河南省漯河市高新区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份河南省漯河市高新区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 2024的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相反数，掌握只有符号不同的两个数叫互为相反数是解题的关键．根据相反数的定义求解即可．
【详解】解：2024的相反数是，
故选B．
2. 小聪把“爱学习，勤思考”六个字分别写在一个正方体的六个面上，这个正方体的展开图如图所示，则“勤”所在面的对面上的字是（ ）
A. “爱”B. “勤”C. “思”D. “考”
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，正方体的平面展开图中，相对的面的中间要相隔一个面，据此作答．
【详解】解：正方体的平面展开图中，相对的面的中间要相隔一个面，
所以“勤”所在面的对面上的字是“考”．
故选D．
3. 原子的质量如此小，无论书写、记忆、还是使用都极不方便．为方便应用，以一种碳原子质量的（即）为标准，其他原子的质量跟它相比较所得到的比值，称为相对原子质量．若一个碳原子的质量是，则该碳的相对原子质量为（ ）
A. 12B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是负正是指数次幂及科学记数法，熟知运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故选：A．
4. 如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．根据水面与水杯下沿平行，则有，结合即可解答．
【详解】解：水面与水杯下沿平行，
，
，
．
故选：A
5. 小军同学将相同体积的水分别倒入底面半径不同的圆柱形量筒中，并记录数据如下表（其中S表示量筒底面积，h表示水面高度），当时，对应的量筒底面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用以及圆柱体的体积公式的应用，根据圆柱体的体积公式，其中是底面积，是高，由于水的体积是不变的，故可通过已知数据求出水的体积，再将代入即可求出底面积．
【详解】解：由题可知，当时，，
∵圆柱体的体积公式，
∴，
∵水的体积是不变的，
∴当时，，
故选：B．
6. 如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，应用圆周角定理即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C
7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 实数根的个数与a的取值有关
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据“，方程有两个不等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；”结合原方程列出判别式即可解题．
【详解】解：由题可得：
，
所以方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
8. 如图，小强自制了一个小孔成像的装置，其中纸筒的长度为，他准备了一支长为的蜡烛，想要得到高度为的像，蜡烛应放在距离纸筒点O处（ ）的地方．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．先根据题意得出相似三角形，再利用三角形相似的性质得到相似比，然后根据比例性质计算．
【详解】解：如图，
，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得．
故选：B．
9. 己知抛物线，对称轴是直线，若点都在该抛物线的图象上，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，由得到抛物线开口向上，图象上的点距离对称轴的水平距离越大，对应的函数值越大，进而由即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，图象上的点距离对称轴的水平距离越大，对应的函数值越大，
∵抛物线的对称轴为直线，且，
∴，
故选：．
10. 如图①，在正方形中，点为边的中点，点为线段上的一个动点．设，，图②是点运动时随变化的关系图象，则正方形的周长为（ ）
A. B. 8C. D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是正方形中的动点问题，解题的关键是找到图中的关键点及对应的关键数．由点的运动可知，当点时，的值最小；再根据题可证得，进而可得的长，进而可得正方形的周长．
【详解】解：由点的运动可知，当点时，的值最小，如图；
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
正方形的周长为：，
故选：A
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 写出一个开口向上的二次函数表达式______：
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象，熟记二次函数图象的开口方向与二次项系数的关系是解答本题的关键，“对于二次函数，当时，其图象开口向上，当时，其图象开口向下”，本题是一道开放性题，所以只要写一个二次项系数大于零的二次函数即可．
【详解】因为开口向上的二次函数的二次项系数是正数，所以满足题意的二次函数表达式可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
12. 上体育课立定时，身高1.8米的小强落在地上的影子，与身高1.5米的小丽落在地上的影子的比值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是影子的比值为身高的比值．
【详解】解：．
故答案为：．
