黑龙江省龙西北高中名校2024届高三上学期期末联合考试数学试卷(含答案)

这是一份黑龙江省龙西北高中名校2024届高三上学期期末联合考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．设复数,则( )
A.B.C.4D.
3．已知在特定的时期内某人在一个月内每天投入的体育锻炼时间x（分钟）与一个月内减轻的体重y（斤）的一组数据如表所示：
一个月内减轻的体重y与每天投入的体育锻炼时间x之间具有较强的线性相关关系,其线性回归直线方程是,据此模型估计当此人在一个月内每天投入的体育锻炼时间为90分钟时,该月内减轻的体重约为( )
A.6.8斤B.6.9斤C.7.0斤D.7.1斤
4．设,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
5．若,则( )
A.40B.-40C.80D.-80
6．将函数的图象向右平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,得到的图象,则的值为( )
A.B.C.D.
7．已知函数的定义域为,其导函数是.若对任意的有,则关于x的不等式的解集为( )
A.B.C.D.
8．已知椭圆的左,右两焦点为和,P为椭圆上一点,且,则( )
A.8B.12C.16D.64
二、多项选择题
9．设,,则( )
A.B.C.D.
10．已知的三边长分别是,,,则( )
A.以BC所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为
B.以BC所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为
C.以AB所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的表面积为
D.以AB所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为
11．已知函数是定义在R上的奇函数,,则下列说法正确的是( )
A.的最小正周期为4B.的图象关于直线对称
C.的图象关于点对称D.在内至少有5个零点
12．“外观数列”是一类有趣数列,该数列由正整数构成,后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为1,将其外观描述为“1个1”,则第二项为11;将11描述为“2个1”,则第三项为21;将21描述为“1个2,1个1”,则第四项为1211;将1211描述为“1个1,1个2,2个1”,则第五项为111221,…,这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述,给定首项即可依次推出数列后面的项．对于外观数列,下列说法正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则的最后一个数字为6D.若,则从开始出现数字4
三、填空题
13．已知平面向量,,,则_____________．
14．计算：____________．
15．已知双曲线的离心率为,其中一条渐近线与圆交于A,B两点,则___________.
16．已知正四棱柱的体积为16,E是棱BC的中点,P是侧棱上的动点,直线交平面于点,则动点的轨迹长度的最小值为_____________．
四、解答题
17．已知数列是等差数列,其前n项和为,且,.
（1）求的通项公式;
（2）设,求数列的前n项和.
18．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,
（1）求角B的大小;
（2）若的面积为,周长为3b,求AC边上的高.
19．如图,在四棱锥中,平面ABCD,平面平面EBD,,．
（1）证明：;
（2）若,P为ED的中点,求PC与平面EAC所成角的正弦值．
20．2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人．2019年7月份以来,共完成1931个志愿服务项目,8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度,随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时）,并绘制如图所示的频率分布直方图．
（1）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）;
（2）由直方图可以认为,目前该地志愿者每月服务时长X服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若,令,则,且．
（ⅰ）利用直方图得到的正态分布,求;
（ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者,记Z表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数,求（结果精确到0.001）以及Z的数学期望．
参考数据：,．若,则．
21．在平面直角坐标系xOy中,已知动点到点的距离比点T到x轴的距离大1,设点T的轨迹为C.
（1）过点F且斜率为k的直线与曲线C交于A,B两点,且,求直线AB的方程;
（2）点P在曲线C上,求P到直线的距离的最小值.
22．已知函数,.
（1）证明：对,;
（2）若关于x的方程有两个实根,且,证明：.
参考答案
1．答案：A
解析：因为,,
所以．
故选：A．
2．答案：D
解析：,．
故选:D．
3．答案：A
解析：由表中数据可得
,
,
将代入得,解得,
即,
则当时,.
故选：A.
4．答案：B
解析：因为,所以,
因为,所以,
又因为,所以,
所以．
故选：B.
5．答案：C
解析：由,故,
所以时,,即80.
故选：C.
6．答案：D
解析：由已知得,
所以,
解得,,又,
所以.
故选：D.
7．答案：B
解析：令函数,,求导得,
因此函数在上单调递减,不等式,
即,解得,
所以原不等式的解集为.
故选：B.
8．答案：A
解析：由题意得,,,,于是,
即O为的外心,以为直径的圆经过P,于是,
记,,根据椭圆定义和勾股定理：,
于是.
故选：A.
9．答案：BC
解析：由且,
,即,则,当且仅当取等号,故取不到,
所以,A错,B对;
,且,
所以,C对,D错.
故选：BC.
