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江西省九江市都昌县2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷（含解析）
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这是一份江西省九江市都昌县2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列方程中，属于一元二次方程是（ ）
A．2x+1＝0B．x2+y＝5C．x2+x＝5D．x2+1＝0
2．（3分）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相垂直
C．对角线平分一组对角D．对角线互相平分
3．（3分）反比例函数的图象经过点（﹣2，1），则下列说法错误的是（ ）
A．k＝﹣2
B．函数图象分布在第二、四象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，D为BC上一点，将△ABC沿AD折叠后，点C恰好落在斜边AB的中点E处，则折痕AD的长为（ ）
A．B．C．D．6
5．（3分）已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3＝0，则x+y的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论：
①abc＜0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3；③a+2b＝c；④y最大值＝．其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本题共6小题，每题3分）
7．（3分）用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为 ．
8．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝ ．
9．（3分）如图所示，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝2，点B在反比例函数y＝图象上，则图中过点A的双曲线解析式是 ．
10．（3分）如果将抛物线y＝（x﹣1）2先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为 ．
11．（3分）如图，△ABO与△A'B'O是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2：1，点A'的坐标为（2，﹣1），则点A的坐标为 ．
12．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边BC的中点，连接AE，DE，将AE绕点E旋转得到线段FE，连接BF，当∠DEF＝90°时，BF的长为 ．
三、解答题（本题共5小题，每题6分）
13．（6分）如图，AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AB＝2，AC＝3，求AD的长．
14．（6分）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
15．（6分）某市体育中考现场考试内容有三项：50米跑为必测项目；另在立定跳远、实心球（二选一）和坐位体前屈、1分钟跳绳（二选一）中选择两项．
（1）每位考生有 种选择方案；
（2）用画树状图或列表的方法求小明与小刚选择同种方案的概率．（友情提醒：各种方案用A、B、C、…或①、②、③、…等符号来代表可简化解答过程）
16．（6分）请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求画菱形．
（1）图1是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形；
（2）图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），以AE为边画一个菱形．
17．（6分）已知：如图，正方形ABCD的边长为6，将其绕点A顺时针旋转30°得到正方形AEFG，FG与BC相交于点H．
（1）求证：BH＝GH；
（2）求BH的长．
四、（本题共3小题，每题8分）
18．（8分）如图，反比例函数图象与一次函数的图象交于点A（﹣4，a）与点B．
（1）求a的值与反比例函数关系式；
（2）连接OA，OB，求S△AOB；
（3）若y1＞y2，请结合图象直接写出x的取值范围．
19．（8分）图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点．现测得AB＝BE＝ED＝CD＝15cm，经多次调试发现当点B，E所在直线垂直经过CD的中点F时（如图3所示）放置较平稳．
（1）求平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；
（2）为保护视力，写字时眼睛离桌面的距离应保持在30cm，为防止台灯刺眼，点A离桌面的距离应不超过30cm，求台灯平稳放置时∠ABE的最大值．（结果精确到0.01°，参考数据：≈1.732，sin7.70°≈0.134，cs82.30°≈0.134，可使用科学计算器）
20．（8分）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图1，身高1.5m的小王晚上在路灯灯柱AH下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致．
（1）请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．
（2）估计路灯AO的高，并求影长PQ的步数．
（3）无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图2，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．测得DF＝0.5m，EF＝0.3m，CD＝10m，小明眼睛到地面的距离为1.5m，则树高AB为 m．
五、（本题共2小题，每题9分）
21．（9分）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
22．（9分）（1）如图1，在正方形ACDE中，点F，G分别在边AE，AC上，若∠FDG＝45°，则FG，EF，CG之间的数量关系为： ；（提示：以点D为旋转中心，将△DCG顺时针旋转90°）
解决问题：
