第06讲 函数的概念及其表示-2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

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1.函数的基本概念
(1)函数的定义
一般地,给定两个 A与B,以及对应关系f,如果对于集合A中的 ,在集合B中都有 的实数y与x对应,则称f为定义在集合A上的一个函数,记作 ,x∈A.
(2)函数的三要素
函数由 、 和对应关系三个要素构成.在函数y=f(x),x∈A中, 范围(即数集A)称为这个函数的 , 组成的集合{y∈B|y=f(x),x∈A}称为函数的值域.
2.函数的表示法
函数的常用表示方法: 、 、 .
3.分段函数
如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的 ,则称其为分段函数.
1.(1)非空实数集 每一个实数x 唯一确定 y=f(x)
(2)定义域 值域 自变量取值的 定义域 所有函数值
2.解析法 图象法 列表法
3.对应关系
常用结论
1.常见函数的定义域
(1)分式函数中分母不等于0.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域为R.
(4)零次幂的底数不能为0.
(5)y=ax(a>0且a≠1),y=sin x,y=cs x的定义域均为R.
(6)y=lgax(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}.
(7)y=tan x的定义域为xx≠kπ+π2,k∈Z.
2.基本初等函数的值域
(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.
(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为4ac-b24a,
+∞;当a<0时,值域为-∞,4ac-b24a.
(3)y=kx(k≠0)的值域是{y|y≠0}.
(4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).
(5)y=lgax(a>0且a≠1)的值域是R.
分类训练
探究点一 函数的定义域
角度1 求给定解析式的函数的定义域
例1 (1) 函数y=-x2+3x+4lnx的定义域是( )
A.(0,1)∪(1,4]
B.(0,4]
C.(0,1)
D.(0,1)∪[4,+∞)
(2)函数f(x)=x+1+(2-x)0的定义域为 .
[总结反思] (1)求函数定义域即求使解析式有意义的自变量x的取值集合;(2)若函数是由几个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成的,则定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集;(3)具体求解时一般是列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可;(4)注意不要轻易对解析式化简变形,否则易出现定义域错误.
例1 [思路点拨] (1)根据偶次根式下被开方数非负、分母不为零、对数的真数大于零列不等式组求解,即得结果;(2)根据偶次根式下的代数式不小于0、零次幂的底数不为0列不等式组求解即可.
(1)A (2){x|x≥-1且x≠2} [解析] (1)由题意得-x2+3x+4≥0,lnx≠0,x>0,∴-1≤x≤4,x≠1,x>0,∴x∈(0,1)∪(1,4],故选A.
(2)由x+1≥0,2−x≠0,解得x≥-1且x≠2,∴函数f(x)=x+1+(2-x)0的定义域是{x|x≥-1且x≠2}.
变式题 我们知道一天的温度y(℃)随时间t(h)的变化而变化,图2-6-1是某地一天4:00~12:00的温度变化情况,则温度y与时间t的函数中定义域为 .
图2-6-1
变式题 [4,12] [解析] 由题知t∈[4,12],则定义域为[4,12].
角度2 求抽象函数的定义域
例2 (1) 已知函数f(x)的定义域为(-∞,0),则函数y=f(x-1)x+1的定义域为( )
A.(-∞,1)
B.(-∞,-1)
C.(-∞,-1)∪(-1,0)
D.(-∞,-1)∪(-1,1)
(2)已知函数y=f(2x)的定义域是[-1,1],则函数y=f(lg3x)的定义域是 .
[总结反思] (1)无论抽象函数的形式如何,已知定义域还是求定义域,均是指其中的x的取值集合;(2)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式组a≤g(x)≤b求出;(3)若复合函数f[g(x)]的定义域为[a,b],则函数f(x)的定义域为g(x)在[a,b]上的值域.
例2 [思路点拨] (1)根据f(x)的定义域以及分母不为零列不等式组,即得定义域;(2)由题意可得出12≤lg3x≤2,进而可求得函数y=f(lg3x)的定义域.
(1)D (2)[3,9] [解析] (1)由函数f(x)的定义域为(-∞,0)可知,若y=f(x-1)x+1有意义,则x-1<0,x+1≠0,解得x∈(-∞,-1)∪(-1,1).故选D.
(2)由题意可得12≤2x≤2,所以12≤lg3x≤2,解得3≤x≤9,故所求定义域为[3,9].
