48，河南省信阳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份48，河南省信阳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共27页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是，，，，其中最低气温是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据有理数的大小比较，即可作出判断．
【详解】解：，
故温度最低的城市是哈尔滨，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较的知识，解答本题的关键是掌握有理数的大小比较法则．
2. 如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据俯视图的定义，即可进行解答．
【详解】解：根据题意可得：从该几何体正上方看，棱的投影为点E，棱的投影为线段，棱的投影为线段，棱的投影为正方形的对角线，

∴该几何体的俯视图为：
，
故选：A
【点睛】本题主要考查了俯视图，解题的关键是熟练掌握俯视图的定义：从物体正上方看到的图形是俯视图．
3. 光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．下列正确的是（ ）
A. B.
C. 是一个12位数D. 是一个13位数
【答案】D
【解析】
【分析】根据科学记数法、同底数幂乘法和除法逐项分析即可解答．
【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意；
B. ，故该选项错误，不符合题意；
C. 是一个13位数，故该选项错误，不符合题意；
D. 是一个13位数,正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查了科学记数法、同底数幂乘法和除法等知识点，理解相关定义和运算法则是解答本题的关键．
4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；

故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．
5. 试卷上一个正确的式子（）÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式的混合运算法则先计算括号内的，然后计算除法即可．
【详解】解：★=
★=
★=
=，
故选A．
【点睛】题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
6. 如图，是的直径，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理可进行求解．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．
7. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 实数根的个数与实数的取值有关
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
8. 为增强班级凝聚力，吴老师组织开展了一次主题班会．班会上，他设计了一个如图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为，大圆半径为，每个扇形的圆心角为60度．如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小全同学任意投掷飞镖1次（击中边界或没有击中靶盘，则重投1次），投中“免一次作业”的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据扇形面积公式求出免一次作业对应区域的面积，再根据投中“免一次作业”的概率免一次作业对应区域的面积大圆面积进行求解即可.
【详解】解：由题意得，大圆面积为，
免一次作业对应区域的面积为，
∴投中“免一次作业”的概率是，
故选B．
【点睛】本题主要考查了几何概率，扇形面积，正确求出大圆面积和免一次作业对应区域的面积是解题的关键．
9. 如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可．
【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示：

当时，则，即，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴点，
∴，
解得：，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键．
10. 如图1，在正方形中，动点M，N分别从点A，B同时出发，以相同的速度匀速运动到点B，C停止，连接.设点M运动的路程为x，的面积为S，其中S与x之间的函数关系图象如图2所示，则正方形的边长是（ ）
A. 4B. C. 6D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、三角形的面积等知识点解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．设正方形的边长为a，根据点的运动情况，写出每种情况和之间的函数关系式，即可求出边长．
【详解】解：设正方形的边长为a，
时，在上，在上，依题意可知：
设，
，
；
该二次函数图象开口向上，
当时，二次函数的最小值为6；
，
解得：（负值舍去）
正方形的边长是4，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 原价为a元的书包，提高后再按八折出售，则售价为___________元．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列代数式．提价后，价格用代数式表示为元，再打八折出售，即为提价后价钱的，表示为元，化简即可表示出售价．
【详解】解：根据题意得：
售价为：元．
故答案为：．
12. 已知二元一次方程，请写出该方程的一组整数解__________________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意确定出方程的整数解即可．
【详解】解：方程的一组整数解为
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】此题考查了二元一次方程解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
13. 某公司欲招聘一名职员．对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示：
如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是___________．
【答案】乙
【解析】
【分析】分别计算甲、乙、丙三名应聘者的成绩的加权平均数，比较大小即可求解．
详解】解：，
，
，
∵
∴被录用的是乙，
故答案为：乙．
【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．
14. 为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出，则这张光盘的半径是_______．（精确到．参考数据：）

【答案】
【解析】
【分析】设光盘的圆心为O，三角尺和光盘的切点为C，连接，经过圆外一点A的两条直线都与圆O相切，所以为的角平分线，，同时由切线的性质得到，在中，，求出，即为圆的半径，进而确定出圆的直径．
【详解】解：设光盘的圆心为O，三角尺和光盘的切点为C，连接，如下图所示：

