河南省信阳市2023-2024学年高三上学期第二次教学质量检测数学试卷含答案解析

这是一份河南省信阳市2023-2024学年高三上学期第二次教学质量检测数学试卷含答案解析，共13页。试卷主要包含了保持卡面清洁，不折叠，不破损，“”是“”的等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则等于
A．B．C．D．
2．若，则复数在复平面内对应的点在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．设公差不为零的等差数列的前项和为，，则等于
A．15B．1C．D．
4．已知向量，的夹角为且，，则在上投影向量的坐标为
A．B．C．D．
5．“”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．过直线上的一点作圆的两条切线，，切点分别为，，当直线，关于对称时，线段的长为
A．4B．C．D．2
7．已知抛物线的焦点为，点是上一点，且，以为直径的圆截轴所得的弦长为1，则等于
A．2B．2或4C．4D．4或6
8．随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数的图象如图所示，，是直线与曲线的两个交点，且，则下列选项正确的是
A．的值为3B．的值为2C．的值可以为D．的值可以为10．气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度（单位：）的记录数据（记录数据都是正整数）：
①甲地：5个数据中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27，总体平均数为24；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体平均数为26，总体方差为10.8，
则肯定进入夏季的地区有
A．一个都没有B．甲地C．乙地D．丙地
11．定义在上的函数满足，是偶函数，，则
A．是奇函数B．
C．的图象关于直线对称D．
12．如图，双曲线的左右顶点为，，为右支上一点（不包含顶点），，，，直线与双曲线的渐近线交于、，为线段的中点，则
A．双曲线的离心率为
B．到两条渐近线的距离之积为
C．
D．若直线与的斜率分别为，，则
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．
13．若的展开式中的系数为15，则_________．
14．已知直线的倾斜角为，则的值是_________．
15．已知函数若方程恰有两个不同的实数根，，则的最大值是_________．
16．已知数列通项公式为，数列为公比小于1的等比数列，且满足，，设，在数列中，若，则实数的取值范围为_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）在中，角，，的对边分别是，，，已知且．
（1）若，求；
（2）若边上的高是，求的最大值．
18．（本小题满分12分）已知函数的图象经过，周期为．
（1）求解析式；
（2）在中，角，，的对边分别为，，，的角平分线交于，若恰为的最大值，且，求的最小值．
19．（本小题满分12分）设数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求的表达式．
20．（本小题满分12分）某校高一200名学生的期中考试语文成绩服从正态分布，数学成绩的频率分布直方图如右图：
（1）计算这次考试的数学平均分，并比较语文和数学哪科的平均分较高（假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的）；
（2）如果成绩大于85分的学生为优秀，这200名学生中本次考试语文、数学优秀的人数大约各多少人？
（3）如果语文和数学两科都优秀的共有4人，从（2）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都优秀的有人，求的分布列和数学期望．
附参考公式：若，则
，
21．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线、的斜率分别为、，且．
①求证：直线经过定点．
②设和的面积分别为、，求的最大值．
22．（本小题满分12分）已知函数．
（1）若函数在上为增函数，求实数的最大值；
（2）若有两个极值点，且不等式恒成立，求正数的取值范围（为自然对数的底数）．
2023-2024学年普通高中高三第二次教学质量检测
数学参考答案
一、选择题
1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．C 7．D 8．B
二、选择题
9．AD 10．BD 11．ABD 12．ACD
三、填空题
13．3 14． 15． 16．
四、解答题
17．解：（1）由可得：
，
即：．
即，又，，
由正弦定理得：．
（2）由题意，
，
，
时，取得最大值．
18．解：（1）周期为，，
图象经过，，
，又，
，
（2）的最大值2，
，得，
，，，
，
，
，即，
，
，当且仅当，即时取等号，
又，即当且仅当，时取等号，
所以的最小值为．
19．解：（1）当时，，所以．
当时，，．
两式相减得：，即．
故．
故．
（2）令，
则
，
为等差数列．
．
20．解：（1）数学成绩的平均分为
，
根据语文成绩的正态分布知语文平均分为70分，所以语文平均分高些．
（2）因为语文成绩优秀的概率为，
数学成绩优秀的概率为，
所以语文成绩优秀人数为，数学成绩优秀人数为．
（3）语文数学两科都优秀的有4人，单科优秀的有6人，所有可能的取值为0，1，2，3．
，，，．
的分布列为
所以的数学期望．
21．解：（1）当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值，
且最大值为，
由题意可得，解得，所以，椭圆的标准方程为．
（2）①设点、．
若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，则，不合乎题意．
设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右顶点，则，
联立可得，
，可得，
由韦达定理可得，，则，
所以
，解得，
即直线的方程为，故直线过定点．
②由韦达定理可得，，
所以，
，
，则，
因为函数在上单调递增，
故，
所以，，当且仅当时，等号成立，
因此，的最大值为．
22．解：（1），，
因为函数在上为增函数，
所以，恒成立，即，恒成立，
记，则，由，由，
所以在上递增，在上递减，又当时，，
所以，即实数的最大值为；
（2）因为是的两个极值点，所以，是方程的两个实数根，由．
因为，两边取自然对数得，
即，
令，则在恒成立，
所以在恒成立，
令，则．
①当，即时，，在上递增，所以恒成立，满足题意；
②当时，在上递增，在上递减，
所以当时，，
所以，在不能恒成立，不满足题意，
综上，的取值范围是．0
1
2
3