2023-2024学年湖南省衡阳市耒阳市重点学校高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省衡阳市耒阳市重点学校高一（上）期末数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.(925)12+2713=( )
A. 12B. 2C. 518D. 185
2.设集合A={x|(x−1)(x−3)<0}，B={x|2x−3>0}，则A∩B=( )
A. (−3,−32)B. (−3,32)C. (1,32)D. (32,3)
3.函数g(x)=x2−2x−2，x∈[0,4]的值域为( )
A. [−2,6]B. [−3,−2]C. [−3,6]D. [−2,4]
4.若不等式x2+bx+c<0的解集是{x|−4A. −1B. 1C. −12D. 12
5.已知f(x)是定义在R上的函数且f(−x)=−f(x)，当x>0时，f(x)=2x(x+1)，则f(−1)=( )
A. −4B. 0C. 4D. 8
6.已知函数f(x)=4x2−mx+5在区间[−2,+∞)上是增函数，在区间(−∞,−2]上是减函数，则f(1)等于( )
A. −7B. 1C. 17D. 25
7.“不等式x2−x+m>0在R上恒成立”的充分不必要条件是( )
A. m>1B. m<14C. m<1D. m>14
8.若不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4<0对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是( )
A. (−2,2]B. [−2,2]C. (2,+∞)D. (−∞,2]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各选项正确的是( )
A. 若x1，x2∈I，当x1B. 函数y=x2在R上是增函数
C. 函数y=−1x在定义域上不是增函数
D. 函数y=x2的单调递减区间为(−∞,0]
10.若幂函数f(x)的图像经过点(2,14)，则下列命题中，正确的有( )
A. 函数f(x)为奇函数B. 函数f(x)为偶函数
C. 函数f(x)在(0,+∞)为减函数D. 函数f(x)在(0,+∞)为增函数
11.下列说法正确的是( )
A. ( 2)0.2<( 2)0.4B. (12)0.2<(12)0.4
C. 30.3>0.33D. (1625)0.5<(916)0.5
12.已知实数a，b满足等式2017a=2018b，则下列关系式可能成立的是( )
A. 0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数y=14x−1− 1−2x的定义域是______．
14.函数f(x)的值域为(0,+∞)，且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f(x)可以为______.(写出符合条件的一个函数即可)
15.函数y=a2x−4+4(a>0且a≠1)的图象恒过定点______．
16.函数y=(12)5−4x−x2的递增区间是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
求下列函数的值域．
(1)f(x)=2x+3，x∈[−1,7]；
(2)y=x+1x−1．
18.(本小题12分)
若函数f(x)=2x,x≥0−x2−2x−2,x<0．
(1)在给定的平面直角坐标系中画出函数f(x)图象；
(2)利用图象写出函数f(x)的单调区间．
19.(本小题12分)
已知指数函数f(x)=ax(a>1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大2，
(1)求实数a的值．
(2)am2−3m>16，求m的取值范围．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2+ax，且f(1)=2．
(1)求a．
(2)求函数f(x)在区间[2,5]上的最大值和最小值．
21.(本小题12分)
已知幂函数f(x)=x−m2+m+2(m∈Z)在(0,+∞)上单调递增．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设g(x)=f(x)−ax+1，a为实常数，求g(x)在区间[−1,1]上的最小值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x+a⋅2−x．
(Ⅰ)若f(x)是奇函数，求实数a的值；
(Ⅱ)若f(2)=174，求f(x)在[−1,2]上的值域．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为(925)12=35，2713=3，
所以(925)12+2713=35+3=185．
故选：D．
直接根据分数指数幂的运算法则即可得出所求的答案．
本题考查分数指数幂的运算，考查学生的数学运算能力，属简单题．
2.【答案】D
【解析】解：集合A={x|(x−1)(x−3)<0}={x|10}={x|x>32}，
则A∩B=(32,3)．
故选：D．
先求出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由g(x)=(x−1)2−3，x∈[0,4]，故g(x)min=g(1)=−3，
又g(0)=−2，g(4)=6，所以函数在x∈[0,4]的值域为[−3,6]．
