河南省周口市商水县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
展开1.本试卷共4页,三个大题,满分120分,考试时间90分钟.
2.本试卷上不要答题,请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上.答在试卷上的答案无效.
一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)
1. 下面调查中,最适合采用普查的是( )
A. 对全国中学生视力状况的调查B. 了解某市九年级学生身高情况
C. 调查人们对垃圾分类知识的了解程度D. 对“神舟十七号”飞船零部件的调查
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了抽样调查和全面调查的区别,根据实际需要灵活选择普查还是抽样调查是解题的关键.
根据普查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断即可.
【详解】解:A、对全国中学生视力状况的调查,人数众多,范围广,应采用抽样调查,不符合题意;
B、了解某市九年级学生身高情况,人数众多,范围广,应采用抽样调查,不符合题意;
C、调查人们对垃圾分类知识的了解程度,人数众多,范围广,应采用抽样调查,不符合题意;
D、对“神舟十七号”飞船零部件的调查,涉及安全性,事关重大,应采用全面调查,符合题意.
故选D.
2. 下列各式计算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的加、减、乘、除运算法则逐项排查即可;掌握二次根式的相关运算法则是解答本题的关键.
【详解】解:A.和不是同类二次根式,不能合并,故选项A错误;
B.,故选项B错误;
C.,故选项C正确;
D.,故选项D错误.
故选:C.
3. 用配方法解方程,下列配方正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先把2移项,然后两边同时加上4,即可得出答案.
【详解】解:由,得
,
配方,得
,
即,
故选:B.
【点睛】本题考查了配方法解方程,熟练掌握相关知识是解题关键.
4. 从数据,,1.9,,,0.010010001…中任选一个数,则该数恰好为无理数的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查无理数的概念,概率的计算,解决本题的关键是要熟练掌握概率计算方法.
【详解】解:从数据,,1.9.,,中任选一个数,抽到的无理数的有,这2种可能,
从数据,,1.9.,,中任选一个数,则该数恰好为无理数的概率是.
故选:B.
5. 在中,,如果,那么的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解,也可以利用互为余角的三角函数关系式求解.
【详解】∵在Rt△ABC中,∠C=90°,
∴csA=,tanB=,,
∵,
可设AC=4x,则AB=5x,BC=3x,
∴tanB=.
故选D.
【点睛】本题考点:互余两角三角函数的关系.解此题时可以在草稿纸上画出草图,利用数形结合进行解答,不易出错.
6. 如图,点P在的边上,要判断,需添加一个条件,其中不正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定方法,逐项判断即可.
【详解】解;A、由可以证明,不符合题意;
B、由可以证明,不符合题意;
C、由可以证明,不符合题意;
D、由不可以证明,符合题意;
故选D.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定,掌握相似三角形的判定方法是解题的关键,即在两个三角形中,满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等,则这两个三角形相似.
7. 如图,C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点,若CA=CD,且∠CAB=25°,则∠ACD的度数为( )
A. 25°B. 30°C. 40°D. 50°
【答案】D
【解析】
【详解】∵CD是直径,
∴∠ACB=90°,
∵∠CAB=25°,
∴∠ABC=65°,
∴∠ADC=65°,
∵CA=CD,
∴∠CAD=∠ADC=65°,
∴∠ACD=180°﹣2×65°=50°,
故选D.
【点睛】本题主要考查圆周角定理,首先求出∠ABC度数,再根据圆周角定理求出∠ADC的度数,利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出答案,能正确地应用圆周角定理是解题的关键.
8. 赵州桥是当今世界上建造最早,保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图,主桥拱呈圆弧形,跨度约为,拱高约为,则赵州桥主桥拱半径R约为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知,,,主桥拱半径R,根据垂径定理,得到,再利用勾股定理列方程求解,即可得到答案.
【详解】解:如图,由题意可知,,,主桥拱半径R,
,
是半径,且,
,
在中,,
,
解得:,
故选B
【点睛】本题考查了垂径定理,勾股定理,利用直角三角形求解是解题关键.
9. 如图,为驾驶员的盲区,驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.6米,且满足,若盲区的长度是6米,则车宽的长度为( )米.
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【详解】解∶如图,过点P作于点Q,交于点M,
设米,
∵,
∴米,
根据题意得:四边形是矩形,
∴,
∴,
∴,即,
解得:,
∴米,
即车宽的长度为米.
