02函数的概念与基本性质、幂函数-北京市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教A版，

这是一份02函数的概念与基本性质、幂函数-北京市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教A版，，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2024上·北京昌平·高一统考期末）向一个给定的容器（如图所示）中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水的体积相等，记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为，则以下函数图象中，可能是的图象的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·北京海淀·高一统考期末）已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2024上·北京海淀·高一统考期末）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024上·北京海淀·高一统考期末）已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024上·北京密云·高一统考期末）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024上·北京朝阳·高一统考期末）已知函数的图象是在上连续不断的曲线，在区间项上单调递增，且满足，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024上·北京顺义·高一统考期末）已知函数，则“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
8．（2024上·北京东城·高一统考期末）下列函数中，与是同一函数的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2024上·北京西城·高一统考期末）若，则 （ ）
A．B．C．D．
10．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知函数的图像关于直线对称，当时，恒成立.设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）下列函数，是同一函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
12．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知幂函数的图象经过点，则的增区间为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．（2024上·北京昌平·高一统考期末）函数的定义域为 .
14．（2024上·北京朝阳·高一统考期末）已知函数的图象过原点，则 ；若对，都有，则m的最大值为 ．
15．（2024上·北京顺义·高一统考期末）已知幂函数的图象经过点，那么 .
16．（2024上·北京石景山·高一统考期末）已知函数，
（1）若，则的最大值是 ；
（2）若存在最大值，则的取值范围为 .
17．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知，若幂函数在区间上单调递增，且其图像不过坐标原点，则 .
18．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知函数的定义域为，满足对任意，都有，且时，.则下列说法正确的是 .
①；②；③当时，；④在上是减函数；⑤存在实数使得函数在上是减函数.
三、解答题
19．（2024上·北京顺义·高一统考期末）已知函数是定义在R上的奇函数.
(1)求实数a的值：
(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；
(3)若有两个零点，请写出k的范围（直接写出结论即可）.
20．（2024上·北京昌平·高一统考期末）已知函数.
(1)若关于的不等式的解集为，
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）设，，求的最小值；
(2)当时，若函数的图象上任意一点都不在直线的上方，求的取值范围.
21．（2024上·北京东城·高一统考期末）已知是定义在上的奇函数，当时．
(1)求的解析式；
(2)根据定义证明在上单调递减，并指出在定义域内的单调性；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
22．（2024上·北京西城·高一统考期末）已知函数.
(1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
(2)用函数单调性定义证明：函数在上是减函数；
(3)写出函数的值域（结论不要求证明）.
参考答案：
1．C
【分析】分析函数增长速度得到结论.
【详解】因为单位时间内注水的体积不变，结合容器的形状，水面的高度变化应该是：先逐渐变快，后逐渐变慢.
故选：C
2．C
【分析】根据“”与“为奇函数”互相推出的情况判断属于何种条件.
【详解】当时，，定义域为且关于原点对称，
所以，
所以为奇函数；
当为奇函数时，显然定义域为且关于原点对称，所以，
所以，
所以，
由上可知，“”是“为奇函数”的充要条件，
故选：C.
3．B
【分析】利用定义判断函数的奇偶性可对A、C判断；利用函数奇偶性的判断并结合函数单调性可对B、D判断.
【详解】对A、C：由，定义域为，所以不是奇函数，故A错误；
定义域为，，所以是偶函数，故C错误；
对B、D：，定义域为，，所以为奇函数，
当时，，且在上单调递减，故B正确；
，定义域为，且，所以为奇函数，且在定义域上为增函数，故D错误；
故选：B.
4．D
【分析】利用赋值和排除法可得结果
【详解】取，则，
若 ，则，由，得，
解得，符合条件，排除选项A、C,
取，则，
若时，，由，得，
解得，或，都不符合条件，
若，即，由，
得，即，不符合条件，
若，即，由，
得，解得，或，都不符合条件，
综上，，排除B，选D
故选：D
5．C
【分析】根据奇函数和增函数的性质即可得出结论.
【详解】由题意，
A项，定义域为R，为奇函数，函数为周期函数不是增函数，故错误；
B项，定义域为R，不为奇函数，故错误；
C项，定义域为R，为奇函数，函数为增函数，故正确；
D项，定义域为，关于原点对称，为奇函数，函数在单调递增，在单调递增，但是在定义域上不是增函数，故错误；
故选：C.
6．B
【分析】通过条件分析函数具有的性质，再把函数不等式转化为代数不等式求解.
【详解】由得：的图象关于点对称；
；
又在上连续不断，且在上单调递增，
所以在上单调递增.
.
故选：B
7．A
【分析】根据二次函数的单调性，结合充分性、必要性的定义进行求解判断即可.
【详解】函数的对称轴为，
当函数在区间上单调递增时，有，
因此“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件，
故选：A
8．A
【分析】根据函数的定义域与对应关系逐项判断即可得答案.
【详解】函数的定义域为，
对于A，函数的定义域为，且对应关系与函数相同，故A正确；
对于B，函数的定义域为，但是，对应关系与函数不相同，故B错误；
对于C，函数的定义域为，定义域不同，则不是同一函数，故C错误；
对于D，函数的定义域为，且，则对应关系与函数不相同，故D错误.
故选：A.
9．D
【分析】分别构造函数，，，利用函数的单调性解逐一判断四个选项即可.
【详解】因为为增函数，所以时，有，A错误；
，在上单调递减，在上单调递增，
所以，不一定有，B错误；
，在上单调递减，在上单调递减，，
若，同号，则，若，异号，则，所以C错误；
为增函数，，
则，所以，所以，D正确.
故选：D
10．B
【分析】根据函数的对称性可得，，再根据函数单调性比较即可.
【详解】因为当时，恒成立.
