辽宁省2024届高三上学期1月联考数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省2024届高三上学期1月联考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．若复数,则( )
A.B.C.D.
3．已知抛物线的焦点为F,则点F到抛物线C的准线的距离是( )
A.B.C.1D.2
4．在正项等比数列中,,则数列的公比是( )
A.4B.2C.1D.
5．已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形,则该圆锥的侧面积与表面积的比值是( )
A.B.C.D.
6．甲､乙相约从同一地点同时出发,同向围着一个周长是200米的圆形跑道跑步,甲每秒跑2.5米,乙每秒跑3.5米,则“甲､乙相遇”是“甲､乙都跑了400秒”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
7．已知函数为奇函数,则( )
A.20B.10C.21D.11
8．已知点F是双曲线的上焦点,M是下支上的一点,点N是圆上一点,则的最小值是( )
A.7B.6C.5D.
二、多项选择题
9．已知直线与圆,则( )
A.直线l的倾斜角是
B.圆C的半径是4
C.直线l与圆C相交
D.圆C上的点到直线l的距离的最大值是7
10．已知甲运动员的投篮命中率是0.8,乙运动员的投篮命中率是0.9,甲､乙投篮互不影响.若两人各投篮一次,则( )
A.都没有命中的概率是0.02
B.都命中的概率是0.72
C.至少一人命中的概率是0.94
D.恰有一人命中的概率是0.18
11．已知函数只有5个零点,则的值可能为( )
A.4B.5C.D.
12．如图,在棱长为6的正方体中,E,F分别是棱,BC的中点,则( )
A.平面
B.异面直线与EF所成的角是
C.点到平面的距离是
D.平面截正方体所得图形的周长为
三、填空题
13．向量,,若,则__________.
14．5名学生的期中考试数学成绩分别为98,120,105,110,m,若这5名学生成绩的第60百分位数为111,则__________.
15．已知点是函数图象上的任意一点,直线,则点A到直线l的距离的最小值是__________.
16．已知函数在上为单调函数,则a的取值范围为__________.
四、解答题
17．在中,角的对边分别是,且.
（1）求角的大小;
（2）若,求的面积.
18．如图,在四棱锥中,平面ABCD,四边形ABCD是菱形,E是棱PC的中点.
（1）证明:.
（2）若,,求平面ABE与平面PCD夹角的余弦值.
19．镇安大板栗又称中国甘栗､东方珍珠,以味道甜脆,甘美可口,老幼皆宜,营养丰富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重(单位:克),将得到的数据按,,,,分成五组,绘制的频率分布直方图如图所示.
（1）请估计该板栗园的板栗质量的中位数;
（2）现采用分层抽样的方法从质量在和内的板栗中抽取10颗,再从这10颗板栗中随机抽取4颗,记抽取到的特等板栗(质量克)的个数为X,求X的分布列与数学期望.
20．已知函数.
（1）当时,求的最小值;
（2）若关于x的不等式恒成立,求a的取值范围.
21．已知数列满足,.
（1）求的通项公式;
（2）求的前n项和.
22．动点与定点的距离和它到直线:的距离的比是常数,点M的轨迹为C.
（1）求C的方程,并说明C是什么曲线;
（2）若过F的直线l与C交于A,B两点,点P是C上一点,的最大值为m,最小值为n,且,,成等比数列,求l的方程.
参考答案
1．答案：D
解析:由题意可得,,则.
2．答案：B
解析:因为,所以.
3．答案：C
解析:由题意可知抛物线C的标准方程为,则,即点F到抛物线C的准线的距离是1.
4．答案：B
解析:设数列的公比是q,则.因为,所以,所以,解得或(舍去).
5．答案：A
解析:设该圆锥的底面圆的半径为r,则其侧棱长为,从而该圆锥的侧面积,表面积,故.
6．答案：C
解析:因为乙每秒比甲每秒多跑1米,所以当甲､乙都跑了200秒时,乙比甲多跑了200米,甲､乙第一次相遇.当甲､乙都跑了400秒时,乙比甲多跑了400米,甲､乙再次相遇.故“甲､乙相遇”是“甲､乙都跑了400秒”的必要不充分条件.
