40，安徽省阜阳市第三中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题

这是一份40，安徽省阜阳市第三中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合C={2,−1}，D={z|z=x+y,x∈C,y∈C}，则集合D等于( )
A. {−1,2,1}B. {−2,1,4}C. {1,2,4}D. {−2,2,4}
2.设f(x)是定义域为R的函数，命题p:“∃x≥0，f(x)>0”，则命题p的否定是( )
A. ∀x≥0，f(x)≤0B. ∃x≤0，f(x)≤0
C. ∃x>0，f(x)≤0D. ∀x≤0，f(x)≤0
3.“角θ为第一象限角”是“tanθ>0且sinθ>0”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.a=sin1，b=lgsin1，c=10sin1，则( )
A. a5.函数f(x)=2|x|+1x2+1−1的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知幂函数y=(m2−m−1)xm(m∈R)的图象不经过第二象限，则m=( )
A. 2B. −2或1C. −1或2D. −1
7.若函数f(x)=2sin(ωx−π3)，(ω>0)，x∈[0,π2]的值域为[− 3,2]，则ω的取值范围是( )
A. [53,4]B. [56,103]C. [56,53]D. [53,103]
8.筒车是一种水利灌溉工具(如图1所示)，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为O，筒车的半径为r，筒车转动的周期为24s，如图2所示，盛水桶M在P0处距水面的距离为ℎ0.4s后盛水桶M在P1处距水面的距离为ℎ1，若ℎ1−ℎ0= 22r，则直线OP0与水面的夹角为( )
A. π12B. π6C. π4D. π3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是
( )
A. 若a>b，c<0，则a2c>b2c
B. 若|a|>|b|，则a2>b2
C. x2+2+1 x2+2的最小值是2
D. 2−3x−4x(x>0)的最大值是2−4 3
10.已知函数f(x)=5|x|+5−|x|，则下列说法正确的是( )
A. f(x)的图象关于y轴对称B. f(x)的单调递增区间为(−∞,0)
C. f(x)的最小值为2D. f(a2+2)>f(2|a|)
11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. 函数y=f(x)的最小正周期为π
B. 函数y=f(x)的图象关于直线x=−5π12对称
C. 函数y=f(x)在[−2π3,−π6]单调递减
D. 该图象向右平移π6个单位可得y=2sin2x的图象
12.已知函数╔╔f(x)= \ begin{cases}|\lg_{0.5}x|,0
A. 0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2+2x−1，则f(−1)= ．
14.已知 3sinα=cs(π3−α)，则tan2α= ．
15.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，B为圆心，AF长为半径画弧，两弧交于点G，则AG，BG，AB围成的阴影部分的面积为 ．
16.已知函数f(x)=x2−6x,x≤3kx−3k−9,x>3，若存在m∈(2,8)，使得方程f(x)=m−9有两个不同的实数根x1，x2，且满足x1+x2=6，则实数k的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)计算：6lg67+2lg5−(sin1)0+lg4+(827)23;
(2)若tan(π−α)=−2，求4sin2α−3sinαcsα的值．
18.(本小题12分)
设全集U=R，集合A={x|2−2xx−5>0}．
(1)当命题p:∃x∈R，x2−3x+a2=0为真命题时，实数a的取值集合为B，求A∩B;
(2)已知集合C=(2−b,1+2b)，若“x∈A”是“x∈C”的充分不必要条件，求实数b的取值范围．
19.(本小题12分)
设函数f(x)= 3sinωx⋅csωx+cs2ωx(0<ω< 2)，已知函数f(x)的图象经过点(5π12,12).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在[0,π]上的单调递增区间．
20.(本小题12分)
为了丰富市民业余生活，推进美丽阜阳建设，市政府计划将一圆心角为π3，半径为500米的扇形OAB空地(如图)改造为市民休闲中心，休闲中心由活动场地和绿地两部分组成，其中活动场地是扇形的内接矩形，其余部分作为绿地，城建部门给出以下两种方案：
方案1:让矩形的一个端点位于AB上，其余端点位于OA，OB上．
方案2:让矩形的两个端点位于AB上，其余端点位于OA，OB上．
请你先选择一种方案，并根据此方案求出活动场地面积的最大值．
21.(本小题12分)
