2023-2024学年广东省云浮市新兴县九年级（上）期末数学试卷(含解析)

这是一份2023-2024学年广东省云浮市新兴县九年级（上）期末数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在如图四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x2＝3B．x2﹣1＝x（x﹣1）
C．ax2+bx+c＝0D．
3．从1至12这些自然数中任意抽取一个数，抽取到的数字是3的倍数的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠B＝45°，则∠OAC的度数是（ ）
A．45°B．70°C．60°D．50°
5．某种商品原来每件售价为250元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为160元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．250（1﹣x）2＝160B．250（1﹣x）＝160
C．160（1+x）2＝250D．250（1﹣2x）＝160
6．二次函数y＝x2+x﹣2的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2B．x＞1C．﹣2＜x＜1D．x＜﹣2或x＞1
7．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，若∠OCD＝20°，则∠BAD的度数是（ ）
A．30°B．35°C．60°D．70°
8．已知二次函数y＝x2+x+1，则下列关于这个函数图象和性质的说法错误的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象的顶点坐标是
C．图象的对称轴是直线
D．图象与x轴无交点
9．已知线段OA在平面直角坐标系中的位置如图所示，端点的坐标分别为O（0，0），A（﹣1，2）将线段OA顺时针旋转90°后得到OA1，则点A1的坐标为（ ）
A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（1，﹣2）D．（1，2）
10．如图，抛物线状沙丘是大漠中常见的沙丘形状，以沙丘顶端为原点建立平面直角坐标系，沙丘中两点M，N的坐标分别为（﹣9，m），（12，64），则m的值为（ ）
A．30B．36C．48D．56
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．一元二次方程x2﹣3x+k＝0的一个根为x＝1，则常数k的值为 ．
12．从一组数﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3中随机选一个数，恰好是非负数的概率为 ．
13．如图，△AB'C'是△ABC绕点A旋转180°后得到的，已知∠B＝90°，AB＝1，∠C＝30°，则CC'的长为 ．
14．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，F是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，D是线段AF的中点，连接OD，BF．则线段OD的最大值是 ．
15．只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为7cm，AB＝6cm，CD＝8cm．请你帮忙计算纸杯的直径为 cm．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16．用适当的方法解下列方程：
（1）．
（2）x（2x﹣1）＝﹣3x+12．
17．开展社会实践活动是学校深入贯彻党的“二十大”精神，践行“社会主义核心价值观”重要思想的具体体现．假期临近，李老师准备了四张形状大小完全相同的卡片，卡片上分别写有本次假期社会实践的内容：A．敬老院做义工；B．图书馆管理员；C．科技馆讲解员；D．文化广场保洁．将卡片背面朝上洗匀后让学生随机抽取一张（抽取后放回）．
（1）用画树状图或列表的方法表示丽丽和乐乐抽取所有可能的结果．
（2）求丽丽和乐乐抽取到相同实践岗位的概率．
18．如图，一农户要建一个矩形菜地，为了节省材料，菜地的一边利用长为10米的墙，另外三边用长为19米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门，当所围成的矩形菜地的长、宽分别是多少时，菜地面积为48平方米？
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点（网格线的交点）上．
（1）作△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AB2，求点B所走的路径的长度（结果保留π）．
20．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，点E在AB的延长线上，直线EF经过点C，已知BD//AC，∠BAD＝∠ACF．
（1）求证：EF为⊙O的切线．
（2）若∠CAB＝45°，⊙O的半径等于，求△ABD绕AB旋转一周得到的几何体的表面积（结果保留π）．
21．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元？
（2）每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．综合与实践
如图1，矩形ABCD的边AB＝4，AD＝8，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜90°）得到矩形AEFG，AD与EF交于点H．
数学思考：（1）填空：图1中∠AHF＝ ；（用含α的代数式表示）
深入探究：（2）如图2，当α＝45°时，求DH的长；
（3）如图3，当点H在对角线AC的垂直平分线上时，连接CH，求证：EH＝DH．
23．如图，已知经过A（1，0），B（4，0）两点的抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）若线段BC上有一动点M（不与B、C重合），过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N．
①求当线段MN的长度最大时点M的坐标；
②是否存在一点M，使得四边形OCMN为菱形？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个正确的.
