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    河南省周口市商水县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

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    这是一份河南省周口市商水县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题,共23页。

    1.本试卷共4页,三个大题,满分120分,考试时间90分钟.
    2.本试卷上不要答题,请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上.答在试卷上的答案无效.
    一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)
    1. 下面调查中,最适合采用普查的是( )
    A. 对全国中学生视力状况的调查B. 了解某市九年级学生身高情况
    C. 调查人们对垃圾分类知识的了解程度D. 对“神舟十七号”飞船零部件的调查
    【答案】D
    【解析】
    【分析】本题主要考查了抽样调查和全面调查的区别,根据实际需要灵活选择普查还是抽样调查是解题的关键.
    根据普查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断即可.
    【详解】解:A、对全国中学生视力状况的调查,人数众多,范围广,应采用抽样调查,不符合题意;
    B、了解某市九年级学生身高情况,人数众多,范围广,应采用抽样调查,不符合题意;
    C、调查人们对垃圾分类知识的了解程度,人数众多,范围广,应采用抽样调查,不符合题意;
    D、对“神舟十七号”飞船零部件的调查,涉及安全性,事关重大,应采用全面调查,符合题意.
    故选D.
    2. 下列各式计算正确的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据二次根式的加、减、乘、除运算法则逐项排查即可;掌握二次根式的相关运算法则是解答本题的关键.
    【详解】解:A.和不是同类二次根式,不能合并,故选项A错误;
    B.,故选项B错误;
    C.,故选项C正确;
    D.,故选项D错误.
    故选:C.
    3. 用配方法解方程,下列配方正确的是( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】先把2移项,然后两边同时加上4,即可得出答案.
    【详解】解:由,得

    配方,得

    即,
    故选:B.
    【点睛】本题考查了配方法解方程,熟练掌握相关知识是解题关键.
    4. 从数据,,1.9,,,0.010010001…中任选一个数,则该数恰好为无理数的概率是( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】本题主要考查无理数的概念,概率的计算,解决本题的关键是要熟练掌握概率计算方法.
    【详解】解:从数据,,1.9.,,中任选一个数,抽到的无理数的有,这2种可能,
    从数据,,1.9.,,中任选一个数,则该数恰好为无理数的概率是.
    故选:B.
    5. 在中,,如果,那么的值为( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解,也可以利用互为余角的三角函数关系式求解.
    【详解】∵在Rt△ABC中,∠C=90°,
    ∴csA=,tanB=,,
    ∵,
    可设AC=4x,则AB=5x,BC=3x,
    ∴tanB=.
    故选D.
    【点睛】本题考点:互余两角三角函数的关系.解此题时可以在草稿纸上画出草图,利用数形结合进行解答,不易出错.
    6. 如图,点P在的边上,要判断,需添加一个条件,其中不正确的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据相似三角形的判定方法,逐项判断即可.
    【详解】解;A、由可以证明,不符合题意;
    B、由可以证明,不符合题意;
    C、由可以证明,不符合题意;
    D、由不可以证明,符合题意;
    故选D.
    【点睛】本题主要考查相似三角形的判定,掌握相似三角形的判定方法是解题的关键,即在两个三角形中,满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等,则这两个三角形相似.
    7. 如图,C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点,若CA=CD,且∠CAB=25°,则∠ACD的度数为( )
    A. 25°B. 30°C. 40°D. 50°
    【答案】D
    【解析】
    【详解】∵CD是直径,
    ∴∠ACB=90°,
    ∵∠CAB=25°,
    ∴∠ABC=65°,
    ∴∠ADC=65°,
    ∵CA=CD,
    ∴∠CAD=∠ADC=65°,
    ∴∠ACD=180°﹣2×65°=50°,
    故选D.
    【点睛】本题主要考查圆周角定理,首先求出∠ABC度数,再根据圆周角定理求出∠ADC的度数,利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出答案,能正确地应用圆周角定理是解题的关键.
    8. 赵州桥是当今世界上建造最早,保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图,主桥拱呈圆弧形,跨度约为,拱高约为,则赵州桥主桥拱半径R约为( )

    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】由题意可知,,,主桥拱半径R,根据垂径定理,得到,再利用勾股定理列方程求解,即可得到答案.
    【详解】解:如图,由题意可知,,,主桥拱半径R,