故选:B.
10. 如图是抛物线的部分图象,图象过点,对称轴为直线,有下列四个结论:①;②;③y的最大值为3;④方程有实数根;⑤.其中,正确结论的个数是( ).
A 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数图象,依次判断、、,可判断①;根据抛物线的对称性与过点(3,0),可得抛物线与x轴的另一个交点为(−1,0),可判断②;根据图象,可知y是有最大值,但不一定是3,可判断③;由函数与的图象有两个交点,可判断④;由于抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0),可知,再根据、推导,可判断⑤;从而可得答案.
【详解】解:∵抛物线的开口向下,与y轴的交点在y轴的正半轴,
∴,,
∵抛物线的对称轴为直线,
∴,
∴,故①错误;
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0),
∴根据对称性,与x轴的另一个交点坐标为(﹣1,0),
∴,故②正确;
根据图象,y是有最大值,但不一定是3,故③错误;
由可得,
根据图象,抛物线与直线有交点,
∴有实数根,故④正确;
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0),
∴,
又∵,
∴,
∵,
∴,即,故⑤正确.
综上所述,正确的为②④⑤.
故选:C.
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质,熟练掌握二次函数的图象与性质,会利用数形结合思想解决问题是解题的关键.
二、填空题(共5小题,每小题3分,满分15分)
11. 若二次根式有意义,则x的取值范围是________.
【答案】x≤
【解析】
【详解】根据二次根式的性质(被开方数大于等于0)列出关于x的不等式,然后解不等式即可.
解:根据二次根式有意义,得:1-2x≥0,
解得:x≤.
故答案是:x≤.
12. 三角形的两边长分别为4和7,第三边的长是方程的解,则这个三角形的周长是________.
【答案】17
【解析】
【分析】先利用因式分解法求解得出x的值,再根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形,从而得出答案.
【详解】解:解方程得x1=2,x2=6,
当x=2时,2+4=6<7,不能构成三角形,舍去;
当x=6时,2+6>7,能构成三角形,此时三角形的周长为4+7+6=17.
故答案为:17.
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.
13. 已知,,是抛物线上的三点,则,,的大小关系为______.(用“<”连接)
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征,熟知二次函数的图象和性质是解题的关键.
【详解】解:二次函数的解析式为,
抛物线的对称轴为直线,且开口向下,
故在抛物线上的点,离对称轴越远,其函数值越小.
又,,,且,
.
故答案为:.
14. 如图,将扇形AOB沿OB方向平移,使点O移到OB的中点处,得到扇形.若∠O=90°,OA=2,则阴影部分的面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】设与扇形交于点,连接,解,求得,根据阴影部分的面积为,即可求解.
【详解】如图,设与扇形交于点,连接,如图
是OB的中点
, OA=2,
=90°,将扇形AOB沿OB方向平移,
阴影部分的面积为
故答案为:
【点睛】本题考查了解直角三角形,求扇形面积,平移的性质,求得是解题的关键.
15. 如图,在矩形ABCD中,,,点E在边BC上,且.连接AE,将沿AE折叠,若点B的对应点落在矩形ABCD的边上,则 a的值为________.
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况:①点落在AD边上,根据矩形与折叠的性质易得,即可求出a的值;②点落在CD边上,证明,根据相似三角形对应边成比例即可求出a的值.
【详解】解:分两种情况:
①当点落在AD边上时,如图1.
四边形ABCD是矩形,
,
将沿AE折叠,点B的对应点落在AD边上,
,
,
,
;
②当点落在CD边上时,如图2.
∵四边形ABCD是矩形,
,.
将沿AE折叠,点B的对应点落在CD边上,
,,,
,.
在与中,
,
,
,即,
解得,(舍去).
综上,所求a的值为或.
故答案为或.
【点睛】本题考查了折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.也考查了矩形的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质.进行分类讨论与数形结合是解题的关键.
三、解答题(共8小题,满分75分)
16. (1)计算:;
(2)解方程:.
【答案】(1);(2),
【解析】
分析】本题考查了解一元二次方程,实数的运算,掌握解一元二次方程的方法以及实数的运算方法是解题的关键.