函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称的充要条件是函数y= f(x+a)−b为y关于x的奇函数，给定函数f(x)=13x+1，关于(0,b)中心对称．
(1)求b的值;
(2)已知函数g(x)=−x2+mx，若对任意的x1∈[−1,1]，总存在x2∈[1,+∞)，使得g(x1)≤f(x2)，求实数m的取值范围．
22.(本小题12分)
对于函数f(x)=ln(2x+a)．
(1)若方程f(x)=ln[(a−6)x+2a−8]恰有一个实根，求实数a的取值范围;
(2)设a>0，若对任意b∈[14,1]，∀x1，x2∈[b,b+1]时，满足|f(x1)−f(x2)|≤ln2，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查集合中的元素，属于简单题．
根据题意，逐一讨论即可．
【解答】
解：当x=−1，y=−1时，−1−1=−2;当x=2，y=2时，2+2=4;当x=2，y=−1或x=−1，y=2时，
−1+2=1;所以D={−2,1,4}.故选B．
2.【答案】A
【解析】【分析】本题考查存在量词命题的否定，属于基础题．
直接根据存在量词命题的否定是全称量词命题得到答案．
【解答】解：命题p:“∃x≥0，f(x)>0”的否定为“∀x≥0，f(x)≤0”，
故选A．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查任意角的三角函数符号及充分必要条件的判定，属于基础题．
根据任意角三角函数符号判定即可．
【解答】
解：若角θ在第一象限角，则tanθ>0，sinθ>0，
若tanθ>0，则θ在第一象限或第三象限．
若sinθ>0，则θ在第一象限或第二象限或y轴正半轴上，所以角θ在第一象限;
综上所述：角θ在第一象限是tanθ>0且sinθ>0的充要条件．
故选C．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了三角函数的单调性，指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
根据三角函数的单调性，对数函数和指数函数的单调性即可得出a，b，c的大小关系．
【解答】
解：∵0∴lgsin1<0，10sin1>1，
∴b故选：B．
5.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了函数的图象的识别，属于基础题．
先用奇偶性排除C，D.再用f(1)=12>0，排除B．
【解答】解：f(x)=2|x|+1x2+1−1的定义域为R，f(−x)=2|−x|+1(−x)2+1−1=2|x|+1x2+1−1=f(x)，
因此f(x)是R上的偶函数，其图象关于y轴对称，选项C，D不满足;
又f(1)=12>0，所以选项B不满足，A符合题意．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查幂函数的概念与性质，属于基础题．
根据幂函数的概念求出m，再由函数图象不经过第二象限得出即可．
【解答】
解：因为y=(m2−m−1)xm是幂函数，所以m2−m−1=1，解得m=−1或m=2，当m=−1时，y=x−1=1x，显然其图象不经过第二象限，满足题意;
当m=2时，y=x2，显然其图象经过第二象限，不满足题意;综上，m=−1．
故选D．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查利用三角函数的性质求最值的方法．属于基础题．
利用 x∈0,π2 可得 ωx−π3∈−π3,π2ω−π3 ，再由三角函数图像性质可得π2≤π2ω−π3≤π3+π ，解不等式即可求得 ω 的取值范围．
【解答】
解：根据题意可知若 x∈0,π2 ，则可得 ωx−π3∈−π3,π2ω−π3 ；
显然当 x=0 时，可得 2sinωx−π3=− 3 ，
由 fx 的值域为 − 3,2 ，利用三角函数图像性质可得 π2≤π2ω−π3≤π3+π ，
解得 53≤ω≤103 ，即 ω 的取值范围是 53,103 ．
故选D
8.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了三角函数的实际应用问题，解题的关键是正确理解题意，属于中档题．
首先做出辅助线，然后结合几何体的特征进行计算即可求得直线与水面的夹角．
【解答】解：如图，
过O作直线l与水面平行，
过 P0作 P0A⊥l于A.过 P1作 P1B⊥l于B．
设 ∠AOP0=α,∠BOP1=β,β−α=424×2π=π3．
则 sinα=P0Ar,sinβ=P1Br,sinβ−sinα=P1Br−P0Ar=ℎ1−ℎ0r= 22，
所以 sinα+π3−sinα= 22，
整理可得 sinα−π3=− 22，
则 α−π3=−π4,∴α=π12．
9.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查了不等式的基本性质、利用函数的单调性求最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
利用特殊取值进行排除，可得A，B的正误，根据不等式性质，可得C的正误，利用常数分离法整理函数，整体还原后研究函数的单调性，可得D的正误．
【解答】