    是半径,且,

    在中,,

    解得:,
    故选B
    【点睛】本题考查了垂径定理,勾股定理,利用直角三角形求解是解题关键.
    9. 如图,为驾驶员的盲区,驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.6米,且满足,若盲区的长度是6米,则车宽的长度为( )米.
    A. B. C. D. 2
    【答案】B
    【解析】
    【详解】解∶如图,过点P作于点Q,交于点M,
    设米,
    ∵,
    ∴米,
    根据题意得:四边形是矩形,
    ∴,
    ∴,
    ∴,即,
    解得:,
    ∴米,
    即车宽的长度为米.
    故选:B.
    10. 如图是抛物线的部分图象,图象过点,对称轴为直线,有下列四个结论:①;②;③y的最大值为3;④方程有实数根;⑤.其中,正确结论的个数是( ).
    A 1B. 2C. 3D. 4
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据二次函数图象,依次判断、、,可判断①;根据抛物线的对称性与过点(3,0),可得抛物线与x轴的另一个交点为(−1,0),可判断②;根据图象,可知y是有最大值,但不一定是3,可判断③;由函数与的图象有两个交点,可判断④;由于抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0),可知,再根据、推导,可判断⑤;从而可得答案.
    【详解】解:∵抛物线的开口向下,与y轴的交点在y轴的正半轴,
    ∴,,
    ∵抛物线的对称轴为直线,
    ∴,
    ∴,故①错误;
    ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0),
    ∴根据对称性,与x轴的另一个交点坐标为(﹣1,0),
    ∴,故②正确;
    根据图象,y是有最大值,但不一定是3,故③错误;
    由可得,
    根据图象,抛物线与直线有交点,
    ∴有实数根,故④正确;
    ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0),
    ∴,
    又∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴,即,故⑤正确.
    综上所述,正确的为②④⑤.
    故选:C.
    【点睛】本题考查二次函数的图象与性质,熟练掌握二次函数的图象与性质,会利用数形结合思想解决问题是解题的关键.
    二、填空题(共5小题,每小题3分,满分15分)
    11. 若二次根式有意义,则x的取值范围是________.
    【答案】x≤
    【解析】
    【详解】根据二次根式的性质(被开方数大于等于0)列出关于x的不等式,然后解不等式即可.
    解:根据二次根式有意义,得:1-2x≥0,
    解得:x≤.
    故答案是:x≤.
    12. 三角形的两边长分别为4和7,第三边的长是方程的解,则这个三角形的周长是________.
    【答案】17
    【解析】
    【分析】先利用因式分解法求解得出x的值,再根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形,从而得出答案.
    【详解】解:解方程得x1=2,x2=6,
    当x=2时,2+4=6<7,不能构成三角形,舍去;
    当x=6时,2+6>7,能构成三角形,此时三角形的周长为4+7+6=17.
    故答案为:17.
    【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.
    13. 已知,,是抛物线上的三点,则,,的大小关系为______.(用“<”连接)
    【答案】
    【解析】
    【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征,熟知二次函数的图象和性质是解题的关键.
    【详解】解:二次函数的解析式为,
    抛物线的对称轴为直线,且开口向下,
    故在抛物线上的点,离对称轴越远,其函数值越小.
    又,,,且,

    故答案为:.
    14. 如图,将扇形AOB沿OB方向平移,使点O移到OB的中点处,得到扇形.若∠O=90°,OA=2,则阴影部分的面积为______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】设与扇形交于点,连接,解,求得,根据阴影部分的面积为,即可求解.
    【详解】如图,设与扇形交于点,连接,如图
    是OB的中点
    , OA=2,
    =90°,将扇形AOB沿OB方向平移,
    阴影部分的面积为
    故答案为:
    【点睛】本题考查了解直角三角形,求扇形面积,平移的性质,求得是解题的关键.
    15. 如图,在矩形ABCD中,,,点E在边BC上,且.连接AE,将沿AE折叠,若点B的对应点落在矩形ABCD的边上,则 a的值为________.
    【答案】或
    【解析】
    【分析】分两种情况:①点落在AD边上,根据矩形与折叠的性质易得,即可求出a的值;②点落在CD边上,证明,根据相似三角形对应边成比例即可求出a的值.
    【详解】解:分两种情况:
    ①当点落在AD边上时,如图1.
    四边形ABCD是矩形,

    将沿AE折叠,点B的对应点落在AD边上,




    ②当点落在CD边上时,如图2.
    ∵四边形ABCD是矩形,
    ,.
    将沿AE折叠,点B的对应点落在CD边上,
    ,,,
    ,.
    在与中,


    ,即,
    解得,(舍去).
    综上,所求a的值为或.
    故答案为或.
    【点睛】本题考查了折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.也考查了矩形的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质.进行分类讨论与数形结合是解题的关键.
    三、解答题(共8小题,满分75分)
    16. (1)计算:;
    (2)解方程:.
    【答案】(1);(2),
    【解析】
    分析】本题考查了解一元二次方程,实数的运算,掌握解一元二次方程的方法以及实数的运算方法是解题的关键.
    (1)先根据特殊角的三角函数值和零指数幂的意义计算,然后化简二次根式后合并即可;
    (2)先移项,再利用因式分解法把方程转化为或,然后解两个一次方程即可.
    【详解】解:(1)原式