1．在如图四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念得出结论即可．
解：A选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查中心对称和轴对称的知识，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x2＝3B．x2﹣1＝x（x﹣1）
C．ax2+bx+c＝0D．
【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
解：A．方程2x2＝3是一元二次方程，故本选项符合题意；
B、方程化简可得x﹣1＝0，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C．当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
D．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
3．从1至12这些自然数中任意抽取一个数，抽取到的数字是3的倍数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先确定3的倍数的个数，然后根据概率公式求解．
解：从1至12这些自然数中是3的倍数的数有3、6、9、12，
所以任意抽取一个数，抽取到的数字是3的倍数的概率＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了概率公式：某事件的概率＝所求事件所占有的情况数与总情况数之比．确定3的倍数是解决问题的关键．
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠B＝45°，则∠OAC的度数是（ ）
A．45°B．70°C．60°D．50°
【分析】根据圆周角定理求出∠AOC，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠OAC．
解：∵∠B＝45°，
∴∠AOC＝2∠B＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝×（180°﹣90°）＝45°，
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理是解题的关键．
5．某种商品原来每件售价为250元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为160元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．250（1﹣x）2＝160B．250（1﹣x）＝160
C．160（1+x）2＝250D．250（1﹣2x）＝160
【分析】根据某种商品原来每件售价为250元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为160元，列一元二次方程即可．
解：根据题意，得250（1﹣x）2＝160．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．二次函数y＝x2+x﹣2的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2B．x＞1C．﹣2＜x＜1D．x＜﹣2或x＞1
【分析】先解方程x2+x﹣2＝0得抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（1，0），然后利用函数图象写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的取值范围即可．
解：当y＝0时，x2+x﹣2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（1，0），
当﹣2＜x＜1时，y＞0，
即函数值y＜0时，x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
7．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，若∠OCD＝20°，则∠BAD的度数是（ ）
A．30°B．35°C．60°D．70°
【分析】根据垂径定理得到弧BC＝弧BD，再根据圆周角定理得到即可．
解：∵∠OCD＝20°，
∴∠BOC＝70°，
∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，
∴弧BC＝弧BD，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理和圆周角定理，掌握垂径定理是解题的关键．
8．已知二次函数y＝x2+x+1，则下列关于这个函数图象和性质的说法错误的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象的顶点坐标是
C．图象的对称轴是直线
D．图象与x轴无交点
【分析】利用a＞0可对A选项进行判断；利用配方法把一般式配成顶点式，则可对B选项和C选项进行判断；通过计算根的判别式的值，利用根的判别式的意义可对D选项进行判断．
解：y＝x2+x+1，
∵a＝1＞0，
∴抛物线的开口向上，所以A选项不符合题意；
∵y＝x2+x+1＝（x+）2+，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣，），所以B选项不符合题意；
抛物线的对称轴为x＝﹣，所以C选项符合题意；
∵Δ＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，