解：对于A，若a=1，b=0，c=−1时，a2c=−1，b2c=0即a2c>b2c不成立，故A错误;
对于B，若|a|>|b|，对不等式两边同时平方则a2>b2，故B正确;
对于C，因为 x2+2≥ 2>0，所以 x2+2+1 x2+2≥2 x2+2×1 x2+2=2，当且仅当 x2+2=1 x2+2，即 x2+2=1时，等号成立，显然取等条件不成立，故 x2+2+1 x2+2的最小值不可能是2，故C错误;
对于D，因为x>0，所以2−3x−4x=2−(3x+4x)≤2−2 3x⋅4x=2−4 3，当且仅当3x=4x，即x=2 33时，等号成立，故D正确．
故选BD．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性，单调性和最值，是一般题．
根据对勾函数性质及函数奇偶性及单调性即可得到答案．
【解答】解：对于A，f−x=5−x+5−−x=5x+5−x=f(x)，所以f(x)是偶函数，图象关于y轴对称；正确
对于B，fx=5x+5−x=5x+5−x,x⩾05−x+5x,x<0，当x<0时，根据对勾函数是减函数，不正确
对于C，因为fx=5x+5−x⩾2 5x·5−x=2，当x=0时等号成立，故fx的最小值为2，正确
对于D，因为当x>0时5x>1，fx=5x+5−x=5x+15x，根据对勾函数是增函数
又因为a2+2=a2+1+1⩾2a+1>2a，所以fa2+2>f2a ，正确．
故选ACD．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，属于中档题．
由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f(x)的解析式，再利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，即可得出结论．
【解答】解：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象，
可得A=2，T4=14×2πω=π3−π12，所以ω=2，
利用五点法作图，可得2×π3+φ=π，可得φ=π3，
所以f(x)=2sin(2x+π3)，可得函数y=f(x)的最小正周期为T=2π2=π，故A正确；
令x=−5π12，求得f(x)=−2，为最大值，故函数y=f(x)的图象关于直线x=−5π12对称，故B正确；
当x∈[−2π3,−π6]，2x+π3∈[−π,2π3]，函数f(x)没有单调性，故C错误；
把f(x)的图象向右平移π6个单位可得y=2sin2x的图象，故D正确，
故选：ABD．
12.【答案】AC
【解析】【分析】
本题主要考查的是分段函数的图象，对数式的化简运算，二次函数的性质，函数的值域，不等式的性质，图象的综合应用，余弦函数的性质，属于较难题．
作出函数f(x)的图象，由图象易判断出m的取值范围判断A，根据lg12x1=lg12x2可得lg12x1+lg12x2=0，由对数式的运算可得x1x2的值判断B，由余弦函数的性质可得x3，x4关于直线x=8对称，得到x4=16−x3，即可x3x4=x3(16−x3)，结合二次函数的性质可得x3x4的范围判断C，由f(x1)<2，可得14【解答】
解：作出函数╔╔f(x)= \ begin{cases}|\lg_{0.5}x|,0
显然结合图象，要使f(x)=m有四个不等的实根，则0由图可知，x1∈0,1，x2∈1,4，则lg12x1>0,lg12x2<0
由lg12x1=lg12x2，可得lg12x1=−lg12x2，即lg12x1+lg12x2=lg12x1x2=0，
故x1x2=1，B错误；
由图可得x3∈4,5，x4∈11,12，
令π6x−π3=kπ,k∈Z，则x=2+6kk∈Z，
则x3，x4关于直线x=8对称，所以x3+x4=16，故x4=16−x3，
则x3x4=x3(16−x3)=−x3−82+64，
又x3∈4,5，则−x3−82+64∈48,55，
故x3x4∈(48,55)，C正确；
当0所以14所以x1x3∈(1,5)，故D错误．
13.【答案】−2
【解析】【分析】
本题考查奇函数的基本性质，属于基础题．
根据奇函数定义将f(−1)化为−f(1)，代入解析式即可．
【解答】
解：因为奇函数f(x)满足当x>0时，f(x)=x2+2x−1，
所以f(−1)=−f(1)=−(12+2−1)=−2．
14.【答案】 3
【解析】【分析】
由已知求得tanα，再由二倍角公式求得sin2α．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及万能公式的应用，是基础题．
【解答】
解：由 3sinα=cs(π3−α)=12csα+ 32sinα，解得tanα= 33，
所以tan2α=2tanα1−tan2α=2× 331− 332= 3．
15.【答案】4π3− 3
【解析】【分析】
本题考查扇形面积，属于中档题．
连接AG、BG，则阴影面积分为两个一样的弓形面积和一个正三角形面积，分别求解然后相加即可．
【解答】
解：连接AG、BG，则GA=GB=AB=2，
故△ABG为等边三角形，则三角形ABG面积=12×2×2×sinπ3= 3．
一个弓形面积=扇形BAG面积−S△ABG=16π·22− 3=2π3− 3,
则阴影面积 =22π3− 3+ 3=4π3− 3.