故选：C．
根据二次函数的性质求值域即可．
本题主要考查了二次函数闭区间上最值求解，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：因为不等式x2+bx+c<0的解集是{x|−4所以−4和3是方程x2+bx+c=0的实数根，
由根与系数的关系知，−4+3=−b−4×3=c，
解得b=1，c=−12；
所以c的值是−12．
故选：C．
根据不等式的解集得出对应方程的实数根，利用根与系数的关系求出b、c的值．
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：因为f(x)是定义在R上的函数且f(−x)=−f(x)，
当x>0时，f(x)=2x(x+1)，则f(1)=4，
f(−1)=−f(1)=−4．
故选：A．
由已知先求出f(1)，然后即可求解f(−1)的值．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：∵函数f(x)=4x2−mx+5在区间[−2,+∞)上是增函数，在区间(−∞,−2]上是减函数，
故函数f(x)=4x2−mx+5的图象关于直线x=−2对称；
故m8=−2
解得m=−16
故f(x)=4x2+16x+5
∴f(1)=4+16+5=25
故选D
由已知中函数的单调区间，可得函数f(x)=4x2−mx+5的图象关于直线x=−2对称，由对称轴直线方程求出m值后，代入可得f(1)的值．
本题考查的知识点是函数的单调性及应用，函数的值，其中根据函数的单调区间求出对称轴方程，进而确定函数的解析式是解答的关键．
7.【答案】A
【解析】解：由不等式x2−x+m>0在R上恒成立，可得Δ=1−4m<0，即m>14．
选项A，(1,+∞)⫋(14,+∞)，符合题意；
选项B，(−∞,14)∩(14,+∞)=⌀，不符题意；
选项C，集合(−∞,1)与集合(14,+∞)没有包含关系，不符题意；
选项D，(14,+∞)=(14,+∞)，不符题意．
故选：A．
由判别式小于0，可得m的取值范围，结合充分不必要条件的定义，考虑两个集合的关系，可得结论．
本题考查不等式恒成立问题解法，以及充分必要条件的判断，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：a=2时，不等式可化为−4<0对任意实数x均成立；
a≠2时，不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4<0对任意实数x均成立，等价于a−2<04(a−2)2+16(a−2)<0，
∴−2综上知，实数a的取值范围是(−2,2]．
故选：A．
分类讨论，结合不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4<0对任意实数x均成立，利用函数的图象，建立不等式，即可求出实数a的取值范围．
本题考查恒成立问题，考查解不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．
9.【答案】CD
【解析】解：A中，没强调x1，x2是区间I上的任意两个数，故不正确；
B中，y=x2在x≥0时是增函数，在x<0时是减函数，从而y=x2在整个定义域上不具有单调性，故不正确；
C中，y=−1x在整个定义域内不具有单调性，故正确；
D正确．
故选：CD．
根据增函数的定义即可判断选项A错误；根据二次函数的单调性即可判断选项B错误，D正确；根据反比例函数的单调性即可判断选项C正确．
本题考查了增函数的定义，二次函数和反比例函数的单调性，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：因为f(x)是幂函数，
所以设f(x)=xα，
又f(x)的图像经过点(2,14)，
所以2α=14，所以α=−2，即f(x)=x−2，
所以函数f(x)为偶函数，且在(0,+∞)为减函数，故BC正确，AD错误．
故选：BC．
先根据幂函数图像经过点(2,14)，求出函数解析式，然后利用幂函数的基本性质即可求解．
本题主要考查幂函数的概念与性质，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：对于A选项，因为函数y=( 2)x为R上的增函数，则( 2)0.2<( 2)0.4，A对；
对于B选项，因为函数y=(12)x为R上的减函数，则(12)0.2>(12)0.4，B错；
对于C选项，因为函数y=3x为R上的增函数，函数y=0.3x为R上的减函数，
所以，30.3>30=1=0.30>0.33，C对；
对于D选项，因为函数y=x0.5为(0,+∞)上的增函数，且1625>916，所以，(1625)0.5>(916)0.5，D错．
故选：AC．
利用指数函数的单调性可判断AB选项；利用中间值法可判断C选项；利用幂函数的单调性可判断D选项．
本题主要考查函数的性质，属于基础题．
12.【答案】BCD
【解析】解：画出y1=2017x与y2=2018x的图象，如下：
令2017a=2018b=m∈(0,1)，由图1可得a令2017a=2018b=n∈(1,+∞)，由图2可得0当2017a=2018b=1，此时a=b=0，D正确．
故选：BCD．
画出函数图象，数形结合得到答案．
本题主要考查指数函数的图象与性质，属于基础题．
13.【答案】(−∞,14)∪(14,12]
【解析】解：要使函数有意义，则4x−1≠01−2x≥0，
解得x≤12或x≠14，
即函数的定义域为(−∞,14)∪(14,12].
故答案为：(−∞,14)∪(14,12].
