2023-2024学年广东省汕头市金平区高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省汕头市金平区高一（上）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列能构成集合的是( )
A. 汕头电视台著名节目主持人B. 我市跑得快的汽车
C. 汕头市所有的中学生D. sin30°，tan45°，cs60°
2.已知点(2,12)在幂函数f(x)=xb的图象上，则函数f(x)是( )
A. 奇函数B. 偶函数C. 定义域内的减函数D. 定义域内的增函数
3.已知集合A={x|x2−2x≤8}，B={−2,0}，下列命题为假命题的是( )
A. ∃x0∈A，x0∈BB. ∃x0∈B，x0∈A
C. ∀x∈A，x∈BD. ∀x∈B，x∈A
4.已知a=20.1，b=lg83，c=lg0.13，则下列判断正确的是( )
A. a>b>cB. b>a>cC. a>c>bD. c>b>a
5.已知实数a>1，0( )
A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)
6.已知sin(5π+θ)=2sin(3π2+θ)，则sinθ+csθsinθ+sin2θ的值为( )
A. 195B. 165C. 2310D. 1710
7.以下四个命题中，是假命题的是( )
A. 若tanα=43，且α为锐角，则sinα=45
B. “x>2”是“lg(3−x)<0”的必要不充分条件
C. 若命题p：∃x∈R，x2+x+1<0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0
D. 若a8.已知函数f(x)的大致图象如图，下列答案中e为自然对数的底数，则函数f(x)的解析式可能为( )
A. xexB. x+1exC. 2ex−e−xD. ex+e−xex−e−x
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若10a=4，10b=25，则( )
A. a=lg410B. b=lg25C. a+b=2D. b−a=lg254
10.如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象得出了关于这两个旅行者的四个信息，其中正确的是( )
A. 骑自行车者比骑摩托车者早出发3h，晚到1h
B. 骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动
C. 骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者
D. 骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样
11.下面关于f(x)=2sin(2x−π3)叙述中正确的是( )
A. 关于点(π6,0)对称B. 关于直线x=π6对称
C. 在区间[0,π3]上单调D. 函数f(x)的零点为π6+kπ(k∈Z)
12.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，f(−x)=f(x)；②∀x1，x2∈(0,+∞)，当x1≠x2时，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0；③f(−1)=0.则下列选项成立的是( )
A. f(3)>f(−4)
B. 若f(m−1)C. 若f(x)x>0，则x∈(−∞,−1)∪(0,1)
D. ∀∈R，∃M∈R，使得f(x)≤M
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数y=lga(x+1)+1x−1的定义域为______．
14.单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为______，由该弧及半径围成的扇形的面积为______．
15.已知016.在4×□+9×□=60的两个□中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上______和______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
求以下式子的值：
(1)(−278)−23+(0.002)−12−10( 5−2)−1+( 2− 3)0；
(2)lg 5+2lg23+lg2116+lg22+ln1．
18.(本小题12分)
设全集U=R，集合A={x|−1(1)求A∩B；
(2)集合C={x|1−t≤x≤t+2}，且C⊆(∁UB)，求实数t的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<2π3)的最小正周期为π．
(1)求ω的值；
(2)求当f(x)为偶函数时φ的值；
(3)若f(x)的图象过点(π6, 32)，求f(x)的单调递增区间．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2−2ax+a2−1，a∈R．
(1)若a=2，试求函数y=f(x)x(x>0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a2成立，试求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
2020年是不平凡的一年，经历过短暂的网课学习后，同学们回到校园开始了正常的学习生活．为了提高学生的学习效率，某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调研研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图像的一部分，当t∈(14,40]时，曲线是函数y=83+lga(t−5)，a>0且a≠1图像的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．
