福建省漳州市2022届高三毕业班第二次教学质量检测数学试题

漳州市2022届高三毕业班第二次教学质量检测

数学试题

一、单项选择题

1. 设集合，，则（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

2. 复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（   ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

3. 已知，则（   ）

A  B.  C.  D.

【答案】C

4. 已知直线与圆相交于A，B两点，则“”是“”（   ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

5. 已知是边长为正三角形，为线段上一点（包含端点），则的取值范围为（   ）

A  B.  C.  D.

【答案】A

6. 伦敦奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的双曲线屋顶的一段近似看成离心率为的双曲线上支的一部分，点F是C的下焦点，若点P为C上支上的动点，则与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为（   ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】D

7. 已知函数与函数的值域相同，则实数a的取值范围是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

8. 已知是数列的前n项和，，，，记且，则（   ）

A. 171 B. 278 C. 351 D. 395

【答案】C

二、多项选择题

9. 已知函数，则下列结论正确的是（   ）

A. 曲线的切线斜率可以是1

B. 曲线切线斜率可以是

C. 过点且与曲线相切的直线有且只有1条

D. 过点且与曲线相切的直线有且只有2条

【答案】AC

10. 已知正方体的边长为2，为的中点，为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（   ）

A.  B. 平面

C. 动点的轨迹长为 D. 与所成角的余弦值为

【答案】BC

11. 关于函数，下列结论正确的是（   ）

A. 为偶函数

B. 在区间单调递减

C. 的值域为

D. 当时，方程在有8个解

【答案】ACD

12. 阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想，他用平衡法求得抛物线弓形（抛物线与其弦所在直线围成的图形）面积等于此弓形的内接三角形（内接三角形的顶点C在抛物线上，且在过弦的中点与抛物线对称轴平行或重合的直线上）面积的.现已知直线与抛物线交于A，B两点，且A为第一象限的点，E在A处的切线为l，线段的中点为D，直线轴所在的直线交E于点C，下列说法正确的是（   ）

A. 若抛物线弓形面积为8，则其内接三角形的面积为6

B. 切线l的方程为

C. 若，则弦对应的抛物线弓形面积大于

D. 若分别取的中点，，过，且垂直y轴的直线分别交E于，，则

【答案】ABD

三、填空题

13. 2021年电影《长津湖》累计票房逾57亿，该片点燃了每个人心中对英雄的崇敬之情，也更加显示出如今和平生活的来之不易.某影院记录了观看此片的70位观众的年龄，其中年龄位于区间的有10位，位于区间的有20位，位于区间的有25位，位于区间的有15位，则这70位观众年龄的众数的估计值为____________

【答案】35

14. 已知的展开式中的系数为____________

【答案】240

15. 写出一个具有性质①②③的函数____________

①的定义域为；②；③当时，

【答案】（答案不唯一）

16. 在平行四边形中，，，，点E在边上，且.将沿折起后得到四棱锥，则该四棱锥的体积最大值为____________；该四棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为____________

【答案】    ①. 96    ②.

四、解答题

17. 已知数列的前n项和为，在①②，，③这三个条件中任选一个，解答下列问题：

（1）求的通项公式：

（2）若，求数列的前n项和

【答案】（1）   

（2）

18. 如图，在平面四边形中，对角线平分，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（1）求B；

（2）若，的面积为2，求

【答案】（1）   

（2）

19. 如图，圆柱的轴截面是一个边长为2的正方形，点D为棱的中点，为弧上一点，且

（1）求三棱锥的体积；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）   

（2）

20. 漳州市某路口用停车信号管理，在某日后的一分钟内有15辆车到达路口，到达的时间如下（以秒作单位）：1，4，7，10，14，17，20，22，25，28，30，33，36，38，41.记，2，3，…，15，表示第k辆车到达路口的时间，表示第k辆车在路口的等待时间，且，，，记，M表示a，b中的较大者.

（1）从这15辆车中任取2辆，求这两辆车到达路口的时间均在15秒以内的概率；

（2）记这15辆车在路口等待时间的平均值为，现从这15辆车中随机抽取1辆，记，求的分布列和数学期望；

（3）通过调查，在该日后的一分钟内也有15辆车到达路口，到达的时间如下：1，4，10，14，15，16，17，18，19，21，25，28，30，32，38.现甲驾驶车辆欲在后一分钟内或后一分钟内某时刻选择一个通过该路口，试通过比较和后的一分钟内车辆的平均等待时间，帮甲做出选择.

【答案】（1）   

（2）

（3）比较见解析，甲应该选择后一分钟内某时刻通过该路口

21. 已知椭圆的长轴长为，且过点

（1）求的方程：

（2）设直线交轴于点，交C于不同两点，，点与关于原点对称，，为垂足.问：是否存在定点，使得为定值？

【答案】（1）   

（2）存在

22. 已知

（1）若，求的最小值；

（2）当时，，求a的取值范围

【答案】（1）0    （2）