变式题 (1)已知函数f(x)的定义域为(-2,2),则函数g(x)=f(2x)+1−lgx的定义域为( )
A.{x|0B.{x|-4C.{x|0D.{x|-1(2)已知函数y=f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x),则函数g(x)的定义域为 .
变式题 (1)C (2)12,52 [解析] (1)由题得-2<2x<2,1−lgx≥0,x>0,解得0(2)∵f(x)的定义域为(-2,2),∴由-2∴g(x)=f(x-1)+f(3-2x)的定义域为12,52.
探究点二 函数的解析式
例3 (1) 已知函数f(x)是一次函数,且f[f(x)-2x]=3恒成立,则f(3)=( )
A.1B.3C.5D.7
(2) 已知函数f(x+1)=x-4,则f(x)= .
(3)若f(x)+3f1x=x+3x-2lg2x,且对任意x∈(2,4)都有f(x)>m成立,则m的取值范围为 .
[总结反思] 求函数解析式的常用方法:
(1)换元法:已知复合函数f[g(x)]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.
(2)待定系数法:已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法.
(3)配凑法:由已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.
(4)解方程组法:已知f(x)与f1x或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).
例3 [思路点拨] (1)设出一次函数的解析式,利用待定系数法,根据等式恒成立求出待定系数,即得解析式,然后再求f(3)的值;(2)利用换元法求解析式(或用配凑法求解);(3)先利用解方程组法求解f(x)的解析式,再由对任意x∈(2,4)都有f(x)>m成立,可得m的取值范围.
(1)D (2)x2-2x-3(x≥1) (3)(-∞,3] [解析] (1)设f(x)=ax+b,a≠0,则f[f(x)-2x]=f(ax+b-2x)=a(ax+b-2x)+b=(a2-2a)x+ab+b.因为f[f(x)-2x]=3恒成立,所以a2-2a=0且ab+b=3,解得a=2,b=1,所以f(x)=2x+1,则f(3)=7.故选D.
(2)方法一(换元法):令t=x+1≥1,则x=(t-1)2,故f(t)=(t-1)2-4=t2-2t-3(t≥1),故f(x)=x2-2x-3(x≥1).
方法二(配凑法):由题可知x+1≥1,f(x+1)=x-4=(x+1)2-2(x+1)-3,故f(x)=x2-2x-3(x≥1).
(3)由f(x)+3f1x=x+3x-2lg2x①,可得f1x+3f(x)=1x+3x-2lg21x②,由②×3-①得f(x)=x+lg2x.又对任意x∈(2,4)都有f(x)>m成立,f(x)=x+lg2x在(2,4)上单调递增,∴m≤f(2)=3.
变式题 (1)已知f1x=x1−x,则f(x)的解析式为( )
A.f(x)=1−xx(x≠0且x≠1)
B.f(x)=11−x(x≠0且x≠1)
C.f(x)=1x-1(x≠0且x≠1)
D.f(x)=xx-1(x≠0且x≠1)
(2)已知f(x)满足3f(x)+2f(-x)=4x,则f(x)= .
(3)若一次函数f(x)满足f[f(x)]=x+4,则f(-1)= .
变式题 (1)C (2)4x (3)1 [解析] (1)令t=1x,则x=1t,∵x≠1且x≠0,∴t≠1且t≠0,∴f(t)=1t1−1t=1t-1(t≠1且t≠0),∴f(x)=1x-1(x≠0且x≠1),故选C.
(2)因为3f(x)+2f(-x)=4x①,所以3f(-x)+2f(x)=-4x②,①×3-②×2,得5f(x)=20x,所以f(x)=4x.
(3)因为f(x)是一次函数,所以可设f(x)=kx+b(k≠0),则f[f(x)]=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=x+4,所以k2=1,kb+b=4,解得k=1,b=2,所以f(x)=x+2,所以f(-1)=1.
探究点三 以分段函数为背景的问题
微点1 分段函数的求值问题
例4 (1)已知函数f(x)=2-x,x≥−1,lg2(1-x),x<−1,则f(0)-f(-3)= .
(2)设函数f(x)=ax,x≥0,f(x+4a),x<0(a>0且a≠1),若f(2)=4,则f(-2020)= .
[总结反思] 求分段函数的函数值时务必要确定自变量所在的区间及其对应关系.对于复合函数的求值问题,应由里到外依次求值.
例4 [思路点拨] (1)根据x的取值,先计算f(0),再计算f(-3),然后相减即可;(2)根据给出的f(2)的值求出分段函数的解析式,然后根据周期性求出函数值.