(1)试求p=f(t)的函数关系式；
(2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲解完？请说明理由．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg2(12x+a)．
(Ⅰ)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；
(Ⅱ)若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；
(Ⅲ)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，汕头电视台著名节目主持人，不满足集合中元素的确定性，不能构成集合，
对于B，我市跑得快的汽车，不满足集合中元素的确定性，不能构成集合，
对于C，可以构成集合；
对于D，sin30°=cs60°，不满足集合中元素的互异性，不能构成集合，
故选：C．
根据题意，由集合中元素的特点，依次分析选项，综合可得答案．
本题考查集合的定义，注意集合中元素的特点，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由于点(2,12)在幂函数f(x)=xb的图象上，
故有12=2b，∴b=−1，即f(x)=x−1=1x，
故函数f(x)是奇函数，故A正确，B错误．
再根据f(x)=x−1=1x在其定义域(−∞,0)∪(0,+∞)内，不单调，可得C、D错误．
故选：A．
由题意，先根据幂函数的定义和性质，求出它的解析式，从而得出结论．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为集合A={x|x2−2x≤8}={x|−2≤x≤4}；
∵B={−2,0}⊆A，
∴∀x∈A，x∈B为假命题；
故选：C．
先求出集合A，再根据A，B之间的关系即可求解结论．
本题主要考查命题的真假判断，以及元素与集合之间的关系，属于基础题目．
4.【答案】A
【解析】解：a=20.1>20=1，
0=lg81>b=lg83>lg88=1，
c=lg0.13∴a>b>c．
故选：A．
利用指数函数、对数函数的单调性求解．
本题考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：∵a>1，
∴函数f(x)=ax+x−b为增函数，
又0∴f(−1)=1a−1−b<0，f(0)=1−b>0，
∴函数f(x)=ax+x−b在(−1,0)内有零点，
故选：B．
由a>1可得函数f(x)的单调性，然后由已知判断f(−1)、f(0)的符号，最后由函数零点存在性定理得答案．
本题考查了函数零点的判定定理，考查了指数函数的单调性，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：sin(5π+θ)=2sin(3π2+θ)，
则−sinθ=−2csθ，解得tanθ=2，
故sinθ+csθsinθ+sin2θ=tanθ+1tanθ+sin2θsin2θ+cs2θ=tanθ+1tanθ+tan2θtan2θ+1=2+12+44+1=2310．
故选：C．
根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，推得tanθ=2，再将弦化切，即可求解．
本题主要考查三角函数的恒等变换，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：对于A，若tanα=43=sinαcsα，且α为锐角，再结合sin2α+cs2α=1，
可得sinα=45，csα=35，故A为真命题．
对于B，若lg(3−x)<0，则0<3−x<1，∴2若x>2，则3−x<1，显然当3−x≤0时，lg(3−x)无意义，
∴“x>2”是“lg(3−x)<0”的必要不充分条件，故B是真命题．
对于C，若命题p：∃x∈R，x2+x+1<0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0，故C为真命题；
对于D，若a−b>0，∴a2>ab，ab>b2，故a2>ab>b2，故D为假命题．
故选：D．
根据同角三角函数的基本关系判断A，利用充分必要条件的定义判断B，根据命题的否定格式判断C，利用不等式的性质判断D．
本题考查命题的真假判断，考查充分必要条件判断，考查不等式的性质，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y=xex，当x=0时，函数值为0，不符合题意；
对于B，y=x+1ex，当x=−1时，函数值为0，不符合题意；
对于C，y=2ex−e−x，在区间(0,+∞)上，不能满足y=2ex−e−x>1恒成立，不符合题意；
对于D，y=ex+e−xex−e−x，其定义域为{x|x≠0}，有e−x+exe−x−ex=−ex+e−xex−e−x，则y=ex+e−xex−e−x为奇函数，在区间(0,+∞)上，有ex+e−x>ex−e−x，满足y>1恒成立，符合题意；
故选：D．
根据题意，结合函数的图象，用排除法依次分析选项，综合可得答案．
本题考查函数的图象分析，注意用排除法分析，属于基础题．
9.【答案】BCD
【解析】解：∵10a=4，10b=25，∴a=lg4，b=lg25，A错误，B正确；
∵a+b=lg4+lg25=lg100=2，C正确，
∵b−a=lg25−lg4=lg254，D正确．
故选：BCD．
利用对数的性质和运算法则求解．
本题考查对数的性质、运算法则，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：对于A：看时间轴可知A正确；
对于B：骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，
所以是匀速运动，而骑自行车行驶的路程与时间的函数图象是折线，
