86，河北省部分学校2024届高三上学期摸底考试数学试题

这是一份86，河北省部分学校2024届高三上学期摸底考试数学试题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，，则集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用韦恩图即可得解.
【详解】因为，
又，所以.
故选：C
2. 已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】利用线线，线面，面面的位置关系，以及垂直，平行的判断和性质判断选项即可.
【详解】对于A，若，，，则与可能平行，也可能异面，故A错误；
对于B，若，，则与可能平行，也可能相交，故B错误；
对于C，若，，则与可能平行，也可能相交或异面，故C错误；
对于D，若，则由线面平行性质定理可知，必有，使得，
又，则，因为，所以，故D正确.
故选：D.
3. 若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意结合抛物线的定义分析求解.
【详解】因为抛物线准线为，
由题意可得：，解得.
故选：A.
4. 在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲､乙､丙､丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出“甲､乙､丙､丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法”和“每个地区至少安排1名专家的安排方法”的种数，再由古典概型的计算公式求解即可.
【详解】甲､乙､丙､丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法共有：种；
每个地区至少安排1名专家的安排方法有：种；
由古典概型的计算公式，每个地区至少安排1名专家的概率为：.
故选：B.
5. 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用扇形弧长公式及等差数列求和公式计算即可.
【详解】由题意每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1，
则第段圆弧的半径为，弧长记为，则，
所以.
故选：D．
6. 已知圆，直线与圆交于，两点.若为直角三角形，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由直线与圆相交的弦长公式进行求解即可.
【详解】因为圆，圆心为，半径为，即
因为为直角三角形，所以,
设圆心到直线的距离为，
由弦长公式得，所以，化简得.
故选：A.
7. 现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为，方差为，乙组数据的平均数为，方差为．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平均数和方差公式可求得新数据的方差.
【详解】设甲组数据分别为、、、，乙组数据分别为、、、，
甲组数据的平均数为，可得，方差为，可得，
乙组数据的平均数为，可得，方差为，可得，
混合后，新数据的平均数为，
方差为
.
故选：D.
8. “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离为：.已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图，作过点作平行于轴的直线交直线于点，过点作于点，结合直线的斜率得出平行于轴，最小，再设，求出，利用三角函数知识得最小值．
【详解】如图，过点作平行于轴的直线交直线于点，过点作于点表示的长度，因为直线的方程为，所以，即，
当固定点时，为定值，此时为零时，最小，即与重合（平行于轴）时，最小，如图所示，
设，，则，
，
由三角函数知识可知，其中，
则其最大值是，
所以，故D正确.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题的关键是理解曼哈顿距离的定义，得到，再利用辅助角公式即可求出其最值.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 设集合，则下列图象能表示集合到集合Q的函数关系的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的定义分别检验各选项即可判断．
【详解】对于A：由图象可知定义域不是，不满足；
对于B：定义域为，值域为的子集，故符合函数的定义，满足；
对于C：集合中有的元素在集合中对应两个值，不符合函数定义，不满足；
对于D：当时，有两个值与之对应，不符合函数定义，不满足．
故选：B．
10. 已知二项展开式，下列说法正确的有（ ）
A. 的展开式中的常数项是
B. 的展开式中的各项系数之和为
C. 的展开式中的二项式系数最大值是
D. ，其中为虚数单位
【答案】BC
【解析】
【分析】结合二项式系数的性质、系数的性质及对数的运算计算即可得.
【详解】，
对A：令，即，则，故A错误；
对B：令，即，故各项系数之和为，故B正确；
对C：由，故二项式系数中的最大值为，故C正确；
对D：，故D错误.
故选：BC.
11. 在中，若，则（ ）
A. 对任意的，都有
B. 对任意的，都有
C. 存在，使成立
D. 存在，使成立
【答案】AD
【解析】
【分析】根据给定条件，举例说明判断BD；构造函数，借助导数探讨单调性判断AC.
【详解】在中，当时，，取，则，，
，，则，B错，D对；
显然，即，则，
令，，，
因此函数在上单调递减，则，即，从而，A对，C错.
故选：AD
【点睛】思路点睛：涉及不同变量的数式大小比较，细心挖掘问题的内在联系，构造函数，分析并运用函数的单调性求解作答.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知单位向量满足，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用向量数量积的运算律及已知可得，再由运算律求即可.
【详解】因为，所以，所以，
则，故.
故答案为：
13. 定义两个点集S、T之间的距离集为，其中表示两点P、Q之间的距离，已知k、，，，若，则t的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】集合表示双曲线上支的点，集合表示直线上的点，，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即，且与渐近线的距离为，计算得到答案.
【详解】，即，，故集合表示双曲线上支的点，
集合表示直线上的点，
，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即，且与渐近线的距离为.
双曲线的渐近线为，不妨取，则，即，
平行线的距离，故或（舍去）.
故答案为：.
【点睛】关键点睛:本题考查了集合的新定义，直线和双曲线的位置关系，意在考查学生的计算能力转化能力和综合应用能力，其中根据条件得到直线与渐近线平行，在渐近线下方，且与渐近线的距离为是解题的关键.