(1)-1 (2)16 [解析] (1)由题意得f(0)=20=1,f(-3)=lg2[1-(-3)]=lg24=2,∴f(0)-f(-3)=1-2=-1.
(2)由题意得4=f(2)=a2,因为a>0,所以a=2,则f(x)=2x,x≥0,f(x+8),x<0,
所以f(-2020)=f(-2012)=…=f(-4)=f(4)=24=16.
微点2 分段函数与方程
例5 (1)函数f(x)=x+1,-1A.2B.4
C.6D.8
(2) 已知函数f(x)=lg2(3-x),x≤0,2x-1,x>0,若f(a-1)=12,则实数a= .
[总结反思] (1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参;(2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论,再求值.
例5 [思路点拨] (1)对实数a按00两种情况,利用分段函数列出方程,转化求解即可.
(1)D (2)lg23 [解析] (1)由题知,f(x)的定义域是(-1,+∞),所以a>0.
①当0②当a≥1时,a-1≥0,则f(a)=f(a-1)可化为2a=2(a-1),该方程无解.故选D.
(2)当a-1≤0,即a≤1时,可得lg2(3-a+1)=12,解得a=4-2>1,不符合题意,舍去;当a-1>0,即a>1时,可得2a-1-1=12,解得a=lg23>1,符合题意.
故a=lg23.
微点3 分段函数与不等式问题
例6 (1) 已知f(x)=cs πx,x∈[0,12],2x-1,x∈(12,+∞),则不等式f(x)≤12的解集为 .
(2)已知函数f(x)=3(x<12),1x(x≥12),则不等式x2·f(x)+x-2≤0的解集是 .
[总结反思] 涉及与分段函数有关的不等式问题,主要表现为解不等式.当自变量的取值不确定时,往往要分类讨论求解;当自变量的取值确定但分段函数中含有参数时,只需依据自变量的情况直接代入相应解析式求解.
例6 [思路点拨] (1)分x∈0,12和x∈12,+∞两种情况讨论求解,结果取并集;(2)分x<12和x≥12两种情况进行讨论,然后取两种情况中解集的并集.
(1)x13≤x≤34 (2){x|-1≤x≤1} [解析] (1)
当x∈0,12时,由f(x)≤12,得cs πx≤12,则πx∈π3,π2,所以x∈13,12;当x∈12,+∞时,由f(x)≤12,得2x-1≤12,解得x≤34,所以x∈12,34.故不等式f(x)≤12的解集为x13≤x≤34.
(2)由题意有x<12,3x2+x-2≤0或x≥12,x2·1x+x-2≤0,即x<12,-1≤x≤23或x≥12,x≤1,∴-1≤x<12或12≤x≤1,即原不等式的解集为{x|-1≤x≤1}.
▶ 应用演练
1.【微点3】 设函数f(x)=lg2(-x),x≤−2,1,x>−2,则满足f(x+1)A.(-∞,-1]
B.(0,+∞)
C.(-1,0)
D.(-∞,-1)
1.D [解析] ∵函数f(x)=lg2(-x),x≤−2,1,x>−2在(-∞,-2]上单调递减,在(-2,+∞)上的函数值为1,
∴由f(x+1)2.【微点3】已知函数f(x)=2x+1,x≤1,lnx+1,x>1,则满足f(x)+f(x+1)>1的x的取值范围是( )
A.(-1,+∞)
B.-34,+∞
C.(0,+∞)
D.(1,+∞)
2.B [解析] 当x≤1,x+1≤1,即x≤0时,由f(x)+f(x+1)=2x+1+2x+3>1,得-341,x+1>1,即x>1时,因为ln x+1>1,ln(x+1)+1>1,所以当x>1时,f(x)+f(x+1)>1恒成立;当x≤1,x+1>1,即01恒成立.综上可知x>-34.故选B.
3.【微点2】 已知函数f(x)=-x2+ax,x≤2,2ax-5,x>2,若存在x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2),则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,4)
B.-∞,14
C.(-∞,3)
D.(-∞,8)
3.A [解析] 由题意知,y=-x2+ax图象的对称轴方程为x=a2.当a2<2,即a<4时,根据二次函数的性质可知,一定存在x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2);
当a2≥2,即a≥4时,由题意知-22+2a>4a-5,解得a<12,不符合题意.综上所述,a∈(-∞,4).故选A.
4.【微点2】 已知f(x)=lg2x,x>0,-2-x+1,x≤0,则方程f(x)=3的解是x= .
