福建省泉州市2023-2024学年高二上学期1月期末教学质量监测数学试题

这是一份福建省泉州市2023-2024学年高二上学期1月期末教学质量监测数学试题，共28页。试卷主要包含了考生作答时，将答案答在答题卡上，已知圆和圆，则，已知空间向量，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．选择题答案使用铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线的倾斜角为，若直线与垂直，则的斜率为
A．B．C．D．
2．已知数列满足，则的值为
A．2B．C．D．-1
3．椭圆绕长轴旋转所成的面为椭球面，椭球面镜一般指椭球面反射镜，老花眼镜、放大镜和胶片电影放映机聚光灯的反射镜等镜片都是这种椭球面镜片．从椭球面镜的一个焦点发出的光，经过椭球面镜反射后，必经过椭球面镜的另一个焦点．现有一个轴截面长轴长为的椭球面镜，从其一焦点发出的光经两次反射后返回原焦点，所经过的路程为
A．B．C．D．
4．四棱雉的底面为矩形，平面$ABCD，M$在棱上，，则
A．-4B．4C．D．
5．已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率为
A．B．C．2D．3
6．已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数
A．12B．13C．24D．25
7．已知，若直线上有且只有一点满足，则
A．B．C．或D．或
8．棱长为4的正方体中，M，N分别为的中点，点在正方体的表面上运动，若，则AP的最大值为
A．4B．6C．D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知圆和圆，则
A．两圆的公共弦所在的直线方程为B．圆上到直线的距离为1的点恰有2个
C．圆的内部与圆的内部的公共部分的周长为
D．若点在圆上，点在圆上，则的最大值为6
10．已知空间向量，则
A．B．在上的投影向量为
C．若向量，则点在平面内D．向量是与平行的一个单位向量
11．已知分别是数列的前项和，，则
A．B．C．D．
12．已知曲线(为非零常数)，则
A．原点是的对称中心B．直线与恒有两个交点
C．当时，直线是的渐近线D．当时，直线为的对称轴
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡相应位置。
13．直线恒过定点______.
14．已知是抛物线上纵坐标为4的点，则与的焦点的距离为______.
15．在空间直角坐标系中，若平面过点，且以向量不全为零)为法向量，则平面的方程为．已知平面的方程为，则点到平面平面的距离为______.
16．已知是数列的前项和，，且，，则______.
四、解答题：本大题共6题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．(10分)
已知，圆为的外接圆．
(1)求圆的方程；
(2)若过点的直线被截得的弦长为，求直线的方程．
18．(12分)
已知数列为递增的等差数列，为和的等比中项．
(1)求数列通项公式；
(2)若，求数列的前项和为．
19．(12分)
已知动圆过点且与直线相切，记该动圆圆心的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)若过点的直线交于两点，且，求的面积．
20．(12分)
三棱台中，．
(1)若与交于点，求证：平面；
(2)若平面平面与底面所成角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值．
21．(12分)
第二十四届北京冬季奥林匹克运动会开幕式上的主火炬如图一，这是历史上第一座由所有参赛国家和地区的名字汇聚成的大雪花．没有天马行空的点火方式，也没有赫赫炎炎的剧烈燃烧，但却清晰地传递了低碳环保理念，一朵雪花照亮了“双奥之城”北京，也将照亮全人类的绿色未来．如图二是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，其作法是从一个正三角形开始，把每条边三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，…，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案．已知原正三角形(图二①)的边长为3，并将图二中的第个图的面积记为．
(1)求；
(2)求数列的通项公式，并探究是否存在超过图二①面积2倍的图形．
22．(12分)
已知椭圆与轴交于两点，点为粗圆上不同于的点.