(1)先根据特殊角的三角函数值和零指数幂的意义计算,然后化简二次根式后合并即可;
(2)先移项,再利用因式分解法把方程转化为或,然后解两个一次方程即可.
【详解】解:(1)原式
;
(2),
,
,
或,
,.
17. 已知关于的方程
①求证:方程有两个不相等的实数根.
②若方程的一个根是求另一个根及的值.
【答案】①详见解析;②,k=1
【解析】
【分析】①求出,即可证出结论;
②设另一根为x1,根据根与系数的关系即可求出结论.
【详解】①解:=k2+8>0
∴方程有两个不相等实数根
②设另一根为x1,由根与系数的关系:
∴,k=1
【点睛】此题考查的是判断一元二次方程根的情况和根与系数的关系,掌握与根的情况和根与系数的关系是解决此题的关键.
18. 打造书香文化,培养阅读习惯,崇德中学计划在各班建图书角,开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动,学生根据自己的爱好选择一类书籍(A:科技类,B:文学类,C:政史类,D:艺术类,E:其他类).张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查,根据收集到的数据,绘制了两幅不完整的统计图(如图所示).
根据图中信息,请回答下列问题;
(1)条形图中的________,________,文学类书籍对应扇形圆心角等于________度;
(2)若该校有2000名学生,请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数;
(3)甲同学从A,B,C三类书籍中随机选择一种,乙同学从B,C,D三类书籍中随机选择一种,请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率.
【答案】(1)18,6,
(2)480人 (3)
【解析】
【分析】(1)根据选择“E:其他类”的人数及比例求出总人数,总人数乘以A占的比例即为m,总人数减去A,B,C ,E的人数即为n,360度乘以B占的比例即为文学类书籍对应扇形圆心角;
(2)利用样本估计总体思想求解;
(3)通过列表或画树状图列出所有等可能情况,再从中找出符合条件的情况数,再利用概率公式计算.
【小问1详解】
解:参与调查的总人数为:(人),
,
,
文学类书籍对应扇形圆心角,
故答案为:18,6,;
【小问2详解】
解:(人),
因此估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数为480人;
【小问3详解】
解:画树状图如下:
由图可知,共有9种等可能的情况,其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的情况有2种,
因此甲乙两位同学选择相同类别书籍概率为:.
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、利用画树状图或者列表法求概率等,解题的关键是将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联,掌握画树状图或者列表法求概率的原理.
19. 如图,某无人机爱好者在一小区外放飞无人机,当无人机飞行到一定高度点处时,无人机测得操控者的俯角为75°,测得小区楼房顶端点处的俯角为45°.已知操控者和小区楼房之间的距离为70米,此时无人机距地面的高度为74.6米,求小区楼房的高度.
(参考数据:,,)
【答案】24.6米
【解析】
【分析】过点作于点,过点作于点,在中,由正切的三角函数可求得AE的长,从而可得BE的长,易得是等腰直角三角形,由矩形的性质及等腰直角三角形的性质即可求得楼房BC的高度.
【详解】过点作于点,过点作于点
由题意知:∠DAE=75°
在中,
∴(米)
∴(米)
∵四边形是矩形
∴米
在中,
∴是等腰直角三角形
∴米
∴(米)
故小区楼房的高度24.6米.
【点睛】本题是解直角三角形的应用问题,考查了矩形的性质与判定,等腰三角形的性质与判定,锐角三角函数等知识,理解俯角的含义并通过辅助线构造直角三角形是本题的关键.
20. 如图,二次函数经过点,,,点是抛物线的顶点,过作x轴的垂线交直线于点.
(1)求此二次函数解析式及点坐标;
(2)连接,求的面积.
【答案】20. 抛物线解析式为;
21. 的面积为6
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、求一次函数的解析式,掌握二次函数的性质是解题的关键.
(1)设交点式,再把点坐标代入求出即可;然后利用配方法把一般式配成顶点式得到点坐标;
(2)利用待定系数法求出直线的解析式为,则可确定点坐标,然后利用三角形面积公式求解.
【小问1详解】
解:设抛物线解析式为,
把代入得,
解得,
抛物线解析式为,
即;
,
,
【小问2详解】
解:设直线的解析式为,
把,分别代入得,
解得,
直线的解析式为,
当时,,
,
三角形的面积.