4.8 [解析] 当x>0时,由lg2x=3,得x=8;当x≤0时,由-2-x+1=3得-2-x=2,无解.故方程f(x)=3的解是x=8.
5.【微点1、微点3】 若函数f(x)=lgx,x>0,|x2+2x|,x≤0,则ff1010= ,不等式f(x+1)≥f(x)的解集为 .
5.34 -3+32,-32∪[0,+∞) [解析] f1010=lg 1010=lg 10-12=-12,f-12=-122+2×-12=34,故ff1010=34.作出函数y=f(x)的图象(实线)和y=f(x+1)的图象(虚线),如图所示.
若f(x+1)≥f(x),则图中虚线在实线上方即可.①当x≥0时,显然符合题意;②当x≤-3或-1≤x<0时,显然不符合题意;③当-3-2(舍去),∴xB=-3+32,若f(x+1)≥f(x),则-3+32≤x≤-32.综上所述,原不等式的解集为-3+32,-32∪[0,+∞).
同步作业
1.函数f(x)=1x2-2x的定义域为( )
A.(0,2)
B.[0,2]
C.(-∞,0)∪(2,+∞)
D.(-∞,0]∪[2,+∞)
1.C [解析] 由x2-2x>0,得x<0或x>2,∴函数f(x)=1x2-2x的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞).故选C.
2. 已知集合A={x|y=x-2},B={x|y=ln(x-1)},则A∩B=( )
A.{x|x≥2}B.{x|1≤x≤2}
C.{x|12}
2.A [解析] 由题意得,A={x|y=x-2}={x|x≥2},B={x|y=ln(x-1)}={x|x>1},则A∩B={x|x≥2}.故选A.
3.已知函数f(x)=-ex,x≥0,ax2,x<0,若f[f(0)]=1,则a的值为( )
A.1B.0
C.-1D.2
3.A [解析] 因为f[f(0)]=f(-e0)=f(-1)=a(-1)2=1,所以a=1.故选A.
4.下面各组函数中是同一函数的是( )
A.y=-2x3与y=x-2x
B.y=(x)2与y=|x|
C.y=x+1·x-1与y=(x+1)(x-1)
D.f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1
4.D [解析] 选项A中,两个函数的对应关系不同,不符合题意;选项B中,两个函数的定义域不同,对应关系也不同,不符合题意;选项C中,两个函数的定义域不同,不符合题意;选项D中,两个函数的定义域和对应关系都相同,符合题意.故选D.
5. 已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f1xx-1,则f(x)= .
5.23x+13 [解析] 在f(x)=2f1xx-1中,用1x代替x,得f1x=2f(x)1x-1,由f(x)=2f(1x)x-1,f(1x)=2f(x)1x-1,可得f(x)=23x+13.
6.已知fx-1x=x2+1x2,则f(3)= .
6.11 [解析] ∵fx-1x=x-1x2+2,∴f(x)=x2+2(x∈R),∴f(3)=32+2=11.
7.已知函数f(x)=x2+2x,x≥0,x2-2x,x<0,若f(-a)+f(a)≤2f(1),则实数a的取值范围是( )
A.[-1,0)B.[0,1]
C.[-1,1]D.[-2,2]
7.C [解析] 若x<0,则-x>0,f(-x)=x2-2x=f(x),若x>0,则-x<0,f(-x)=x2+2x=f(x),故函数f(x)为偶函数,且当x≥0时,函数f(x)单调递增.不等式f(-a)+f(a)≤2f(1)等价于2f(a)≤2f(1),即f(a)≤f(1),∴|a|≤1,∴-1≤a≤1,故选C.
8. 汽车的燃油效率是指汽车每消耗1 L汽油行驶的路程,图K6-1描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列说法中正确的是( )
图K6-1
A.消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 km
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中甲车消耗汽油最多
C.甲车以80 km/h的速度行驶1 h,消耗10 L汽油
D.某城市机动车限速80 km/h,相同条件下在该市用丙车比用乙车更省油
8.D [解析] 对于A,由图可知,当速度大于40 km/h时,乙车的燃油效率大于5 km/L,∴当速度大于40 km/h时,消耗1 L汽油,乙车行驶的路程大于5 km,故A错误;对于B,由图可知,当速度相同时,甲车的燃油效率最高,即当速度相同时,消耗1 L汽油,甲车的行驶路程最远,∴以相同速度行驶相同路程,三辆车中甲车消耗汽油最少,故B错误;对于C,由图可知,当速度为80 km/h时,甲车的燃油效率为10 km/L,即甲车行驶10 km时消耗1 L汽油,故行驶1 h,路程为80 km,消耗8 L汽油,故C错误;对于D,由图可知,当速度小于80 km/h时,丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,∴用丙车比用乙车更省油,故D正确.故选D.