13. 河南省第14届运动会于2023年8月18日至8月28日在洛阳成功举办．大会共设青少年竞技组、学生组和社会组三个组．小亮和小明都是志愿者，他们被随机分配到这三个组的可能性相同．则小亮和小明被分配到同一组做志愿者的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列表法或画树状图求概率等知识．设青少年竞技组、学生组和社会组分别用A、B、C表示，列树状图得到共有9种等可能结果，其中二人被分配到同一小组的有3种结果，根据概率公式即可求解．
【详解】解：设青少年竞技组、学生组和社会组分别用A、B、C表示，画树状图得
，
由树状图得共有9种等可能结果，其中二人被分配到同一小组的有3种结果，
∴小亮和小明被分配到同一组做志愿者的概率为．
故答案为：
14. 如图，为了测量一元硬币的半径，小明把一元硬币与直尺相切于点A，水平移动一个含角的三角尺与硬币相切时停止，三角尺与直尺交于点B．小明测量出，则这枚一元硬币的半径约是__________．（结果保留整数，）．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，锐角三角形函数．
设硬币的圆心为点O，三角尺与硬币相切于点C，连接，，．由切线长定理可得，从而在中，，代入即可求解．
【详解】如图，设硬币的圆心为点O，三角尺与硬币相切于点C，连接，，．
∵，
∴，
∵，是的切线，
∴，，
∴在中，．
故答案为：12
15. 矩形中，，是的中点，点在直线上，且，若与关于直线对称，则的长为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，关键是要分两种情况讨论．分两种情况，如图①，由轴对称的性质得到，由勾股定理求出，得到，如图②，由轴对称的性质得到，由勾股定理求出，得到，即可得到的长为或．
【详解】解：如图①，
与关于直线对称，
，
四边形是矩形，
，
，
；
如图②，
与关于直线对称，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
则的长为或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）2；（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法；也考查了实数的运算．
（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2），
，
或，
，．
17. 11月9日是我国的全国消防日，某中学为了解学生对消防安全知识的掌握情况，在2024年寒假前举办了以“119消防安全教育”为主题的知识竞赛，从全校1800名学生中随机抽取了部分学生进行测试，并将测试结果整理如下：
某中学学生对消防安全知识的掌握情况统计图
其中，成绩在这一组的是（单位：分）70，78，72，79，71，74，75，72，79
（1）请根据以上信息，完成下列问题：
表中的__________，这个样本的中位数是__________分．
（2）这次测试成绩的平均分是79分，甲的成绩是78分，乙说：“甲的成绩低于平均分，所以甲的成绩低于一半同学的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．
（3）请根据以上信息，估计全校学生测试成绩不合格的人数，并提出一条合理化的建议．
【答案】（1）12，76.5
（2）乙的说法不正确；理由见解析
（3）名，建议见解析
【解析】
【分析】本题考查了中位数，频数分布表，用样本估计总体等知识，掌握中位数的定义及其意义是解决问题的关键．
（1）用A频数除以A所占百分比可得样本容量，再用样本容量乘F的百分比可得a的值；再根据中位数的定义求解即可；
（2）根据中位数的意义解答即可；
（3）根据表格中的数据求出全校不及格人数，再写出一条合理化建议即可，本题答案不唯一．
【小问1详解】
解：，
这次测试成绩的中位数是第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据的平均数为分，
所以这组数据的中位数是76.5分，
故答案为：12，76.5；
【小问2详解】
不正确，理由：
因为甲的成绩78分高于中位数76.5分，所以甲的成绩不可能低于一半学生的成绩；
【小问3详解】
由题意，全校学生测试成绩不合格的人数为：，
根据表中信息有15%的测试成绩不合格，所以学校应该加大宣传力度，让学生们都能掌握“消防安全教育”的相关知识．
18. 如图，在矩形中，，，连接．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作线段AC的垂直平分线，使其分别与，，交于点（保留作图痕迹，不写作法）
（2）小明想用九年级三角形相似或三角函数的知识求线段的长，请你帮他完成求解过程．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）本题考查垂直平分线作图，分别以A、C两点为圆心，大于长为半径画弧，连接弧的交点，即为线段的垂直平分线．
（2）本题考查相似三角形性质和判定，以及矩形的性质，根据题意证明，利用相似三角形性质算出，同理得出，根据，即可解题．
【小问1详解】
解：作线段的垂直平分线，如下图所示：
【小问2详解】
解：四边形为矩形，，，
（），
，，
，
，
，
，
，即，解得，
同理可得，
．
19. 如图，反比例函数的图象经过点，以点O为圆心，长为半径画弧，交x轴正半轴于点B，以O、A、B为顶点作菱形，且．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数的性质、菱形的性质、扇形面积计算，掌握扇形面积公式、菱形的面积公式是解题的关键．
（1）过点A作于点E，根据正切的定义求出，得到点A的坐标，利用待定系数法求出反比例函数表达式；
（2）根据扇形面积公式、菱形的面积公式计算，得到答案．
【小问1详解】
过A作于点D，
在中，，
，
，
反比例函数的图象经过点，
，
即，
反比例函数的表达式为：；
【小问2详解】
在菱形中，
．
．
20. 郑北大桥横跨亚洲最大铁路编组站，该桥为独塔双索面钢混结合梁斜拉桥，是国内同类型桥中桥面最宽的结合梁斜拉桥．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量郑北大桥的某组斜拉索最高点到桥面的距离作为一项课题活动，进行了探究，具体过程如下：
【方案设计】如图，分别在A，B两点放置测角仪，测得和的度数，并量出的距离，即可解决问题：
