广西北流市东湖初中联合体2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份广西北流市东湖初中联合体2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共25页。试卷主要包含了 的倒数是， 下列图案中，是轴对称图形的是， 某学校开设了劳动教育课程， 下列运算正确的是， 宽与长的比是等内容，欢迎下载使用。
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用倒数的定义，即若两个不为零的数的积为1，则这两个数互为倒数，即可一一判定．
【详解】解：的倒数为．
故选C．
【点睛】此题主要考查了倒数的定义，熟练掌握和运用倒数的求法是解决本题的关键．
2. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】A.是轴对称图形，故该选项正确，符合题意；
B.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
C.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
D.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；您看到的资料都源自我们平台，家威鑫 MXSJ663 低至0.3/份 故选A
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件分析即可．
【详解】由题意得，，
解得，．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，理解被开方数为非负数是解题的关键．
4. 杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，里面有80800个座位．数据80800用科学记数法表示为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】．
故选：B．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
5. 如图，是的外接圆，已知，则的大小是（ ）
A. 26°B. 28°C. 30°D. 32°
【答案】B
【解析】
分析】先根据圆周角定理得到，再根据等边对等角结合三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，熟知同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半是解题的关键．
6. 关于的一元一次不等式组的解集如图所示，则它的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式组解集在数轴上的表示方法可直接得出答案．
【详解】解：根据数轴可知：不等式组的解集是，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
7. 某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据概率公式可直接进行求解．
【详解】解：由题意可知小明恰好选中“烹饪”的概率为；
故选C．
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
8. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方和单项式除以单项式的法则逐项计算即可．
【详解】解：A.，原式错误；
B.，计算正确；
C.，原式错误；
D.，原式错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方和单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
9. 宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A. 矩形ABFEB. 矩形EFCDC. 矩形EFGHD. 矩形DCGH
【答案】D
【解析】
【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．
【详解】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1
在直角三角形DCF中，
∴矩形DCGH为黄金矩形
故选：D．
【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形．
10. 现在5G手机非常流行，5G手机速度很快，比4G下载速度每秒多，下载一部的电影，5G比4G要快200秒，那么5G手机的下载速度是多少呢？若设5G手机的下载速度为秒，则根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设5G手机的下载速度为秒，则设4G手机的下载速度为秒，根据下载一部的电影，5G比4G要快200秒，列分式方程即可．
【详解】解：设5G手机的下载速度为秒，则设4G手机的下载速度为秒，
由题意可得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意是关键．
11. 如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道( )

A. 的面积B. 的面积C. 的面积D. 矩形的面积
【答案】C
【解析】
【分析】过点作，交的延长线于点，的延长线于点，易得：，利用矩形的性质和三角形的面积公式，可得，再根据，得到，即可得出结论．
【详解】解：过点作，交的延长线于点，的延长线于点，