∵分别为圆O的切线，
∴为的角平分线，即，
又∵,
∴，
在中，，，
∴，，
∴，
则这张光盘的半径为；
故答案为：．
【点睛】此题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
15. 如图，已知矩形，E为对角线上一动点，过点C作垂直于的射线点F在射线上，且，连接．若，点E在上运动，当四边形为轴对称图形时，线段的长为_______________．
【答案】2或
【解析】
【分析】本题是几何变换综合题，考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，矩形的性质等知识；解题的关键是正确作出图形解决问题．
分两种情况，由轴对称的性质及直角三角形的性质可求出的长．
【详解】分两种情况讨论：
①当四边形关于所在直线对称时，如图所示，
此时．
∵，是矩形，，
∴
∴．
∵，
∴．
∴．
②当四边形为矩形时，如图所示，
∵，
∴
此时，
综上所述，线段的长为2或．
故答案为：2或．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算：：
（2）化简：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知实数的运算法则，
（1）根据实数的性质即可化简求解；
（2）根据完全平方公式即可进行化简求解．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
17. 某校德育处开展专项安全教育活动前，在全校范围内随机抽取了40名学生进行安全知识测试，测试结果如表1所示（每题1分，共10道题），专项安全教育活动后，再次在全校范围内随机抽取40名学生进行测试，根据测试数据制作了如图1、图2所示的统计图（尚不完整）．

表1
设定8分及以上为合格，分析两次测试结果得到表2．
表2
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）将图2中的统计图补充完整，并直接写出a，b，c的值；
（2）若全校学生以1200人计算，估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数；
（3）从多角度分析本次专项安全教育活动的效果．
【答案】（1）见解析，，，；
（2）估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数为1050人；
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）先求出第二次测试得8分的人数，然后求出第二次测试得7分的人数，再补全统计图即可；根据众数、中位数的定义，合格率的计算方法求解即可；
（2）用总人数乘以专项安全教育活动后的合格率即可；
（3）可以从平均数、中位数以及合格率这几个角度进行分析．
【小问1详解】
解：第二次测试得8分的人数为：（人），
第二次测试得7分的人数为：（人），
补全图2中的统计图如图：

由表1知，第一次测试得8分的人数有12人，人数最多，故众数，
第二次测试的平均数为，
第二次测试的合格率；
【小问2详解】
解：（人），
答：估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数为1050人；
【小问3详解】
解：第二次测试的平均数、中位数以及合格率较第一次均有大幅提升，
故本次专项安全教育活动的效果非常显著．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，众数、中位数的定义，用样本估计总体等知识，能够从不同的统计图中获取有用信息是解题的关键．
18. 阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：
（1）填空：材料中的依据是指：________，依据是指：________．
（2）请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，使得四边形为正方形．（要求同时画出四边形的对角线）
（3）在图中，分别连接，得到图，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论．
【答案】（1）三角形中位线定理；两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）作图见解析（答案不唯一）
（3）瓦里尼翁平行四边形的周长等于，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由三角形中位线定理和平行四边形的判定可求解；
（2）画四边形，且于，，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，则四边形为所作；
（3）由三角形中位线定理可得，，，，即可求解．
【小问1详解】
解：材料中的依据是指：三角形中位线定理，
依据是指：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
故答案为：三角形中位线定理；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
【小问2详解】
如图，画四边形，且于，，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，则四边形、四边形即为所作；
理由：∵点，，，分别是边，，，的中点，
∴ ，，，，，，
，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形，
∵，，，
∴，
∴四边形是正方形；
【小问3详解】
瓦里尼翁平行四边形的周长等于 ．理由如下：
∵四边形是瓦里尼翁平行四边形，
∴点，，，分别是边，，，的中点．
∴，，，，
∴瓦里尼翁平行四边形的周长为：
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，矩形的判定、正方形的判定，四边形的周长等知识，掌握特殊四边形的判定和三角形的中位线定理是解题的关键．
19. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于点．
（1）求点的坐标和反比例函数的表达式．
（2）请用无刻度的直尺和圆规，作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（3）线段的垂直平分线交轴于点，求线段的长．
【答案】（1），
（2）作图见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据点在正比例函数的图像上求出的值，再将点的坐标代入反比例函数的解析式即可求出的值；
（2）利用基本作图作的垂直平分线即可；
（3）如图，过点作轴于点，连接，设点，根据垂直平分线的性质可得，根据勾股定理可得，继而得到关于的方程，求解可得点的坐标，即可得解．
【小问1详解】
解：∵点在正比例函数的图像上，
∴，
∴，
∵点在反比例函数的图像上，
∴，
解得：，
∴反比例函数的表达式为，
∴点的坐标为，反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：如解图所示，直线即为所求；
【小问3详解】
解：如图，过点作轴于点，连接，设点，
由题意知：是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查作图—基本作图：作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，待定系数法求反比例函数解析式，函数图像上点的坐标特征，坐标与图形，勾股定理等知识点．熟练掌握种基本作图是解题的关键．
20. 图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离．