    (2),


    或,
    ,.
    17. 已知关于的方程
    ①求证:方程有两个不相等的实数根.
    ②若方程的一个根是求另一个根及的值.
    【答案】①详见解析;②,k=1
    【解析】
    【分析】①求出,即可证出结论;
    ②设另一根为x1,根据根与系数的关系即可求出结论.
    【详解】①解:=k2+8>0
    ∴方程有两个不相等实数根
    ②设另一根为x1,由根与系数的关系:

    ∴,k=1
    【点睛】此题考查的是判断一元二次方程根的情况和根与系数的关系,掌握与根的情况和根与系数的关系是解决此题的关键.
    18. 打造书香文化,培养阅读习惯,崇德中学计划在各班建图书角,开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动,学生根据自己的爱好选择一类书籍(A:科技类,B:文学类,C:政史类,D:艺术类,E:其他类).张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查,根据收集到的数据,绘制了两幅不完整的统计图(如图所示).

    根据图中信息,请回答下列问题;
    (1)条形图中的________,________,文学类书籍对应扇形圆心角等于________度;
    (2)若该校有2000名学生,请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数;
    (3)甲同学从A,B,C三类书籍中随机选择一种,乙同学从B,C,D三类书籍中随机选择一种,请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率.
    【答案】(1)18,6,
    (2)480人 (3)
    【解析】
    【分析】(1)根据选择“E:其他类”的人数及比例求出总人数,总人数乘以A占的比例即为m,总人数减去A,B,C ,E的人数即为n,360度乘以B占的比例即为文学类书籍对应扇形圆心角;
    (2)利用样本估计总体思想求解;
    (3)通过列表或画树状图列出所有等可能情况,再从中找出符合条件的情况数,再利用概率公式计算.
    【小问1详解】
    解:参与调查的总人数为:(人),


    文学类书籍对应扇形圆心角,
    故答案为:18,6,;
    【小问2详解】
    解:(人),
    因此估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数为480人;
    【小问3详解】
    解:画树状图如下:

    由图可知,共有9种等可能的情况,其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的情况有2种,
    因此甲乙两位同学选择相同类别书籍概率为:.
    【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、利用画树状图或者列表法求概率等,解题的关键是将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联,掌握画树状图或者列表法求概率的原理.
    19. 如图,某无人机爱好者在一小区外放飞无人机,当无人机飞行到一定高度点处时,无人机测得操控者的俯角为75°,测得小区楼房顶端点处的俯角为45°.已知操控者和小区楼房之间的距离为70米,此时无人机距地面的高度为74.6米,求小区楼房的高度.
    (参考数据:,,)
    【答案】24.6米
    【解析】
    【分析】过点作于点,过点作于点,在中,由正切的三角函数可求得AE的长,从而可得BE的长,易得是等腰直角三角形,由矩形的性质及等腰直角三角形的性质即可求得楼房BC的高度.
    【详解】过点作于点,过点作于点
    由题意知:∠DAE=75°
    在中,
    ∴(米)
    ∴(米)
    ∵四边形是矩形
    ∴米
    在中,
    ∴是等腰直角三角形
    ∴米
    ∴(米)
    故小区楼房的高度24.6米.
    【点睛】本题是解直角三角形的应用问题,考查了矩形的性质与判定,等腰三角形的性质与判定,锐角三角函数等知识,理解俯角的含义并通过辅助线构造直角三角形是本题的关键.
    20. 如图,二次函数经过点,,,点是抛物线的顶点,过作x轴的垂线交直线于点.
    (1)求此二次函数解析式及点坐标;
    (2)连接,求的面积.
    【答案】20. 抛物线解析式为;
    21. 的面积为6
    【解析】
    【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、求一次函数的解析式,掌握二次函数的性质是解题的关键.
    (1)设交点式,再把点坐标代入求出即可;然后利用配方法把一般式配成顶点式得到点坐标;
    (2)利用待定系数法求出直线的解析式为,则可确定点坐标,然后利用三角形面积公式求解.
    【小问1详解】
    解:设抛物线解析式为,
    把代入得,
    解得,
    抛物线解析式为,
    即;


