广西贵港市桂平市2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷+

这是一份广西贵港市桂平市2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷+，共25页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）sin30°的值是（ ）
A．B．C．D．1
2．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣5x＝0B．x+1＝0C．y﹣2x＝0D．2x3﹣2＝0
3．（3分）已知四条线段的长如下，则能成比例线段的是（ ）
A．1，1，2，3B．1，2，3，4C．1，2，2，4D．2，3，4，5
4．（3分）下列各点在反比例函数的图象上的是（ ）
A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（3，﹣2）D．（﹣1，6）
5．（3分）如果2是方程x2﹣c＝0的一个根，那么c的值是（ ）
A．2B．3C．4D．﹣4
6．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
7．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．若∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（ ）
A．45°B．50°C．110°D．130°
8．（3分）如图所示是甲、乙两种甜玉米产量数据整理的情况，则产量较为稳定的是（ ）
A．甲B．乙
C．甲、乙一样稳定D．无法确定
9．（3分）将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线，其解析式是（ ）
A．y＝2（x+3）2+1B．y＝2（x﹣3）2﹣1
C．y＝2（x+3）2﹣1D．y＝2（x﹣3）2+1
10．（3分）已知关于x的一元二次方程x2＝bx﹣c的解为x1＝﹣1，x2＝3，则二次函数y＝x2﹣bx+c的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1B．直线x＝0C．直线x＝1D．直线x＝2
11．（3分）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程为（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝
12．（3分）已知二次函数y＝mx2﹣4mx（m为不等于0的常数），当﹣2≤x≤3时，函数y的最小值为﹣2则m的值为（ ）
A．±B．﹣或C．﹣或D．或2
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．（2分）抛物线y＝﹣x2的开口方向是向 （填“上”或“下”）．
14．（2分）已知蓄电池电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的反比例函数关系式为I＝，R的值为 Ω．
15．（2分）为了估计水塘中的鱼数，老张从鱼塘中捕获100条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，他再从鱼塘中随机打捞200条鱼，发现其中25条有记号则鱼塘中鱼的总条数大约为 ．
16．（2分）如图，线段CD两端点的坐标分别为C（2，4）和D（4，0），将线段CD放大得到线段AB．若点B的坐标为（10，0），则点A的坐标为 ．
17．（2分）如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，则荷塘的宽CD为 米（结果保留根号）．
18．（2分）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，连接AF，过点B作BE⊥AF于点G，连接CG，则CG的最小值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：（﹣1）×（﹣2）+22÷（5﹣3）．
20．（6分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
21．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径．
（1）尺规作图：作∠ACB的平分线交⊙O于点D；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接AD，当⊙O的半径为2时，求BD的长．
22．（10分）某市在调整城镇居民用水价格前，对居民生活用水情况进行了调查，下表是通过简单随机抽样调查获得的40个家庭去年的月平均用水量（单位：吨）：
收集数据：
整理数据：
（1）请补全样本频数分布表和频数分布直方图．
（2）若整个小区有800户居民，请你估算用水量小于或等于35吨的用户有多少户？
（3）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.3倍价格收费．若要使85%的家庭水费支出不受影响，你觉得家庭月平均用水量的标准应该定为多少吨？
23．（10分）如图，某校数学兴趣小组借助无人机测量某隧道的长度CD，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方隧道的入口C处的俯角为α，测得正前方隧道出口D处的俯角为22°．线段AM的长为无人机距地面的垂直高度，点M，C，其中tanα＝3，隧道高度CE=5m,ME=60m.
