湖北省孝感市2022-2023学年高一上学期1月期末数学试题

这是一份湖北省孝感市2022-2023学年高一上学期1月期末数学试题，共19页。

考试时间：2022年1月11日下午15：00-17：00 试卷满分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定的位置上.
2．回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项是符合题目要求的）
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化简集合，然后用补集的定义即可求解
【详解】由可得，解得，
因全集，所以，
所以
故选：D
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式化简求解即可.
【详解】.
故选：B.
3. 下列函数中是偶函数且在区间上是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性，根据函数的解析式判断单调性的.
【详解】因为，所以是奇函数，
因为，所以是奇函数，
因为，所以是偶函数，且在上单调递减，
因为，所以是偶函数，且在上单调递增.
故选：C.
4. 函数的部分图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性可排除，然后取特殊值计算，可得结果.
【详解】函数的定义域为
则
所以该函数为奇函数，故排除
又，故排除，则正确
故选：A
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
5. 已知某扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据扇形面积公式可构造方程求得半径，代入扇形弧长公式可得结果.
【详解】设扇形的半径为，则扇形面积，解得：，
扇形弧长.
故选：B.
6. 设，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】结合正弦函数在上图像的性质，先推出的等价关系，然后判断其和的关系后进行分析.
【详解】，，则，，由，结合正弦函数图像在上的性质可知，或，所以不一定推出，但可以推出，于是“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
7. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将分别与1，比较大小.
【详解】，，，
又因为，所以，．
所以，
故选：D
8. 已知函数的图象是连续不断的，其定义域为，满足：当时，；任意的x，，均有.若，则x的取值范围是（ ）（e是自然对数的底数）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令，解得，再令，得到，从而奇函数，用替代，结合是奇函数，得到，再由 时，，利用单调性定义得到在上递增，则在上递增，将转化为求解.
【详解】解：令，即，
则，令，即，
则，
因为定义域为，所以是奇函数，
由，用替代，
得，
因为是奇函数，
所以，
，且，
则，
因为当时，，
所以，，
即，
所以在上递增，又是定义域为的奇函数，
所以在上递增，
则等价于，
解得，
故选：D
二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 已知函数在区间上的值域是，则区间可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据二次函数的对称轴及单调性即可求得.
【详解】函数对称轴为，且，，又因为值域为，由单调性可知A，B符合；C，D选项的值域为.
故选：AB
10. 下列结论中，正确的结论有（ ）
A. 如果，那么的最小值是2
B. 如果，，，那么的最大值为3
C. 函数的最小值为2
D. 如果，，且，那么的最小值为2
【答案】BD
【解析】
【分析】对A. 如果，那么，命题不成立；
对B.使用基本不等式得即可得的最大值；
对C. 函数，当且仅当时取等号，此时无解；
对D.根据题意构造，将“1”替换为，代入用基本不等式求解.
【详解】对于A： 如果，那么，最小值是2不成立；
对于B：如果，，，
则，整理得，
所以，当且仅当时取得最大值，所以的最大值为3，故B正确；
对于C：函数，当且仅当时取等号，此时无解，不能取得最小值2，故C错误；
对于D：如果，，且，
那么
，当且仅当时取得最小值，故D正确.
故选：BD
11. 关于函数，下列说法中正确的有（ ）
A. 函数是奇函数
B. 函数的零点有三个
C. 不等式的解集是
D. 若存在实数满足，则的最小值是9
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项：由定义域不关于原点对称判断不是奇函数；
B选项：分与解分段方程；
C选项：分与解分段不等式；
D选项：作出的图象，由对称性知，利用的取值范围并化简得，根据基本不等式求的最小值，要验证等号成立的条件.
【详解】A选项：函数的定义域为 ，不是奇函数，故A错误；
B选项：令且，得 或，
令 且，得 ，故函数有三个零点分别是，，8，故B正确；
C选项：令且，得 ，
令 且，得 ，故C正确；
D选项：如图，若，则关于对称，所以；
由图知，由得，
即，所以
所以，但，故取不到最小值9，所以D错误.
故选：BC
12. 已知函数图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，则（ ）
A. 函数的对称中心是
B. 函数的对称中心是
C. 函数有对称轴
D. 函数有对称轴
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于AB，根据函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件分析判断，对于CD，根据函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件分析判断.
【详解】对于A，因为函数，
所以为奇函数，
所以点是函数的对称中心，所以A正确，
对于B，，则，
令，因为，
所以不是奇函数，
所以点不是函数的对称中心，所以B错误，
对于C，因为，所以，
当时，函数为偶函数，所以有对称轴，所以C正确，
对于D，因为，
所以，
当时，为偶函数，
所以的图象关于直线对称，所以D正确，
故选：ACD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，则___________（用，表示）
【答案】
【解析】
【分析】直接利用换底公式以及对数的运算性质，求解即可.
【详解】由题知，
故答案为：
14. 已知角的终边经过点，则的值为___________．
【答案】##0.8
【解析】
【分析】用诱导公式化简的值，再根据三角函数的定义求出的值即可.
