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福建省漳州市2024届高三毕业班第二次质量检测数学试题（Word版附解析）
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这是一份福建省漳州市2024届高三毕业班第二次质量检测数学试题（Word版附解析），文件包含福建省漳州市2024届高三毕业班第二次质量检测数学试题原卷版docx、福建省漳州市2024届高三毕业班第二次质量检测数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
本试题卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
考生注意：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，若，且，则集合可以为（ ）
A. B. C. D.
2. 若，为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，向量，向量，若与共线，，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 公元年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的“开立圆术”.祖暅在求球的体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是立体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.更详细点说就是，介于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等.上述原理在中国被称为“祖暅原理”.打印技术发展至今，已经能够满足少量个性化的打印需求，现在用打印技术打印了一个“睡美人城堡”.如图，其在高度为的水平截面的面积可以近似用函数，拟合，则该“睡美人城堡”的体积约为（ ）
A. B. C. D.
5. 甲、乙两名大学生利用假期时间参加社会实践活动，可以从，，，四个社区中随机选择一个社区，设事件为“甲和乙至少一人选择了社区”，事件为“甲和乙选择社区不相同”，则（ ）
A. B. C. D.
6. 若锐角满足，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知等差数列的前项和为，等比数列的公比与的公差均为2，且满足，，则使得成立的的最大值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
8. 已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A. 3B. 5C. 6D. 8
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知直线经过抛物线的焦点，且与交于A，B两点，以线段为直径的与的准线相切于点，则（ ）
A. 直线的方程为B. 点的坐标为
C. 的周长为D. 直线与相切
10. 关于函数的图象与性质，下列说法正确的是（ ）
A. 是函数图象的一条对称轴
B. 是函数图象的一个对称中心
C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象
D. 当时，
11. 已知数列的前项和为，若，且对，都有，则（ ）
A. 是等比数列B.
C D.
12. 在正四棱柱中，，，分别为棱，的中点，过，，三点作该正四棱柱的截面，则下列判断正确的是（ ）
A. 异面直线与直线所成角正切值为
B. 截面为六边形
C. 若，截面的周长为
D. 若，截面的面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知椭圆，，则的离心率为______.（写出一个符合题目要求的即可）
14. 在二项式的展开式中，第三项为常数项，展开式中二项式系数和为，所有项的系数和为，则______.
15. 已知复数，满足，，则的最大值为______.
16. 已知是定义域为的函数的导函数，曲线关于对称，且满足，则______；______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列前项和为，满足，且为，的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，证明：.
18. 如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4.
（1）若，，求的面积；
（2）若，求的最大值.
19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，侧棱和侧棱与底面所成的角均为，，为中点，为侧棱上一点，且平面.
（1）请确定点的位置；
（2）求平面与平面所成夹角的余弦值.
20. 2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为.
（1）求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率；
（2）求离散型随机变量的分布列与期望.
21. 已知函数有两个不同的零点，.
（1）求实数取值范围；
（2）证明：.
22. 已知，我们称双曲线与椭圆互为“伴随曲线”，点为双曲线和椭圆的下顶点.
（1）若为椭圆的上顶点，直线与交于，两点，证明：直线，的交点在双曲线上；
（2）过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦长为，双曲线的一条渐近线方程为，若为双曲线的上焦点，直线经过且与双曲线上支交于，两点，记的面积为，（为坐标原点），的面积为.
（i）求双曲线的方程；
（ii）证明：.
本试题卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
考生注意：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，若，且，则集合可以为（ ）
A. B. C. D.
2. 若，为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，向量，向量，若与共线，，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 公元年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的“开立圆术”.祖暅在求球的体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是立体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.更详细点说就是，介于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等.上述原理在中国被称为“祖暅原理”.打印技术发展至今，已经能够满足少量个性化的打印需求，现在用打印技术打印了一个“睡美人城堡”.如图，其在高度为的水平截面的面积可以近似用函数，拟合，则该“睡美人城堡”的体积约为（ ）
A. B. C. D.
5. 甲、乙两名大学生利用假期时间参加社会实践活动，可以从，，，四个社区中随机选择一个社区，设事件为“甲和乙至少一人选择了社区”，事件为“甲和乙选择社区不相同”，则（ ）
A. B. C. D.
6. 若锐角满足，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知等差数列的前项和为，等比数列的公比与的公差均为2，且满足，，则使得成立的的最大值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
8. 已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A. 3B. 5C. 6D. 8
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知直线经过抛物线的焦点，且与交于A，B两点，以线段为直径的与的准线相切于点，则（ ）
A. 直线的方程为B. 点的坐标为
C. 的周长为D. 直线与相切
10. 关于函数的图象与性质，下列说法正确的是（ ）
A. 是函数图象的一条对称轴
B. 是函数图象的一个对称中心
C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象
D. 当时，
11. 已知数列的前项和为，若，且对，都有，则（ ）
A. 是等比数列B.
C D.
12. 在正四棱柱中，，，分别为棱，的中点，过，，三点作该正四棱柱的截面，则下列判断正确的是（ ）
A. 异面直线与直线所成角正切值为
B. 截面为六边形
C. 若，截面的周长为
D. 若，截面的面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知椭圆，，则的离心率为______.（写出一个符合题目要求的即可）
14. 在二项式的展开式中，第三项为常数项，展开式中二项式系数和为，所有项的系数和为，则______.
15. 已知复数，满足，，则的最大值为______.
16. 已知是定义域为的函数的导函数，曲线关于对称，且满足，则______；______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列前项和为，满足，且为，的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，证明：.
18. 如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4.
（1）若，，求的面积；
（2）若，求的最大值.
19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，侧棱和侧棱与底面所成的角均为，，为中点，为侧棱上一点，且平面.
（1）请确定点的位置；
（2）求平面与平面所成夹角的余弦值.
20. 2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为.
（1）求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率；
（2）求离散型随机变量的分布列与期望.
21. 已知函数有两个不同的零点，.
（1）求实数取值范围；
（2）证明：.
22. 已知，我们称双曲线与椭圆互为“伴随曲线”，点为双曲线和椭圆的下顶点.
（1）若为椭圆的上顶点，直线与交于，两点，证明：直线，的交点在双曲线上；
（2）过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦长为，双曲线的一条渐近线方程为，若为双曲线的上焦点，直线经过且与双曲线上支交于，两点，记的面积为，（为坐标原点），的面积为.
（i）求双曲线的方程；
（ii）证明：.
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