9. 下列函数中值域是[1,+∞)的是( )
A.y=x3+1B.y=10-x+1
C.y=lg2x+1D.y=2|x|
9.D [解析] 选项A中,函数y=x3的值域为R,故函数y=x3+1的值域为R;选项B中,函数y=10-x的值域为(0,+∞),故函数y=10-x+1的值域为(1,+∞);选项C中,函数y=lg2x的值域为R,故函数y=lg2x+1的值域为R;选项D中,函数y=|x|的值域为[0,+∞),故函数y=2|x|的值域为[1,+∞).故选D.
10.(多选题) 已知函数f(x)=lg(−x),x<0,ex-1,x≥0.若f(1)+f(a)=2,则a的值可能为( )
A.1B.-1C.10D.-10
10.AD [解析] ∵f(x)=lg(−x),x<0,ex-1,x≥0,∴f(1)=e1-1=1,又f(1)+f(a)=2,∴f(a)=1.当a≥0时,由f(a)=1,可得a=1;当a<0时,由f(a)=1,可得lg(-a)=1,解得a=-10.故选AD.
11.(多选题) 中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“functin”译为“函数”,沿用至今.为什么这么翻译,书中解释说“凡此变数中函彼变数者,则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义.已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4,16},给出下列四个对应关系,请由函数的定义判断,其中能构成从M到N的函数的是( )
A.y=lg2|x|B.y=x+1
C.y=2|x|D.y=x2
11.CD [解析] 对于A,当x=-1时,y=0,集合N中不存在;对于B,当x=-1时,y=0,集合N中不存在;对于C,当x=-1时,y=2,当x=1时,y=2,当x=2时,y=4,当x=4时,y=16,所以C选项符合题意;对于D,当x=-1时,y=(-1)2=1,当x=1时,y=12=1,当x=2时,y=22=4,当x=4时,y=42=16,所以D选项符合题意.故选CD.
12. 已知函数f(x)=(12) x,x≥0,f(x+2),x<0,则flg215= .
12.516 [解析] 根据题意,函数f(x)=(12) x,x≥0,f(x+2),x<0,因为-313.已知函数f(x)=m+x2,|x|≥1,x,|x|<1的图象过点(1,1),则f(x)<4的解集是 .
13.(-2,2) [解析] 因为函数f(x)=m+x2,|x|≥1,x,|x|<1的图象过点(1,1),所以m+1=1,解得m=0,所以f(x)=x2,|x|≥1,x,|x|<1.当|x|≥1,x2<4时,解得-214.已知函数f(x)=ln(−x),x<0,x3-3x,x≥0,则不等式f(x+1)≤f(0)的解集为 .
14.[-2,3-1] [解析] 当x+1<0,即x<-1时,由f(x+1)=ln(-x-1)≤f(0)=0=ln 1,可得-x-1≤1,所以-2≤x<-1;当x+1≥0,即x≥-1时,由f(x+1)=(x+1)3-3(x+1)≤f(0)=0,可得(x+1)(x2+2x-2)=(x+1)(x+1-3)(x+1+3)≤0,所以-1≤x≤3-1.综上所述,f(x+1)≤f(0)的解集为[-2,3-1].
15.已知函数f(x)=3x-1,x≥0,-x2-2x,x<0,若存在唯一的整数x,使得x·[f(x)-a]<0成立,则实数a的取值范围是( )
A.1≤a≤2
B.0≤a<1或2C.2D.-115.B [解析] 画出函数f(x)的图象,如图所示.当x>0时,由x·[f(x)-a]<0,可得f(x)a,故0≤a16.设函数f(x)=x2+x,x<0,-x2,x≥0,若f[f(a)]≤2,则实数a的取值范围是 .
16.a≤2 [解析] 当f(a)<0时,f[f(a)]≤2即为[f(a)]2+f(a)≤2,即[f(a)-1][f(a)+2]≤0,解得-2≤f(a)≤1,所以-2≤f(a)<0;当f(a)≥0时,f[f(a)]≤2即为-[f(a)]2≤2,因为[f(a)]2≥-2恒成立,所以f(a)≥0.综上可得f(a)≥-2,则a<0,a2+a≥−2或a≥0,-a2≥−2,解得a≤2.