2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期期末考试数学试题

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期期末考试数学试题，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x2−4x+3≤0}，B={x|y= 16−x2}，则A∩B=( )
A. [−4,3]B. [1,3]C. [−4,4]D. [−3,−1]
2.设x∈R，则“x=π3+2kπ，k∈Z”是“sinx= 32”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，它的终边经过点5,12，则csα=
A. −513B. 513C. −1213D. 1213
4.如图，在平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b，E是CD边上一点，且DE=2EC，则AE=
A. a+13bB. a+23bC. 13a+bD. 23a+b
5.若函数y=ax(a>0，且a≠1)的图象过点12,13，则函数y=lgax的大致图象是
A. B.
C. D.
6.已知f(x)=m(x−2m)(x+m+3)，g(x)=3x−3，若命题“∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0”为真命题，则m的取值范围是
A. −4,12B. (−4,0)C. 0,12D. (0,+∞)
7.已知定义在0,+∞上的f(x)是单调函数，且对任意x∈0,+∞恒有ff(x)+lg13x=4，则函数f(x)的零点为
A. 127B. 19C. 9D. 27
8.若α∈−π2,π2且sin α=x，则可以记α=arcsin x；若α∈[0,π]且cs α=x，则可以记α=arccs x.实数y∈(0,1)，且(arccs y)2−(arcsin y)2=a，则2y2−1=
A. cs2aπB. −sin2aπC. cs4aπD. −sin4aπ
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为x|x<−3，或x>2}，则
A. a>0
B. 不等式bx+c>0的解集是xx<−6
C. a+b+c>0
D. 不等式cx2−bx+a<0的解集是xx<−12,或x>13
10.设正实数a，b满足a+b=1，则
( )
A. ab≥14B. a+ b≤ 2
C. a2+b2≥12D. 1a+1+1b+1≥43
11.已知函数f(x)=3sin2x+π3，函数g(x)的图象由f(x)图象向右平移π4个单位长度得到，则下列关于函数g(x)的说法正确的有
( )
A. g(x)的图象关于点π12,0对称B. g(x)的图象关于直线x=π3对称
C. g(x)在−π24,5π24上单调递增D. g(x)在−π6,π3上单调递减
12.定义在R上的函数f(x)满足f4−x=−f(x)，f2x+1为偶函数，f1=2，函数g(x)x∈R满足g(x)=g2−x，若y=f(x)与y=g(x)恰有2023个交点，从左至右依次为x1,y1，x2,y2，…，x2023,y2023，则下列说法正确的是
A. f(x)为奇函数B. 2为y=f(x)的一个周期
C. y1012=2D. x1+x2+x3+…+x2023=2023
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数f(x)=m−1xm的图象过点M2,a，则a=________．
14.已知向量a，b满足a=b=2，a·a−b=1，则2a−b= ．
15.若csπ6−α= 105，则cs2π3+2α的值为__________．
16.已知a>1，x1，x2分别是函数f(x)=ex+x−a与g(x)=lnx+x−a的零点，若m=ex1+x2，则m的取值范围为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算(1) (3−π)2+813+827−23−0.52+( 3−1)0；
(2)lg43+lg83lg32+lg92+lg3427−2lg25．
18.(本小题12分)
解下列不等式：
(1)2xx−1≥4；
(2)2x−3+x−2≤3．
19.(本小题12分)
如图，一个半径为3 m的筒车按逆时针方向每分转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为3 22m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：m)(在水面下则d为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：s)之间的关系为d=Asin(ωt+φ)+K(A>0,ω>0,−π2<φ<π2).
