2023-2024学年吉林省吉林市磐石市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省吉林市磐石市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.计算−19+20等于( )
A. −39B. −1C. 1D. 39
2.如图是由6个完全相同的小长方体组成的立体图形，这个立体图形的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.下列运算正确的是( )
A. 2a⋅3b=5abB. a2⋅a3=a5C. (2a)3=6a3D. a6÷a2=a3
4.如图，在△ABC中，AC=BC，点D在BC的延长线上，AE/​/BD，点E，D在AC同侧，若∠CAE=118°，则∠B的大小为( )
A. 31°B. 32°C. 59°D. 62°
5.如图1，把一个长为2m，宽为2n(m>n)的长方形两次对折后展开，再用剪刀沿图中折痕剪开，把它分成四块完全相同的小长方形，最后按图2那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是( )
A. 2mB. (m+n)2C. (m−n)2D. m2−n2
6.如图，点ABC在⊙O上，OA/​/BC，∠OAC=19°，则∠AOB的大小为( )
A. 19°
B. 29°
C. 38°
D. 52°
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.计算： 4− 9= ______．
8.甲、乙二人一起加工零件．甲平均每小时加工a个零件，加工2小时；乙平均每小时加工b个零件，加工3小时．甲、乙二人共加工零件______个．
9.不等式组2x+1>33x−5≤1的解集为______．
10.若关于x的一元二次方程x2+x−a=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______．
11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC的延长线上，CF=12BC.若AB=12，则EF的长为______．
12.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(2,0)、(0,1)，若将线段AB平移至CD，则a+b的值为______．
13.如图：在四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB于E，若四边形ABCD的面积为16，则DE的长为______．
14.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形A′B′C′O的一个顶点.若两个正方形的边长均为2，则图中阴影部分图形的面积为______．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
15.先化简，再求值(a−1)2−2a(a−1)+(2a+1)(2a−1)，其中a= 5．
四、解答题：本题共11小题，共79分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字为1，2，7，这些卡片除数字不同外其余均相同．洗匀后，小强从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率．
17.(本小题5分)
某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同，求这种笔的单价．
18.(本小题5分)
为了打通抚松到万良的直线公路，需在一座小山的底部打通隧道.甲、乙两施工队按如图进行施工，甲施工队沿AC方向开山修路，乙施工队在这座小山的另一边E处沿射线CA方向同时施工.从AC上的一点B，取∠ABD=155°，经测得BD=1200m，∠D=65°，求开挖点E与点B之间的距离.(结果精确到1m，用计算器计算)
19.(本小题7分)
图①、图②是8×5的正方形网格，线段AB、BC的端点均在格点上.按要求在图①、图②中以AB、BC为邻边各画一个四边形ABCD，使点D在格点上.要求所画两个四边形不全等，且同时满足四边形ABCD是轴对称图形，点D到∠ABC两边的距离相等．
20.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+2与双曲线y=kx在另一象限交于点A(m,3)，与x轴交于点B．
(1)求双曲线所对应的函数表达式；
(2)若点P在x轴上，且△ABP的面积为3，求点P的坐标．
21.(本小题7分)
如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交边AD、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于12MN长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线AP交边CD于点E，过点E作EF/​/BC交AB于点F.求证：四边形ADEF是菱形．
22.(本小题7分)
为了传承中华优秀传统文化，某校组织八年级学生参加了“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中若干名学生的成绩(成绩x取整数，总分100分)作为样本进行整理，绘制如下不完整的条形统计图．
汉字听写大赛成绩分数段统计表
汉字听写大赛成绩分数段条形统计图

(1)补全条形统计图．
(2)这次抽取的学生成绩的中位数在______的分数段中；这次抽取的学生成绩在60≤x500时，求乙印刷社所需的费用y与x之间的函数关系式．
(3)如果该社区在制作这种宣传单时，第一次印刷了800张宣传单，第二次印刷了1200张宣传单，直接写出该社区两次印刷这种宣传单共花费的最少钱数．
24.(本小题8分)
【感知】如图①，△ABC是等边三角形，CM是外角∠ACD的平分线，E是边BC中点，在CM上截取CF=BE，连接AE、EF、AF.易证：△AEF是等边三角形(不需要证明)．