（2）如图2，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形，∠ADC＝90°，E，F是底边AC上任意两点，且满足∠EDF＝45°，试探究AE，EF，FC之间的关系；
拓展应用：
（3）如图3，若把（1）中的正方形改为菱形ACDE，∠E＝60°，菱形的边长为8，G，F分别为边AC，AE上任意两点，且满足∠FDG＝60°，请直接写出四边形DFAG的面积．
六、（本题12分）
23．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年江西省九江市都昌县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）下列方程中，属于一元二次方程是（ ）
A．2x+1＝0B．x2+y＝5C．x2+x＝5D．x2+1＝0
【解答】解：A、2x+1＝0是一元一次方程，故该选项不符合题意；
B、x2+y＝5，含有两个未知数且最高次数为2，所以不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C、x2+x＝5，只含有一个未知数且最高次数为2，所以是一元二次方程，故该选项符合题意；
D、x2+1＝0为分式方程，故该选项不符合题意．
故选：C．
2．（3分）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相垂直
C．对角线平分一组对角D．对角线互相平分
【解答】解：∵正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角，
菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角，
∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等．
故选：A．
3．（3分）反比例函数的图象经过点（﹣2，1），则下列说法错误的是（ ）
A．k＝﹣2
B．函数图象分布在第二、四象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（﹣2，1），
∴k＝﹣2×1＝﹣2．
故A正确；
∵k＝﹣2＜0，
∴双曲线y＝﹣分布在第二、四象限，
故B选项正确；
∵当k＝﹣2＜0时，反比例函数y＝﹣在每一个象限内y随x的增大而增大，
即当x＞0或x＜0时，y随x的增大而增大．
故C选项正确，D选项错误，
综上，说法错误的是D，
故选：D．
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，D为BC上一点，将△ABC沿AD折叠后，点C恰好落在斜边AB的中点E处，则折痕AD的长为（ ）
A．B．C．D．6
【解答】解：根据折叠，可知AE＝AC＝3，∠CAD＝∠EAD，
∵点E为AB的中点，
∴AB＝6，
∵∠C＝90°，
∴cs∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝60°，
∴∠CAD＝∠EAD＝30°，
∵cs∠CAD＝，
∴AD＝，
故选：A．
5．（3分）已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3＝0，则x+y的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：∵x2+3x+y﹣3＝0，
∴y＝﹣x2﹣3x+3，
∴x+y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴当x＝﹣1时，x+y有最大值4，
故选：D．
6．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论：
①abc＜0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3；③a+2b＝c；④y最大值＝．其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3，所以②正确；
∵当x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，而b＝﹣2a，
∴a+2a+c＝0，即c＝﹣3a，
∴a+2b﹣c＝a﹣4a+3a＝0，即a+2b＝c，所以③正确；
∵当x＝1时，函数有最大值y＝a+b+c，
函数有最大值y＝a﹣2a+c＝﹣a+c＝c+c＝c，所以④正确；
故选：D．
二、填空题（本题共6小题，每题3分）
7．（3分）用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为 ．
【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中是偶数的结果有5种，
∴是偶数的概率为，
故答案为：．
8．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝ 0 ．
【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝1，x1×x2＝﹣1，
∴x1+x2+x1x2＝1﹣1＝0．
故答案为：0．
9．（3分）如图所示，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝2，点B在反比例函数y＝图象上，则图中过点A的双曲线解析式是 y＝﹣ ．
【解答】解：设点B的坐标是（m，n），
因为点B在函数y＝的图象上，则mn＝2，
则BD＝n，OD＝m，则AC＝2m，OC＝2n，
设过点A的双曲线解析式是y＝，A点的坐标是（﹣2n，2m），
把它代入得到：2m＝，
则k＝﹣4mn＝﹣8，
则图中过点A的双曲线解析式是y＝﹣．
故答案为：y＝﹣．
10．（3分）如果将抛物线y＝（x﹣1）2先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为 y＝（x+1）2+1 ．
【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为：y＝（x﹣1+2）2+1，即y＝（x+1）2+1．
故答案为y＝（x+1）2+1．
11．（3分）如图，△ABO与△A'B'O是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2：1，点A'的坐标为（2，﹣1），则点A的坐标为 （﹣4，2） ．
【解答】解：由题意得：△ABO与△A'B'O是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2：1，
又∵A'（2，﹣1），且原图形与位似图形是异侧，
