重难点09 相似三角形8种模型（A字、8字、射影定理、一线三等角、线束模型、三角形内接矩形、三平行模型、手拉手模型）-备战2024年中考数学一轮复习高效讲练测（全国通用）

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目 录
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\l "_Tc156654683" 题型01 A字模型
\l "_Tc156654684" 题型02 8字模型
\l "_Tc156654685" 题型03 射影定理
\l "_Tc156654686" 题型04 一线三等角模型
\l "_Tc156654687" 题型05 线束模型
\l "_Tc156654688" 题型06 三角形内接矩形模型
\l "_Tc156654689" 题型07 三平行模型
\l "_Tc156654690" 题型08 手拉手模型（旋转模型）
相似三角形的判定方法：
1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
2）两个三角形相似的判定定理：
①三边成比例的两个三角形相似；
②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
③两角分别相等的两个三角形相似．
④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似.
题型01 A字模型
1．（2020·湖北武汉·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D是AB上一点，点E在BC上，连接CD，AE交于点F，若∠CFE=45°，BD=2AD，则CE＝ ．
2．（2020·浙江杭州·统考中考真题）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝ ，BE＝ ．
3．（2020·山东济宁·中考真题）如图,在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C,D．AC与BD相交于点E，CD2=CE·CA,分别延长AB,DC相交于点P，PB=BO，CD=22．则BO的长是 ．
4．（2020·上海浦东新·统考三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．
(1)求线段DE的长；
(2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求EFDF的值．
5．（2021上·辽宁丹东·九年级统考期中）如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．
（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的29；
（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．
6．（2020上·河南郑州·九年级校考阶段练习）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求AN:NC的值．
7．（2022下·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足∠1=∠2，则称点P为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=22，AB=4，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由；
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的长．
8．（2021上·浙江绍兴·九年级统考期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．
（1）如果△DEF与△ABC互为母子三角形，则DEAB的值可能为（ ）
A．2 B．12 C．2或12
（2）已知：如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=2AD, ∠ADE=∠B．
求证：△ABD与△ADE互为母子三角形．
（3）如图2，△ABC中，AD是中线，过射线CA上点E作EG//BC，交射线DA于点G，连结BE，射线BE与射线DA交于点F，若△AGE与△ADC互为母子三角形．求AGGF的值．
9．（2020上·全国·九年级专题练习）已知，如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E．
（1）求证：△BAE∽△ACE；
（2）AF⊥BD，垂足为点F，且BE•CE＝9，求EF•DE的值．
题型02 8字模型
10．（2021·四川广元·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，连接AE，若AE的延长线和BC的延长线相交于点F．
（1）求证：BC=CF；
（2）连接AC和BE相交于点为G，若△GEC的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．
11．（2020·四川遂宁·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则BEEG的值为（ ）
A．12B．13C．23D．34
12．（2020·浙江杭州·统考一模）如图，点O是△ABC边BC上一点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，且ABAM＝m，ACAN＝n．
（1）若点O是线段BC中点．
①求证：m+n＝2；
②求mn的最大值；
（2）若COOB＝k（k≠0）求m，n之间的关系（用含k的代数式表示）．
13．（2021·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，抛物线y=-12x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线y=x-2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．
（1）点F的坐标是________；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，PMQN=114，求点P的坐标；
（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒42个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG=12时，求点G的运动时间．
14．（2020·云南·统考中考真题）抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为-1,0，点C的坐标为0,-3．点P为抛物线y=x2+bx+c上的一个动点．过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求b、c的值；
（2）设点F在抛物线y=x2+bx+c的对称轴上，当△ACF的周长最小时，直接写出点F的坐标；
（3）在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若存在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2021上·安徽合肥·九年级合肥寿春中学校考期末）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D为AB上一点，连接CD，分别过点A、B作AN⊥CD，BM⊥CD．
（1）求证：AN＝CM；
（2）若点D满足BD：AD＝2：1，求DM的长；
（3）如图2，若点E为AB中点，连接EM，设sin∠NAD＝k，求证：EM＝k．

16．（2022·山西吕梁·统考三模）综合与实践：
数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．
问题情境：在□ABCD中，点P是边AD上一点．将△PDC沿直线PC折叠，点D的对应点为E．
“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作EF∥AD，与PC交于点F，连接DF，则四边形AEFD是菱形．
(1)数学思考：请你证明“兴趣小组”提出的问题；
(2)拓展探究：“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为AD的中点时，延长CE交AB于点F，连接PF．试判断PF与PC的位置关系，并说明理由．
请你帮助他们解决此问题．
(3)问题解决：“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在AB边上时，AP=3，PD=4，DC=10．则AE的长为___________．（直接写出结果）
17．（2023·江苏南通·统考一模）正方形ABCD中，AB=2，点E是对角线BD上的一动点，∠DAE=αα≠45°.将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线BF交射线DC于点G．
(1)当0°