∴抛物线与x轴没有交点，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
9．已知线段OA在平面直角坐标系中的位置如图所示，端点的坐标分别为O（0，0），A（﹣1，2）将线段OA顺时针旋转90°后得到OA1，则点A1的坐标为（ ）
A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（1，﹣2）D．（1，2）
【分析】由题意得：OA＝OA1，∠AOA1＝90°，因为∠AOB+∠A1OC＝∠AOB+∠OAB，所以∠A1OC＝∠OAB，即可得∴△ABO≌△OCA1（AAS），所以OC＝AB＝2，A1C＝OB＝1，即可得点A1的坐标．
解：如图所示：
由题意得：OA＝OA1，∠AOA1＝90°，
∵∠AOB+∠A1OC＝∠AOB+∠OAB，
∴∠A1OC＝∠OAB，
∵∠ABO＝∠OCA1＝90°，
∴△ABO≌△OCA1（AAS），
∴OC＝AB＝2，A1C＝OB＝1，
∴点A1的坐标为（2，1），
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，根据题意证△ABO≌△OCA1即可求解．
10．如图，抛物线状沙丘是大漠中常见的沙丘形状，以沙丘顶端为原点建立平面直角坐标系，沙丘中两点M，N的坐标分别为（﹣9，m），（12，64），则m的值为（ ）
A．30B．36C．48D．56
【分析】利用待定系数法求得抛物线解析式，代入（﹣9，m）即可求得m的值．
解：根据图象设抛物线的解析式为y＝ax2（a≠0），
∵N（12，64）在抛物线上，
∴64＝144a，解得a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2，
把（﹣9，m）代入得，m＝×（﹣9）2＝36．
故m的值为36，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，求得函数的解析式是解题的关键．
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．一元二次方程x2﹣3x+k＝0的一个根为x＝1，则常数k的值为 2 ．
【分析】把x＝1代入一元二次方程得到关于k的方程，然后解关于k的方程即可．
解：把x＝1代入x2﹣3x+k＝0得1﹣3+k＝0，
解得k＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12．从一组数﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3中随机选一个数，恰好是非负数的概率为 ．
【分析】确定非负数的个数即可求解．
解：∵0，1，2，3均为非负数，
∴随机选一个数，恰好是非负数的概率为：，
故答案为：
【点评】本题考查了概率的求解，熟练掌握概率公式是解题的关键．
13．如图，△AB'C'是△ABC绕点A旋转180°后得到的，已知∠B＝90°，AB＝1，∠C＝30°，则CC'的长为 4 ．
【分析】先求出AC的长，再根据旋转的性质即可解决问题．
解：在Rt△ABC中，
sinC＝，
则，
得AC＝2．
又因为△AB'C'是△ABC绕点A旋转180°后得到的，
所以AC′＝AC，且C，A，C′三点共线，
所以CC′＝2AC＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查中心对称，熟知成中心对称的两个图形的关系是解题的关键．
14．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，F是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，D是线段AF的中点，连接OD，BF．则线段OD的最大值是 3 ．
【分析】先求出点A（﹣3，0），点B（3，0），则OA＝OB＝3，由此可证OD为△ABF的中位线，则OD＝BF，要使OD为最大，只需BF为最大即可，连接BC，BC的延长线交⊙C于点P，根据点于圆的位置关系可知：点B与⊙C上各点距离中，BP为最大，即当点F与点P重合时，OD为最大，最大值为BP，然后在Rt△OBC中由勾股定理求出BC＝5，进而得BP＝6，据此可得OD的最大值．
解：对于，当y＝0时，得：x2﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝3，
∴点A（﹣3，0），点B（3，0），
∴OA＝OB＝3，
∵点D为AF的中点，
∴OD为△ABF的中位线，
∴OD＝BF，
要使OD为最大，只需BF为最大即可，
连接BC，BC的延长线交⊙C于点P，如图所示：
根据点于圆的位置关系可知：点B与⊙C上各点距离中，BP为最大，
即当点F与点P重合时，OD为最大，最大值为1/2BP，
∵点C（0，4），
∴OC＝4，
在Rt△OBC中，OB＝3，OC＝4，
由勾股定理得：BC＝＝5，
∵⊙C的半径为1，
∴BP＝BC+CP＝6，
∴BP＝3，
∴OD的最大值为3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了二次函数与坐标轴的交点，点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理，并根据点与圆的位置关系确定当BF为最大时点F的位置是解决问题的关键．
15．只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为7cm，AB＝6cm，CD＝8cm．请你帮忙计算纸杯的直径为 10 cm．
【分析】由垂径定理求出BN，DM的长，设OM＝x，由勾股定理得到x2+42＝（7﹣x）2+32，求出x的值，得到OM的长，由勾股定理求出OD长，即可求出纸杯的直径长．
