河南省郑州市郑州高新技术产业开发区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份河南省郑州市郑州高新技术产业开发区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．如图①．用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
3．2024年1月，河南省农业农村厅发布信息，我省小麦越冬期苗情好于常年，全省一类苗平均亩群体73.34万，数据“73.34万”用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（ ）
A．测量两条对角线是否相等
B．度量两个角是否是90°
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
7．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
8．科技承载梦想，创新始于少年，某校科技社团的学生制作了一艘轮船模型，实验过程中他们发现在某段航行过程中轮船模型的牵引力是其速度的反比例函数，其图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．该段航行过程中，随的增大而减小B．时，
C．该段航行过程中，函数表达式为D．时，
9．如图，二次函数的图象与轴分别交于A、B两点，与轴交于点，点的坐标为，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图①，在菱形中，垂直于的直线（直线与菱形的两边分别交于E、F两点，且点在点的上方）沿方向从点出发到点停止运动，设直线平移距离为，的面积为，若与之间的函数图象如图②所示，则的值为（ ）
A．9B．8C．7D．6
二、填空题
11．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
12．如图，若一次函数的图象经过A、B两点．则方程的解为 ．
13．郑州是华夏文明的重要发祥地，是非遗文化传承的魅力名城，某校举行超化吹歌、小相狮舞、少林功夫、荣阳笑伞四个专题活动，小智、小慧两位同学各自参加其中一个活动，每位同学参加各个活动的可能性相同，则这两位同学恰好参加同一个活动的概率为 ．
14．如图，在等边中，，点在上且，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，连接，则 ．
15．如图，在中，，，，点是斜边上的动点且不与点和点重合，连接，点与点关于直线对称，连接，当垂直于的直角边时，的长为 ．

三、解答题
16．（1）计算：；
（2）化简：．
17．从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革．为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下：
a．信息处理速度
b．信息识别准确度
c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)表格中______，______，______（填“＞”“＝”或“＜”）；
(2)若某市共有万人使用甲款软件，请你估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数；
(3)综合上表中的统计量，你认为哪款软件使用效果更好？请说明理由（列出两条即可）．
18．如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限的交点横坐标为1，直线轴于点，且与一次函数和反比例函数的图象分别交于点和点，且点在点上方．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若四边形是平行四边形，求的值．
19．河南新密伏羲山小马高原风景秀丽，成为新晋河南打卡景区，景区为旅游旺季的到来做物资准备，需要购买A、B两种型号的帐篷．若购买种型号帐篷2顶和种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买种型号帐篷3顶和种型号帐篷1顶，则需2800元．
(1)求每顶种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格；
(2)若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共70顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买A种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买种型号帐篷和种型号帐篷各多少顶？
20．黄河滚滚流，风车悠悠转，一批批风力发电设备给黄河岸边增添了一道别样的风景．如图，风力发电机舱在点处，三片扇叶两两所成的角为，某中学九年级数学兴趣小组携带皮尺、测角仪进行了实地测量，他们在距离塔杆65米的点处安放测角仪（测角仪高度米），当扇叶恰好与塔杆重合时，测得扇叶的末端点的仰角为，经查阅资料知此型号的发电机每片扇叶长26米，结合当地气候条件，当发电机舱的高度在45米到50米之间时，发电机的工作效率最高．请你判断该发电机机舱的高度是否合适．（参考数据，，，）
21．如图，的外接圆是以为直径的，过点作的切线，与的延长线交于点，在上截取，连接并延长交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
22．如图1，某喷泉公司生产的可升降式喷头，喷出的水柱形状呈抛物线，如图2，以圆形水池中心O为原点，水平方向为轴，坚直方向为轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，喷头的坐标为．
(1)当水柱满足到水池中心水平距离为3米时，即时，水柱达到最大高度5米，求第一象限内水柱的函数表达式；
(2)若圆形水池的半径为7米，在（1）的条件下喷出的水柱是否会落在水池外（不考虑水柱落到水面后造成的迸溅），请通过计算说明．
23．综合实践课上，数学老师带领学生探究矩形的旋转．
【动手操作】
如图1，四边形是一张矩形纸片，，．先将矩形对折，使与重合，折痕为，沿剪开得到两个矩形．矩形保持不动，将矩形绕点逆时针旋转，点的对应点为，所在直线与所在直线交于点．
【探究发现】
（1）连接，，，根据______（填选项），证得，；