故答案为：4π3− 3．
16.【答案】( 2,2 2)
【解析】【分析】
本题考查分段函数及方程根的问题，属于中档题．
先通过对题目的分析，令g(x)=f(x)+9，将题目简单化，并转化为等价形式;再根据函数g(x)与y=m的图象有两个交点，数形结合可判断k>0;最后结合图形分析得出y=k(x−3)(x>3)与y=(x−3)2(x>3)图象的交点纵坐标与m之间的关系：yP=m∈(2,8)，建立不等式求解即可得出答案．
【解答】
解：令g(x)=f(x)+9，得g(x)=x2−6x+9,x≤3kx−3k,x>3，
则存在m∈(2,8)，使得方程f(x)=m−9的两个实数根之和为6等价于存在m∈(2,8)，
使得方程g(x)=m的两个实数根之和为6，
也等价于存在m∈(2,8)，使得函数g(x)与y=m的图象的两个交点的横坐标之和为6．
由函数g(x)与y=m的图象有两个交点易知，k>0．
作出函数g(x)与y=m的图象如图所示．
设两个图象交点的横坐标分别为x1，x2(x1由图象易知这两个交点关于二次函数y=(x−3)2的图象的对称轴对称．
设y=m，m∈(2,8)与y=k(x−3)(x>3)图象的交点为P，
则点P为y=k(x−3)(x>3)与y=(x−3)2(x>3)图象的交点，且yP=m∈(2,8)
联立y=k(x−3)(x>3)与y=(x−3)2(x>3)，得xP=k+3，
则yP=k2．
所以20，解得 2即实数k的取值范围是( 2,2 2).
故答案为( 2,2 2).
17.【答案】解：(1)原式=7+2lg5−1+2lg2+[(23)3]23=6+2(lg5+lg2)+(23)2=8+49=769．
(2)∵tan(π−α)=−2，∴tanα=2，
所以4sin2α−3sinαcsα=4sin2 α−3sin αcsαsin2 α+cs2 α=4tan2 α−3tanαtan2 α+1=105=2．
【解析】本题主要考查指数对数运算，诱导公式、同角三角函数基本关系式等，属于基础题．
(1)利用指数对数运算法则即可；
(2)先利用诱导公式求出tanα=2，然后利用同角三角函数基本关系式即可．
18.【答案】解：(1)依题意，方程x2−3x+a2=0有解，
则Δ=(−3)2−4⋅a2≥0恒成立，解得：−32≤a≤32，
所以集合B={a|−32≤a≤32}．
又因为A={x|2−2xx−5>0}={x|(2x−2)(x−5)<0}，
所以A={x|1所以A⋂B=(1,32]．
(2)因为“x∈A”是“x∈C”的充分不必要条件，
所以A真包含于C，
由(1)知A={x|1又C=(2−b,1+2b)，
则2−b≤11+2b≥52−b<1+2b，解得：b≥2，
所以实数b的取值范围为：[2,+∞)．
【解析】本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，集合间的包含关系，属于基础题．(1)依题意，可知方程有解，由Δ≥0可求出集合B，然后解分式不等式求出集合A，再利用交集的运算求解即可；
(2)由已知可确定A真包含于C，根据集合的包含关系，列出不等式求解即可．
19.【答案】解：(1)结合题意可得：f(x)= 3sinωx⋅csωx+cs2ωx= 32sin2ωx+12cs2ωx+12，
所以f(x)=sin(2ωx+π6)+12，(0<ω<2)，
因为函数f(x)的图象经过点(5π12,12)，
所以f(5π12)=sin(2ω×5π12+π6)+12=12，即sin(5π6ω+π6)=0=sinkπ，
所以5π6ω+π6=kπ，k∈Z，即ω=6k5−15，k∈Z，