(1)求A，ω，φ，K的值；
(2)盛水筒出水后至少经过多少时间就可到达最高点？
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=sinωx− 3csωx(ω>0)的最小正周期为π，
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)设x∈(−π,π)，求不等式f(x)≥1的解集．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)，对于任意的x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，当x>0时，f(x)<0，且f(1)=−12．
(1)判断f(x)的奇偶性和单调性；
(2)设函数g(x)=f(x2−m)−2f(x)，若方程g(x)=0有4个不同的解，求m的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex−k·e−x是偶函数．
(1)求k的值；
(2)设函数g(x)=af(x)−2e− x−f(2x)−8，若不等式g(x)<0对任意的x∈(1,+∞)恒成立．求实数a的取值范围；
(3)设ℎ(x)=lg2f(x)，当m为何值时，关于x的方程[ℎ(x)−1+m]·[ℎ(x)−1−4m]+2m2+m=0有实根？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查交集及其运算，涉及一元二次不等式的解法，函数的定义域，属于基础题．
解集合A中的不等式，求B中函数的定义域，可得集合A，B，再根据交集的运算即可得到结论．
【解答】
解：由x2−4x+3 ≤0，得1≤x≤3，
由16−x2 ≥0，得−4≤x≤4
则A=1,3，B=−4,4，
所以A∩B=[1,3]．
故选B．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．
根据互推，即可求出结果．
【解答】
解：当 x=π3+2kπ,k∈Z时， sinx= 32，满足充分性，
当 sinx= 32时， x=π3+2kπ或 x=2π3+2kπ,k∈Z，不满足必要性，
所以 x=π3+2kπ,k∈Z是 sinx= 32的充分不必要条件．
故选A．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
由任意角的三角函数的定义可得csα的值．
【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，∵角α以Ox为始边，它的终边经过点(5,12)，
∴csα=5 52+122=513．
故选：B．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的加法运算与数乘运算，是基础题．
结合图形利用平面向量的加法运算与数乘运算，计算即可．
【解答】
解：平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b，
则DC=AB=a，
又E是CD边上一点，且DE=2EC，
则AE=AD+DE=23a+b．
故选D．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查函数的图象，涉及知识点有指数函数的性质，对数函数的图象和性质等．
根据函数图象过12,13点，可得出a=19，根据函数y=lga|x|是偶函数，关于y轴对称，结合对数函数的单调性，可得答案．
【解答】解：由于函数y=ax(a>0，且a≠1)的图象过点12,13，
∴a12=13，即a=19，
则y=lgax=lg19x，
函数y=lg19|x|的图象关于y轴对称．
x>0时，y=lg19x=lg19x，在(0,+∞)上是减函数且f(1)=0，
因此根据对称性，y=lg19|x|的图象应大致为选项B
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了命题的真假和不等式恒成立问题，属于中档题．
易知当x>1时，g(x)=3x−3>0，由于题中条件可得，f(x)<0对[1,+∞)恒成立，对m进行分类讨论，综合得出m的取值范围．
【解答】
解：当x>1时，g(x)=3x−3>0，
由于题中条件可得，f(x)<0对[1,+∞)恒成立，
当m≥0时，显然不符合条件；
当m<0时，f(x)=0的2个根为x1=2m，x2=−m−3，
x1=2m<1,x2=−m−3<1⇒m<12,m>−4和大前提m<0取，交集结果为−4故答案为B．
7.【答案】A
【解析】【分析】本题考查函数的零点和单调性的应用，属于中档题．
设f(x)+ lg13x=t，则f(x)=t− lg13x，方程等价为f(t)=4，因为函数f(x)单调，所以t值唯一，所以f(x)=3− lg13x令f(x)=3− lg13x=0即可得出答案．