(1)若直线的斜率分别为，求的最小值；
(2)已知直线，直线分别交于P、Q两点，为PQ中点．试判断直线MN与的位置关系．
福建省泉州市2023-2024学年高二上学期1月期末教学质量监测数学试题答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．【命题意图】本小题主要考查直线的倾斜角与斜率及两条直线之间的位置关系等基础知识；考查运算求解等能力；考查化归转化、数形结合等思想；体现基础性，导向对数学运算、直观想象等核心素养的关注．
【试题解析】直线的倾斜角为，斜率，
因为，所以，即，故选C．
2．【命题意图】本小题主要考查数列递推关系及数列的周期性等基础知识；考查运算求解、推理论证等能力；考查化归与转化思想；体现基础性，导向对数学运算等核心素养的关注．
【试题解析】，
3．【命题意图】本小题主要考查椭圆的定义等基础知识；考查推理论证能力和数学应用意识；考查化归与转化，数形结合思想；体现基础性和应用性，导向对直观想象，数学建模等核心素养的关注。
【试题解析】由椭圆的定义可知光线从一个焦点经反射经过另一个焦点，其路程为长轴长，再由第二个焦点经反射返回第一个焦点的路程仍为长轴长，所以经过的路程总共为．故选B．
4．【命题意图】本小题主要考查空间向量基本定理、向量数量积等基础知识；考查运算求解等能力；考查化归与转化思想；体现基础性，导向对数学运算等核心素养的关注．
【试题解析】法一：如图，因为四边形ABCD是矩形，所以，
又平面ABCD，M在棱PC上，所以，
所以．故选B．
法二：如图以为原点，CD，CB，CP所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，设，依题意得
所以．故选B．
5．【命题意图】本小题主要考查向量运算及双曲线的几何性质等基础知识；考查运算求解等能力；考查化归转化和数形结合等思想；体现基础性、综合性；导向对数学运算、直观想象等核心素养的关注．
【试题解析】如图，不妨设为左、右焦点，为坐标原点，
法一：设，则(当且仅当P在顶点时取等号)
所以即得到，故选A．
法二：
当在双曲线的顶点时，取最小值，故，所以，得，故选A．
6.【命题意图】本小题主要考查等差数列的前项和公式、等差数列的性质等基础知识；考查运算求解、推理论证等能力；考查化归与转化思想；体现综合性，导向对数学运算、逻辑推理等核心素养的关注．
【试题解析】等差数列的前项和为，由，且，
得，则数列的公差，于是数列是递增的等差数列，当时，，当时，，所以，所以使成立的最小的为24．故选C．
7．【命题意图】本小题主要考查圆的方程与性质以及直线与圆的位置关系等基础知识；考查直观想象，运算求解，推理论证能力等；考查数形结合思想等；体现基础性，综合性，导向对直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养的关注．
【试题解析】设动点，由题意得，化简可得，故动点的轨迹方程为．
曲线是以为圆心，2为半径的圆，
且在直线上，故直线与圆相切，且切点为，
由，得，所以或，故选D．
8．【命题意图】本小题主要考查空间中的线线垂直、线面垂直、空间两点间的距离等基础知识；考查运算求解、空间想象、推理论证等能力；考查化归与转化思想；体现综合性、应用性，导向对直观想象、逻辑推理等核心素养的关注．
【试题解析】如图，取的中点的中点，连接，
可证，所以平面，
取AD中点T，BC中点的四等分点满足，
的四等分点满足，可证平面平面，
所以平面QRST，又因为平面QRST经过BD的中点，
由已知可得点轨迹为四边形QRST的边界（不包括内部和点M)，
所以当点P位于点时，AP取最大值，为，故选C．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．【命题意图】本小题主要考查圆与圆的位置关系，直线和圆的位置关系等基础知识；考查逻辑推理、运算求解等能力；考查化归与转化、数形结合等思想；体现基础性和应用性，导向对数学运算、直观想象等核心素养的关注．
【试题解析】两圆的公共弦所在的直线方程为：即，故A正确．
如下图，圆心到直线的距离，而圆半径为2，可知圆与直线相交，而垂直且到距离为，由知轴与圆相切，故是圆被所截劣弧上唯一到距离为1的点；过作直线的平行线，则和轴是平面上到距离为1的所有点的集合．而和圆相交于点和点，所以共3点)符合题意，故B错误．
如上图，直线与轴交于点，交两圆于S，T，在Rt中，，所以，故，所以弓形TOS的周长为，故所求公共部分周长为，故错误．(从图形可以大致看出所求公共部分周长大于半圆周长)
由平几知识可知，当M，N和两圆圆心共线，且在两圆心的两侧时，最大，为圆心距和两个半径的和6，故D正确．故选AD．
10．【命题意图】本小题主要考查空间向量的垂直、平行的坐标运算，单位向量、投影向量、共面向量的概念及运算等基础知识；考查运算求解、推理论证等能力；考查化归与转化思想；体现基础性和应用性，导向对数学运算、逻辑推理等核心素养的关注．
【试题解析】由已知可得，A正确；由于，所以在上的投影向量即为，正确；若在平面ABC内，则存在实数x，y，使得，而所以上述方程组无解，故点E不在平面ABC内，C错误;
由，故，且，所以正确．故选．
11．【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式，数列的前项和等基础知识；考查运算求解推理论证能力等；考查转化与化归思想等；体现基础性，综合性，导向对逻辑推理，数学运算等核心素养的关注．
【试题解析】由可得即，
故，故错误；
令，得，故，故正确；
，由于恒成立，故，故C正确；
，故D正确．
故选BCD．
12．【命题意图】本小题主要考曲线与方程，直线与曲线位置关系等基础知识；考查直观想象、运算求解、推理论证能力等；考查数形结合思想、化归与转化思想等；体现基础性，综合性，导向对直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注．
【试题解析】在上任取一点，则点代入方程得
故点在上，所以关于原点对称，故正确；