21. 小明开了一家网店,进行社会实践,计划经销甲、乙两种商品.若甲商品每件利润10元,乙商品每件利润20元,则每周能卖出甲商品40件,乙商品20件.经调查,甲、乙两种商品零售单价分别每降价1元,这两种商品每周可各多销售10件.为了提高销售量,小明决定把甲、乙两种商品的零售单价都降价x元.
(1)直接写出甲、乙两种商品每周的销售量y(件)与降价x(元)之间的函数关系式: , ;
(2)求出小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润W(元)与降价x(元)之间的函数关系式?如果每周甲商品的销售量不低于乙商品的销售量的,那么当x定为多少元时,才能使小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润最大?
【答案】(1)、;
(2)当定为2元时,才能使小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润最大.
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的应用,正确列出二次函数的关系式,掌握二次函数的性质是解题的关键.
(1)根据题意可以列出甲、乙两种商品每周的销售量(件与降价(元之间的函数关系式;
(2)根据每周甲商品的销售量不低于乙商品的销售量的,列出不等式求出的取值范围,根据题意列出二次函数的解析式,根据二次函数的性质求出对称轴方程,得到答案.
【小问1详解】
由题意得,;;
故答案为:、;
【小问2详解】
由题意得,
,
由题意得,
解得,
,
,
当时,随增大而增大,
当时,的值最大.
答:当定为2元时,才能使小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润最大.
22. 如图,是半圆的直径,点是半圆上一点(不与点,重合),连接,.点为线段延长线上一点,连接,.
(1)求证:为的切线;
(2)作的平分线,交于点,交于点.
①请用无刻度的直尺和圆规完成作图(保留作图痕迹,不写作法);
②若,求的长.
【答案】(1)见解析 (2)①见解析;②
【解析】
【分析】(1)连接,根据直径所对的圆周角是直角和等腰三角形的性质得出即可;
(2)①按照尺规作图方法画图即可;②证明,得出为等腰直角三角形即可求解.
【小问1详解】
证明:连接,
是半圆的直径,
,
即,
,
,
,
,
即,
,
为的半径,
为的切线;
【小问2详解】
解:①如图,为所作;
②平分,
,
,
而,
,
,
,
为等腰直角三角形,
.
【点睛】本题考查了切线的证明,尺规作图,等腰三角形的判定与性质,解题关键是熟练运用切线的判定定理进行证明,利用等腰三角形的性质得出为等腰直角三角形.
23. 问题情境:“综合与实践”课上,老师提出如下问题:将图1中的矩形纸片沿对角线剪开,得到两个全等的三角形纸片,表示为和,其中.将和按图2所示方式摆放,其中点与点重合(标记为点).当时,延长交于点.试判断四边形的形状,并说明理由.
(1)数学思考:谈你解答老师提出的问题;
(2)深入探究:老师将图2中的绕点逆时针方向旋转,使点落在内部,并让同学们提出新的问题.
①“善思小组”提出问题:如图3,当时,过点作交的延长线于点与交于点.试猜想线段和的数量关系,并加以证明.请你解答此问题;
②“智慧小组”提出问题:如图4,当时,过点作于点,若,求的长.请你思考此问题,直接写出结果.
【答案】(1)正方形,见解析
(2)①,见解析;②
【解析】
【分析】(1)先证明四边形是矩形,再由可得,从而得四边形是正方形;
(2)①由已知可得,再由等积方法,再结合已知即可证明结论;②设的交点为M,过M作于G,则易得,点G是的中点;利用三角函数知识可求得的长,进而求得的长,利用相似三角形的性质即可求得结果.
【小问1详解】
解:四边形为正方形.理由如下:
∵,
∴.
∵,
∴.
∴.
∵,
∴四边形为矩形.
∵,
∴.
∴矩形为正方形.
【小问2详解】
:①.
证明:∵,
∴.
∵,
∴.
∵,即,
∴.
∵,
∴.
由(1)得,
∴.
②解:如图:设的交点为M,过M作于G,
∵,
∴,,
∴;
∵,
∴,
∴,
∵,
∴点G是的中点;
由勾股定理得,
∴;
∵,
∴,即;
∴;
∵,,
∴,
∴,
∴,即的长为.
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点,适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键.
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