河南省南阳市唐河县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份河南省南阳市唐河县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共22页。

1．本试卷共6页，满分120分，考试时间100分钟．
2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔，直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效．
3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 16的立方根为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据立方根的定义解答即可．
【详解】解：16的立方根为，
故选：C
【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握实数的立方根是解题的关键．
2. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】选项A根据积的乘方运算法则判断即可；选项根据完全平方公式判断即可；选项根据同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则判断即可；选项根据单项式乘多项式的运算法则判断即可．
【详解】解：A．，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项符合题意；
D．，故本选项不符合题意．
故选：C
【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
3. 估算的值是在（ ）
A. 5和6之间B. 6和7之间C. 7和8之间D. 8和9之间
【答案】C
【解析】
【详解】∵25<27<36，
∴5<<6，
∴7<8.
故选：C.
4. 如图，甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（ ）
A. 甲和乙B. 甲和丙C. 乙和丙D. 只有丙
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．
【详解】解：在△ABC和乙的三角形中，两边及其夹角对应相等，满足三角形全等的判定方法：SAS，
所以乙和△ABC全等；
在△ABC和丙的三角形中，两个及一角对边对应相等，满足三角形全等的判定方法：AAS，
所以丙和△ABC全等；
在△ABC和甲三角形中，只有一边一角对应相等南，不能判定甲与△ABC全等；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ）
A. 三边垂直平分线的交点B. 三边中线的交点C. 三个内角角平分线的交点D. 三边高的交点
【答案】A
【解析】
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
【详解】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边垂直平分线的交点上．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．
6. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列示意图中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方，每一个图判断两次即可．
【详解】解：，，，，，
，，，
错误，B错误，C正确，D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是注意是判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方．
7. 乐乐爸爸的公司今年1—7月份的销售额在七个月之内增长率的变化状况如图所示．从图上看出，下列结论正确的是（ ）
A. 1—6月份销售额在逐渐减少
B. 在这七个月中，1月份的销售额最大
C. 这七个月中，每月的销售额不断上涨
D. 这七个月中，销售额有增有减
【答案】C
【解析】
【分析】这七个月中，股票的增长率始终是正数，前六个月的股票增长率不断下降，七月份增长率上涨据此进行解答即可．
【详解】解：由折线统计图可知1~6月份股票月增长率逐渐减少，7月份股票的月增长率开始回升，这七个月中，股票的增长率始终是正数，则每月的股票不断上涨，所以C正确，A、B、D均错误．
故答案是C．
【点睛】本题主要考查折线统计图的运用，折线统计图表示的是事物的变化情况，在图形中纵轴表示的是增长率，只有增长率是负数，才表示股票下跌．
8. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了用直尺和圆规作角平分线，线段垂直平分线的性质定理的逆定理，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．由作法可知，，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理，可得，，又因为，根据直角三角形两锐角互余，可求得，即，再求出的度数，即得答案．
【详解】以点A为圆心，的长为半径作弧，
，
分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，
，且，，
，
，
，
，
，
，
．
故选D．
9. 如图，在边长为的正方形中央剪去一边长为的小正方形，将剩余部分前开，密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接用大正方形的面积，减去小正方形的面积，进行计算即可．
【详解】解：该平行四边形的面积为；
故选C．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键．
10. 勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书(周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成的，可以用其面积关系验证勾股定理，将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为( )

A. 120B. 110C. 100D. 90
【答案】B
【解析】
【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，如图所示：
则四边形OALP是矩形．

∵∠CBF=90°，
∴∠ABC+∠OBF=90°，
又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠OBF=∠ACB，
在△OBF和△ACB中，
∵∠BAC=∠BOF,
∠ACB=∠OBF,
BC=BF,，
∴△OBF≌△ACB（AAS），
∴AC=OB，
同理：△ACB≌△PGC，
∴PC=AB，
∴OA=AP，
∴矩形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7，
∴KL=3+7=10，LM=4+7=11，
∴长方形KLMJ面积为10×11=110．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；通过作出辅助线证明三角形全等得出正方形是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
分析】本题考查因式分解，利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
12. 在期末体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，初二（3）班有52名学生，达到优秀的有14人，合格的有25人，则这次体育考核中，不合格人数的频率是______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出不合格人数，再根据频率计算公式：频率=频数÷总数求解即可．
【详解】解：根据题意，不合格人数为，
∴不合格人数的频率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查频率，熟记频率计算公式是解题关键．
13. 若，则代数式的值等于_______．
【答案】4
【解析】
【分析】把x+y=2变形为x=2-y，再代入解答即可．
【详解】把x+y=2变形为x=2-y，
把x=2-y代入x2-y2+4y
=（2-y）2-y2+4y，
=4-4y+y2-y2+4y，
=4，
故答案为4．
【点睛】此题考查完全平方公式，关键是把x+y=2变形为x=2-y．
14. 如图，在等边三角形中，，点O在上，且，点D和点E分别在，上，，，则的长是__________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的性质、三角形的外角性质、全等三角形的判定与性质，证明即可求解．
【详解】解：∵在等边三角形中，，，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：6．
15. 如图，在中，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上的一个动点，当的周长最小时，的长为___⁠．