因为0<ω<2，所以当k=1时，ω=1，满足题意，
故函数f(x)的解析式为f(x)=sin(2x+π6)+12．
(2)由(1)问可得f(x)=sin(2x+π6)+12，
令t=2x+π6，因为x∈[0,π]，所以t=2x+π6∈[π6,13π6]，
由y=sint+12的图象可知：
①y=sint+12在[π6,π2]上单调递增，
所以π6≤2x+π6≤π2，解得：0≤x≤π6，所以f(x)在[0,π6]单调递增;
②y=sint+12在[3π2,13π6]单调递增，
所以3π2≤2x+π6≤13π6，解得：2π3≤x≤π，所以f(x)在[2π3,π]单调递增;
函数f(x)在[0,π]上的单调递增区间为[0,π6]，[2π3,π].
【解析】本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，涉及二倍角公式及其应用，两角和与差的三角公式，属于一般题．
(1)利用三角恒等变换化简可得f(x)=sin(2ωx+π6)+12，根据题意函数f(x)的图象经过点(5π12,12)，可得ω=1，可得f(x)解析式；
(2)令t=2x+π6，因为x∈[0,π]，所以t=2x+π6∈[π6,13π6]，由y=sint+12的单调递增区间得出f(x)的单调递增区间即可．
20.【答案】解：选择方案1，
如图1，矩形PQMN内接于扇形OAB，
在Rt△ONP中，设∠POB=θ，则ON=Rcsθ，NP=Rsinθ，
在Rt△OMQ中QMOM=tanπ3= 3，
所以OM= 33QM= 33Rsinθ，
MN=ON−OM=Rcsθ− 33Rsinθ，
设矩形PQMN的面积为S，
则S=MN⋅NP=R2(csθ− 33sinθ)sinθ=R2(sinθcsθ− 33sin2θ)
=R2(12sin2θ+ 36cs2θ− 36)=R2[ 33sin(2θ+π6)− 36].
由0<θ<π3，得π6<2θ+π6<5π6，
所以当2θ+π6=π2，即θ=π6时，Smax=R2( 33− 36)= 36R2=250000 36=125000 33(平方米)
因此，当θ=π6时，活动场地面积取得最大值，最大值为125000 33平方米．
选择方案2，
如图2，矩形PQMN内接于扇形OAB，
过点O作MN的垂线分别交MN，PQ于S，T，
由对称性可知，OT平分∠AOB，
在Rt△OPT中，设∠POT=θ，则OT=Rcsθ，PT=Rsinθ，
在Rt△ONS中，NSOS=tanπ6= 33，
所以OS= 3NS= 3Rsinθ，
ST=OT−OS=Rcsθ− 3Rsinθ
设矩形PQMN的面积为S，
则S=MN⋅NP=PQ⋅ST=2R2(csθ− 3sinθ)sinθ
=R2(2sinθcsθ−2 3sin2θ)=R2(sin2θ+ 3cs2θ− 3)
=R2[2sin(2θ+π3)− 3]，
由0<θ<π6，得π3<2θ+π3<2π3，
所以当2θ+π3=π2，即θ=π12时，Smax=(2− 3)R2=500000−250000 3(平方米)．
因此，当θ=π12时，活动场地面积取得最大值，最大值为(500000−250000 3)平方米．
【解析】本题考查三角函数的应用，属于中档题．
方案1，如图1所示，设∠POB=θ，将PN，MN都用θ表示，再根据矩形的面积公式结合三角恒等变换化简，再根据三角函数得性质即可得出结论;
方案2，如图2所示，过点O作MN的垂线分别交MN，PQ于S，T，设∠POT=θ，将PN，MN都用θ表示，从而可将矩形的面积表示成θ的函数，最后由三角函数的性质即可得解．