10．答案：AD
解析：以BC所在直线为轴旋转时,所得旋转体是底面半径为3,
母线长为5,高为4的圆锥,其侧面积为,体积为,故A正确,B错误;
以AB所在直线为轴旋转时,所得旋转体是底面半径为,母线长分别为3和4的两个圆锥组合体,
表面积为,体积为,故C错误,D正确．
故选：AD．
11．答案：BCD
解析：对于A,因为是定义在R上的奇函数,且,
所以,
即,所以的周期为4,
但的最小正周期不一定为4,
如,满足为奇函数,
且,
而的最小正周期为,故A错误;
对于B,因为为奇函数,且,
所以,即的图象关于直线对称,故B正确;
对于C,由,及为奇函数可知,
即的图象关于点对称,故C正确;
对于D,因为是定义在R上的奇函数,所以,
又,,所以,
故,
所以在内至少有-4,-2,0,2,4这5个零点,故D正确．
故选：BCD．
12．答案：AC
解析：对于A项,,即“2个2”,,即“2个2”,
以此类推,该数列各项均为22,则,故A项正确;
对于B项,,即“1个1,1个3”,,即“3个1,1个3”,
故,即“1个3,2个1,1个3”,故,故B项错误;
对于C项,,即“1个6”,,即“1个1,1个6”,
,即“3个1,1个6”,故,即“1个3,2个1,1个6”,
以此类推可知,的最后一个数字均为6,故C项正确;
对于D项,因为,则,,,,
若数列中,中为第一次出现数字4,
则中必出现了4个连续的相同数字,
如,则在的描述中必包含“1个1,1个1”,
即,显然的描述应该是“2个1”,矛盾,不合乎题意,
若或,同理可知均不合乎题意,
故不包含数字4,故D项错误．
故选：AC．
13．答案：
解析：由,,,则,解得,
则,可得,
所以．
故答案为：.
14．答案：
解析：
．
故答案为：.
15．答案：
解析：由题意,所以,
则双曲线的渐近线方程为,
圆的圆心为,半径,
圆心到直线的距离,
所以直线与圆相离,
圆心到直线的距离,
所以直线与圆相交,
所以.
故答案为：.
16．答案：
解析：如图取CD的中点M,连接EM交AC于点F,连接、交于点O,连接OF、BD,
因为E是棱BC的中点,所以,则F为AC的四等分点且,
由正四棱柱的性质可知且,所以四边形为平行四边形,所以,
所以,所以、、M、E四点共面,
所以平面平面,
连接交OF于点G,因为P是侧棱上的动点,直线交平面于点,
所以线段OG即为点的轨迹,
如图在平面中,过点F作,交于点H,因,
所以,所以,所以,
设、,,
依题意,,
所以,
要求动点的轨迹长度的最小值,即求OG的最小值,即求OF的最小值,
因为,所以,
所以,
当且仅当,即、时取等号,
所以,所以,即动点的轨迹长度的最小值为.
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）.
解析：（1）设等差数列的公差为d,又,,
所以,解得,,
所以的通项公式.
（2）由（1）知,
所以
.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知结合正弦定理边化角可得,
又,
代入整理可得,
因为,所以,
又,所以,
（2）由及可得,,
又周长为3b,则,所以,
根据余弦定理可得,,
整理可得,
设AC边上的高为h,则,解得,
所以AC边上的高为.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：连接OE,作,垂足为F,
因为平面平面EBD,平面平面,平面,
所以平面EBD,
又平面EBD,所以,
因为平面ABCD,平面ABCD,所以,
又,EA,平面EAC,所以平面EAC,
因为平面EAC,所以．
（2）由题意知AB,AE,AD两两垂直,以A为坐标原点,以AB,AE,AD所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系（如图所示）,
则,,,,,,
所以,．
由（1）知,平面EAC,所以为平面EAC的一个法向量,
设CP与平面EAC所成角为,
所以,
即直线CP与平面EAC所成角的正弦值为．
20．答案：（1）9,1.64;
（2）（ⅰ）0.7734,（ⅱ）0.994,4.532.
解析：（1）．
．
（2）（ⅰ）由题知,,所以,．
所以．
（ⅱ）由（ⅰ）知,可得．
．
故Z的数学期望．
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可得点T到点的距离等于点T到的距离,
所以点T的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,
所以点T轨迹为C的方程为,
直线AB的方程为,设,
联立,消y得,
恒成立,
则,
所以,
解得,
所以直线AB的方程为;
（2）设与直线平行且与抛物线C相切的直线方程为,
联立,消y得,
则,解得,
所以所求直线方程为,
直线与直线间的距离,
所以P到直线的距离的最小值为.
22．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）,
令,则,
当时,,单调递减,当时,,单调递增,
所以,
即,
所以对,;
（2）对于函数,,
当,,单调递减,当,,单调递增,
故,且当时,,,
对于函数,,,
再根据（1）对,,在同一坐标系中画出函数,的图象如下图：
设关于x的方程有两个实根,且,
由图像可得,,
所以,
令,整理得,
则,
所以,
所以.
x
30
40
50
60
70
y
1.1
1.9
3.2
4
4.8