由分母不等于零；偶次方根被开方式非负可得关于x的不等式组，即可求解．
本题主要考查函数的定义域的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】f(x)=(12)x
【解析】解：∵函数f(x)=(12)x的值域为(0,+∞)，且在定义域R内单调递减，
∴函数f(x)=(12)x即是符合要求的一个函数，
故答案为：f(x)=(12)x．
由函数f(x)=(12)x的值域为(0,+∞)，且在定义域R内单调递减，即是符合要求的一个函数．
本题主要考查了指数函数的单调性和值域，是基础题．
15.【答案】(2,5)
【解析】解：函数y=a2x−4+4中，
令2x−4=0，解得x=2，
当x=2时，y=5，
故函数的图象恒过定点(2,5)．
故答案为：(2,5)．
根据已知条件，结合指数函数的性质，即可求解．
本题主要考查指数函数的性质，属于基础题．
16.【答案】(−2,+∞)
【解析】解：函数y=(12)5−4x−x2=2x2+4x−5
定义域为(−∞,+∞)
∵u(x)=x2+4x−5的单调递增区间为：(−2,+∞)
y=2x在(−∞,+∞)上单调递增．
∴根据复合函数的单调性的规律得出：函数y=(12)5−4x−x2的递增区间是：(−2,+∞)
故答案为：(−2,+∞)
化简得出函数y=2x2+4x−5，利用复合函数的单调性规律求解判断即可．
本题考查了指数函数的单调性，复合函数的单调性的规律，属于中档题，注意先判断函数的定义域．
17.【答案】解：(1)∵f(x)=2x+3为增函数，
∴当x∈[−1,7]时，f(x)∈[1,17]；
(2)y=x+1x−1=1+2x−1≠1，
∴y=x+1x−1的值域为(−∞,1)∪(1,+∞)．
【解析】(1)利用f(x)=2x+3的单调性可求得答案；
(2)由y=x+1x−1=1+2x−1≠1，可求得其值域．
本题考查函数的值域的求法，属于基础题．
18.【答案】解：(1)函数f(x)=2x,x≥0−x2−2x−2,x<0
的图象如右图：
(2)f(x)的增区间为(−∞,−1)，(0,+∞)；
减区间为(−1,0)．
【解析】(1)由分段函数的图象画法可得f(x)的图象；
(2)由f(x)的图象写出f(x)的单调区间．
本题考查分段函数的图象和性质，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由于a>1，所以f(x)在[1,2]上单调递增，
所以f(2)−f(1)=a2−a=2，解得a=2或a=−1(舍去)．
(2)由(1)得a=2，则由2m2−3m>16=24，
得m2−3m>4，m2−3m−4=(m−4)(m+1)>0，解得m<−1或m>4．
m的取值范围为(−∞,−1)∪(4,+∞)．
【解析】(1)根据已知条件列方程，由此求得a的值．(2)根据函数的单调性以及一元二次不等式的解法求得m的取值范围．
本题考查指数函数的性质，考查指数不等式，属于基础题．
20.【答案】解：(1)由题意得，f(1)=1+a=2，即a=1；
(2)由(1)得，f(x)=x+1x在[2,5]上单调递增，
所以x=2时，函数取得最小值f(2)=52，当x=5时，函数取得最大值265．
【解析】(1)由f(1)=2代入可求a；
(2)结合对勾函数单调性即可求解函数的最值．
本题主要考查了对勾函数单调性在函数最值求解中的应用，属于基础题．
21.【答案】解：(1)因为幂函数f(x)=x−m2+m+2在(0,+∞)上单调递增，
所以− m ​2+ m+2>0，故−1< m<2．
又因为m∈ Z，故m=0，或m=1，
所以f(x)= x ​2．
(2)由(1)知g(x)= x ​2− ax+1，
①若a2≤−1，即a≤−2时，g(x)在[−1,1]上单调递增，
所以g(x)min= g(−1)= a+2．
②若−1g(x)在[−1,a2]上单调递减，[a2,1]上单调递增，
所以g(x)min= g(a2)=1−a24．
③若a2>1，即a>2时，g(x)在[−1,1]上单调递减，
所以g(x)min= g(1)=2− a．
综上：a≤−2时，g(x)在区间[−1,1]上的最小值为a+2；
−2< a≤2时，g(x)在区间[−1,1]上的最小值为1−a24；
a>2时，g(x)在区间[−1,1]上的最小值为2− a．
【解析】本题主要考查幂函数的定义，求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
(1)由条件可得−m ​2+m+2>0，解得m的范围m.再结合m∈Z，求得m的值，可得f(x)的解析式．
(2)由(1)知g(x)=x ​2−ax+1，再分①若a2≤−1、②若−11三种情况，分别利用二次函数的性质，求得g(x)min..
22.【答案】解：(Ⅰ)由题意f(−x)=−f(x)，
∴2−x+a⋅2x=−2x−a⋅2−x，
∴a(2−x+2x)=−2x−2−x，
∴a=−1；
(Ⅱ)∵f(2)=4+a4=174，
∴a=1，f(x)=2x+2−x，
令t=2x，则12≤t≤4，
令h(t)=t+1t，12≤t≤4，
设12≤t10，
∴h(t1)>h(t2)，
∴h(t)在[12,1]上单调递减，
∴h(1)≤h(t)≤h(12)，即2≤h(t)≤52，
同理可证h(t)在(1,4]上单调递增，
∴h(1)故函数的值域为[2,174].
【解析】(Ⅰ)由已知结合奇函数的定义f(−x)=−f(x)，即可求解a；
(Ⅱ)由已知先求出a，然后判断函数的单调性，结合单调性即可求解函数的值域．
本题主要考查了函数奇偶性及单调性的应用，属于中档题．