∴点A的坐标是[2×（﹣2），﹣1×（﹣2）]，即点A的坐标是（﹣4，2）．
故答案为：（﹣4，2）．
12．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边BC的中点，连接AE，DE，将AE绕点E旋转得到线段FE，连接BF，当∠DEF＝90°时，BF的长为 2或2 ．
【解答】解：如图，将AE绕点E逆时针旋转得到线段FE，过点F作FH⊥BC，交CB的延长线于H，
∴EF＝AE，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝EC＝2，
又∵∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝CD，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE＝DE，
∴AE＝EF＝DE，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEC+∠FEH＝90°＝∠FEH+∠EFH，
∴∠DEC＝∠EFH，
又∵∠DCE＝∠EHF＝90°，
∴△DCE≌△EHF（AAS），
∴FH＝EC＝2，EH＝CD＝4，
∴BH＝2，
∴BF＝＝2；
如图，将AE绕点E顺时针旋转得到线段F'E，过点F作F'H'⊥BC，交CB的延长线于H'，
同理可求H'F'＝BE＝2，EH'＝CD＝4，
∴BH'＝6，
∴BF'＝＝2，
故答案为：2或2．
三、解答题（本题共5小题，每题6分）
13．（6分）如图，AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AB＝2，AC＝3，求AD的长．
【解答】（1）解：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD．
∵∠B＝∠ACD，
∴△ABC∽△ACD；
（2）∵△ABC∽△ACD，
∴．
∵AB＝2，AC＝3，
∴AD＝．
14．（6分）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【解答】解：设每千克水果应涨价x元，
依题意得方程：（500﹣20x）（10+x）＝6000，
整理，得x2﹣15x+50＝0，
解这个方程，得x1＝5，x2＝10．
要使顾客得到实惠，应取x＝5．
答：每千克水果应涨价5元．
15．（6分）某市体育中考现场考试内容有三项：50米跑为必测项目；另在立定跳远、实心球（二选一）和坐位体前屈、1分钟跳绳（二选一）中选择两项．
（1）每位考生有 4 种选择方案；
（2）用画树状图或列表的方法求小明与小刚选择同种方案的概率．（友情提醒：各种方案用A、B、C、…或①、②、③、…等符号来代表可简化解答过程）
【解答】解：（1）每位考生可选择：50米跑、立定跳远、坐位体前屈（用A表示）；50米跑、实心球、坐位体前屈（用B表示）；50米跑、立定跳远、1分钟跳绳（用C表示）；50米跑、实心球、1分钟跳绳（用D表示）；共用4种选择方案．
故答案为4．
（2）用A、B、C、D代表四种选择方案．（其他表示方法也可）
解法一：用树状图分析如下：
解法二：用列表法分析如下：
两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中选择同种方案有4种，
所以小明与小刚选择同种方案的概率＝＝．
16．（6分）请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求画菱形．
（1）图1是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形；
（2）图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），以AE为边画一个菱形．
【解答】解：（1）如图所示：四边形EFGH即为所求的菱形；
（2）如图所示：四边形AECF即为所求的菱形．
17．（6分）已知：如图，正方形ABCD的边长为6，将其绕点A顺时针旋转30°得到正方形AEFG，FG与BC相交于点H．
（1）求证：BH＝GH；
（2）求BH的长．
【解答】（1）证明：连接AH，
依题意，正方形ABCD与正方形AEFG全等，
∴AB＝AG，∠B＝∠G＝90°．（1分）
在Rt△ABH和Rt△AGH中，
AH＝AH，AB＝AG，
∴Rt△ABH≌Rt△AGH．（2分）
∴BH＝GH．（3分）
（2）解：∵∠1＝30°，△ABH≌△AGH，
∴∠2＝∠3＝30°．（4分）
在Rt△ABH中，∵∠2＝30°，AB＝6，
∴BH＝AB•tan30°＝6×＝2．
四、（本题共3小题，每题8分）
18．（8分）如图，反比例函数图象与一次函数的图象交于点A（﹣4，a）与点B．
（1）求a的值与反比例函数关系式；
（2）连接OA，OB，求S△AOB；
（3）若y1＞y2，请结合图象直接写出x的取值范围．
【解答】解：（1）将 A（﹣4，a） 代入 中，得 a＝1；
将 A（﹣4，1）代入 中，得k＝﹣4，
所以反比例函数关系式 ；
（2）由，解得 或，
所以 A（﹣4，1），B（2，﹣2），
设一次函数 与y轴交于点C（0，﹣1），
故S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝＝3；
（3）观察图象，若y1＞y2，则﹣4＜x＜0或x＞2．
19．（8分）图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点．现测得AB＝BE＝ED＝CD＝15cm，经多次调试发现当点B，E所在直线垂直经过CD的中点F时（如图3所示）放置较平稳．
（1）求平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；
（2）为保护视力，写字时眼睛离桌面的距离应保持在30cm，为防止台灯刺眼，点A离桌面的距离应不超过30cm，求台灯平稳放置时∠ABE的最大值．（结果精确到0.01°，参考数据：≈1.732，sin7.70°≈0.134，cs82.30°≈0.134，可使用科学计算器）
【解答】解：（1）由题意得：DF＝CD＝cm，EF⊥CD，
∴csD＝，
∴∠D＝60°；
答：平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角是60°；
（2）如图3，过A作AH⊥BE交EB的延长线于H，
∴HF＝30，
∵EF＝15×＝，
∴BH＝30﹣BE﹣EF＝15﹣，
∴cs∠ABH＝≈0.134，
∴∠ABH≈82.30°，
∴∠ABE＝97.70°．
答：台灯平稳放置时∠ABE的最大值是97.70°．
