴OE=3，CE=1，
∴CF=3，BF=1
∴EF=CE+CF=4，
∴B点坐标为(4,3−1)，即(4,2)．
故答案为：(4,2)；
(3)AM=2ON，
理由：如图3，过点B作BF⊥y轴于F，
由(1)方法可证得△BEF≌△FAO(AAS)，
∴EF=AO，FB=OE，
∵OM=OE，
∴FB=OM，
在△BFN和MON中，
∠BFN=∠MON∠BNF=∠MNOFB=OM，
∴△BFN≌MON(AAS)，
∴ON=FN，
∴AM=AO+OM=EF+OE=OF=2ON．
(1)根据垂直的定义得到∠ACD=∠B=90°，求得∠A=90°−∠ACB=∠DCE，根据全等三角形的性质得到AB=CE=5，CB=DE=3.5，求得BE=CB+CE=8.5cm；
(2)如图2，过点C作DE⊥x轴于E，过点B作BF⊥CE交EC延长线于F，根据全等三角形的性质得到OE=CF，CE=BF，求得OE=3，CE=1，于是得到结论；
(3)如图3，过点B作BF⊥y轴于F，由(1)方法可证得△BEF≌△FAO(AAS)，求得EF=AO，FB=OE，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．