（1）求无人机的飞行高度AM；
（2）求隧道的长度CD．（参考数据：sin22°≈0.4，cs22°≈0.9，tan22°≈0.4）
24．（10分）随着某市近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植树木及花卉，根据市场调查与预测1与投资量x成正比例关系，如图1所示．种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图2所示．（注：利润与投资量的单位：万元）
（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式．
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植树木和花卉，他至少能获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
25．（10分）如图，已知CD是⊙O的直径，AC⊥CD，弦DE∥OA，直线AE、CD相交于点B．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线．
（2）当AC＝1，BE＝2，求tan∠OAC的值．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴分别相交于A（﹣2，0），B（8，0）两点．
（1）求a，b的值．
（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．
①求DE+BF的最大值；
②G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似求点D的坐标．
2023-2024学年广西贵港市桂平市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）
1．（3分）sin30°的值是（ ）
A．B．C．D．1
【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
【解答】解：sin30°＝．
故选：A．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
2．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣5x＝0B．x+1＝0C．y﹣2x＝0D．2x3﹣2＝0
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解：A、x2﹣5x＝2是一元二次方程；
B、x+1＝0是一元一次方程；
C、y﹣5x＝0是二元一次方程；
D、2x2﹣2＝0不是一元二次方程．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
3．（3分）已知四条线段的长如下，则能成比例线段的是（ ）
A．1，1，2，3B．1，2，3，4C．1，2，2，4D．2，3，4，5
【分析】根据成比例线段的定义逐项判定即可得到结论．
【解答】解：A、∵1×2≠2×3，
∴1，3，2，3不能成比例线段；
B、∵8×4≠2×8，
∴1，2，3，4不能成比例线段；
C、∵1:3＝2:4，
∴3，2，2，8；能成比例线段；
D、∵2×5≠5×4，
∴2，6，4，5不能成比例线段；
故选：C．
【点评】本题主要考查了成比例线段的关系，正确的理解成比例线段的定义是解题的关键．
4．（3分）下列各点在反比例函数的图象上的是（ ）
A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（3，﹣2）D．（﹣1，6）
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断即可．
【解答】解：∵反比例函数，
∴k＝6，
A、8×（﹣3）＝﹣6≠2，不符合题意；
B、2×3＝7，符合题意；
C、3×（﹣2）＝﹣8≠6，不符合题意；，
D、﹣1×2＝﹣6≠6，不符合题意；，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，同一反比例函数图象上点的纵横坐标之积等于k是解答本题的关键．
5．（3分）如果2是方程x2﹣c＝0的一个根，那么c的值是（ ）
A．2B．3C．4D．﹣4
【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解，知x＝2是方程的根，代入方程即可求解．
【解答】解：∵x＝2是方程的根，由一元二次方程的根的定义代入可得，
4﹣c＝7，
∴c＝4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．
6．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【分析】把a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1代入Δ＝b2﹣4ac，然后计算△，最后根据计算结果判断方程根的情况．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，
∴△b8﹣4ac＝4+2＝8，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
7．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．若∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（ ）
A．45°B．50°C．110°D．130°
【分析】首先根据圆周角与圆心角的关系，求出∠BAD的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，用180°减去∠BAD的度数，求出∠BCD的度数是多少即可．
【解答】解：∵∠BOD＝100°，
∴∠BAD＝100°÷2＝50°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD
＝180°﹣50°
＝130°
故选：D．
【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．
（2）此题还考查了圆内接四边形的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
8．（3分）如图所示是甲、乙两种甜玉米产量数据整理的情况，则产量较为稳定的是（ ）
A．甲B．乙
C．甲、乙一样稳定D．无法确定
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【解答】解：根据图形可知，乙种甜玉米产量比甲的产量波动小，所以产量较为稳定的是乙．
故选：B．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
9．（3分）将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线，其解析式是（ ）
A．y＝2（x+3）2+1B．y＝2（x﹣3）2﹣1
C．y＝2（x+3）2﹣1D．y＝2（x﹣3）2+1
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．
【解答】解：抛物线y＝2x2先向左平移8个单位得到解析式：y＝2（x+3）5，再向上平移1个单位得到抛物线的解析式为：y＝2（x+8）2+1．
故选：A．
【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
10．（3分）已知关于x的一元二次方程x2＝bx﹣c的解为x1＝﹣1，x2＝3，则二次函数y＝x2﹣bx+c的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1B．直线x＝0C．直线x＝1D．直线x＝2
【分析】由题意得，二次函数y＝x2﹣bx+c和x轴的交点坐标为：（﹣1，0）、（3，0），即可求解．
【解答】由题意得，二次函数y＝x2﹣bx+c和x轴的交点坐标为：（﹣1，7），0），
则函数的对称轴为直线x＝（3﹣1）＝7，
故选：C．
【点评】本题考查的是抛物线和x轴的交点，理解函数和一元二次方程的关系是解题的关键．
11．（3分）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程为（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝
【分析】根据题意可知，装裱后的长为2.4+2x，宽为1.4+2x，再根据整幅图画宽与长的比是8：13，即可得到相应的方程．
【解答】解：由题意可得，
＝，
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
12．（3分）已知二次函数y＝mx2﹣4mx（m为不等于0的常数），当﹣2≤x≤3时，函数y的最小值为﹣2则m的值为（ ）
A．±B．﹣或C．﹣或D．或2
【分析】由二次函数y＝mx2﹣4mx可得对称轴为x＝2，分为m＞0和m＜0两种情况，当m＞0时，二次函数开口向上，当﹣2≤x≤3时，函数在x＝2取得最小值﹣2，将x＝2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得m＝，当m＜0时，二次函数开口向下，当﹣2≤x≤3时，函数在x＝﹣2取得最小值﹣2，将x＝﹣2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得m＝﹣，即可求解．
【解答】解：∵二次函数为y＝mx2﹣4mx，
∴对称轴为x＝＝＝6，
①当m＞0时，
∵二次函数开口向上，
∴当﹣2≤x≤3时，函数在x＝2取得最小值﹣2，
将x＝6，y＝﹣2代入y＝mx2﹣8mx中，
解得：m＝，
②当m＜4时，
∵二次函数开口向下，
∴当﹣2≤x≤3时，函数在x＝﹣4取得最小值﹣2，
将x＝﹣2，y＝﹣4代入y＝mx2﹣4mx中，
解得：m＝﹣，
综上，m的值为，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值，解题的关键是分情况讨论，掌握二次函数对称轴的求法．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．（2分）抛物线y＝﹣x2的开口方向是向 下 （填“上”或“下”）．
【分析】根据二次项系数的符号即可判断开口方向．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2中，a＝﹣1＜5，
∴抛物线y＝﹣x2的开口方向向上，
故答案为：下．
【点评】本题考查了二次函数的性质．在抛物线y＝ax2+bx+c中，a＜0，抛物线开口向下．
14．（2分）已知蓄电池电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的反比例函数关系式为I＝，R的值为 4 Ω．
【分析】把I＝2代入I＝，解方程即可得到结论．
【解答】解：当I＝2A时，2＝，
∴R＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查反比例函数的应用，理解题意是解题的关键．
15．（2分）为了估计水塘中的鱼数，老张从鱼塘中捕获100条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，他再从鱼塘中随机打捞200条鱼，发现其中25条有记号则鱼塘中鱼的总条数大约为 800 ．
【分析】首先求出有记号的25条鱼在200条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
【解答】解：∵池塘中有记号的鱼所占的百分比为：×100%＝12.5%，
∴池塘中共有鱼100÷12.5%＝800（条）．
故答案为：800．
【点评】此题考查了用样本估计总体，关键是求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想．
16．（2分）如图，线段CD两端点的坐标分别为C（2，4）和D（4，0），将线段CD放大得到线段AB．若点B的坐标为（10，0），则点A的坐标为 （5，10） ．