A．；B．；C．；D．
（2）数学老师让学生动手操作后提出问题：
①“勤奋”组发现，如图2，当点落在边上时，边恰好经过点，提出问题：求两个矩形重叠部分四边形的面积；请你直接写出四边形的面积_______；
②“好学”组提出问题：如图3，当落在上时，连接，，发现，请你尝试证明；
【引申探究】
（3）当点落在矩形中的平分线所在直线上时，请直接写出线段的长．
信息处理速度得分
信息识别准确度得分
平均数
中位数
众数
平均数
方差
甲
b
乙
a
参考答案：
1．B
【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，零的相反数是零，由此即可求解．
【详解】解：的相反数是，
故选：．
【点睛】主要考查相反数的定义，理解相反数是只有符号不同的两个数，零的相反数是零的知识是解题的关键．
2．C
【分析】根据几何体的俯视图是从上面看进行判断解答即可．
【详解】解：由图可知，该“堑堵”的俯视图是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查几何体的俯视图，理解俯视图的概念是解答的关键．
3．D
【分析】根据科学记数法的表示方法为整数，进行表示即可．确定的值，是解题的关键．
【详解】解：73.34万；
故选D．
4．A
【分析】本题考查平行线的性质．过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，求出，由平行线的性质推出，即可求出．
【详解】解：过作，
∵，
∴，
，
，
，
，
，
∵，
，
．
故选：A．
5．B
【分析】本题主要考查合并同类项的法则以及积的乘方、幂的乘方和单项式乘法的运算法则．根据以上法则逐项判定即可．
【详解】解：选项A：，故错误；不符合题意；
选项B：，正确，符号题意；
选项C：，故错误；不符合题意；
选项D：，故错误；不符合题意；
故选：B．
6．C
【分析】由对角线的相等不能判定平行四边形，可判断A，两个角为不能判定矩形，可判断B，对角线的交点到四个顶点的距离相等，可判断矩形，从而可判断C，由两组对边分别相等判断的是平行四边形，可判断D，从而可得答案．
【详解】解：A、测量两条对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项A不符合题意；
B、度量两个角是否是90°，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项B不符合题意；
C、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定为矩形，故选项C符合题意；
D、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是矩形的判定，掌握“矩形的判定方法”是解本题的关键．
7．A
【分析】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．先求出△的值，再判断出其符号即可．
【详解】解：，
方程有两个不等实根．
故选：A．
8．B
【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数性质是解答本题的关键．根据图象和反比例函数的性质，逐项判断各项的正误即可．
【详解】解：A、根据图象可知，是定值，F随v的增大而减小，选项正确，不符合题意；
B、根据图象可知，当时，，选项错误，符合题意；
C、根据图象可知，函数表达式为，选项正确，不符合题意；
D、由，当1时，，选项正确，不符合题意．
故选：B．
9．C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据图象获取信息，根据二次函数的性质，进行判断即可．掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为，交轴于正半轴，
∴，
∴，故选项A错误；
∵图象经过点，
∴，故选项B错误；
由图象可知当时，，故选项C正确；
∵对称轴为，
∴与时的函数值相同，即：，故选项D错误；
故选：C．
10．A
【分析】本题主要考查对动点问题的函数图象，三角形的面积，一次函数的图象，菱形的性质等知识点的理解和掌握．作，，由图②知，利用三角形面积公式求得，即，再利用待定系数法求得图②中线段的解析式，据此求解即可．
【详解】解：作，，垂足分别为，，
由图②知，当F点与重合时，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
当F点与重合时，，
∴，
∴，即，
设图②中线段的解析式为，
∴，
解得，
∴图②中线段的解析式为，
当时，，
∴．
故选：A．
11．
【分析】根据分式的分母不为0，分式有意义，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故答案为：．
12．
【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，正确数形结合分析是解题关键．直接利用图象得出答案．
【详解】解：如图所示：不等式的解为：．
故答案为：．
13．/
【分析】本题考查列表法与树状图法．画树状图得出所有等可能的结果数以及这两位同学恰好参加同一个活动的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：将超化吹歌、小相狮舞、少林功夫、荣阳笑伞四个专题活动分别记为，，，，
画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中这两位同学恰好参加同一个活动的结果有4种，
∴这两位同学恰好参加同一个活动的概率为．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定以及30°的锐角的直角三角形的性质．过点F作于点H．先根据尺规作图可知，为边的垂直平分线且过点A，则，故可得，，从而得到，再利用勾股定理求即可．
【详解】解：过点F作于点H，
由尺规作图可知，为边的垂直平分线，
∴过点A，，
则，
∴，
∴，，
∴，
∴在中，
，
故答案为：；
15．1或3/3或1
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想进行求解．先利用勾股定理求出，然后进行讨论当和时，利用平行线和等腰三角形的性质与判定进行求解即可．
【详解】解：∵，，，
，
①如图1中，当时，设直线交于，