20．（8分）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图1，身高1.5m的小王晚上在路灯灯柱AH下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致．
（1）请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．
（2）估计路灯AO的高，并求影长PQ的步数．
（3）无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图2，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．测得DF＝0.5m，EF＝0.3m，CD＝10m，小明眼睛到地面的距离为1.5m，则树高AB为 9 m．
【解答】解：（1）如图：
点O和点Q即为所求；
（2）设AO＝x米，PQ＝y步，
由题得：MP＝4步，AM＝20步，MN＝BP＝1.5米，AO∥MN∥BP，
∴△MNP∽△AOP，△BPQ∽△AOQ，
∴＝＝，
即：＝＝，
解得：x＝9，y＝4.8，
所以路灯AO的高是9米，影长PQ的步数4.8步；
（3）在Rt△DEF中，DE＝＝0.4（米），
∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB＝90°，
∴△DEF∽△DCB，
∴＝，
∴＝，
解得：BC＝7.5（米），
∴7.5+1.5＝9（米），
故答案为：9米．
五、（本题共2小题，每题9分）
21．（9分）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式为：y＝kx+b，
由题意可知：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150；
（2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝425，
解得：x1＝13，x2＝25（舍去），
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；
（3）w＝y（x﹣8），
＝（﹣5x+150）（x﹣8），
w＝﹣5x2+190x﹣1200，
＝﹣5（x﹣19）2+605，
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x＜19时，w随x的增大而增大，
∴当x＝15时，w有最大值，最大值为525．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
22．（9分）（1）如图1，在正方形ACDE中，点F，G分别在边AE，AC上，若∠FDG＝45°，则FG，EF，CG之间的数量关系为： FG＝EF+CG ；（提示：以点D为旋转中心，将△DCG顺时针旋转90°）
解决问题：
（2）如图2，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形，∠ADC＝90°，E，F是底边AC上任意两点，且满足∠EDF＝45°，试探究AE，EF，FC之间的关系；
拓展应用：
（3）如图3，若把（1）中的正方形改为菱形ACDE，∠E＝60°，菱形的边长为8，G，F分别为边AC，AE上任意两点，且满足∠FDG＝60°，请直接写出四边形DFAG的面积．
【解答】解：（1）FG＝EF+CG，理由如下：
如图，以点D为旋转中心，将△DCG顺时针旋转90°得△DEH，
∴△CDG≌EDH，
∴DG＝DH，∠CDG＝∠EDH，CG＝EH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠CDE＝90°，
∵∠GDF＝45°，
∴∠CDG+∠EDF＝∠EDH+∠EDF＝45°，
∴∠GDF＝∠HDF＝45°，
∵DF＝DF，
∴△GDF≌△HDF（SAS），
∴GF＝HF，
∴GF＝EH+EF＝CG+EF；
∴FG＝EF+CG；
故答案为：FG＝EF+CG，
（2）AE2+FC2＝EF2，理由如下：
∵△ADC是等腰直角三角形，∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝∠C＝45°，
如图，以点D为旋转中心，将△DCF顺时针旋转90°得△DAG，
∴△DCF≌DAG，
∴DF＝DG，∠CDF＝∠ADG，CF＝AG，∠DAG＝∠C＝45°，
∵∠FDE＝45°，
∴∠CDF+∠ADE＝∠ADG+∠ADE＝45°，
∴∠FDE＝∠GDE＝45°，
∵DE＝DE，
∴△FDE≌△GDE（SAS），
∴EF＝EG，
∵∠EAG＝∠DAE+∠DAG＝45°+45°＝90°，
∴AE2+AG2＝EG2，
∴AE2+FC2＝EF2；
（3）如图，连接AD，
∵四边形ACDE是菱形，∠E＝60°，
∴△ADE，△ADC是等边三角形，
∴AD＝CD＝8，∠C＝∠DAE＝∠ADC＝60°，
∵∠FDG＝60°，
∴∠ADF+∠ADG＝∠CDG+∠ADG＝60°，
∴∠ADF＝∠CDG，
∴△ADF≌△CDG（ASA），
∴四边形DFAG的面积＝△ADF的面积+△ADG的面积
＝△CDG的面积+△ADG的面积
＝△ADC的面积
＝×82
＝16．
六、（本题12分）
23．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设OB＝t，则OA＝2t，则点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），
则x＝＝（2t﹣t），解得：t＝1，
故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2，
解得：a＝﹣1，b＝1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）对于y＝﹣x2+x+2，令x＝0，则y＝2，故点C（0，2），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+2，
设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），
则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，
∵﹣1＜0，故DF有最大值，DF最大时m＝1，
∴点D（1，2）；
（3）存在，理由：
点D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），则OE＝m，DE＝﹣m2+m+2，
以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，
则，即＝或2，即＝或2，
解得：m＝1或﹣2（舍去）或或（舍去），