解：如图，MN⊥AB，MN过圆心O，连接OD，OB，
∴MN＝7cm，
∵CD∥AB，
∴MN⊥CD，
∴DM＝CD＝×8＝4（cm），BN＝AB＝×6＝3（cm），
设OM＝x cm，
∴ON＝MN﹣OM＝（7﹣x）cm，
∵OM2+MD2＝OD2，ON2+BN2＝OB2，
∴OM2+MD2＝ON2+BN2，
∴x2+42＝（7﹣x）2+32，
∴x＝3，
∴OM＝3（cm），
∴OD＝＝5（cm），
∴纸杯的直径为5×2＝10（cm）．
故答案为：10．
【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，由垂径定理，勾股定理求出OM的长．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16．用适当的方法解下列方程：
（1）．
（2）x（2x﹣1）＝﹣3x+12．
【分析】（1）利用直接开平方法解出方程；
（2）先把方程化为一般形式，再利用因式分解法解出方程．
解：（1）（x﹣1）2＝3，
则（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3，
∴x＝±3+1，
∴x1＝﹣2，x2＝4；
（2）x（2x﹣1）＝﹣3x+12，
则2x2﹣x+3x﹣12＝0，
∴x2+x﹣6＝0，
∴（x+3）（x﹣2）＝0，
∴x+3＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝2．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
17．开展社会实践活动是学校深入贯彻党的“二十大”精神，践行“社会主义核心价值观”重要思想的具体体现．假期临近，李老师准备了四张形状大小完全相同的卡片，卡片上分别写有本次假期社会实践的内容：A．敬老院做义工；B．图书馆管理员；C．科技馆讲解员；D．文化广场保洁．将卡片背面朝上洗匀后让学生随机抽取一张（抽取后放回）．
（1）用画树状图或列表的方法表示丽丽和乐乐抽取所有可能的结果．
（2）求丽丽和乐乐抽取到相同实践岗位的概率．
【分析】（1）利用树状图展示所有16种等可能的结果；
（2）找出丽丽和乐乐抽取到相同实践岗位的结果数，然后根据概率公式求解．
解：（1）画树状图为：
共有16种等可能的结果；
（2）丽丽和乐乐抽取到相同实践岗位的结果数为4，
所以丽丽和乐乐抽取到相同实践岗位的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
18．如图，一农户要建一个矩形菜地，为了节省材料，菜地的一边利用长为10米的墙，另外三边用长为19米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门，当所围成的矩形菜地的长、宽分别是多少时，菜地面积为48平方米？
【分析】设BC的长为x米，则AB的长为米，根据菜地面积为48平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合墙长为10米，可确定矩形菜地的长，再将其代入中，即可求出矩形菜地的宽．
解：设BC的长为x米，则AB的长为米，
根据题意得：x•＝48，
整理得：x2﹣20x+96＝0，
解得：x1＝8，x2＝12，
∵墙长10米，
∴x＝8，
∴＝＝6（米）．
答：当矩形菜地的长为8米，宽为6米时，菜地面积为48平方米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点（网格线的交点）上．
（1）作△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AB2，求点B所走的路径的长度（结果保留π）．
【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征得到点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）先利用勾股定理计算出AB，然后根据弧长公式计算点B所走的路径的长度．
解：（1）如图，△A1B1C1，点A1的坐标为（﹣1，﹣2）；
（2）∵线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AB2，
∴∠BAB2＝90°，
∵AB＝＝，
∴点B所走的路径的长度为＝π．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
20．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，点E在AB的延长线上，直线EF经过点C，已知BD//AC，∠BAD＝∠ACF．
（1）求证：EF为⊙O的切线．
（2）若∠CAB＝45°，⊙O的半径等于，求△ABD绕AB旋转一周得到的几何体的表面积（结果保留π）．
【分析】（1）如图，连接OC，根据平行线的性质得到∠OAC＝∠OCA，∠OAC＝∠ABD根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，求得OC⊥EF．根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠DBA＝∠CAB＝45°，于是得到△ABD是等腰直角三角形，即AD＝BD，根据勾股定理得到AD2+BD2＝AB2＝32，解得AD＝4，BD＝4，根据圆锥的表面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，BD∥AC，
∴∠OAC＝∠OCA，∠OAC＝∠ABD
∴∠OCA＝∠ABD．
∵AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，