联立方程得，
，当时，故B错误；
当时，曲线整理为，在上任取一点
,则到直线的距离,
当逐渐增大时，逐渐减小，当无限增大时，无限接近0，
则直线是的渐近线；故C正确；
当时，曲线整理为，在上任取一点，则关于直线的对称点为，
且，即，
，即，
当时，，所以点在上，
所以直线为的对称轴；所以正确，故选ACD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡相应位置。
13．【命题意图】本小题主要考查直线的方程等基础知识；考查运算求解等能力；考查函数与方程思想；体现基础性，导向对数学运算等核心素养的关注．
【试题解析】直线，可化为，
由可得所以即直线恒过定点．
故答案为：
14．【命题意图】本小题主要考查抛物线的方程及性质等基础知识；考查直观想象，运算求解能力等；考查数形结合思想等；体现基础性，综合性，导向直观想象，数学运算等核心素养的关注．
【试题解析】由C：可得的横坐标为，
抛物线的焦点坐标为，
由抛物线的性质可得，与的距离．
故答案为：．
15．【命题意图】本小题主要考查平面的法向量、点到平面的距离等基础知识；考查运算求解等能力；考查化归与转化思想；体现创新性和应用，导向对数学运算、直观想象等核心素养的关注．
【试题解析】由已知可得平面ABC过点，且其法向量为，
，点到平面的距离为．故答案为：
16．【命题意图】本小题主要考查递推数列、通项公式与数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程、化归与转化等思想，体现综合性，导向对发展数学运算、数学建模等核心素养的关注．
【试题解析】由已知可得
所以，
于是．故，即，
所以，
所以
故答案为：．
四、解答题：本大题共6题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．【命题意图】本小题主要考查了圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识；考查运算求解等能力；考查函数与方程、数形结合等思想；体现基础性、综合性；导向对数学运算、直观想象等核心素养的关注．
【试题解析】(1)法一：
设圆的方程为，…………………………………………1分
把点代入方程得………………………………………………2分
解得【求对两个1分，求对三个2分】………………………………………………………………4分
故圆的方程为．…………………………………………………………………………5分
法二：
线段AB的中垂线为，………………………………………………………………………………………1分
线段BC的中垂线为，…………………………………………………………………………………2分
联立方程解得…………………………………………………………………………………3分
所以圆心为，半径，【半径分】……………………………………………………………4分
故圆的方程为．………………………………………………………………………………5分
法三：
直线AC的斜率，…………………………………………………………………………………1分
直线BC的斜率，………………………………………………………………………………2分
所以，即直线，故线段$AB$为圆的直径．………………………………………3分
故圆心为，半径，…………………………………………………………………………4分
所以圆的方程为．……………………………………………………………………………5分
(2)法一：
①当直线的斜率不存在时，则的方程为，
此时，直线与圆相交于点和，
所以直线与圆相交的弦长为，符合题意．……………………………………………………………6分
②当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为，
圆的方程，所以圆心为，半径，
因为直线与圆相交的弦长为，
所以设圆心到直线的距离，则，
【距离公式与弦长计算公式各1分】……………………………………………………………………………8分
即，解得，…………………………………………………………………………9分
综上，直线的方程为或．………………………………………………………10分
法二：
①同法一①…………………………………………………………………………………………………………6分
②当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为，
联立方程，得，…………………………………………7分
所以，即，
设直线与圆相交P，Q两点，其中，
所以，
故，
因为，【弦长公式分】…………………………………………………………8分
所以
解得，满足：，【计算分】……………………………………………………………………9分
综上，直线的方程为或．………………………………………………………10分
法三：
为原点，设点的坐标为，直线被截得的弦长为PQ，
因为圆的方程，所以圆心为，半径．
由于，故在圆上，……………………………………………………………………6分
由知满足条件的直线有2条，………………………………………………………………7分
如下图：
由，圆与轴交于可知，
所以直线符合题意．……………………………………………………………………………………8分
因为圆与轴正半轴交于，则在Rt中，
，所以直线也符合题意，
解得直线即．……………………………………………………………9分
综上，直线的方程为或．………………………………………………………10分
(说明：本题答案正确且有相应解答步骤即可给满分)
18．【命题意图】本小题考查等差数列通项公式、等比中项和数列求和等基础知识：考查运算求解等能力；考查函数与方程、化归转化等思想，体现基础性、综合性，导向对数学运算等核心素养的关注．
【试题解析】(1)法一：设递增等差数列的公差为，则，由题意得，
，【等比中项概念】…………………………………………………………………………………1分
即，【通项公式】……………………………………………………………2分