【分析】利用D点和B点的坐标特征得到相似比，把CD放大3倍得到AB，然后把C点的横纵坐标都乘以3得到A点坐标．
【解答】解：∵以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，
而D点的横纵坐标都乘以3得到B点坐标（2.3，0），
∴把C（2，6）横纵坐标都乘以2.5得到A点坐标（3．
故答案为：（5，10）．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
17．（2分）如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，则荷塘的宽CD为 （30﹣10） 米（结果保留根号）．
【分析】在两个直角三角形中，利用特殊锐角的三角函数可求出答案．
【解答】解：由题意可得，∠ADB＝60°，AB＝30m，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
在Rt△ABD中，
∵∠ADB＝60°，
∴BD＝AB＝10，
∴CD＝BC﹣BD＝（30﹣10）m，
故答案为：（30﹣10）．
【点评】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角公式是正确解答的前提．
18．（2分）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，连接AF，过点B作BE⊥AF于点G，连接CG，则CG的最小值是 2﹣2 ．
【分析】取AB的中点H，以H为圆心，AB为直径作圆H，连接CH与⊙H交于点G，求出此时的CG就是CG的最小值．
【解答】解：点G的运动轨迹为以AB为直径，H为圆心的圆弧、G、H三点共线时，如图，
∴CG最小值为：CG＝CH﹣r＝，
故答案为：2﹣2．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，圆的性质，勾股定理，本题关键是确定CG取最小值的位置．
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：（﹣1）×（﹣2）+22÷（5﹣3）．
【分析】先算乘方，再算乘除，后算加减，有括号先算括号里，即可解答．
【解答】解：（﹣1）×（﹣2）+82÷（5﹣5）
＝2+4÷4
＝2+2
＝3．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．（6分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答．
【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝7
x﹣3＝0或x+5＝0
∴x1＝4，x2＝﹣1．
【点评】熟练运用因式分解法解一元二次方程．注意：常数项应分解成两个数的积，且这两个的和应等于一次项系数．
21．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径．
（1）尺规作图：作∠ACB的平分线交⊙O于点D；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接AD，当⊙O的半径为2时，求BD的长．
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可．
（2）由题意可得∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，进而可得∠ABD＝∠ACD＝45°，在Rt△ABD中，AB＝4，根据BD＝AB•cs45°可得答案．
【解答】解：（1）如图，CD即为所求.
（2）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝45°，
∴∠ABD＝∠ACD＝45°，
∵⊙O的半径为2，
∴AB＝4，
在Rt△ABD中，BD＝AB•cs45°＝4×＝，
∴BD的长为．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、圆周角定理，熟练掌握角平分线的作图方法、圆周角定理是解答本题的关键．
22．（10分）某市在调整城镇居民用水价格前，对居民生活用水情况进行了调查，下表是通过简单随机抽样调查获得的40个家庭去年的月平均用水量（单位：吨）：
收集数据：
整理数据：
（1）请补全样本频数分布表和频数分布直方图．
（2）若整个小区有800户居民，请你估算用水量小于或等于35吨的用户有多少户？
（3）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.3倍价格收费．若要使85%的家庭水费支出不受影响你觉得家庭月平均用水量的标准应该定为多少吨？
【分析】（1）用统计表中的频数除以40可得频率；用统计表中频率乘40可得频数，据此补全频数分布表，频数分布直方图；
（2）根据统计图中用水量小于或等于35吨的用户频率和，乘以800即可得到结果；
（3）求出样本的62.5%的家庭数，确定其用水量的范围，即可得出答案．
【解答】解：（1）8÷40＝0.6；
40×0.1＝7，
补全样本频数分布表为：
补全频数分布直方图为：
；
故答案为：0.7，4；
（2）800×（0.25+8.425）＝540（户），
答：估算用水量小于或等于35吨的用户有540户；
（3）40×62.5%＝25（户），
∴这25户的用水量在5≤x≤35，
∴家庭月平均用水量的标准定为35吨比较合适．
【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图，掌握频数统计的方法是解决问题的关键．
23．（10分）如图，某校数学兴趣小组借助无人机测量某隧道的长度CD，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方隧道的入口C处的俯角为α，测得正前方隧道出口D处的俯角为22°．线段AM的长为无人机距地面的垂直高度，点M，C，其中tanα＝3，隧道高度CE=5m,ME=60m.