所以是变速运动，故B正确；
对于C：两条曲线的交点的横坐标为−3=1.5，故C正确，D错误；
故选：ABC．
根据图象对各项进行分析，进而可得答案．
本题考查函数图象，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：对于函数f(x)=2sin(2x−π3)，
令x=π6，求得f(x)=0，可得它的图象关于点(π6,0)对称，故A正确、B不正确．
区间[0,π3]上，2x−π3∈[−π3,π3]，f(x)单调递增，故C正确．
由于f(x)的周期为π，故函数f(x)的零点为π6+k⋅π2(k∈Z)，故D不正确，
故选：AC．
由题意利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解；因为函数f(x)定义在R上的函数，
所以由①：∀x∈R，f(−x)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数，
又因为由②知：∀x1，x2∈(0,+∞)，当x1≠x2时，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0，
因此∀x1，x2∈(0,+∞)，不妨设 x10，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，
所以函数f(x)在(−∞,0)上单调递增，
又因为f(−1)=0，所以f(1)=0，
作出函数的大致图象，如图所示：
对于A、因为函数f(x)为偶函数，所以f(−4)=f(4)，
而函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，因此f(4)即f(−4)对于B、因为定义在R上的偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递减且连续，且f(m−1)所以|m−1|>2，解得m<−1或m>3，故B不正确；
对于C、因为f(−1)=0，f(1)=0，
因为函数f(x)为偶函数，在(0,+∞)单调递减，
所以作函数f(x)的草图如下：
所以由f(x)x>0⇔x>0f(x)>0或x<0f(x)<0，得x<−1或0对于D、由C知：f(0)是函数f(x)的最大值，
因此∀x∈R，∃M=f(0)∈R，使得f(x)⩽M，因此D正确，
故选：ACD．
根据题意可函数为偶函数，在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，f(−1)=0，f(1)=0，作出大致图象，结合图象逐一判断即可．
本题考查了函数的奇偶性、单调性及数形结合思想，属于中档题．
13.【答案】{x|x>−1且x≠1}
【解析】解：由题意得，x+1>0x−1≠0，
解得x>−1且x≠1．
故答案为：{x|x>−1且x≠1}．
根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，属于基础题．
14.【答案】109π 59π
【解析】解：单位圆的半径r=1，200°的弧度数是200×π180=10π9；
由弧长公式得10π9=lr，所以l=10π9，
S扇形=12lr=12×10π9×1=5π9．
故答案为：①10π9；②5π9．
利用弧长公式、扇形面积公式计算可得答案．
本题考查弧长公式、扇形面积公式的计算，属于基础题．
15.【答案】(3,4)
【解析】解：∵00，
∴0故答案为：(3,4)．
根据条件0本题考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，体现了等价转化的数学思想．
16.【答案】6；4
【解析】解：设两数为x、y，即4x+9y=60，
又1x+1y=(1x+1y)(4x+9y)60=160(13+4xy+9yx)≥160(13+12)=512，
当且仅当4xy=9yx，且4x+9y=60，即x=6且y=4时成立，
故答案为：6；4．
本题运用均值不等式来解决：设两数为x、y，即4x+9y=60，然后利用基本不等式求出x与y的倒数和的最小值，即可得到此时x与y满足的关系式，与4x+9y=60联立即可求出此时x与y的值．
此题考查学生灵活运用基本不等式求函数的最小值及掌握取最小值时的条件，是一道中档题．学生做题时一定注意4x+9y=60这个条件的利用与灵活变形．
17.【答案】解：(1)(−278)−23+(0.002)−12−10( 5−2)−1+( 2− 3)0
=(827)23+50012−10×1 5−2+1
=49+10 5−10( 5+2)+1
=49−19=−1679；
(2)lg 5+2lg23+lg2116+lg22+ln1
=12lg5+3−4+12lg2+0
=12lg10−1=12−1=−12．
【解析】(1)由已知结合指数幂的运算性质即可求解；
(2)结合对数恒等式及对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数幂及对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵A={x|−1∴A∩B={x|−1(2)∁UB={x|0当C=⌀时：1−t>t+2，即t<−12，成立；
当C≠⌀时：1−t≤t+21−t>0t+2<4⇒−12≤t<1．
综上：实数t的取值范围是{t|t<1}．
【解析】(1)利用交集定义直接求解；
(2)求出∁UB，当C=⌀时，1−t>t+2，当C≠⌀时，1−t≤t+21−t>0t+2<4⇒−12≤t<1，由此能求出实数t的取值范围．
本题考查交集、实数的取值范围的求法，考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<2π3)的最小正周期为2πω=π，
∴ω=2；
(2)函数f(x)=sin(2x+φ)，
当f(x)为偶函数时，
φ=π2+kπ，
0<φ<2π3，
则φ=π2；
(3)当f(x)的图象过点(π6, 32)，有sin(π3+φ)= 32，
∴φ=π3，函数f(x)=sin(2x+π3).