21.【答案】解：(1) f(x)的图象存在对称中心(0,b)
则ℎ(x)=f(x)−b的图象关于原点成中心对称，
因为ℎ(x)的定义域为R，所以ℎ(−x)+ℎ(x)=13−x+1−b+13x+1−b=0恒成立，
即(1−2b)(30−x+30+x+2)=0恒成立，解得b=12．
(2)因为f(x)在区间[1,+∞)上单调递减，值域为(0,14]，即f(x)最大值为14，
又∀x1∈[−1,1]，∃x2∈[1,+∞)，g(x1)≤f(x2)，
所以∀x∈[−1,1]，g(x)max≤14，
又g(x)=−x2+mx=−(x−m2)2+m24，x∈[−1,1]，
当m2<−1，即m<−2时，g(x)在区间[−1,1]单调递减，
所以g(x)max=g(−1)=−1−m≤14，解得m≥−54，舍去;
当−1≤m2≤1，即−2≤m≤2，g(x)在[−1,m]单调递增，[m,1]单调递减，
所以g(x)max=g(m2)=m24≤14，解得−1≤m≤1，所以−1≤m≤1，
当m2>1，即m>2，g(x)在[−1,1]单调递增，
所以g(x)max=g(1)=−1+m≤14，解得m≤54，舍，
综上所述：−1≤m≤1.

【解析】本题考查了函数的对称性、单调性及函数的值域问题，属于中档题．
(1)根据ℎ(−x)+ℎ(x)=13−x+1−b+13x+1−b=0恒成立，即可得解；
(2)由题意得∀x1∈[−1,1]，g(x)max≤14，又g(x)=−x2+mx=−(x−m2)2+m24，x∈[−1,1]，分m2<−1、−1≤m2≤1、m2>1三种情况分析，从而可得出答案．
22.【答案】解：(1)方程ln(2x+a)=ln[(a−6)x+2a−8]，
则2x+a=(a−6)x+2a−8 2x+a>0,
所以(a−6)x2+(a−8)x−2=0，即[(a−6)x−2](x+1)=0，
当a=6时方程有唯一解x=−1，满足2x+a=−2+6>0，所以a=6符合条件;
当a=4时方程有两相等解x=2a−6=−1，满足2x+a=−2+4>0，所以a=4符合条件;
当a≠4且a≠6时方程有两不等解x1=2a−6，x2=−1，
若x1=2a−6满足2x1+a=2a−6>0，则a>3，
若x2=−1满足2x2+a=a−2>0，则a>2，
所以当a∈(2,3]时方程恰有一个实根;
综上所述，实数a的取值范围为(2,3]∪{4，6}．
(2)因为t=2x+a在(0,+∞)都是减函数，y=lnt在(0,+∞)都是增函数，
则f(x)=ln(2x+a)在[b,b+1]是减函数，
当x1，x2∈[b,b+1]时，满足|f(x1)−f(x2)|≤ln2，
则f(x)max−f(x)min=f(b)−f(b+1)=ln(2b+a)−ln(2b+1+a)≤ln2，
所以2b+a≤2(2b+1+a)，即ab2+(a+2)b−2≥0对任意b∈[14,1]恒成立，
设ℎ(b)=ab2+(a+2)b−2，b∈[14,1]，
因为a>0，则函数ℎ(b )在[14,1]上单调递增，
则ℎ(b)min=ℎ(14)=a16+a+24−2≥0，
所以a≥245．
故实数a的取值范围为245,+∞．
【解析】本题考查复合函数的单调性、函数零点与方程的关系，属于较难题．
(1)根据方程ln(2x+a)=ln[(a−6)x+2a−8]恰有1个实数根分类讨论可得；
(2)根据复合函数的单调性得到f(x)在[b,b+1]上是减函数，|f(x1)−f(x2)|≤ln2恒成立等价于f(x)max−f(x)min≤ln2，研究关于b的函数即可得出结果．