14. 已知，过点倾斜角为的直线交于、两点（在第一象限内），过点作轴，垂足为，现将所在平面以轴为翻折轴向纸面外翻折，使得，则几何体外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】翻折前，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点、的坐标，然后以以原坐标原点为原点，原纵轴的负半轴所在直线为轴，直线所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线作轴建立空间直角坐标系，设球心为，根据球心的性质可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，可得出球心的坐标，可求得球的半径，利用球体的表面积公式可求得结果.
【详解】翻折前，设点、，则，直线的方程为，
联立可得或，即点、，
易知点，
翻折后，以原坐标原点为原点，原纵轴的负半轴所在直线为轴，直线所在直线为轴，
过点且垂直于平面的直线作轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设四棱锥的外接球球心为，
由题意可得，解得，
所以，球心为，所以，球的半径为，
因此，球的表面积为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；
④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，求函数的最大值．
【答案】（1）在上为增函数；在上为减函数；
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用函数的导数确定函数的单调区间．
（2）求导根据函数的单调性即可求解最值．
【小问1详解】
的定义域为，
当时，，，
当，解得：，
当，解得：．
在上为增函数；在上为减函数；
【小问2详解】
的定义域为，
，
当时，令，得，令时，得，
的递增区间为，递减区间为．
.
16. 设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）令，为数列的前项积，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由等差数列定义可得，由与的关系即可得；
（2）由与可得，即可得，由，可得，借助等比数列求和公式计算即可得证.
【小问1详解】
由是首项为、公差为的等差数列，
故，
即，
当时，，
故
，
当时，，符合上式，
故；
【小问2详解】
由，，
故，
则
，
由，
故，
则.
17. 最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次．记为试验结束时所进行的试验次数，的数学期望为．
（1）证明：；
（2）某公司意向投资该产品，若，每次试验的成本为元，若试验成功则获利元，则该公司应如何决策投资？请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）应该投资，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由题意，，，列出分布列，列出，乘公比错位相减法求和，分析可证明；
（2）由（1）可得，分析即得解
【小问1详解】
由题意，
故
分布列如下：
所以的数学期望，
记，
，
作差可得，，
则；
【小问2详解】
由（1）可知，则试验成本的期望小于元，
试验成功则获利元，且，则该公司应该投资该产品
18. 已知椭圆：（，）的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直．
①若，求异面直线和所成角的余弦值；
②是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①；②存在；．
【解析】
【分析】（1）由的周长可求出的值，从而由离心率的值可求得，进而由椭圆中的关系求出的值，即可得椭圆的标准方程.
（2）①直线l的方程为，与椭圆方程联立求出点的坐标，再建立空间直角坐标系，求出点的坐标，从而可得，再利用空间向量的夹角公式即可求解.
②由8，可得，设折叠前，直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理代入上式化简整理即可求出的值，从而可得直线l的斜率，进而可得tan的值.
【详解】解：（1）由椭圆的定义知： ，
所以的周长，所以，
又椭圆离心率为，所以，所以，，
由题意，椭圆的焦点在轴上，
所以椭圆的标准方程为；
（2）①由直线：与，
联立求得，（因为点在轴上方）以及，
再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则
，，，，
，．
记异面直线和所成角为，则；
②设折叠前，，折叠后，在新图形中对应点记为，，，，
由，，故，
将直线方程与椭圆方程联立，得，
，，
在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系（原轴仍然为轴，原轴正半轴为轴，原轴负半轴为轴）；
，，
所以，（i）
又，
所以，（ii）
由（i）（ii）可得，
因为，
所以，
即，
所以，解得，
因为，所以．
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是根据折叠前、后三角形周长的变化，得到，进而根据两点间的距离公式及韦达定理进行求解.
19. 已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质.
（1）判断函数是否具有性质；（直接写出结论）
（2）已知函数，判断是否存在，使函数具有性质？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（3）设函数具有性质，且在区间上的值域为.函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.求证：.
【答案】（1）函数具有性质；不具有性质.
（2），
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用定义判断即可；
（2）假设函数具有性质，可求出，进而可得，从而可得，再根据定义进行验证，即可得到答案；
（3）由函数具有性质及（2）可知，，进而可得在的值域为，且，由在区间上有且只有一个零点可证明当时不符合题意，再求解当时与是以为周期的周期函数矛盾，从而可得，即可证明.
【小问1详解】
因为，则，又，
所以，故函数具有性质；
因为，则，又，
，故不具有性质.
【小问2详解】
若函数具有性质，则，即，
因为，所以，所以；
若，不妨设，由，
得（*），
只要充分大时，将大于1，而的值域为，
故等式（*）不可能成立，所以必有成立，
即，因，所以，
所以，则，此时，
则，
而，即有成立，
所以存在，使函数具有性质.
【小问3详解】
证明：由函数具有性质及（2）可知，，
由可知函数是以为周期的周期函数，则，
即，所以，；
由，以及题设可知，
函数在的值域为，所以且；
当，及时，均有，
这与在区间上有且只有一个零点矛盾，因此或；
当时，，函数在的值域为，
此时函数的值域为，
而，于是函数在的值域为，
此时函数的值域为，
函数在当时和时的取值范围不同，
与函数是以为周期的周期函数矛盾，
故，即，命题得证.
【点睛】关键点睛：本题考查了函数新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可.1
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