2024学生版大二轮数学新高考提高版（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）专题六　第1讲　直线与圆36

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[考情分析] 1.求直线的方程，考查点到直线的距离公式，直线间的位置关系，多以选择题、填空题的形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．
考点一 直线的方程
核心提炼
1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
2．点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为零)间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
例1 (1)(多选)已知直线l的倾斜角等于30°，且l经过点(0,1)，则下列结论中正确的是( )
A．直线l的方程为y＝eq \f(\r(3),3)x＋1
B．l的一个方向向量为n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，1))
C．l与直线eq \r(3)x－3y＋2＝0平行
D．l与直线eq \r(3)x＋y＋2＝0垂直
(2)当点M(2，－3)到直线(4m－1)x－(m－1)y＋2m＋1＝0的距离取得最大值时，m等于( )
A．2 B.eq \f(4,7)
C．－2 D．－4
易错提醒 解决直线方程问题的三个注意点
(1)利用A1B2－A2B1＝0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
(2)要注意直线方程每种形式的局限性．
(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．
跟踪演练1 (1)(多选)下列说法错误的是( )
A．过点A(－2，－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为x＋y＝－5
B．直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0必过定点(1,3)
C．经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ(x－1)
D．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)
(2)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2eq \r(5)，则m＋n＝________.
考点二 圆的方程
核心提炼
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，eq \f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆．
例2 (1)已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2关于直线2x＋y＋5＝0对称，则圆C2的标准方程为( )
A．(x＋4)2＋(y＋2)2＝4
B．(x－4)2＋(y－2)2＝4
C．(x＋2)2＋(y＋4)2＝4
D．(x－2)2＋(y－4)2＝4
(2)(2023·泉州模拟)已知圆C：x2＋y2＋mx－2y＝0关于直线l：(a＋1)x－ay－1＝0(a≠－1)对称，l与C交于A，B两点，设坐标原点为O，则|OA|＋|OB|的最大值等于( )
A．2 B．4 C．8 D．16
规律方法 解决圆的方程问题一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
跟踪演练2 (1)(2023·龙岩质检)写出一个与圆x2＋y2＝1外切，并与直线y＝eq \f(\r(3),3)x及y轴都相切的圆的方程________________________________________________________________．
(2)(2023·福州模拟)已知⊙O1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，⊙O1关于直线ax＋2y＋1＝0对称的圆记为⊙O2，点E，F分别为⊙O1，⊙O2上的动点，EF长度的最小值为4，则a等于( )
A．－eq \f(3,2)或eq \f(5,6) B．－eq \f(5,6)或eq \f(3,2)
C．－eq \f(3,2)或－eq \f(5,6) D.eq \f(5,6)或eq \f(3,2)
考点三 直线、圆的位置关系
核心提炼
1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离．
其判断方法为：
(1)点线距离法．
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))
消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ0.
2．圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离．
考向1 直线与圆的位置关系
例3 (1)(多选)(2023·阳泉模拟)已知直线l：y＝kx＋2k＋2(k∈R)与圆C：x2＋y2－2y－8＝0.则下列说法正确的是( )
A．直线l过定点(－2,2)
B．直线l与圆C相离
C．圆心C到直线l距离的最大值是2eq \r(2)
D．直线l被圆C截得的弦长的最小值为4
(2)(2023·新高考全国Ⅱ)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为eq \f(8,5)”的m的一个值为________．
考向2 圆与圆的位置关系
例4 (1)(2023·淄博模拟)“a≥eq \f(\r(2),2)”是“圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1有公切线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(多选)(2023·福建统考)已知⊙O：x2＋y2＝1，⊙O1：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)，则下列说法正确的是( )
A．若r＝2，两圆的公切线过点(－2,0)
B．若r＝2，两圆的相交弦长为eq \r(3)
C．若两圆的一个交点为M，分别过点M的两圆的切线相互垂直，则r＝3
D．当r>3时，两圆的位置关系为内含
规律方法 直线与圆相切问题的解题策略
当直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．
跟踪演练3 (1)(2023·邯郸模拟)已知直线l：x－y＋5＝0与圆C：x2＋y2－2x－4y－4＝0交于A，B两点，若M是圆上的一动点，则△MAB面积的最大值是____________．
(2)(多选)(2023·辽阳模拟)已知⊙E：(x－2)2＋(y－1)2＝4，过点P(5,5)作圆E的切线，切点分别为M，N，则下列命题中真命题是( )
A．|PM|＝eq \r(21)
B．直线MN的方程为3x＋4y－14＝0
C．圆x2＋y2＝1与⊙E共有4条公切线
D．若过点P的直线与⊙E交于G，H两点，则当△EHG面积最大时，|GH|＝2eq \r(2)