【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，折叠的性质．明确周长最小时点的位置是解题的关键．
由，可得是直角三角形，且，如图，连接，由折叠的性质可知，，，，，
则，，由的周长为，可知当三点共线即重合时，的周长最小，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，即直角三角形，且，
如图，连接，

由折叠的性质可知，，，，，
∴，，
∵的周长为，
∴当三点共线即重合时，的和最小，即的周长最小，
设，则，
由勾股定理得，，即，解得，，
∴的长为10，
故答案为：10．
三、解答题（共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）本题考查实数的混合运算，先进行开方运算，去绝对值运算，再进行加减运算即可；
（2）本题考查平方差公式，利用平方差公式进行简算即可．掌握平方差公式，是解题的关键．
【小问1详解】
原式
；
【小问2详解】
．
17. （1）化简：；
（2）已知x是的整数部分，y是的小数部分，求的平方根．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简，算术平方根的整数部分和小数部分，代数式求值．熟练掌握用完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式法则，合并同类项法则，算术平方根的整数部分和小数部分的关系，求代数式的值，是解决问题的关键．
（1）用完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式法则展开，合并同类项，即得；
（2）根据得到，得到的整数部分，小数部分，把x、y的值代入，计算即得．
【详解】（1）
．
（2）∵，
∴，
∵是的整数部分，y是的小数部分，
∴，
∴，
∴的平方根，即16的平方根为．
18. 如图，在四边形中，，平分，且，过点D作于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
（1）先证明，再由全等三角形的性质即可得结果；
（2）先在中，用勾股定理求得的长，再由全等三角形的性质可得，，最后再由勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：，，
，
平分，
∴，
又，
∴；
【小问2详解】
在中，，，
，
由（1）：，
，，
，
在中，．
19. 对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用，减少污染，保护环境，为了调查同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，某校数学兴趣小组的同学设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取部分同学进行问卷测试，把测试成绩分成“优、良、中、差”四个等级，绘制了如下不完整的统计图：
根据以上统计信息，解答下列问题：
（1）求成绩是“优”的人数占抽取人数的百分比；
（2）求本次随机抽取问卷测试的人数，
（3）请把条形统计图补充完整；
（4）扇形统计图中成绩是“良”的圆心角的度数是____________．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析 （4）
【解析】
【分析】（1）根据“优”所对的圆心角度数除以即可求解；
（2）用“优”的人数除以其所占比例即可求解；
（3）用总人数减去“优”、“良”、“差”的人数即可求出“中”的人数，据此画图即可；
（4）总人数乘以 “良”的人数和所占的比例即可．
【小问1详解】
，
即“优”的人数占抽取人数的百分比为；
【小问2详解】
（人），
即抽取检测的人数为人；
【小问3详解】
“中”的人数为：（人），
画图如下：
【小问4详解】
扇形统计图中成绩是“良”的圆心角的度数是
故答案为：．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，求扇形圆心角度数和画条形统计图的知识．根据“优”所对的圆心角度数求出该项人数所占比例是解答本题的关键．
20. 如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，，且．
（1）求的度数；
（2）若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，求被监控到的道路长度为多少？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形性质得出，进而利用勾股定理逆定理解答即可；
（2）根据轴对称的性质和勾股定理解答即可．
【小问1详解】
解：连接，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
在中，，
是直角三角形，
，
；
【小问2详解】
过点作于，作点关于的对称点，连接，
由轴对称的性质，得：，，
由（1）知，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
被监控到的道路长度为．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
21. 阅读与思考：下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务：
（1）请你补全小宇日记中不完整的部分：①__________，②__________．
（2）尺规作图：在图2中作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）．
（3）在（2）的条件下，求线段的长度．
【答案】（1），
（2） （3）
【解析】
【分析】（1）①正方形面积等于边长乘以边长，也可以等于各个小部分的面积之和，即可得到结论；②根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据角平分线的作法作出图形即可；