于是，解得．【计算分，求对1个1分】……………………………………………4分
所以，．【通项公式与化简答案】……………………………………………5分
法二；
设递增等差数列的公差为，则，由题意得，
，【等比中项与通项公式】……………………………………………………2分
即，得，……………………………………………………………………………………………3分
所以，．【通项公式2与化简答案】………………………………………5分
(2)，……………………………………………………………………………6分
设，…………………………………………………………………………………………7分
，
，①………………………………………………………………………8分
，②…………………………………………………………………………9分
由①-②得，……………………………………………………………10分
，……………………………………………………………………………11分
所以．……………………………………………………………………………………………12分
19．【命题意图】本小题主要考查抛物线的定义及标准方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力等；考查数形结合思想、化归与转化思想等，体现基础性，导向对数学运算、直观想象等核心素养的关注．
【试题解析】(1)设，【直接法求轨迹方程的第一步】…………………………………………………1分
动圆的半径，
【两点间距离公式与点线距离各1分】…………………………………………………………………………3分
整理可得．【方程的化简运算】…………………………………………………………………………5分
故曲线的方程为.………………………………………………………………………………………5分
（2）法一：
设，不妨设点在轴上方，
由可得，…………………………………………………………………………………6分
由已知直线斜率必不为0，故可设直线，………………………………………………………7分
联立方程可得，……………………………………………………………………8分
故…………………………………………………………………………………………………9分
解得，故………………………………………………………………10分
．
【公式1分，计算1分】…………………………………………………………………………………………12分
法二：设，不妨设点在轴上方，
由可得，…………………………………………………………6分
若直线的斜率不存在，则，不符合题意，舍去；…………………………………………………7分
设直线，
联立方程可得，…………………………………………………8分
，………………………………………………………………………………………………9分
解得，…………………………………………………………………………………………10分
，
，解得．
原点到直线的距离，…………………………………………………………11分
故的面积…………………………………………………………12分
20．【命题意图】本小题主要考查线面平行的判定、面面垂直的性质定理、线面角的定义、二面角的求解及空间向量的运算与应用等基础知识；考查空间想象能力、推理论证及运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想等；体现基础性、综合性与应用性，导向对发展逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养的关注．
【试题解析】(1)法一：证明：连接CE，设CE与BF交于点，
在三棱台中
因为，所以……………………………………………………………………………1分
同理…………………………………………………………………………………2分
因为，
所以与重合，即………………………………………………………………………………3分
在中，…………………………………………………………………………………………4分
所以平面ABC．……………………………………………………………………………………………6分
法二：证明：在三棱台中，易知
因为，所以，……………………………………………………………………………1分
同理，…………………………………………………………………………………………………2分
，
所以，【向量运算的中间过程，可有1分】…………………………………………………………4分
又平面，平面，【MN不在面内的说明】…………………………………………5分
所以平面ABC．……………………………………………………………………………………………6分
法三：证明：在线段BE上取点，使得，连接MP，NP，
在三棱台中，
因为，所以……………………………………………………………………………1分
因为，所以，
即，……………………………………………………………………………………………………2分
又平面平面ABC，
所以平面ABC，……………………………………………………………………………………………3分
同理平面ABC，……………………………………………………………………………………………4分
因为平面平面MPN
所以平面平面ABC………………………………………………………………………………………5分
因为平面MPN，所以平面ABC.…………………………………………………………………6分
(1)因为平面平面，平面平面，
平面ABED，所以平面…………………………………………………………7分
取AC中点，连接FQ，易知，所以平面ABC，
所以CF与底面ABC所成角为．
在Rt中，，所以
因为，
所以
所以…………………………………………………………………………………………………8分
法一：过作，垂足为，以为原点，AT，AB，AD所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
依题意得…………………………………………………9分
设是平面AEF的法向量，
由得
令得，
设是平面的法向量，
由得令得，……………………………………………………10分