经检验m＝1或是方程的解，
故m＝1或．
小刚
小明
A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）
1．（3分）下列方程中，属于一元二次方程是（ ）
A．2x+1＝0B．x2+y＝5C．x2+x＝5D．x2+1＝0
2．（3分）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相垂直
C．对角线平分一组对角D．对角线互相平分
3．（3分）反比例函数的图象经过点（﹣2，1），则下列说法错误的是（ ）
A．k＝﹣2
B．函数图象分布在第二、四象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，D为BC上一点，将△ABC沿AD折叠后，点C恰好落在斜边AB的中点E处，则折痕AD的长为（ ）
A．B．C．D．6
5．（3分）已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3＝0，则x+y的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论：
①abc＜0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3；③a+2b＝c；④y最大值＝．其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本题共6小题，每题3分）
7．（3分）用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为 ．
8．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝ ．
9．（3分）如图所示，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝2，点B在反比例函数y＝图象上，则图中过点A的双曲线解析式是 ．
10．（3分）如果将抛物线y＝（x﹣1）2先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为 ．
11．（3分）如图，△ABO与△A'B'O是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2：1，点A'的坐标为（2，﹣1），则点A的坐标为 ．
12．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边BC的中点，连接AE，DE，将AE绕点E旋转得到线段FE，连接BF，当∠DEF＝90°时，BF的长为 ．
三、解答题（本题共5小题，每题6分）
13．（6分）如图，AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AB＝2，AC＝3，求AD的长．
14．（6分）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
15．（6分）某市体育中考现场考试内容有三项：50米跑为必测项目；另在立定跳远、实心球（二选一）和坐位体前屈、1分钟跳绳（二选一）中选择两项．
（1）每位考生有 种选择方案；
（2）用画树状图或列表的方法求小明与小刚选择同种方案的概率．（友情提醒：各种方案用A、B、C、…或①、②、③、…等符号来代表可简化解答过程）
16．（6分）请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求画菱形．
（1）图1是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形；
（2）图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），以AE为边画一个菱形．
17．（6分）已知：如图，正方形ABCD的边长为6，将其绕点A顺时针旋转30°得到正方形AEFG，FG与BC相交于点H．
（1）求证：BH＝GH；
（2）求BH的长．
四、（本题共3小题，每题8分）
18．（8分）如图，反比例函数图象与一次函数的图象交于点A（﹣4，a）与点B．
（1）求a的值与反比例函数关系式；
（2）连接OA，OB，求S△AOB；
（3）若y1＞y2，请结合图象直接写出x的取值范围．
19．（8分）图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点．现测得AB＝BE＝ED＝CD＝15cm，经多次调试发现当点B，E所在直线垂直经过CD的中点F时（如图3所示）放置较平稳．
（1）求平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；
（2）为保护视力，写字时眼睛离桌面的距离应保持在30cm，为防止台灯刺眼，点A离桌面的距离应不超过30cm，求台灯平稳放置时∠ABE的最大值．（结果精确到0.01°，参考数据：≈1.732，sin7.70°≈0.134，cs82.30°≈0.134，可使用科学计算器）
20．（8分）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图1，身高1.5m的小王晚上在路灯灯柱AH下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致．
（1）请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．
（2）估计路灯AO的高，并求影长PQ的步数．
（3）无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图2，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．测得DF＝0.5m，EF＝0.3m，CD＝10m，小明眼睛到地面的距离为1.5m，则树高AB为 m．
五、（本题共2小题，每题9分）
21．（9分）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
22．（9分）（1）如图1，在正方形ACDE中，点F，G分别在边AE，AC上，若∠FDG＝45°，则FG，EF，CG之间的数量关系为： ；（提示：以点D为旋转中心，将△DCG顺时针旋转90°）
解决问题：
（2）如图2，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形，∠ADC＝90°，E，F是底边AC上任意两点，且满足∠EDF＝45°，试探究AE，EF，FC之间的关系；
拓展应用：