【探究】如图②，△ABC是等边三角形，CM是外角∠ACD的平分线，E是边BC上一点(不与点B、C重合)，在CM上截取CF=BE，连接AE、EF、AF.求证：△AEF是等边三角形．
【应用】将图②中的“E是边BC上一点”改为“E是边BC延长线上一点”，其他条件不变．当四边形ACEF是轴对称图形，且AB=2时，请借助备用图，直接写出四边形ACEF的周长．
25.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，AB=4，∠C=90°，∠A=60°.点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AB边向终点B运动，过点P作PD⊥AB交折线AC−CB于点D，过点D作DE/​/AB交边BC或边AC于点E，连结PE，设点P的运动时间为t秒．
(1)当点D在AC边上时，PD的长为______(用含t的代数式表示)
(2)当点D为边的中点时，求t的值．
(3)设△PDE的面积为S(S>0)，求S与t之间的函数关系式．
(4)当边PE与△ABC的边垂直时，直接写出t的值．
26.(本小题10分)
如图①，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y=110x2−x+3的绳子．
(1)求绳子最低点到地面的距离．
(2)如图②，因实际需要，需用一根立柱MN撑起绳子．
①若在离AB4米的位置处用立柱MN撑起，使立柱左侧的抛物线的最低点距MN1米，离地面1.8米，求MN的长；
②将立柱MN来回移动，移动过程中，在一定范围内，总保持立柱MN左侧抛物线的形状不变，其函数表达式为y=12x2−mx+3，当抛物线最低点到地面距离为0.5米时，求m的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：−19+20=1．
故选：C．
直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了有理数的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：这个立体图形的左视图是，
故选：B．
左视图有2列，从左到右分别是2，1个正方形．
此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握左视图所看的位置．
3.【答案】B
【解析】解；A、2a⋅3b=6ab，故此选项错误；
B、a2⋅a3=a5，故此选项正确；
C、(2a)3=8a3，故此选项错误；
D、a6÷a2=a4，故此选项错误；
故选：B．
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
4.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查平行线的性质和等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质．
先根据平行线的性质和∠CAE的度数求出∠ACD的度数，然后等腰三角形的性质得出∠B=∠CAB，再根据三角形的外角性质得到2∠B=∠ACD，即可求出∠B的大小．
【解答】
解：∵AE/​/BD，∠CAE=118°，
∴∠ACD=180°−118°=62°，
∵AC=BC，
∴∠B=∠CAB，
∴∠ACD=∠B+∠CAB=2∠B=62°，
∴∠B=31°．
故选A．
5.【答案】C
【解析】解：由题意可得，正方形的边长为(m+n)，
故正方形的面积为(m+n)2，
又∵原矩形的面积为4mn，
∴中间空的部分的面积=(m+n)2−4mn=(m−n)2．
故选：C．
先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积−矩形的面积即可得出答案．
本题考查了完全平方公式的几何背景，观察图形表示出拼成的正方形的面积是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵AO//BC，
∴∠ACB=∠OAC，
而∠OAC=19°，
∴∠ACB=19°，
∴∠AOB=2∠ACB=38°．
故选：C．
由AO/​/BC，得到∠ACB=∠OAC=19°，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=38°．
本题考查了圆周角定理与平行线的性质．注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
7.【答案】−1
【解析】【分析】
本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式利用算术平方根定义计算即可得到结果．
【解答】
解：原式=2−3
=−1．
故答案为：−1．
8.【答案】(2a+3b)
【解析】解：甲、乙二人共加工零件(2a+3b)个．
故答案为：(2a+3b)．
用甲2小时加工的零件数加上乙3小时加工的零件数即可．
此题考查列代数式，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
9.【答案】13①3x−5≤1②，
由①得：2x>2，
x>1，
由②得：3x≤6，
x≤2，
∴不等式组的解集为：10，
解得a>−14，
故答案为：a>−14．
根据关于x的一元二次方程x2+x−a=0有两个不相等的实数根，得出Δ>0，求出a的取值范围即可．
本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解答此题的关键．
11.【答案】6
【解析】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE=12BC、DE/​/BC，
∵∠ACB=90°、CF=12BC，
∴∠AED=∠ECF=90°、DE=CF，
∵AB=12，D、E分别是边AB、AC的中点，
∴AD=6，AE=EC，
在△ADE和△EFC中，
∵DE=FC∠AED=∠ECFAE=EC，
∴△ADE≌△EFC(SAS)，
∴EF=AD=6，
故答案为：6．
由中位线定理得DE=12BC、DE/​/BC，据此知∠AED=∠ECF=90°、DE=CF，再证△ADE≌△EFC可得EF=AD，即可得出答案．
