安徽省六安市2023-2024学年高三上学期期末教学质量检测数学试题

这是一份安徽省六安市2023-2024学年高三上学期期末教学质量检测数学试题，共12页。试卷主要包含了函数，若，则实数a的取值范围是，已知，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知复数z的共轭复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为（ ）
A.B.C.D.
3.已知向量，向量，则与的夹角大小为（ ）
A.30°B.60°C.120°D.150°
4.等差数列的公差不为0，其前n项和为，若，则（ ）
A.11B.12C.13D.14
5.函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
6.已知，则（ ）
A.B.C.D.
7.圆上一点关于x轴的对称点为B，点E，F为圆O上的两点，且满足，则直线的斜率为（ ）
A.B.C.3D.
8.某种生命体M在生长一天后会分裂成2个生命体M和1个生命体N，1个生命体N生长一天后可以分裂成2个生命体N和1个生命体M，每个新生命体都可以持续生长并发生分裂.假设从某个生命体M的生长开始计算，记表示第n天生命体M的个数，表示第n天生命体N的个数，则，，则下列结论中正确的是（ ）
A.B.数列为递增数列
C.D.若为等比数列，则
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A.B.C.D.
10.地震释放的能量E与地震震级M之间的关系式为，2022年9月18日我国台湾地区发生的6.9级地震释放的能量为，2023年1月28日伊朗西北发生的5.9级地震释放的能量为，2023年2月6日土耳其卡赫拉曼马拉什省发生的7.7级地震释放的能量为，下列说法正确的是（ ）
A.约为的10倍B.超过的100倍
C.超过的10倍D.低于的10倍
11.已知函数的导函数为，对任意的正数x，都满足，则下列结论正确的是（ ）
A.B.
C.D.
12.在棱长为1的正方体中，P为棱上一点，满足（d为定值），记P点的个数为n，则下列说法正确的是（ ）
A.当时，B.当时，
C.当时，D.n的最大值为18
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.抛物线的焦点F与x轴上一点A的连线的中点P恰在抛物线上，则线段的长为______.
14.如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积为______.
15.已知函数的最小正周期为，将函数的图象上的所有点向右平移个单位长度，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图象，则在上的值域为______.
16.已知是双曲线的右焦点，圆与双曲线C的渐近线在第一象限交于点A，点B在双曲线C上，，则双曲线C的渐近线方程为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知数列的前n项和为，.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）当时，设，求数列的前n项和.
18.（本小题满分12分）
在中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.
（1）若，，求角A的值；
（2）若，且b是a和的等差中项，求的值.
19.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若函数的图象在处的切线与x轴平行，求函数的图象在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性.
20.（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，，垂足为点E，平面，垂足在上，点在上，且.
（1）证明：平面；
（2）若，，三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.
21.（本小题满分12分）
平面内一动点P到直线的距离，是它到定点的距离的2倍.
（1）求动点P的轨迹的方程；
（2）经过点F的直线（不与y轴重合）与轨迹相交于M，N两点，过点M作y轴平行线交直线l于点T，求证：直线过定点.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）设函数有两个极值点，，求证：.
六安市2024年高三教学质量检测试卷参考答案（数学）
1.【答案】D
【详解】因为，，所以.
2.【答案】C
【解析】由已知得，，则复数的虚部为.
3.【答案】D
【解析】∵，∴，的夹角为150°.
4.【答案】C
【解析】设等差数列的公差为d，所以，则有，即，又，所以，所以.
5.【答案】A
【解析】因为，所以由得，
又因为在上单调递增，所以，解得.
6.【答案】B
【解析】因为，所以，
则，即，所以.
7.【答案】B
【解析】由知，所以，而，∴.
8.【答案】B
【解析】由题意可得，，作差得，则，又，解得，，故可判断选项B正确.
9.【答案】AD
【解析】是偶函数，时，，单调递增，故A项正确；不是偶函数，故B项错误；是偶函数，时，单调递减，故C项错误；是偶函数，时，，函数单调递增，故D项正确.
10.【答案】BC
【解析】，所以，故A项错误；，，故B项正确；，，故C项正确，D项错误.
11.【答案】BC
【解析】设，则，所以在上单调递增.由得，故A项错误；由得，故B项正确.设，则，所以在上单调递减.由得，故C项正确：由得，故D项错误.
12.【答案】AD
【解析】当点P位于A或处时，d取到最小值.当P在棱上由A到B移动时，d由增大到，当P在，，，，等棱上移动时，d的变化亦是如此.当P在棱上由B到移动时，d由减少到，再由增大到；当P在，，，，等棱上移动时，d的变化亦是如此.
13.【答案】
【解析】由抛物线定义知：点P到焦点F的距离等于它到准线的的距离，
所以，则.
14.【答案】
【解析】作，，E，F为垂足，，，，，所以该几何体的表面积为.
15.【答案】
【解析】，，，，，，所以在上的值域为.
16.【答案】
【解析】由得到点A为的中点，记为C的左焦点，连接，所以，由解得，，
由双曲线定义得到，，所以双曲线C的渐近线方程为.
17.（本小题满分10分）
【解析】（1）证明：当时，.……1分
由得，两式作差得，……3分
所以数列是首项为4，公比为的等比数列.……4分
（2）解：当时，由（1）得，……5分
则，……8分
.……10分
18.（本小题满分12分）
【解析】（1）由正弦定理得，……2分
又，所以，……4分
而，所以或.……6分
（2）由b是a和的等差中项得，……7分
由余弦定理得，……8分
化简得，，或，……9分
因为，所以，，……10分
由余弦定理得……12分
19.（本小题满分12分）
【解析】（1）.……1分
由题意，解得，……2分
所以，，.……4分
在处的切线方程为……5分
（2）.
①当时，，在上单调递增.……7分
②当时，由得，在上的变化情况如下表：
由上表可得在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增.……11分
综上，当时，增区间为，无减区间；
当时，增区间为和，减区间为.……12分
20.（本小题满分12分）
【解析】（1）由平面得，
又，而平面，平面，，所以平面，……1分
所以.……2分
再由平面得，，……3分
又，所以，即.……4分
又因为平面，平面，，所以平面.……5分
（2）由条件知，所以.⋯⋯.6分
在中，，所以.
由（1）知，所以，得，可知F为的中点.……7分
过点H作交于点G，易得，，两两垂直，
分别以、、分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示……8分
由题意可知，，，，.
则，，，……9分
设平面的法向量为，则，
令，则，所以平面的一个法向量，……10分
所以，……11分
故直线与平面所成角的正弦值为.……12分
21.（本小题满分12分）
【解析】（1）由题意，设动点P的坐标为，则，……2分
平方整理得，所以点P的轨迹方程为.……4分
（2）由题意，设直线的方程为，，，则.……5分
将代入得，
所以，，……6分
所以.……2分
因为直线的方程为，……8分
令，则……9分
……11分
因此，直线过定点.……12分
22.（本小题满分12分）
【解析】（1）……1分
①若，则，时，时，
所以，无极小值，……2分
②若，则，在上单调递增，无极值.……3分
③若，由得或，
时，时，时，
所以，.……4分
④若，由得或，
时，时，时，
所以，.……5分
综上，当时，，无极小值；
当时，，；
当时，无极值；
当时，.……6分
（2）由（1）知函数有两个极值点时，.……7分
，……8分
所以……10分
因为，所以，
所以，
即.……12分
x
0
0
极大值
极小值