所以函数在上单调递减，
又因为函数的图像关于直线对称，
所以，，
因为，
所以，即.
故选：B
11．C
【分析】根据函数相等的定义逐项分析判断.
【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为，
定义域不相同，所以不是同一个函数，故A错误；
对于选项B：、的定义域均为，
但，所以不是同一个函数，故B错误；
对于选项C：与的定义域均为，
且，所以是同一个函数，故C正确；
对于选项D：因为的定义域为，的定义域为，
定义域不相同，所以不是同一个函数，故D错误；
故选：C.
12．B
【分析】求出幂函数的解析式，利用幂函数的单调性可求出函数的单调递增区间.
【详解】设，则，所以，可得，
所以，，该函数的定义域为，
，即函数为偶函数，
所以，函数的减区间为，增区间为.
故选：B.
13．
【分析】由函数定义域的求法直接求解.
【详解】由.
故答案为：
14．
【分析】根据函数过原点，从而求出的值；对于，只需求出，从而可求解.
【详解】对空：由函数过原点，即，得；
对空：由函数在定义域上单调递增，且恒成立，所以的最大值为.
故答案为：；.
15．
【分析】先将点代入函数求出，进而可得.
【详解】将点代入得，
所以.
所以.
故答案为：.
16．
【分析】（1）若，则，由二次函数的性质可得出答案；
（2）当时，由（1）知，存在最大值，当时，若存在最大值，在应单调递减，所以，即可得出答案.
【详解】（1）若，则，
当时，，所以，
则的最大值是.
（2）当时，由（1）知，存在最大值，
当时，若存在最大值，在应单调递减，
所以，且当时，，无最大值，
当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以存在最大值为.
故的取值范围为：.
故答案为：；.
17．
【分析】根据幂函数的性质分析求解.
【详解】因为幂函数图像不过坐标原点，则，
当，在区间上单调递增，符合题意；
当，的定义域为，不合题意；
当，的定义域为，不合题意；
综上所述：.
故答案为：.
18．①③⑤
【分析】对①②，利用赋值法，令，求出，再令，进行检验，即可判断；对③，当时，则，故，令，得出与关系，进而得出的范围，即可判断；对④，利用函数单调性的定义，由，结合已知条件可得，从而得出函数的单调性，即可判断；对⑤，因为函数在上为增函数，若在上递减，则时，，则，由此可求得，即可判断．
【详解】对①②：令，则，
即，解得或，
当时，令，，
则，解得，
与时，矛盾，所以，故①正确，②错误；
对③：当时，则，故，
令，则，
整理得，则，
因为，则，，所以，故③正确；
对④：由②可知：，
设，则，
则
，
∵，则，可知，，
则，即，
所以函数在上单调递增，
即在上是增函数；故④错误；
对⑤：由④可知：函数在上单调递增，
则在上也为增函数，
若在上递减，则时，，
则时，，即，
又因为当时，，即，
所以，故⑤正确．
故答案为：①③⑤．
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
19．(1)
(2)..在上单调递减；证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，即，解可得的值，即可得答案；
（2）根据题意，任取，，且，由作差法分析的符号，由函数单调性的定义分析可得答案；
（3）由题意转化为与有两个交点问题，利用单调性及奇偶性作出图象，数形结合即可得解。
【详解】（1）函数为奇函数，则，
即，解可得；
（2）由（1）知，在上单调递减；
证明：任取，，且，
则 ，
又由，，且，则，，，，
则有，即
所以函数在上单调递减．
（3）因为有两个零点，
所以方程有两个不等实根，即有两个不等的实根，
任取，，且，由（2）知，
因为，，，，
所以，即，
所以函数在上单调递增，又函数为奇函数，所以图象关于原点成中心对称，
又，，时，，作出图象如图，
所以当且时，与有两个不同交点，即有两个不等实根.
故k的范围为.
20．(1)（ⅰ）；（ⅱ）的最小值为
(2)
【分析】（1）（ⅰ）根据一元二次不等式的解求得.（ⅱ）利用基本不等式求得的最小值.
（2）由恒成立，然后对进行分类讨论来求得的取值范围.
【详解】（1）（ⅰ）依题意，关于的不等式的解集为，
所以，解得.
（ⅱ）由（ⅰ）得，
当时，
，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
（2）当时，，
由于函数的图象上任意一点都不在直线的上方，
所以恒成立，即恒成立，
即恒成立，
当时，不等式不恒成立，
当时，要使恒成立，
则需，解得，
所以的取值范围是.
21．(1)
(2)证明见详解；在上的单调递减
(3)
【分析】（1）当时，利于奇函数的定义求解即可；
（2）根据单调函数的定义证明即可，利于奇函数的性质可判断函数的单调性；
（3）根据奇函数的定义及函数的单调性，转化不等式为恒成立，利于，解不等式即可.
【详解】（1）依题是定义在上的奇函数，
当时，
当时，，
则，
所以.
（2）当时，，
任取，且，
则
，
因为，且，
所以，
故，即，
所以在上单调递减，
根据奇函数的性质可知在上的单调递减.
（3）因为，
化为，
即，
根据在上的单调递减，
则，在时恒成立，
即恒成立，
故，
解得，
故实数k的取值范围为.
22．(1)奇函数，证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先分析定义域是否关原点对称，然后根据与的关系作出判断；
（2）先取值，然后再计算的正负，由此可完成证明；
（3）先根据解析式分析时的值域，再结合奇偶性可求的值域.
【详解】（1）是奇函数.证明如下：
的定义域为，
因为，都有，
且，
所以是奇函数.
（2）任取，且，
，
因为，所以，，
所以，
所以，
所以函数在上是减函数.
（3）函数的值域为.
证明如下：
当时，，
又因为为奇函数，
所以当时，，
综上可知，的值域为.