设平面与平面夹角为，则
【公式1分，计算结果1分】……………………………………………………………………………………12分
即平面AEF与平面BCFE夹角的余弦值为…………………………………………………………………12分
法二：过作的延长线于，
在Rt中，易得，
所以为AS的中点，即
所以，……………………………………………………………………………………………………7分
过作，以为原点，BA，BQ，BK所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，……………………………………………………………………………………………………8分
依题意得，……………………………………………………………………9分
设是平面AEF的法向量，则
由得，令得
设是平面BCFE的法向量，则
由得，令得…………………………………………………10分
设平面AEF与平面BCFE夹角为，则
【公式1分，计算结果1分】……………………………………………………………………………………12分
即平面AEF与平面BCFE夹角的余弦值为…………………………………………………………………12分
法三：在三棱台中，延长AD，BE，CF交于点，因为，所以D，E，F分别为OA，OB，OC的中点．……………………………………………………………………………………………7分
过作于，作平面OEF于，…………………………………………………………8分
连接GH，则是平面AEF与平面BCFE夹角．…………………………………………………………9分
在中，易得，，
由余弦定理得
所以
由
得………………………………………………10分
另一方面
所以
在中，易得，
，
所以
设点到平面OEF的距离为
由
得，所以．…………………………………………………………………………11分
所以
即
所以平面与平面夹角的余弦值为.……………………………………………………………12分
21．【命题意图】本小题主要考查数列的递推关系式、数列求和等基础知识；考查运算求解、推理论证等能力：考查化归与转化思想、数形结合思想：体现综合性、应用性，导向对数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养的关注．
【试题解析】(1)；…………………………………………………………………………1分
．【列式2分，计算1分】………………………………………4分
(2)图二中的①，②，③，④，中的图形依次记为，它的边数是以3为首项，4为公比的等比数列，……………………………………………………………………………………………………………5分
则图形的边数为；………………………………………………………………………………………6分
从起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数是以3为首项，4为公比的等比数列，则比前一个图形多出的三角形的个数为；…………………………………………………………………………………7分
从起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积是以为首项，为公比的等比数列，则比前一个图形多出的每一个三角形的面积是．…………………………………………………8分
所以，即
．……………………………………………………………………9分
所以当时，
……………………………………………10分
又因为，符合上式，
所以．……………………………………………………………11分
若存在，得，
整理得，显然矛盾，
所以不存在超过图二①面积2倍的图形．………………………………………………………………………12分
22．【命题意图】本小题主要考查椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解、逻辑推理和创新能力等；考查数形结合、函数与方程等思想；体现基础性、综合性与创新性，导向对直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注．
【试题解析】(1)取代入可得，所以设，则……………………………………………………………………………1分
法一：
所以……………………………………………2分
则(当且仅当时取等号)
所以的最小值为1．………………………………………………………………………………………5分
【说明：得到分；使用基本不等式并指出取等条件，1分；正确结论1分。】
法二：（前面的步骤同上）
则，………………………………………3分
由，则，………………………………………………………………………………………4分
当且仅当时取等号．
所以的最小值为1．………………………………………………………………………………………5分
(2)如下图，由题意可知，
法一：
直线，直线…………………………………………………6分
取代入可得，
则即……………………………………………7分
又因为，所以，则直线的斜率………………………………………8分
则直线，
整理得，即…………………………………………………………10分
将与联立得：
，………………………………………………………………………11分
则，
所以直线与椭圆相切（结论判断正确给1分）.…………………………………………………………12分
法二：由…………………………………………………………6分
直线，令，则
则，…………………………………………………………………………………………7分
同理
所以中点为…………………………………………………………………………8分
所以直线的斜率……………………………………………………9分
所以直线的方程为，即
．…………………………………………………………………………………………………10分
将与联立得：
，
【有实质性的方程联立即得1分】………………………………………………………………………………11分
即
即
即，得到唯一解
所以直线与椭圆相切（结论判断正确给1分）．…………………………………………………………12分