【解答】解：设f(x)+ lg13x=t，则f(x)=t− lg13x，
方程ff(x)+lg13x=4等价为f(t)=4，
令x=t，则f(t)=t−lg13t=4，t=3满足方程，
∵函数f(x)单调递减，
∴t值唯一， ∴f(x)=3− lg13x，
由f(x)=3− lg13x=0解得x=127，
故函数f(x)的零点为127．
故选：A．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查二倍角公式，新定义，属于中档题．
设 α=arcsiny， β=arccsy，则 y=sin⁡α=cs⁡β=sin⁡(π2−β)且 α=π2−β，由 β2−α2=a=β+αβ−α可得 2β=π2+2aπ，则 2y2−1=2cs2β−1=cs2β，代入化简即可．
【解答】
解：因为 y∈0,1，
设 α=arcsiny，则 α∈0,π2，
设 β=arccsy，则 β∈0,π2，
所以 y=sin⁡α=cs⁡β=sin⁡(π2−β)，
所以 α=π2−β①，
由 (arccsy)2−(arcsiny)2=a可得 β2−α2=a=β+αβ−α，
所以 β−α=2aπ②，
由①②可得 2β=π2+2aπ，
所以 2y2−1=2cs2β−1=cs⁡2β=cs⁡(π2+2aπ)=−sin⁡2aπ．
9.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查利用一元二次不等式的解集求参数，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于中档题．
根据已知条件判断出a的符号，由韦达定理得到 b、c与a的等量关系，可判断出A、C选项的正误，通过解不等式可判断B、D选项的正误，综合可得出结论．
【解答】
解：由关于x的不等式ax2+bx+c>0解集为x|x<−3或x>2}，知−3和2是方程ax2+bx+c=0的两个实根，且a>0，故A正确；
根据根与系数的关系知：−ba=−3+2=−1<0，ca=−3×2=−6<0，∴b=a，c=−6a，a>0，
选项B：不等式bx+c>0化简为x−6>0，解得：x>6，故B不正确；
选项C：a+b+c=a+a−6a=−4a<0，故C不正确；
选项D：不等式cx2−bx+a<0化简为：6x2+x−1>0解得：x∈xx<−12或x>13，故D正确；故选AD．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于基础题．
结合基本不等式分别检验各选项即可判断．
【解答】
解：因为正实数a，b满足a+b=1，
所以ab≤(a+b2)2=14，当且仅当a=b=12时取等号，A错误；
( a+ b)2=a+b+2 ab=1+2 ab≤1+2×12=2，当且仅当a=b=12时取等号，
所以 a+ b≤ 2，B正确；
由a2+b22≥(a+b2)2=14，
所以a2+b2≥12，当且仅当a=b=12时取等号，C正确；
1a+1+1b+1=13(a+1+b+1a+1+a+1+b+1b+1)=13(2+b+1a+1+a+1b+1)≥13(2+2)=43，当且仅当a=b=12时取等号，D正确．
故选：BCD．
11.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题主要考查了y=Asin(ωx+φ)的图象变换和性质，属于一般题．
由条件利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得所得函数的解析式，再根据正弦型三角函数的性质得出结论．
【解答】解：
将函数f(x)=3sin2x+π3的图象向右平移π4个单位长度，
所得图象对应的函数为g(x)=3sin2x−π4+π3=3sin2x−π6，
对于A，当x=π12，可得g(x)=0，正确；
对于B，当x=π3时，gπ3=3，正确；
对于C，当x∈−π24,5π24时，2x−π6∈−π4,π4，g(x)递增，故正确；
对于D，当x∈−π6,π3时，2x−π6∈−π2,π2，g(x)递增，故错误，
故选ABC．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】本题考查了抽象函数及其应用，属于中档题．
由已知可推得，f(x)关于直线x=1对称以及关于点(2,0)中心对称，进而得出函数的周期为4，即可得出A项和B项；根据f(x)的对称性推导，可判断C项；由已知可知y=f(x)与y=g(x)有共同的对称中心(2,0)，进而可判断D．
【解答】f(2x+1)为偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x=1对称，
f(4−x)=−f(x)，则函数f(x)的图象关于点(2,0)中心对称，