（3）如图3，若把（1）中的正方形改为菱形ACDE，∠E＝60°，菱形的边长为8，G，F分别为边AC，AE上任意两点，且满足∠FDG＝60°，请直接写出四边形DFAG的面积．
六、（本题12分）
23．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年江西省九江市都昌县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）下列方程中，属于一元二次方程是（ ）
A．2x+1＝0B．x2+y＝5C．x2+x＝5D．x2+1＝0
【解答】解：A、2x+1＝0是一元一次方程，故该选项不符合题意；
B、x2+y＝5，含有两个未知数且最高次数为2，所以不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C、x2+x＝5，只含有一个未知数且最高次数为2，所以是一元二次方程，故该选项符合题意；
D、x2+1＝0为分式方程，故该选项不符合题意．
故选：C．
2．（3分）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相垂直
C．对角线平分一组对角D．对角线互相平分
【解答】解：∵正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角，
菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角，
∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等．
故选：A．
3．（3分）反比例函数的图象经过点（﹣2，1），则下列说法错误的是（ ）
A．k＝﹣2
B．函数图象分布在第二、四象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（﹣2，1），
∴k＝﹣2×1＝﹣2．
故A正确；
∵k＝﹣2＜0，
∴双曲线y＝﹣分布在第二、四象限，
故B选项正确；
∵当k＝﹣2＜0时，反比例函数y＝﹣在每一个象限内y随x的增大而增大，
即当x＞0或x＜0时，y随x的增大而增大．
故C选项正确，D选项错误，
综上，说法错误的是D，
故选：D．
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，D为BC上一点，将△ABC沿AD折叠后，点C恰好落在斜边AB的中点E处，则折痕AD的长为（ ）
A．B．C．D．6
【解答】解：根据折叠，可知AE＝AC＝3，∠CAD＝∠EAD，
∵点E为AB的中点，
∴AB＝6，
∵∠C＝90°，
∴cs∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝60°，
∴∠CAD＝∠EAD＝30°，
∵cs∠CAD＝，
∴AD＝，
故选：A．
5．（3分）已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3＝0，则x+y的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：∵x2+3x+y﹣3＝0，
∴y＝﹣x2﹣3x+3，
∴x+y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴当x＝﹣1时，x+y有最大值4，
故选：D．
6．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论：
①abc＜0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3；③a+2b＝c；④y最大值＝．其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3，所以②正确；
∵当x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，而b＝﹣2a，
∴a+2a+c＝0，即c＝﹣3a，
∴a+2b﹣c＝a﹣4a+3a＝0，即a+2b＝c，所以③正确；
∵当x＝1时，函数有最大值y＝a+b+c，
函数有最大值y＝a﹣2a+c＝﹣a+c＝c+c＝c，所以④正确；
故选：D．
二、填空题（本题共6小题，每题3分）
7．（3分）用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为 ．
【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中是偶数的结果有5种，
∴是偶数的概率为，
故答案为：．
8．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝ 0 ．
【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝1，x1×x2＝﹣1，
∴x1+x2+x1x2＝1﹣1＝0．
故答案为：0．
9．（3分）如图所示，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝2，点B在反比例函数y＝图象上，则图中过点A的双曲线解析式是 y＝﹣ ．
【解答】解：设点B的坐标是（m，n），
因为点B在函数y＝的图象上，则mn＝2，
则BD＝n，OD＝m，则AC＝2m，OC＝2n，
设过点A的双曲线解析式是y＝，A点的坐标是（﹣2n，2m），
把它代入得到：2m＝，
则k＝﹣4mn＝﹣8，
则图中过点A的双曲线解析式是y＝﹣．
故答案为：y＝﹣．
10．（3分）如果将抛物线y＝（x﹣1）2先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为 y＝（x+1）2+1 ．
【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为：y＝（x﹣1+2）2+1，即y＝（x+1）2+1．
故答案为y＝（x+1）2+1．
11．（3分）如图，△ABO与△A'B'O是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2：1，点A'的坐标为（2，﹣1），则点A的坐标为 （﹣4，2） ．
【解答】解：由题意得：△ABO与△A'B'O是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2：1，
又∵A'（2，﹣1），且原图形与位似图形是异侧，
∴点A的坐标是[2×（﹣2），﹣1×（﹣2）]，即点A的坐标是（﹣4，2）．
故答案为：（﹣4，2）．
12．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边BC的中点，连接AE，DE，将AE绕点E旋转得到线段FE，连接BF，当∠DEF＝90°时，BF的长为 2或2 ．