【详解】因为，又因为角的终边过点，所以，
故答案为：
15. 已知函数是定义域为偶函数，且周期为2，当时，则___________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据周期为2及偶函数得，的值可以代入求得.
【详解】由题知当时，，因为函数周期为且为偶函数，所以，所以．
故答案为：1
16. 已知函数，若关于的不等式恰好有两个整数解，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】由不等式为，分，和讨论求解.，
【详解】解：由题意知：不等式可化为，
当时，该不等式无解；
当时，，
如图所示：
由图象知：，
此时要有两个整数解是，，
所以，
所以，
当时，，
如图所示：
由图象知：，
此时由两个整数解0，1，
所以，
所以
所以，
综上的取值范围是
故答案为：
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知全集，集合，集合
（1）求，；
（2）集合，若“是的充分不必要条件”，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）分别求解一元二次不等式，分式不等式，得到集合后进行求解；
（2）先写出集合，然后根据集合的包含关系求解参数范围.
【小问1详解】
由题可知集合或
集合，
所以，
【小问2详解】
因为集合，又因为是的充分不必要条件，所以有，所以有，则，所以的取值范围是
18. 已知
（1）化简．
（2）若，求的值．
（3）若，且，求的值．
【答案】（1）
（2）1 （3）
【解析】
【分析】（1）直接利用诱导公式即可得到化简得；
（2）；
（3）根据同角三角函数关系求得，则得到的值.
【小问1详解】
由题知
【小问2详解】
因为，，
所以，
【小问3详解】
因为，且，所以，则
所以
19. 已知函数，函数
（1）若函数为奇函数，求的值．
（2）若，且，求不等式的解集．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义列方程求解即可；
（2）求得，令，可判断其为奇函数，且在上单调递增，则，从而将转化为，再利用其单调性可求得结果.
【小问1详解】
因为函数为奇函数，定义域为
则
所以有，所以
【小问2详解】
因为，所以，
所以，
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在定义域上单调递增，
令，
因为
，
所以为奇函数，
则，
，则．
所以不等式可以化为，
则，所以．
原不等式的解集为.
20. 已知函数（其中）的图像与轴交于，两点，，两点间的最短距离为，且直线是函数图像的一条对称轴．
（1）求和的值．
（2）若，求的最值．
（3）若函数在内有且只有一个零点，求实数值．
【答案】（1），
（2）最大值为1，最小值为
（3）或．
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的性质即可求解和的值；（2）讨论函数在给定区间的单调性，进而可求最值；（3）根据函数在恰好为一个周期，所以要使得函数只有一个零点，则或,即可求解.
【小问1详解】
由题知，两点间的最短距离为，所以，，
所以，
直线是函数图像的一条对称轴，
所以，
，又因为，所以
【小问2详解】
由（1）知，
因为，所以，
令，则，
函数在上单调递增，
在上单调递减，
所以，即时，函数
有最大值，最大值为．
当，即，函数
有最小值，最小值为．
综上，的最小值为，最大值为
【小问3详解】
因为函数在内有且只有一个零点，
所以在范围只有一个实根，
即函数在的图像在与直线只有一个交点，
因为恰为函数的一个周期，
所以要使函数在的图像在与直线只有一个交点，
则或，
所以或．
21. 2022年我市某新能源汽车生产企业计划引进一批新能源汽车设备，经过前期的市场调研，生产新能源汽车制造设备，预计全年需投入固定成本500万元，每生产百台设备，需另投入成本万元，且根据市场行情，每百台设备售价为700万元，且当年内生产的设备当年能全部销售完．
（1）求2022年该企业年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式；
（2）2022年产量为多少百台时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少万元？（注：利润=销售额－成本）
【答案】（1）
（2）2022年产量为100百台时，企业所获年利润最大，最大年利润是8900万元
【解析】
【分析】（1）根据利润=（销售额－投入成本－固定成本）求出关于的函数关系式；
（2）分别求两段函数的最大值，再取它们中较大者为最大年利润.
【小问1详解】
由题知当时，
当时，
所以
【小问2详解】
若，，所以当时，
若，，，
当且仅当即时，．
因为,
所以2022年产量为100百台时，企业所获年利润最大，最大年利润是8900万元.
22. 已知幂函数是其定义域上的增函数．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数，，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）存在
（3）
【解析】
【分析】（1）因为是幂函数，所以；
（2）考虑函数中x的次数，换元成二次函数解题；
（3）因为在定义域范围内为减函数，故有，相减后得，进而，换元成二次函数解题.
【小问1详解】
因为是幂函数，所以，
解得或
当时，，在为减函数，当时，，
在为增函数，所以.
【小问2详解】
，令，因为，所以，
则令，，对称轴为．
①当，即时，函数在为增函数，
，解得．
②当，即时，，
解得，不符合题意，舍去．
当，即时，函数在为减函数，，
解得．不符合题意，舍去．
综上所述：存在使得的最小值为.
【小问3详解】
，则在定义域范围内为减函数，
若存在实数，使函数在上的值域为，
则，
②-①得：，
所以，
即③．
将③代入②得：．
令，因为，，所以．
所以，在区间单调递减，
所以
故存在实数，使函数在上的值域为，
实数的取值范围且为．