由轴对称的性质可知，直线平分，
∴平分，
，
∵AC⊥BC，，
∴，
，
，
；
②如图，当于时，同法可证，

综上所述，满足条件的的值为1或3．
故答案为：1或3．
16．（1）；（2）．
【分析】本题考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂．
（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
17．(1)；9；＜；
(2)万人；
(3)见解析．
【分析】（1）根据中位数，众数，方差的概念计算求解；
（2）用总数乘以部分所占的比例计算求解；
（3）根据统计量的意义分析说明．
【详解】（1）解：将乙款信息处理速度得分的20个数据从小到大排列后，位于第10个和第11个的分别是7分和8分，
∴；
甲款信息处理速度得分中最多的是9分，
∴；
结合信息识别准确度折线图可得＜；
故答案为：；9；＜；
（2）对甲款软件信息识别准确度打分超过7分的人数为（万人）
（3）解：答案不唯一．
乙款软件使用效果更好，从信息处理速度得分上看平均分高于甲，中位数高于甲；
甲款软件使用效果更好，信息处理准确得分平均分高于乙，方差小于乙．
【点睛】本题考查平均数，中位数，方差的意义，解题的关键是熟练掌握平均数是表示一组数据的平均程度，中位数是将（或从大到小）重新排列一组数据从小到大（或最中间两个数的平均后，最中间的那个数数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
（1）先求出点坐标，再求反比例函数解析式即可；
（2）先确定，，分别求出，，再由平行四边形的性质得到方程，求出的值即可．
【详解】（1）解：点横坐标为1，且在一次函数上，
，
将点代入，可得，
反比例函数的解析式为；
（2）解：由题可知，，
点在点上方，
，
当时，，
，
，
四边形是平行四边形，
，即，
解得，
反比例函数中，
．
19．(1)每顶A种型号帐篷600元，每顶B种型号帐篷1000元；
(2)购买种型号帐篷17顶，购买种型号帐篷55顶．
【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
（1）设每顶种型号帐篷元，每顶种型号帐篷元，根据若购买种型号帐篷2顶和种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买种型号帐篷3顶和种型号帐篷1顶，则需2800元列得二元一次方程组，即可解得答案；
（2）设购买种型号帐篷顶，总费用为元，由购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，可得，而，根据一次函数性质可得答案．
【详解】（1）解：设每顶种型号帐篷元，每顶种型号帐篷元，
根据题意得：，
解得：，
每顶种型号帐篷600元，每顶种型号帐篷1000元；
（2）解：设购买种型号帐篷顶，总费用为元，则购买种型号帐篷顶，
购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，
，
解得，
根据题意得：，
，
随的增大而减小，
当时，取最小值，最小值为（元，
，
答：购买种型号帐篷17顶，购买种型号帐篷55顶．
20．点O到地面的距离约为米，在45米到50米之间，该发电机机舱的高度合适．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点A作塔杆的垂线，点B作水平面的垂线，垂线与交于点D，过点O作的垂线与交于点F，
∵，
∴四边形为矩形，，
∵，
∴，
中，，，
∴， ．
∵，
∴，
中，，，
由，得，
∵，
∴，
∴点O到地面的距离约为米，在45米到50米之间，该发电机机舱的高度合适．
21．(1)见解析；
(2)的长为3．
【分析】（1）由是的直径，，则垂直平分，所以，由等腰三角形的“三线合一”得，由切线的性质证明，则，所以，则；
（2）由，且，求得，，则，所以．
【详解】（1）证明：是的直径，
，
，
垂直平分，
，
，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，，，
，
，，
，
，
的长是3．
【点睛】此题重点考查直径所对的圆周角等于、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”、切线的性质、圆周角定理、“等角对等边”、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明垂直平分，并且推导出是解题的关键．
22．(1)；
(2)喷出的水柱不会落在水池外，计算见解析．
【分析】本题考查二次函数的实际应用以及二次函数的性质，理解题意，利用数形结合思想解题是关键，（1）由题意得抛物线的顶点坐标为，点，设抛物线的解析式为，待定系数法求出解析式即可；（2）令，解方程求出的值与7比较即可．
【详解】（1）解：由题意，设第一象限内水柱的函数表达式为，
把点的坐标代入函数表达式，得，
解得，，
即，
（2）解：由题意，令
解方程得：，
（不合题意，舍去），
．
∵，
∴，．
∴喷出的水柱不会落在水池外．
23．（1）B；（2）①；②证明见解析；（3）线段的长为或．
【分析】（1）根据三角形全等的条件即可解答；
（2）①由折叠得，，由旋转得：，运用勾股定理可得，再证得，可得，再由，即可求得答案；
②连接，利用可证得，进而得出，即可推出；
（3）分两种情况讨论，过点作于点，于点，可证得是等腰直角三角形，四边形是矩形，是等腰直角三角形，即可求得答案．
【详解】（1）解：连接，在和中，
，，，
，
，
故答案为：B；
（2）①解：将矩形对折，使与重合，折痕为，
如图，
，，
由旋转得：，
在中，，
，
由题意得四边形和四边形是矩形，
，
，
，
，
，即，
，
，
故答案为：；
②证明：如图，连接，
在和中，
，
，
，，
与重合，
，
∴；
（3）过点作于点，于点，
当点落在矩形中的平分线上时，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
当点落在矩形中的平分线所在直线上，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
线段的长为或．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠变换的性质，旋转变换的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．