    【小问2详解】
    解:设直线的解析式为,
    把,分别代入得,
    解得,
    直线的解析式为,
    当时,,

    三角形的面积.
    21. 小明开了一家网店,进行社会实践,计划经销甲、乙两种商品.若甲商品每件利润10元,乙商品每件利润20元,则每周能卖出甲商品40件,乙商品20件.经调查,甲、乙两种商品零售单价分别每降价1元,这两种商品每周可各多销售10件.为了提高销售量,小明决定把甲、乙两种商品的零售单价都降价x元.
    (1)直接写出甲、乙两种商品每周的销售量y(件)与降价x(元)之间的函数关系式: , ;
    (2)求出小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润W(元)与降价x(元)之间的函数关系式?如果每周甲商品的销售量不低于乙商品的销售量的,那么当x定为多少元时,才能使小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润最大?
    【答案】(1)、;
    (2)当定为2元时,才能使小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润最大.
    【解析】
    【分析】本题考查的是二次函数的应用,正确列出二次函数的关系式,掌握二次函数的性质是解题的关键.
    (1)根据题意可以列出甲、乙两种商品每周的销售量(件与降价(元之间的函数关系式;
    (2)根据每周甲商品的销售量不低于乙商品的销售量的,列出不等式求出的取值范围,根据题意列出二次函数的解析式,根据二次函数的性质求出对称轴方程,得到答案.
    【小问1详解】
    由题意得,;;
    故答案为:、;
    【小问2详解】
    由题意得,

    由题意得,
    解得,


    当时,随增大而增大,
    当时,的值最大.
    答:当定为2元时,才能使小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润最大.
    22. 如图,是半圆的直径,点是半圆上一点(不与点,重合),连接,.点为线段延长线上一点,连接,.
    (1)求证:为的切线;
    (2)作的平分线,交于点,交于点.
    ①请用无刻度的直尺和圆规完成作图(保留作图痕迹,不写作法);
    ②若,求的长.
    【答案】(1)见解析 (2)①见解析;②
    【解析】
    【分析】(1)连接,根据直径所对的圆周角是直角和等腰三角形的性质得出即可;
    (2)①按照尺规作图方法画图即可;②证明,得出为等腰直角三角形即可求解.
    【小问1详解】
    证明:连接,
    是半圆的直径,

    即,




    即,

    为的半径,
    为的切线;
    【小问2详解】
    解:①如图,为所作;
    ②平分,


    而,



    为等腰直角三角形,

    【点睛】本题考查了切线的证明,尺规作图,等腰三角形的判定与性质,解题关键是熟练运用切线的判定定理进行证明,利用等腰三角形的性质得出为等腰直角三角形.
    23. 问题情境:“综合与实践”课上,老师提出如下问题:将图1中的矩形纸片沿对角线剪开,得到两个全等的三角形纸片,表示为和,其中.将和按图2所示方式摆放,其中点与点重合(标记为点).当时,延长交于点.试判断四边形的形状,并说明理由.

    (1)数学思考:谈你解答老师提出的问题;
    (2)深入探究:老师将图2中的绕点逆时针方向旋转,使点落在内部,并让同学们提出新的问题.

    ①“善思小组”提出问题:如图3,当时,过点作交的延长线于点与交于点.试猜想线段和的数量关系,并加以证明.请你解答此问题;

    ②“智慧小组”提出问题:如图4,当时,过点作于点,若,求的长.请你思考此问题,直接写出结果.

    【答案】(1)正方形,见解析
    (2)①,见解析;②
    【解析】
    【分析】(1)先证明四边形是矩形,再由可得,从而得四边形是正方形;
    (2)①由已知可得,再由等积方法,再结合已知即可证明结论;②设的交点为M,过M作于G,则易得,点G是的中点;利用三角函数知识可求得的长,进而求得的长,利用相似三角形的性质即可求得结果.
    【小问1详解】
    解:四边形为正方形.理由如下:
    ∵,
    ∴.
    ∵,
    ∴.
    ∴.
    ∵,
    ∴四边形为矩形.
    ∵,
    ∴.
    ∴矩形为正方形.
    【小问2详解】
    :①.
    证明:∵,
    ∴.
    ∵,
    ∴.
    ∵,即,
    ∴.
    ∵,
    ∴.
    由(1)得,
    ∴.
    ②解:如图:设的交点为M,过M作于G,
    ∵,
    ∴,,
    ∴;
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴点G是的中点;
    由勾股定理得,
    ∴;
    ∵,
    ∴,即;
    ∴;
    ∵,,
    ∴,
    ∴,
    ∴,即的长为.
    【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点,适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键.
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    河南省周口市商水县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题: 这是一份河南省周口市商水县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题,共20页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    河南省周口市商水县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题: 这是一份河南省周口市商水县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题,共10页。试卷主要包含了下列命题中,真命题的个数是,已知则的值为,已知,则的值为等内容,欢迎下载使用。

    河南省周口市商水县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题: 这是一份河南省周口市商水县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题,共10页。试卷主要包含了下列命题中,真命题的个数是,已知则的值为,已知,则的值为等内容,欢迎下载使用。

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