【数据收集】米，测角仪和的高度为1.5米；
【问题解决】求郑北大桥某组斜拉索最高点C到桥面的距离．（结果保留整数．参考数据：，，）
【答案】150米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形．
过点C作于点G，并延长交于点H，由题意有米，米，设米，则（米），在中， ，在中，（米），从而，求解即可得到的长，进而即可解答．
详解】过点C作于点G，并延长交于点H
由题意得：米，米，
设米，则（米），
∵在中，，
∴，
∵在中，，
∴（米），
∴，即，
解得：，
∴（米），
∴（米），
郑北大桥某组斜拉索最高点C到桥面的距离约为150米．
21. 河南胡辣汤制作技艺入选国家级非物质文化遗产代表性项目．得益于发达的网络销售模式，这种特色美食逐渐走出河南，畅销全国．某淘宝批发网店通过市场调研发现（整箱售卖）：若每箱胡辣汤料的利润为50元时，则平均每月可卖600箱：不考虑其他因素，每箱降价1元，平均每月就可以多卖20箱．为了尽快清库存，该网店决定采取适当的降价措施．
（1）若该淘宝店销售胡辣汤料的一个月总利润是31500元，则该网店每箱降价多少元？设每箱降价x元，那么每箱的销售利润为__________元，则每月销售量为__________箱．请你列出方程求解．
（2）该淘宝店想一个月的销售总利润达到33000元，请你通过计算说明是否能够达到；若不能达到，则一个月可达到的最大总利润为多少？
【答案】（1），降价15元
（2）总利润不能达到33000元，最大总利润为32000元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是理清题意，列出正确的一元二次方程．
（1）根据题意列出正确的一元二次方程求解即可．
（2）根据题意列出正确的一元二次方程求解即可．
【小问1详解】
解：设每箱降价x元，那么每箱的销售利润为元，则每月销售量为箱，
，
或，
∵为了尽快清库存，该网店决定采取适当的降价措施，
∴
答：该网店每箱降价15元．
故答案为．
【小问2详解】
解：令，
，
，
此方程无解，故一个月销售总利润不能达到33000元．
该淘宝店想一个月的销售总利润
，
∴当，该淘宝店一个月可达到的最大总利润为32000元．
22. 如图①，排球场长为，宽为，网高为．某校排球队员站在底线O点处向正前方发球，球从点O的正上方的C点发出，运动路线是抛物线的一部分（如图②），当球运动到最高点A处时，高度为，即，这时水平距离．以直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系．
图① 图②
（1）求球运动的高度与水平距离之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）
（2）根据比赛规则，发球过网，使其落在对方区域的地面上且不出界即为有效发球．请判断这次发球是否为有效发球（即能否过网？是否出界？），并说明理由．
【答案】（1）
（2）这次发球为有效发球，见解析
【解析】
【分析】此题考查求二次函数的解析式，利用自变量求对应的函数值的计算，二次函数的实际应用，正确理解题意，明确“能否过网”，“是否出界”词语的含义找到解题的方向是解答此题的关键．
（1）求出抛物线表达式，设y与x的函数关系式为，根据题意可知点为函数的顶点，将点代入求解即可；
（2）确定和时，对应函数的值即可求解
【小问1详解】
解：设y与x的函数关系式为
由题可知：点为函数的顶点

将点代入，
得
与x的函数关系式为
【小问2详解】
解：这次发球为有效发球．
当时，
球可以过网．
令，则，
解得
由题可知（舍），
球没有出界
故这次发球为有效发球．
23. 在一节数学课上，张老师提出了这样一个问题：“如图1，在等腰直角三角形中，，D是边上一动点（不与B重合），，交于点F．猜想线段，之间的数量关系并说明理由．”小聪和同桌小明讨论后，仍不得其解．张老师给出提示：数学中常通过把一个问题特殊化来找到解题思路．两个人茅塞顿开，于是进行了如下讨论，请仔细阅读，并完成相应的任务．
图1
小聪：己知点D是动点，因此可以将点D移动到一个特殊的位置．当点D与点C重合时，如图2所示．此时可以分别延长，交于点H，如图3所示，可证明，进而得出线段，之间的数量关系．
图2 图3 图4
小明：对于图2，过点F分别作，的平行线，交边于点M，N，如图4所示，可证明，进而得出线段，之间的数量关系．
（1）任务一：
如图2，判断线段，之间的数量关系：并在小聪与小明的方法中选择一种，写出详细的证明过程．
（2）任务二：
如图1，请直接猜想，之间的数量关系为__________．
（3）任务三：
如图1，若，当是直角三角形时，直接写出的长（用含a的代数式表示）．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）作交于点M，交于点N，证明，
得到，分别证明，则，则可证明．
小聪的方法：
延长、交于点H，先证明，再证明，得到，则可证明．
（2）作交于点M，交于点N，分别证明，，，，故，再证明，得到，则．
（3）分两种情况讨论，一是点D与点C重合，则是直角三角形，，，，则问题可求；
二是点D与点C不重合，是直角三角形，证明，，则问题可求；
【小问1详解】
小明的方法：如图4，作交于点M，交于点N，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
小聪的方法：
如图3，延长、交于点H，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
如图1，作交于点M，交于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【小问3详解】
的长为或，
理由：如图4，点D与点C重合，则是直角三角形，
∵，，
∴；
如图5，点D与点C不重合，是直角三角形，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
综上所述，BD的长为或
【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．S（单位：）
20
30
60
80
h（单位：）
12
8
6
4
3
分组
成绩x（分）
等次
频数
A
不合格
3
B
6
C
合格
15
D
良好
9
E
优秀
15
F
a