∵矩形，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴只需要知道的面积即可求出的值；
故选C．
【点睛】本题考查矩形的性质，求三角形的面积．解题的关键是得到
12. 如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为时，k的值是（ ）
A. 2B. 3C. 5D. 7
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：设OA=3a，则OB=4a，设直线AB的解析式是，则根据题意得：
，解得：
，则直线AB的解析式是，直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是．根据题意得： ，解得： ，则D的坐标是（，），OA的中垂线的解析式是x=，则C的坐标是（，），则k=．∵以CD为边的正方形的面积为，∴，则，∴k==7．故选D．
考点：1．反比例函数综合题；2．综合题；3．压轴题．
二.填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 化简:_________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根．熟练掌握算术平方根是解题的关键．
直接求算术平方根即可．
【详解】解：由题意知，，
故答案为：4．
14. 分解因式：=____.
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可．
【详解】．
故答案为：
15. 如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，其圆心角AOB=120°，半径为6m，则扇形的弧长是_________m．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】直接利用弧长公式求解即可．
【详解】解：l=，
故答案为：4π．
【点睛】本题考查了扇形弧长的计算，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式．
16. 如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC=2m，CD=5.4m，∠DCF=30°，则车位所占的宽度EF为____米．（，结果精确到0.1）
【答案】4.4
【解析】
【分析】分别在直角三角形DCF和直角三角形AED中求得DF和DE的长后相加即可得到EF的长．
【详解】解：在直角三角形DCF中，
∵CD＝5.4，∠DCF＝30°，
∴sin∠DCF＝，
∴DF＝2.7，
∵∠CDF+∠DCF＝90°∠ADE+∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，
∵AD＝BC＝2，
∴cs∠ADE＝，
∴DE＝，
∴EF＝ED+DF＝2.7+1.732≈4.4（米）．
故答案为: 4.4．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，如何从纷杂的实际问题中整理出直角三角形是解决此类题目的关键．
17. 如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长等于________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是折叠性质、勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等，能熟练运用勾股定理列方程解决问题．根据折叠得到，，设，则，根据勾股定理求得的值，再由勾股定理可得方程，解方程即可算出答案．
【详解】解：根据折叠可得，，
设，则，
在中，，，，
，
，
在中，由勾股定理得，，
解得，
故答案为：1.5
18. 如图，在等腰中，，点是底边上一个动点， 分别是、的中点.若的最小值是2，则周长是_________.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：本题首先要明确P点在何处，通过M关于AC的对称点M′，根据勾股定理就可求出MN的长，根据中位线的性质及三角函数分别求出AB、BC、AC的长，从而得到△ABC的周长．
作M点关于AC的对称点M′，连接M'N，则与AC的交点即是P点的位置
∵M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN∥AC，
∴，
∴PM′=PN，
即：当PM+PN最小时P在AC的中点，
∴MN=AC
∴PM=PN=1，MN=
∴AC=2，
AB=BC=2PM=2PN=2
∴△ABC的周长为：2+2+2．
考点：轴对称的综合题
点评：本题综合性强，难度较大，是中考常见题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键.
三．解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整指数幂的运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．先计算乘方和开方运算，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可求解．
【详解】解：
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先对括号里的分式进行加减运算，然后再进行分式的除法运算，最后把x的值代入运算的结果．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的混合运算及求值，解题的关键是正确运用分式的运算法则，如通分、约分等．
21. 如图，已知正方形ABCD，点E在边BC上，连接AE．
（1）尺规作图：作，点F是的边与线段CD的交点（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹加黑）；
（2）线段AE与BF之间有怎样数量的关系？请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）按尺规基本作图—－作一角等于已知角，在BC边上方作出∠CBF即可；
（2）利用ASA证即可得出结论．
【小问1详解】
解：如图，∠CBF就是所要求作的角；
【小问2详解】
解：
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴，
在和中，
，
∴（ASA），
∴．
【点睛】本题考查用尺规作一角等于已知角，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握尺规基本作图—－作一角等于已知角、正方形的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22. 为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．