（3）过作于，根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
解：补全小宇日记中不完整的部分：
①正方形面积等于边长乘以边长，即，
正方形面积也可以等于各个小部分的面积之和，即，
即；
②，，
那么点到的距离为，
所以①，②；
【小问2详解】
解：如图所示，线段即为所求；
【小问3详解】
解：过作于，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故线段的长度为．
【点睛】本题考查了作图—基本作图，完全平方公式，三角形的面积公式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确地作出图形是解题的关键．
22. 数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为、的两个正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如：由图2可得．
则：
（1）由图3可以解释的等式是____________________；
（2）用9张边长为的正方形纸片，12张长为、宽为的长方形纸片，4张边长为的正方形纸片拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为____________________；
（3）先计算，再用图形的面积解释它的正确性．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）大正方形的面积等于小正方形的面积与四个长方形面积之和，用含、的代数式等量关系即可，
（2）将所有纸片的面积加到一起，根据完全平方公式即可得出大正方形的边长，
（3）阴影部分面积等于：2个边长为的正方形，与3个长为、宽为的长方形面积之和，再减去2个边长为的正方形面积，
本题考查了多项式的乘法，完全平方公式，解题的关键是：熟练应用数形结合的方法，用代数式表示出大图形的面积与它组成部分之间的等量关系．
【小问1详解】
解：根据题意列式：，
故答案为：，
【小问2详解】
9张边长为的正方形纸片面积为：，
12张长为、宽为的长方形纸片面积为：，
4张边长为的正方形纸片面积为：，
由题意得：，
故大正方形的边长为：，
【小问3详解】
，
作图如下：
阴影面积为长为宽为的长方形，它的面积等于2个边长为的正方形，与个长为、宽为的长方形面积之和，再减去2个边长为的正方形面积，
故答案为：．
23. 已知：∠AOB＝60°．小亮在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°（即∠DPE＝120°）的角尺，来作∠AOB的角平分线．
（1）如图1，他先在边OA和OB上分别取OD＝OE，再移动角尺使PD＝PE，然后他就说射线OP是∠AOB的角平分线．试根据小亮的做法证明射线OP是∠AOB的角平分线；
（2）如图2，小亮在确认射线OP是∠AOB的角平分线后，想继续探究，于是将角尺绕点P旋转了一定的角度，他认为旋转后的线段PD和PE仍然相等．请问小亮的观点是否正确，为什么？
（3）如图3，在（2）的基础上，若角尺旋转后恰好使得DPOB，请直接写出线段OD与OE的数量关系（不用说明理由）．
【答案】（1）见解析 （2）结论正确，证明见解析
（3）结论：OE=2OD．证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据SSS证明△OPD≌△OPE（SSS），可得结论．
（2）结论正确．如图2中，过点P作PH⊥OA于H，PK⊥OB于K．证明△PHD≌△PKE（ASA），可得结论．
（3）结论：OE=2OD．如图3中，在OB上取一点T，使得OT=OD，连接PT．想办法证明PT=OT，PT=TE，可得结论．
【小问1详解】
证明：如图1中，
在△OPD和△OPE中，
∴△OPD≌△OPE（SSS），
∴∠POD=∠POE．
【小问2详解】
解：结论正确．
理由：如图2中，过点P作PH⊥OA于H，PK⊥OB于K．
∵∠PHO=∠PKO=90°，∠AOB=60°，
∴∠HPK=120°，
∵∠DPE=∠HPK=120°，
∴∠DPH=∠EPK，
∵OP平分∠AOB，PH⊥OA，PK⊥OB，
∴∠POH=∠POK，∠PHO=∠PKO=90°，
在△OPH和△OPK中，
，
∴△OPH≌△OPK（AAS），
∴PH=PK，
在△PHD和△PKE中，
，
∴△PHD≌△PKE（ASA），
∴PD=PE．
【小问3详解】
解：结论：OE=2OD．
理由：如图3中，在OB上取一点T，使得OT=OD，连接PT．
∵OP平分∠AOB，
∴∠POD=∠POT，
在△POD和△POT中，
∴△POD≌△POT（SAS），
∴∠ODP=∠OTP，
∵PDOB，
∴∠PDO+∠AOB=180°，∠DPE+∠PEO=180°，
∵∠AOB=60°，∠DPE=120°，
∴∠ODP=120°，∠PEO=60°，
∴∠OTP=∠ODP=120°，
∴∠PTE=60°，
∴∠TPE=∠PET=60°，
∴TP=TE，
∵∠PTE=∠TOP+∠TPO，∠POT=30°，
∴∠TOP=∠TPO=30°，
∴OT=TP，
∴OT=TE，
∴OE=2OD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．×年×月×日 星期日
用等面积法解决问题
周末，我对本学期所学的内容进行了回顾与整理，发现数学中有许多方法是可以互相迁移的．
比如我们在学习整式乘法时，借助如图1所示的边长为的正方形，用两种不同的方法表示这个正方形的面积，可以得到乘法公式 ① ．
再比如学习三角形的内容时，我遇到了同样可以用等面积法解决的问题．如图2，在中，，，，求点到的距离．我们也可以利用等面积法求得点到的距离为 ② ．
总结：等面积法是一种重要的数学解题方法，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，不仅可以使解题思路清晰，过程简洁，而且还能体现知识间的相互联系．