【解答】解：如图，将AE绕点E逆时针旋转得到线段FE，过点F作FH⊥BC，交CB的延长线于H，
∴EF＝AE，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝EC＝2，
又∵∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝CD，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE＝DE，
∴AE＝EF＝DE，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEC+∠FEH＝90°＝∠FEH+∠EFH，
∴∠DEC＝∠EFH，
又∵∠DCE＝∠EHF＝90°，
∴△DCE≌△EHF（AAS），
∴FH＝EC＝2，EH＝CD＝4，
∴BH＝2，
∴BF＝＝2；
如图，将AE绕点E顺时针旋转得到线段F'E，过点F作F'H'⊥BC，交CB的延长线于H'，
同理可求H'F'＝BE＝2，EH'＝CD＝4，
∴BH'＝6，
∴BF'＝＝2，
故答案为：2或2．
三、解答题（本题共5小题，每题6分）
13．（6分）如图，AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AB＝2，AC＝3，求AD的长．
【解答】（1）解：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD．
∵∠B＝∠ACD，
∴△ABC∽△ACD；
（2）∵△ABC∽△ACD，
∴．
∵AB＝2，AC＝3，
∴AD＝．
14．（6分）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【解答】解：设每千克水果应涨价x元，
依题意得方程：（500﹣20x）（10+x）＝6000，
整理，得x2﹣15x+50＝0，
解这个方程，得x1＝5，x2＝10．
要使顾客得到实惠，应取x＝5．
答：每千克水果应涨价5元．
15．（6分）某市体育中考现场考试内容有三项：50米跑为必测项目；另在立定跳远、实心球（二选一）和坐位体前屈、1分钟跳绳（二选一）中选择两项．
（1）每位考生有 4 种选择方案；
（2）用画树状图或列表的方法求小明与小刚选择同种方案的概率．（友情提醒：各种方案用A、B、C、…或①、②、③、…等符号来代表可简化解答过程）
【解答】解：（1）每位考生可选择：50米跑、立定跳远、坐位体前屈（用A表示）；50米跑、实心球、坐位体前屈（用B表示）；50米跑、立定跳远、1分钟跳绳（用C表示）；50米跑、实心球、1分钟跳绳（用D表示）；共用4种选择方案．
故答案为4．
（2）用A、B、C、D代表四种选择方案．（其他表示方法也可）
解法一：用树状图分析如下：
解法二：用列表法分析如下：
两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中选择同种方案有4种，
所以小明与小刚选择同种方案的概率＝＝．
16．（6分）请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求画菱形．
（1）图1是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形；
（2）图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），以AE为边画一个菱形．
【解答】解：（1）如图所示：四边形EFGH即为所求的菱形；
（2）如图所示：四边形AECF即为所求的菱形．
17．（6分）已知：如图，正方形ABCD的边长为6，将其绕点A顺时针旋转30°得到正方形AEFG，FG与BC相交于点H．
（1）求证：BH＝GH；
（2）求BH的长．
【解答】（1）证明：连接AH，
依题意，正方形ABCD与正方形AEFG全等，
∴AB＝AG，∠B＝∠G＝90°．（1分）
在Rt△ABH和Rt△AGH中，
AH＝AH，AB＝AG，
∴Rt△ABH≌Rt△AGH．（2分）
∴BH＝GH．（3分）
（2）解：∵∠1＝30°，△ABH≌△AGH，
∴∠2＝∠3＝30°．（4分）
在Rt△ABH中，∵∠2＝30°，AB＝6，
∴BH＝AB•tan30°＝6×＝2．
四、（本题共3小题，每题8分）
18．（8分）如图，反比例函数图象与一次函数的图象交于点A（﹣4，a）与点B．
（1）求a的值与反比例函数关系式；
（2）连接OA，OB，求S△AOB；
（3）若y1＞y2，请结合图象直接写出x的取值范围．
【解答】解：（1）将 A（﹣4，a） 代入 中，得 a＝1；
将 A（﹣4，1）代入 中，得k＝﹣4，
所以反比例函数关系式 ；
（2）由，解得 或，
所以 A（﹣4，1），B（2，﹣2），
设一次函数 与y轴交于点C（0，﹣1），
故S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝＝3；
（3）观察图象，若y1＞y2，则﹣4＜x＜0或x＞2．
19．（8分）图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点．现测得AB＝BE＝ED＝CD＝15cm，经多次调试发现当点B，E所在直线垂直经过CD的中点F时（如图3所示）放置较平稳．
（1）求平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；
（2）为保护视力，写字时眼睛离桌面的距离应保持在30cm，为防止台灯刺眼，点A离桌面的距离应不超过30cm，求台灯平稳放置时∠ABE的最大值．（结果精确到0.01°，参考数据：≈1.732，sin7.70°≈0.134，cs82.30°≈0.134，可使用科学计算器）
【解答】解：（1）由题意得：DF＝CD＝cm，EF⊥CD，
∴csD＝，
∴∠D＝60°；
答：平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角是60°；
（2）如图3，过A作AH⊥BE交EB的延长线于H，
∴HF＝30，
∵EF＝15×＝，
∴BH＝30﹣BE﹣EF＝15﹣，
∴cs∠ABH＝≈0.134，
∴∠ABH≈82.30°，
∴∠ABE＝97.70°．
答：台灯平稳放置时∠ABE的最大值是97.70°．
20．（8分）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图1，身高1.5m的小王晚上在路灯灯柱AH下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致．
（1）请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．