（1）求（2）班学生中测试成绩为10分的人数；
（2）请确定下表中a，b，c的值（只要求写出求a的计算过程）；
（3）从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．
【答案】（1）（2）班学生中测试成绩为10分的人数是6人
（2）a，b，c的值分别为8，9，8
（3）（1）班成绩更均匀
【解析】
【分析】（1）根据条形图求出人数，根据扇形统计图求出所占百分比，即可得出结论；
（2）根据（1）中数据分别计算a，b，c的值即可；
（3）根据方差越小，数据分布越均匀判断即可．
【小问1详解】
解：由题意知，（1）班和（2）班人数相等，为：5+10+19+12+4＝50（人），
∴（2）班学生中测试成绩为10分人数为：50×（1﹣28%﹣22%﹣24%﹣14%）＝6（人），
答：（2）班学生中测试成绩为10分的人数是6人；
【小问2详解】
由题意知：
a＝＝8；
∵9分占总体的百分比为28%是最大的，
∴9分的人数是最多的，
∴众数为9分，即b＝9；
由题意可知，（1）班的成绩按照从小到大排列后，中间两个数都是8，
∴c＝＝8；
答：a，b，c的值分别为8，9，8；
小问3详解】
∵（1）班的方差为1.16，（2）班的方差为1.56，且1.16＜1.56，
∴根据方差越小，数据分布越均匀可知（1）班成绩更均匀．
【点睛】本题主要考查统计的知识，根据方差判断稳定性，熟练根据统计图得出相应的数据是解题的关键．
23. 如图，在中，是的直径，是的切线，切点是A，连接，过点B作，与交于点C，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为3，，求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查的是切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质：
（1）连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理证明结论；
（2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【小问1详解】
证明：如图1，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
，
，
∴，
在和中，
，
∴，
，
∵是的半径，
∴是的切线；
小问2详解】
解：如图2，连接，
在中，，
∵是的直径，
∴，
∵，
，
∴，即，
解得：．
24. 为落实“双减政策”某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是12000元和5000元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的1.2倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．
（1）求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元；
（2）该学校拟计划再订购这两种经典读本共1000本，其中“红色教育”经典读本订购数量不低于600本且总费用不超过11500元，求该学校订购这两种读本的最低总费用．
【答案】（1）“红色教育”的订购单价是12元，“传统文化”经典读本的单价是10元
（2）11200元
【解析】
【分析】（1）设“传统文化”经典读本的单价是x元，则“红色教育”经典读本的单价是元，由题意：订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．列出分式方程，解方程即可；
（2）设订购“红色教育”经典读本a本，则订购“传统文化”经典读本本，由题意：“红色教育”经典读本订购数量不低于600本且总费用不超过11500元，列出一元一次不等式组，解得，再设订购两种读本的总费用为w元，由题意得出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．
【小问1详解】
解：设“传统文化”经典读本的单价是x元，则“红色教育”经典读本的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
∴,
答：“红色教育”的订购单价是12元，“传统文化”经典读本的单价是10元；
【小问2详解】
解：设订购“红色教育”经典读本a本，则订购“传统文化”经典读本本，
由题意得：，
解得：，
设订购两种读本的总费用为w元，
由题意得：，
，
∴w随a的增大而增大，
∴当时，w有最小值为，
此时，，符合题意，
答：订购这两种经典读本的总费用最低为11200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出分式方程；②找出数量关系，正确列出一元一次不等式组和一次函数关系式．
25. 如图，在并联电路中，电源电压为，根据“并联电路分流不分压”的原理得到：．已知为定值电阻，当R变时，路电流也会发生变化，且干路电流与R之间满足如下关系：．
（1）【问题理解】
定值电阻的阻值为________Ω．
（2）【数学活动】
根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数来探究函数的图象与性质．
①列表：下表列出与R的几组对应值，请写出m的值：________；
②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来．
（3）【数学思考】
观察图象发现：函数的图象是由的图象向________平移________个单位而得到．
（4）【数学应用】
若关于x的方程在实数范围内恰好有两个解，直接写出k的值．
【答案】（1）
（2）①；②见解析
（3）上；1 （4）0或或
【解析】
【分析】（1）由题意中和代入求值即可．
（2）①观察图表，利用计算即可；②根据图表的数据，利用描点法画图即可．
（3）利用函数解析式的变化规律与函数图像的平移规律解答即可．
（4）利用函数与方程的关系，结合图像分析根的情况，最后利用一元二次方程根的判别式计算即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴
【小问2详解】
①解：当时，
∴，
∴
②先描出点，，，，再顺次连接这些点即可画出所求函数图象
【小问3详解】
解：当，，
当时，，
当时，，
结合图像，所以函数的图象是由的图象向上平移1个单位．
【小问4详解】
解：由函数与方程的关系可知，
当时，的函数图像在第一象限恰有一个交点时满足恰有两个实数解；
∴
化简得：
∴
当时，的函数图像在第二象限恰有一个交点时满足恰有两个实数解；
∴
化简得：
∴
当时，的图像恰好有两个交点．
∴或或．
【点睛】本题主要考查函数图像的平移，利用函数与方程的关系解方程，掌握描点法画图以及函数与方程的关系，根的判别式是解决本题的关键．
26. 已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线下方的抛物线上，连接交于点M，当最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使是直角三角形若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或或或
【解析】
【分析】（1）将、、代入即可求解析式；
（2）过点作轴交直线于点，过作轴交直线于点，由，可得，则求的最大值即可；
（3）分三种情况讨论：当时，过点作轴，过点作轴，与交于点，过点作轴，与交于点，可证明，求出；当时，过点作轴交于点，可证明，求出；当时，线段的中点，设，由，可求或．
【小问1详解】
解：将点、、代入，
得，
解得，
；
小问2详解】
解：如图1，过点作轴交直线于点，过作轴交直线于点，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
当时，有最大值，
；
【小问3详解】
，点在上，
如图2，当时，
过点作轴，过点作轴，与交于点，过点作轴，与交于点，
，，
，
，
，即，
，
；
如图3，当时，
过点作轴交于点，
，，
，
，
，即，
，
；
如图4，当时，
线段的中点，，
设，
，
，
或，
或；
综上所述：是直角三角形时，点坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质，通过构造平行线将的最大值问题转化为求的最大值问题是解题的关键．统计量
平均数
众数
中位数
方差
（1）班
8
8
c
1.16
（2）班
a
b
8
1.56
R
…
3
4
5
6
…

…
2
1.5
1.2
1
…

…
3
m
2.2
2
…