本题主要考查三角形的中位线定理，解题的关键是掌握三角形的中位线定理及全等三角形的判定与性质．
12.【答案】2
【解析】解：根据题意：A、B两点的坐标分别为A(2,0)，B(0,1)，若C的坐标为(3,b)，B(a,2)即线段AB向上平移1个单位，向右平移1个单位得到线段CD；
则：a=0+1=1，b=0+1=1，
a+b=2．
故答案为：2．
根据点的坐标的变化分析出AB的平移方法，再利用平移中点的变化规律算出a、b的值．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
13.【答案】4
【解析】解：过点C作CF⊥DE交DE于F，
∵AD=CD，∠ADE=90°−∠CDF=∠DCF，∠AED=∠DFC=90°，
∴△ADE≌△DCF(AAS)，
∴DE=CF=BE，
又四边形ABCD的面积为16，即S矩形BCFE+2S△CDF=16，
即BE⋅EF+2×12CF⋅DF=16，
则DE⋅DE=16，
解得DE=4．
故答案为4．
可过点C作CF⊥DE，得出Rt△ADE≌Rt△DCF，得出线段之间的关系，进而将四边形的面积转化为矩形BCFE的面积与2个△CDF的面积，通过线段之间的转化，即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形、矩形面积的计算，能够熟练掌握．
14.【答案】1
【解析】解：设A′O与AB交于点E，C′O与BC交于点F，
因为四边形ABCD是正方形，
所以AO=BO，∠AOB=90°，∠EAO=∠FBO．
∴∠AOE+∠BOE=90°．
又∠BOF+∠BOE=90°，
∴∠AOE=∠BOF．
所以△AEO≌△BFO(ASA)．
∴四边形EBFO面积=△BEO面积+△BFO面积=△BEO面积+△AEO面积=△ABO面积．
因为正方形ABCD边长为2，
∴正方形面积为4，
∴△ABO面积为1．
所以阴影部分面积为1．
故答案为1．
设A′O与AB交于点E，C′O与BC交于点F，证明△AEO≌△BFO，阴影部分面积转化为△ABO面积即可．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解决不规则图形的面积要转化为规则图形，利用规则图形的性质求解．
15.【答案】解：原式=a2−2a+1−2a2+2a+4a2−1=3a2，
当a= 5时，原式=3×5=15．
【解析】原式利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16.【答案】解：根据题意，列表如下：
所以P(两次抽取的卡片上数字之和为偶数)=59．
【解析】首先根据题意列表求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上的数字之和为偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】解：设这种笔单价为x元，则本子单价为(x−4)元．
由题意，得30x−4=50x．
解得x=10．
经检验x=10是原方程的解，且符合题意．
答：这种笔的单价是10元．
【解析】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
首先设这种笔单价为x元，则本子单价为(x−4)元，根据题意可得等量关系：30元买这种本子的数量=50元买这种笔的数量，由等量关系可得方程，进而解答即可．
18.【答案】解：∵∠ABD=155°，∠D=65°，
∴∠AED=155°−65°=90°．
在Rt△BDE中，∠BED=90°，sin65°=BEBD，
∴BE=BD⋅sin65°≈1200×0.9063=1087.56≈1088m．
答：开挖点E离点B的距离约为1088m．
【解析】先根据三角形外角的性质求出∠AED的度数；再根据锐角三角函数的定义可得sin65°=BEBD，进而求解即可．
本题主要考查了解直角三角形，掌握解直角三角形的步骤是解决此题的关键．
19.【答案】解：如图所示：
．
【解析】直接利用轴对称图形的性质结合角平分线的性质得出符合题意的图形．
此题主要考查了轴对称变换，正确利用角平分线的性质得出D点位置是解题关键．
20.【答案】解：(1)将点A坐标代入一次函数解析式得，
12m+2=3，
解得m=2，
所以点A坐标为(2,3)，
将点A坐标代入反比例函数解析式得，
k=2×3=6，
所以双曲线对应的函数表达式为y=6x．
(2)将y=0代入一次函数解析式得，
12x+2=0，
解得x=−4，
所以点B坐标为(−4,0)．
令点P坐标为(n,0)，
则BP=|n+4|，
由△ABP的面积为3得，
12×|n+4|×3=3，
解得n=−2或−6．
所以点P的坐标为(−2,0)或(−6,0)．
【解析】(1)将点A坐标代入一次函数解析式求出m，再用待定系数法即可解决问题．
(2)求出直线AB与x轴的交点坐标，再用点P的坐标表示出△ABP的面积即可解决问题．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知一次函数及反比例函数的图象和性质是解题的关键．
21.【答案】证明：由作法得AE平分∠BAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，AB/​/CD，
∴DE/​/AF，∠AED=∠BAE，
∵EF/​/BC，
∴AD/​/EF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE．
∴∠AED=∠DAE．
∴AD=AE，
∴四边形ADEF是菱形．
【解析】利用基本作法克判定AE平分∠BAD，再根据平行四边形的性质得到AD/​/EF，则可判断四边形ADEF是平行四边形，再利用AE平分∠BAD证明∠AED=∠DAE，则AD=AE，然后根据菱形的判定方法可判断四边形ADEF是菱形．
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质．
22.【答案】解(1)补全条形图如下：
(2)∵被调查的总人数为2+6+9+18+15=50人，而第25、26个数据均落在80≤x