（2）估计路灯AO的高，并求影长PQ的步数．
（3）无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图2，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．测得DF＝0.5m，EF＝0.3m，CD＝10m，小明眼睛到地面的距离为1.5m，则树高AB为 9 m．
【解答】解：（1）如图：
点O和点Q即为所求；
（2）设AO＝x米，PQ＝y步，
由题得：MP＝4步，AM＝20步，MN＝BP＝1.5米，AO∥MN∥BP，
∴△MNP∽△AOP，△BPQ∽△AOQ，
∴＝＝，
即：＝＝，
解得：x＝9，y＝4.8，
所以路灯AO的高是9米，影长PQ的步数4.8步；
（3）在Rt△DEF中，DE＝＝0.4（米），
∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB＝90°，
∴△DEF∽△DCB，
∴＝，
∴＝，
解得：BC＝7.5（米），
∴7.5+1.5＝9（米），
故答案为：9米．
五、（本题共2小题，每题9分）
21．（9分）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式为：y＝kx+b，
由题意可知：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150；
（2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝425，
解得：x1＝13，x2＝25（舍去），
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；
（3）w＝y（x﹣8），
＝（﹣5x+150）（x﹣8），
w＝﹣5x2+190x﹣1200，
＝﹣5（x﹣19）2+605，
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x＜19时，w随x的增大而增大，
∴当x＝15时，w有最大值，最大值为525．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
22．（9分）（1）如图1，在正方形ACDE中，点F，G分别在边AE，AC上，若∠FDG＝45°，则FG，EF，CG之间的数量关系为： FG＝EF+CG ；（提示：以点D为旋转中心，将△DCG顺时针旋转90°）
解决问题：
（2）如图2，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形，∠ADC＝90°，E，F是底边AC上任意两点，且满足∠EDF＝45°，试探究AE，EF，FC之间的关系；
拓展应用：
（3）如图3，若把（1）中的正方形改为菱形ACDE，∠E＝60°，菱形的边长为8，G，F分别为边AC，AE上任意两点，且满足∠FDG＝60°，请直接写出四边形DFAG的面积．
【解答】解：（1）FG＝EF+CG，理由如下：
如图，以点D为旋转中心，将△DCG顺时针旋转90°得△DEH，
∴△CDG≌EDH，
∴DG＝DH，∠CDG＝∠EDH，CG＝EH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠CDE＝90°，
∵∠GDF＝45°，
∴∠CDG+∠EDF＝∠EDH+∠EDF＝45°，
∴∠GDF＝∠HDF＝45°，
∵DF＝DF，
∴△GDF≌△HDF（SAS），
∴GF＝HF，
∴GF＝EH+EF＝CG+EF；
∴FG＝EF+CG；
故答案为：FG＝EF+CG，
（2）AE2+FC2＝EF2，理由如下：
∵△ADC是等腰直角三角形，∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝∠C＝45°，
如图，以点D为旋转中心，将△DCF顺时针旋转90°得△DAG，
∴△DCF≌DAG，
∴DF＝DG，∠CDF＝∠ADG，CF＝AG，∠DAG＝∠C＝45°，
∵∠FDE＝45°，
∴∠CDF+∠ADE＝∠ADG+∠ADE＝45°，
∴∠FDE＝∠GDE＝45°，
∵DE＝DE，
∴△FDE≌△GDE（SAS），
∴EF＝EG，
∵∠EAG＝∠DAE+∠DAG＝45°+45°＝90°，
∴AE2+AG2＝EG2，
∴AE2+FC2＝EF2；
（3）如图，连接AD，
∵四边形ACDE是菱形，∠E＝60°，
∴△ADE，△ADC是等边三角形，
∴AD＝CD＝8，∠C＝∠DAE＝∠ADC＝60°，
∵∠FDG＝60°，
∴∠ADF+∠ADG＝∠CDG+∠ADG＝60°，
∴∠ADF＝∠CDG，
∴△ADF≌△CDG（ASA），
∴四边形DFAG的面积＝△ADF的面积+△ADG的面积
＝△CDG的面积+△ADG的面积
＝△ADC的面积
＝×82
＝16．
六、（本题12分）
23．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设OB＝t，则OA＝2t，则点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），
则x＝＝（2t﹣t），解得：t＝1，
故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2，
解得：a＝﹣1，b＝1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）对于y＝﹣x2+x+2，令x＝0，则y＝2，故点C（0，2），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+2，
设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），
则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，
∵﹣1＜0，故DF有最大值，DF最大时m＝1，
∴点D（1，2）；
（3）存在，理由：
点D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），则OE＝m，DE＝﹣m2+m+2，
以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，
则，即＝或2，即＝或2，
解得：m＝1或﹣2（舍去）或或（舍去），
经检验m＝1或是方程的解，
故m＝1或．
小刚
小明
A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）
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