令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，求得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，可得f(x)的增区间为[kπ−5π12,kπ+π12]，k∈Z．
【解析】(1)由题意利用函数的周期性求得ω；
(2)由奇偶性求出φ的值．
(3)先由题意求出φ，可得函数的解析式，再利用单调性，即可求解．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
20.【答案】解：(1)a=2，x>0时，
y=x2−4x+3x=x+3x−4≥2 x⋅3x−4=2 3−4，
当且仅当x=3x，即x= 3时等号成立，
所以a=2时函数y=f(x)x(x>0)的最小值为2 3−4；
(2)f(x)−a2=x2−2ax−1，任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a2成立，
即x2−2ax−1≤0在x∈[0,2]上恒成立，
设g(x)=x2−2ax−1，g(x)≤0在x∈[0,2]上恒成立，
则g(0)=0−0−1≤0g(2)=4−4a−1≤0，解得a≥34，
所以实数a的取值范围为[34,+∞)．
【解析】(1)a=2时，利用基本不等式求函数y=f(x)x(x>0)的最小值；
(2)任意的x∈[0,2]不等式f(x)≤a2成立，问题等价于x2−2ax−1≤0在x∈[0,2]上恒成立，利用二次函数的性质求解即可．
本题考查了二次函数的性质、转化思想，属于中档题．
21.【答案】解：(1)当t∈(0,14]时，
设p=f(t)=c(t−12)2+82 (c<0)，
将点(14,81)代入可得c=−14，
p=f(t)=−14(t−12)2+82，
当t∈(14,40]时，将点(14,81)代入y=83+lga(t−5)，解得a=13，
故p=f(t)=−14(t−12)2+82,t∈(0,14]lg13(t−5)+83,t∈(14,40]．
(2)当t∈(0,14]时，−14(t−12)2+82≥80，解得12−2 2≤t≤12+2 2，
故t∈[12−2 2,14]，
当t∈(14,40]时，lg13(t−5)+83≥80，解得5故t∈(14,32]，
综上所述，t∈[12−2 2,32] 时学生听课效果最佳，
此时△t=32−(12−2 2)=20+2 2≥22，
故老师能经过合理安排在学生听课效果最佳时讲解完．
【解析】(1)将点(14,81)分别代入到分段函数中，即可依次求解．
(2)分当t∈(0,14]时，−14(t−12)2+82≥80，分t∈(14,40]时，lg13(t−5)+83≥80，依次解出t的值，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)=0，求得a=0．
又此时f(x)=−x是R上的奇函数．
所以a=0为所求．
(Ⅱ)函数f(x)的定义域是一切实数，则12x+a>0恒成立．
即a>−12x恒成立，由于−12x∈(−∞,0)．
故只要a≥0即可．
(Ⅲ)由已知函数f(x)是减函数，
故f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(0)=lg2(1+a)，
最小值是f(1)=lg2(12+a)．
由题设lg2(1+a)−lg2(12+a)≥2⇒a+12>0a+1≥4a+2
故 −12【解析】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，属于中等题．
(Ⅰ)函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)=0，解得a的值；
(Ⅱ)若函数f(x)的定义域是一切实数，12x+a>0恒成立．即a>−12x恒成立，进而可得答案；
(Ⅲ)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2，则lg2(1+a)−lg2(12+a)≥2，解得答案．