（1）求无人机的飞行高度AM；
（2）求隧道的长度CD．（参考数据：sin22°≈0.4，cs22°≈0.9，tan22°≈0.4）
【分析】（1）过点B作BN⊥CD，垂足为N，根据题意得到∠ACH＝α，∠BDM＝22°，AB＝HN＝40米，解直角三角形即可得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到DN＝450米，求得DH＝DN+HN＝450+60﹣40＝470（米），于是得到结论．
【解答】解：过点B作BN⊥CD，垂足为N，
由题意可知，∠ACH＝α，AB＝HN＝40米，
（1）在Rt△ACM中，tan∠ACM＝tanα＝3，
∴AH＝3HC＝180米＝BN，
∵HM＝CE＝5米，
∴AM＝AH+HM＝185（米），
答：无人机的飞行高度AM为185米；
（2）在Rt△BND中，
∵tan∠BDN＝，即tan22°＝，
∴DN＝450米，
∴DH＝DN+HN＝450+60﹣40＝470（米），
∴CD＝DH﹣HC＝470﹣60＝410（米），
答：隧道的长度CD约为410米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法．
24．（10分）随着某市近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植树木及花卉，根据市场调查与预测1与投资量x成正比例关系，如图1所示．种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图2所示．（注：利润与投资量的单位：万元）
（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式．
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植树木和花卉，他至少能获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
【分析】（1）可根据图象利用待定系数法求解函数解析式；
（2）根据总利润＝树木利润+花卉利润，列出函数关系式，再求函数的最值．
【解答】解：（1）设y1＝kx，由图①所示1＝kx的图象过（4，2），
所以k＝2，
故利润y6关于投资量x的函数关系式是y1＝2x（x≥8）；
∵该抛物线的顶点是原点，
∴设y2＝ax2，
由图②所示，函数y4＝ax2的图象过（2，6），
∴2＝a•23，
解得a＝，
故利润y5关于投资量x的函数关系式是：y＝x3（x≥0）；
（2）设这位专业户投入种植花卉x万元（0≤x≤8），则投入种植树木（8﹣x）万元，
根据题意得：z＝2（5﹣x）+x8＝x5﹣2x+16＝（x﹣2）2+14，
∵＞0，
∴当x＝8时，z的最小值是14；
∴当0≤x≤2时，z随着x的增大而减小，z随x的增大而增大，
∵7≤x≤8，
∴当x＝8时，z有最大值，
答：他至少能获得14万元的利润，他能获取的最大利润是32万元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握函数的图象的特点是解决本题的关键．
25．（10分）如图，已知CD是⊙O的直径，AC⊥CD，弦DE∥OA，直线AE、CD相交于点B．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线．
（2）当AC＝1，BE＝2，求tan∠OAC的值．
【分析】（1）连接OE，由已知的平行，根据两直线平行，同位角相等，内错角也相等得到两对角的相等，然后由半径OD＝OE，根据等角对等边得到∠ODE＝∠OED，等量代换得∠COA＝∠EOA，再由半径OC＝OE，公共边的相等，根据“SAS”证明△OAC≌△OAE，最后根据全等三角形的对应角相等得到OE⊥AB，利用经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线可得证；
（2）由（1）证得的△OAC≌△OAE，根据全等三角形的对应边相等得到AE＝AC＝1，再由已知的BE的长相加求出AB的长，然后在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出BC的长，再根据一对公共角的相等和一对直角的相等，得到△BOE∽△BAC，根据相似三角形的对应边成比例即可得到的值，等量代换可得的值，即为tan∠OAC的值．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵DE∥OA，
∴∠COA＝∠ODE，∠EOA＝∠OED，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∴∠COA＝∠EOA，
又∵OC＝OE，OA＝OA，
∴△OAC≌△OAE（SAS），
∴∠OEA＝∠OCA＝90°，
∴OE⊥AB，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知△OAC≌△OAE，