（1）身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别．
（2）身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到，参考数据）
【答案】（1）
（2）能，见解析
【解析】
【分析】（1）根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，从而求出蹲下的高度．
（2）根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，即可求出长度，与踮起脚尖后的高度进行比较，即可求出答案．
【小问1详解】
解：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示，

在中，．
．
，
．
．
，，
小杜下蹲的最小距离．
【小问2详解】
解：能，理由如下：
过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示，

在中，．
，
，
．
，
．
小若垫起脚尖后头顶的高度为．
小若头顶超出点N的高度．
小若垫起脚尖后能被识别．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，涉及到的知识点有锐角三角函数中的正切值、矩形的性质、三角形的全等，解题的关键在于是否能根据生活实际题结合数学相关知识．解题的重点在于熟练掌握相关概念、性质和全等方法．
21. 2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？
（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．
【答案】（1）A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元，
（2）一共有六种购买方案
（3）
【解析】
【分析】（1）设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件元，然后根据用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同列出方程求解即可；
（2）设购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件，然后根据，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫列出不等式组求解即可；
（3）设购买资金为W元，购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件，求出，根据（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，可得W的取值与a的值无关，由此即可求出．
【小问1详解】
解：设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件元，
由题意得，，
解得，
检验，当时，，
∴是原方程的解，
∴，
∴A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元，
答：A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元；
【小问2详解】
解：设购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件，
由题意得，，
解得，
∵a是正整数，
∴a的取值可以为275，276，277，278，279，280，
∴一共有六种购买方案；
【小问3详解】
解：设购买资金为W元，购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件，
由题意得，
，
∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，
∴W的取值与a的值无关，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，分式方程的实际应用，整式的加减的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式组是解题的关键．
22. 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．

（1）写出的最高点坐标，并求a，c的值；
（2）若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．
【答案】（1）的最高点坐标为，，；
（2）符合条件的n的整数值为4和5．
【解析】
【分析】（1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点在抛物线上，利用待定系数法即可求得a的值；令，即可求得c的值；
（2）求得点A的坐标范围为，求得n的取值范围，即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线，
∴的最高点坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为，令，则；
【小问2详解】
解：∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，
∴点A的坐标范围为，
当经过时，，
解得；
当经过时，，
解得；
∴
∴符合条件的n的整数值为4和5．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，联系实际，读懂题意，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
23. 在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动
【问题情境】
刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第页“探索”部分内容：
如图，将一个三角形纸板绕点逆时针旋转到达的位置，那么可以得到：，，；，，（ ）

刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学．
【问题解决】
（1）上述问题情境中“（ ）”处应填理由：____________________；
（2）如图，小王将一个半径为，圆心角为的扇形纸板绕点逆时针旋转到达扇形纸板的位置．

①请在图中作出点；
②如果，则在旋转过程中，点经过的路径长为__________；
【问题拓展】
小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．

【答案】问题解决（1）旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；（2）①见解析②；问题拓展：
【解析】
【分析】问题解决（1）根据旋转性质得出旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；
（2）①分别作和的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为所求点O；②根据弧长公式求解即可；
问题拓展，连接，交于，连接，，，由旋转得，，在和中求出和的长，可以求出，再证明，即可求出最后结果．
【详解】解：【问题解决】
（1）旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等
（2）①下图中，点O为所求

②连接，，
扇形纸板绕点逆时针旋转到达扇形纸板的位置，
，,
，
设，
，
，
在旋转过程中，点经过的路径长为以点为圆心，圆心角为，为半径的所对应的弧长，
点经过的路径长；
【问题拓展】解：连接，交于，连接，，如图所示

．
由旋转得，．
在中，
．
在中，
，
，
．
．
．
，
在和中，
，
又，，
．
又，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，弧长公式，解直角三角形，三角形全等的性质与判定，解题的关键是抓住图形旋转前后的对应边相等，对应角相等，正确作出辅助线构造出直角三角形．
项目
应聘者
综合知识
工作经验
语言表达
甲
乙
丙
分数/分
人数/人
2
4
5
6
6
8
7
8
8
12
9
2
平均数/分
众数/分
中位数/分
合格率
第一次
6.4
a
7
35%
第二次
b
8
9
c
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形．
我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（，）是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．
①当原四边形对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：
证明：如图，连接，分别交，于点，，过点作于点，交于点．
∵，分别为，中点，
∴，．（依据）
∴．
∵，∴．
∵四边形是瓦里尼翁平行四边形，
∴，即．
∵，即，
∴四边形平行四边形．（依据）
∴．
∵，
∴．同理，……