f(2+x)+f(2−x)=0,f(2−x)=f(x),即f(2+x)+f(x)=0．
A选项，令x →−x，则f(2−x)=−f(−x)，即f(x)=−f(−x)，所以f(x)为奇函数，A正确；
B选项，f(4+x)=−f(2+x)=f(x)，所以函数f(x)是周期函数，4为其一个周期，
f(1)=2，f(3)=−f(1)=−2，显然f(3)≠f(1)，故B错误；
C选项，g(x)=g(2−x)，所以函数g(x)的图象关于直线x=1对称，因此函数f(x)与g(x)的交点也关于x=1对称，则y1012=f(1)=2，故C正确；
D选项， i = 1 2023xi=2023，故D正确．故选ACD．
13.【答案】4
【解析】【分析】
本题主要考查幂函数的定义，属于基础题．
由题意利用幂函数的定义，求得m和a的值，可得结论．
【解答】
解：依题意，m−1=1，解得m=2，则f(x)=x2，
将M(2,a)代入f(x)=x2得a=4．
14.【答案】2 2
【解析】【分析】
本题考查了向量的数量积的运算，属于基础题．
根据向量的模和向量的数量积计算即可
【解答】
解：因为a=b=2，a·a−b=a2−a·b=4−a·b=1，
所以a⋅b=3，
所以|2a−b|2=4a2−4a⋅b+b2=4×4−4×3+4=8，
则|2a−b|=2 2，
故答案为2 2．
15.【答案】15
【解析】【分析】
本题考查诱导公式、二倍角余弦公式的应用，属于基础题．
利用二倍角余弦公式把要求的式子化为1−2sin2(π3+α)，再利用诱导公式化为1−2cs2(π6−α)，将条件代入运算求得结果．
【解答】
解：由csπ6−α= 105，
∴cs(2π3+2α)=cs2(π3+α)
=1−2sin2(π3+α)
=1−2cs2(π6−α)
=1−2×( 105)2=15，
故答案为15．
16.【答案】(2,+∞)
【解析】【分析】
本题主要考查函数零点所在区间，属于较难题．
先根据题干判断出y=ex与y=ln x的图象关于直线y=x对称，画出图像得到m=ex1+x2=2x2∈(2,+∞)．
【解析】
解：依题意，x1，x2分别是函数f(x)=ex+x−a与g(x)=lnx+x−a的零点，
则x1，x2分别为y=ex、y=ln x与y=a−x图象交点的横坐标，
而y=ex与y=ln x的图象关于直线y=x对称，如图所示：
∴ex1=x2，
∴m=ex1+x2=2x2∈(2,+∞)．
17.【答案】解：(1)原式=(π−3)+2+94−14+1=π+2；
(2)原式=12+13lg23×1+12lg32+34−5=−3

【解析】本题考查对数和指数幂的运算，属于中档题．
(1)根据指数幂的运算律计算，即可得到答案;
(2)根据对数的运算律计算，即可得到答案．
18.【答案】解：(1)移项得2xx−1−4≥0，通分得4−2xx−1≥0，
可转化为2(x−2)(x−1)≤0且x≠1，
解得1(2)令y=2x−3+x−2=3x−5,x≥2,x−1,32当x≥2时，3x−5≤3，解得x≤83，即x∈2,83；
当32当x≤32时，−3x+5≤3，解得x≥23，即x∈23,32；
综上所述：不等式解集为x23≤x≤83．

【解析】本题主要考查了绝对值不等式和分式不等式的问题．
(1)原不等式2xx−1≥4可化为4−2xx−1≥0，则2(x−2)(x−1)≤0且x≠1，即可求得结果．
(2)化为分段函数y=3x−5,x≥2,x−1,3219.【答案】解：(1)依题意，设函数表达式为d=Asin(ωt+φ)+3 22，
水轮半径为3m，所以振幅A=3，
水轮每分钟按逆时针方向转动1.5圈，故角速度为ω=1.5×2π60=π20，
水轮上点P从水中浮现时开始计时，所以3sinπ20×0+φ+3 22=0，且−π2<φ<π2，
解得φ=−π4，
所以函数表达式为d=3sinπ20t−π4+3 22，
故A=3，ω=π20，φ=−π4，K=3 22；
(2)令π20t−π4=π2，
可得t=15(s)．
∴盛水筒出水后至少约15 s就可到达最高点．

【解析】本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与应用问题，理解函数解析式中参数的物理意义，是解题的关键．
(1)水轮半径为3m，所以振幅A=3，水轮每分钟按逆时针方向转动1.5圈故角速度为ω=1.5×2π60=π20，，水轮上点P从水中浮现时开始计时，所以φ=−0.2620， ，平衡位置为y=2.2，所以K=2.2.即可得到表达式．
(2)令π20t−0.2620=π2，即可求得答案．
20.【答案】解：(1)由题意，函数f(x)=sin ωx− 3cs ωx=2sinωx−π3，
因为f(x)的最小正周期2πω=π，所以ω=2，
所以函数f(x)=2sin2x−π3，
令−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，k∈Z，解得−π12+kπ≤x≤5π12+kπ，k∈Z，