∴AE＝AC＝1，AB＝1+6＝3，
在直角△ABC中，，
∵∠B＝∠B，∠BCA＝∠BEO，
∴△BOE∽△BAC，
∴，
∴在直角△AOC中，tan∠OAC＝．
【点评】此题考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，以及锐角三角函数的定义，是一道多知识的综合题，要求学生把所学的知识融汇贯穿，灵活运用．其中证明切线的方法一般有以下两种：①有点连接证明半径（或直径）与所证的直线垂直；②无点作垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴分别相交于A（﹣2，0），B（8，0）两点．
（1）求a，b的值．
（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．
①求DE+BF的最大值；
②G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似求点D的坐标．
【分析】（1）将A，B两点的坐标代入解析式，求出a，b的值即可；
（2）①由B（8，0），C（0，4）可得直线BC解析式为y＝﹣x+4，设第一象限D（m，﹣m2+m+4），则E（m，﹣m+4），可得DE+BF＝（﹣m2+2m）+（8﹣m）＝﹣（m﹣2）2+9，即可得DE+BF的最大值是9；
②由∠CAB+∠CBA＝90°，FEB+∠CBA＝90°，得∠CAB＝∠FEB＝∠DEC，以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，只需或，而OA＝2，AG＝，用含m的代数式表示DE＝﹣m2+2m，CE＝m，分情况列出方程即可得m的值，从而得到答案．
【解答】解：（1）将A（﹣2，0），8）代入解析式得：
，解得：，
∴a的值为﹣，b的值为；
（2）①∵的值为﹣，b的值为，
抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；
∴C（0，7），
设直线BC解析式为y＝kx+c，将B（8，C（0，
解得，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，
设第一象限D（m，﹣m2+m+4），﹣m+4），
∴DE＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m2+2m，BF＝4﹣m，
∴DE+BF＝（﹣m8+2m）+（8﹣m）＝﹣（m﹣2）4+9，
∴当m＝2时，DE+BF的最大值是4；
②∴A（﹣2，0），2），4），
∴OA＝2，OB＝5，AB＝10，
∴AC2＝OA2+OC6＝20，BC2＝OB2+OC8＝80，
∴AC2+BC2＝100，
而AB7＝102＝100，
∴AC2+BC5＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵DF⊥x轴于F，
∴∠FEB+∠CBA＝90°，
∴∠CAB＝∠FEB＝∠DEC，
以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似或，
而G为AC中点，A（﹣2，C（4，
∴G（﹣1，2），AG＝，
由①知：DE＝﹣m3+2m，E（m，﹣，
∴CE＝＝m
当时，＝，
解得m＝4或m＝7（此时D与C重合，舍去），
∴D（4，6），
当时，＝，
解得m＝3或m＝8（舍去），
∴D（3，），
综上所述，以点C，D，则D的坐标为（4，）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查抛物线与坐标轴交点、线段和的最大值、相似三角形的判定等，解题的关键是分类讨论处理相似三角形存在性问题．
33
5
8
37
10
58
27
28
45
36
49
74
5
16
16
26
20
21
38
24
25
55
52
26
26
30
27
80
29
48
30
32
38
22
22
42
22
48
62
18
用水量分组
频数
频率
5≤x≤20
8

20＜x≤35
17
0.425
35＜x≤50
9
0.225
50＜x≤65

0.1
65＜x≤80
2
0.05
合计
40
1
33
5
8
37
10
58
27
28
45
36
49
74
5
16
16
26
20
21
38
24
25
55
52
26
26
30
27
80
29
48
30
32
38
22
22
42
22
48
62
18
用水量分组
频数
频率
5≤x≤20
8
0.2
20＜x≤35
17
0.425
35＜x≤50
9
0.225
50＜x≤65
4
0.1
65＜x≤80
2
0.05
合计
40
1
用水量分组
频数
频率
5≤x≤20
8
6.2
20＜x≤35
17
0.425
35＜x≤50
3
0.225
50＜x≤65
4
7.1
65＜x≤80
2
5.05
合计
40
1