7．答案：C
解析:因为为奇函数,所以,即,令,则,所以,即.
8．答案：B
解析:可化为,则,半径为1,设是的下焦点,则,由双曲线定义可得,所以,即的最小值是6.
9．答案：BCD
解析:由题意可知直线l的倾斜角是,圆C的圆心坐标为,半径为4,则错误,正确.圆心到直线l的距离,则直线l与圆C相交,故C正确.圆C上的点到直线l的距离的最大值为,则D正确.
10．答案：AB
解析:都没有命中的概率为,A正确.都命中的概率为,B正确.至少一人命中的概率为,C错误.恰有一人命中的概率为,D错误.
11．答案：BC
解析:由,得.因为函数在上的零点个数为2,所以函数在上的零点个数为3.由,得,则,解得.
12．答案：BCD
解析:如图,以A为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系.因为,所以,,,,,,所以,,,.
设平面的法向量为,则,令,得.因为,所以与平面不垂直,则A错误.设异面直线与EF所成的角为,则,从而,故B正确.连接,因为,所以点到平面的距离是,则C正确.分别在棱AB,上取点M,N,使得,,连接MF,FN,,,EM.可知平面截正方体所得图形为五边形.由题中数据可得,,,,,则平面截正方体所得图形的周长为,故D正确.
13．答案：6
解析:由题意可得,解得.
14．答案：112
解析:由,将成绩从小到大排列,得第60百分位数为第三个成绩和第四个成绩的平均数,所以,解得.
15．答案：
解析:因为,所以.令,得,则,故点A到直线l的距离.
16．答案：
解析:因为函数在上单调递增,所以函数在上为单调函数.
当在上为单调递增函数时,则,解得;
当在上为单调递减函数时,则,解得.
综上,a的取值范围为.
17．答案：（1）
（2）
解析:（1）因为,所以,
所以.
因为,所以.
（2）因为,所以.
因为,所以,
则,.
故的面积.
18．答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）证明:连接AC.
因为四边形ABCD是菱形,所以.
因为平面ABCD,且平面ABCD,所以.
因为PA,平面PAC,且,所以平面PAC
因为平面PAC,所以.
（2）记,连接OE,易证OC,OD,OE两两垂直,故以O为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
设,则,,,,,,故,,,.
设平面ABE的法向量为,
则,令,得.
设平面PCD的法向量为,
则,令,得.
设平面ABE与平面PCD的夹角为,
则,
即平面ABE与平面PCD夹角的余弦值为.
19．答案：（1）57.5
（2）
解析:（1）因为,
所以该板栗园的板栗质量的中位数在内.
设该板栗园的板栗质量的中位数为m,则,
解得,即该板栗园的板栗质量的中位数约为57.5.
（2）由题意可知采用分层抽样的方法从质量在内的板栗中抽取
颗,从质量在内的板栗中抽取颗.
X的所有可能取值为0,1,2,3,4.
,
,
,
.
从而X的分布列为
故.
20．答案：（1）
（2）
解析:（1）当时,,
则.
由,得,由,得,
则在上单调递减,在上单调递增,
故.
（2）由题意可得.
当时,由,得,由,得,
则在上单调递减,在上单调递增,
故.
因为不等式恒成立,所以,解得.
当时,,不符合题意.
综上,a的取值范围是.
21．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析:（1）因为,
所以,
所以.
因为,,所以,所以,
所以,,,…,是首项为1,公差为3的等差数列,
,,,…,是首项为2,公差为3的等差数列,
则,
故.
（2）当n为奇数时,
当n为偶数时,
.
综上,.
22．答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）设点,则,
化简得,即.
故曲线C是焦点在x轴上的椭圆.
（2）由题可知,,所以,
当l垂直于x轴时,,此时不成等比数列,故的斜率存在.
设,,l的方程为,则,,
所以,.
联立,整理得,
则,,
因为,,成等比数列,所以,
即,即,
所以,解得,
所以l的方程为.
X
0
1
2
3
4
P