所以函数f(x)单调递增区间为−π12+kπ,5π12+kπ(k∈Z)；
(2)因为f(x)≥1，所以sin2x−π3≥12，
所以π6+2kπ≤2x−π3≤5π6+2kπ，k∈Z，
解得π4+kπ≤x≤7π12+kπ，k∈Z，
因为x∈(−π,π)，当k=−1时，x∈−3π4,−5π12，
当k=0时，x∈π4,7π12，
所以原不等式的解集为x−3π4≤x≤−5π12或π4≤x≤7π12

【解析】考查三角函数的单调性、周期性等性质，属于中档题．
(1)利用三角恒等变换化简 f( x)的解析式，再利用正弦函数的周期性求得ω的值，从而确定 f( x)的解析式，再根据正弦函数的单调性求出函数 f( x)的单调递减区间．
(2)利用正弦函数的图象和性质，求出f(x)≥1的解集．
21.【答案】解：(1)令x=y=0，代入f(x+y)=f(x)+f(y)可得f(0)=0，
令y=−x，代入f(x+y)=f(x)+f(y)，可得f(x)+f(−x)=f(0)=0，
所以f(−x)=−f(x)，可得函数f(x)为奇函数；
任取x1，x2∈R，且x10，
因为f(x+y)−f(x)=f(y)，即f(x+y)−f(x)=f[(x+y)−x]=f(y)，
令x2=x+y，x1=x，则y=x2−x1，可得f(x2)−f(x1)=f(x2−x1)，
又因为x>0时，f(x)<0，且x2−x1>0，所以fx2−x1<0，
所以f(x2)−f(x1)<0，即f(x2)(2)−f(x)=f(−x)，即−2f(x)=2f(−x)，
所以g(x)=f(x2−m)−2f(x)=f(x2−m)+2f(−x)=f(x2−m)+f(−x)+f(−x)
=f(x2−2x−m)，
令g(x)=0，即f(x2−2x−m)=0=f0，
因为函数f(x)是R上的减函数，所以x2−2x−m=0，即m=x2−2x，
令ℎ(x)=x2−2x=x2−2x,x≥0,x2+2x,x<0,
则函数ℎ(x)的图象，如图所示，
结合图象，可得：当m∈(−1,0)时，函数g(x)有4个零点，
即实数m的取值范围为(−1,0)．

【解析】本题考查了抽象函数的单调性和奇偶性的判断，难点是利用定义解决实际问题的能力，属于较难题．
(1)根据定义，判断函数的单调性，判断奇偶性；
(2)得出g(x)=f(x2−2|x|−m)，令g(x)=0即f(x2−2|x|−m)=0=f(0)，根据单调性可得 x2−2|x|−m=0，m=x2−2|x|，根据函数ℎ(x)=x2−2|x|的图像及性质即可判断．
22.【答案】解：(1)由函数f(x)是定义域在R上的偶函数，
则对于x∈R，都有f−x=f(x)，
即e−x−k·ex=ex−k·e−x，
即对于x∈R，都有k+1·ex=(k+1)·e−x，得k=−1．
(2)结合(1)可得f(x)=ex+e−x，
则g(x)=aex+e− x−2e− x−e2x−e−2x−8
=aex−e− x−e2x+e− 2x−8，
令t=ex−e−x，
由y=ex在R上单调递增，y=e−x在R上单调递减，
所以t=ex−e−x在x∈1,+∞上单调递增，得t>e−1e，
则不等式g(x)<0对任意的x∈1,+∞恒成立等价于a所以a又e2x+e− 2x+8ex−e− x=ex−e− x2+10ex−e− x=ex−e−x+10ex−e− x=t+10t，
由对勾函数的性质可得当t= 10时，t+10t取得最小值2 10，
所以e2x+e− 2x+10ex−e− x的最小值为2 10，即a<2 10，
所以实数a的取值范围为−∞,2 10．
(3)令ex=u，u>0，由对勾函数的性质可得当u=1时，u+1u取得最小值2，
所以f(x)=ex+e−x≥2，则ℎ(x)=lg2f(x)≥1，
令p=ℎ(x)−1，则p≥0，
则原问题转化为关于p的方程p+mp−4m+2m2+m=p2−3mp−2m2+m=0的根的个数，
对于p≥0有解，令Fp=p2−3mp−2m2+m，则Fp表示开口向上的抛物线，
Δ=(−3m)2−4(−2m2+m)=17m2−4m，
①当Δ=17m2−4m=0时，m=417或m=0，此时对称轴p=3m2≥0，
函数 Fp在0,+∞有唯一零点；
②当Δ≠0且Fp在0,+∞有唯一零点时，
F(0)=−2m2+m<0，可得：m<0或m>12；
③当F(p)在0,+∞有两个不相等零点时，
Δ=−3m2−4×1×−2m2+m=17m2−4m>0,p1+p2=3m>0,p1·p2=−2m2+m≥0,
可得：417综上：m≤0或m≥417．

【解析】本题主要考查函数性质的应用，不等式的解法，不等式恒成立问题，函数的零点与方程根的关系，属于难题．
(1)利用偶函数的定义求出 k 的值；
(2)原不等式可转化为 a(3)利用换元法令 p=ℎx−1 ， p≥0 ，将原问题转化为关于 p 的一元二次方程 Fp=0 的解的个数即可．