∴∠ADB＝90°，
即∠BAD+∠DBA＝90°，
∵∠BAD＝∠ACF，
∴∠ACF+∠OCA＝90°，即OC⊥EF．
∵C是⊙O上的点，
∴EF为⊙O的切线；
（2）解：当∠CAB＝45°，⊙O的半径等于时，则AB＝4，
∵BD∥AC，
∴∠DBA＝∠CAB＝45°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD2+BD2＝AB2＝32，
解得AD＝4，BD＝4，
∴△ABD绕AB旋转一周得到的几何体的表面积＝2π•（4+4）＝16π．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
21．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元？
（2）每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣40）元，日销售量为20+×10＝（140﹣2x）件，利用该种小商品的日销售利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）本根据（1）列出的方程求解最大值即可．
解：（1）设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣40）元，日销售量为20+（60﹣x）×2＝（140﹣2x）件，
依题意得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20，
整理得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x1＝50，x2＝60，
因为商家想尽快销售完该商品，
所以x2＝60（不合题意，舍去）．
答：每件售价应定为50元；
（2）设利润为w元，
w＝（x﹣40）（140﹣2x）
＝﹣2x2﹣220x﹣5600，
＝﹣2（x﹣55）2+450．
每件售价定为55元时，每件的销售利润为55﹣40＝15（元），日销售利润＝15×（140﹣2×55）＝450（元）．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．综合与实践
如图1，矩形ABCD的边AB＝4，AD＝8，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜90°）得到矩形AEFG，AD与EF交于点H．
数学思考：（1）填空：图1中∠AHF＝ 180°﹣α ；（用含α的代数式表示）
深入探究：（2）如图2，当α＝45°时，求DH的长；
（3）如图3，当点H在对角线AC的垂直平分线上时，连接CH，求证：EH＝DH．
【分析】（1）由矩形的性质和旋转的性质得∠ADE＝∠BAE＝α，然后利用平角定义即可证明问题；
（2）由旋转的性质证明△EAH是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可解决问题；
（3）由线段垂直平分的性质定理得到AH＝CH，而AE＝CD，证明Rt△AEH≌Rt△CDH（HL），即可解决问题．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，
由旋转得：∠E＝∠B＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣∠DAE＝∠BAE＝α，
∴∠AHF＝180°﹣∠ADE＝180°﹣α，
故答案为：180°﹣α；
（2）解：∵矩形ABCD的边AB＝4，AD＝8，∠DAB＝90°，
当α＝45°时，∠EAH＝45°，
由旋转得：∠E＝∠B＝90°，AE＝AB＝4，
∴△EAH是等腰直角三角形，
∴AH＝AE＝4，
∴DH＝AD﹣AH＝8﹣4；
（3）证明：∵点H在对角线AC的垂直平分线上，EF边经过点H，
∴AH＝CH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠D＝∠B＝90°，
由旋转得：AE＝AB，∠E＝∠B＝90°，
∴CD＝AE，∠E＝∠D＝90°，
在Rt△AEH和Rt△CDH中，
，
∴Rt△AEH≌Rt△CDH（HL），
∴EH＝DH．
【点评】本题是四边形综合题，考查全等三角形的判定和性质，矩形的性质，旋转的性质，线段垂直平分线的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
23．如图，已知经过A（1，0），B（4，0）两点的抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）若线段BC上有一动点M（不与B、C重合），过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N．
①求当线段MN的长度最大时点M的坐标；
②是否存在一点M，使得四边形OCMN为菱形？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A（1，0），B（4，0）代入y＝x2+bx+c，待定系数法求解析式即可求解；
（2）①先待定系数法求得直线BC的解析式为y＝﹣x+4，设M的坐标为（m，﹣m+4），则N（m，m2﹣5m+4），进而得出MN关于m的函数关系式，根据二次函数的性质得出线段MN的长度最大时，求得m点的值，即可点M的坐标；
②当根据菱形的性质得出MN＝CO＝CM＝4，求得M（2，2），进而计算MC，得出MC≠CO进行判断，即可得出结论．
解：（1）将A（1，0），B（4，0）代入y＝x2+bx+c，
得，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣5x+4，
当x＝0时，y＝4，即C（0，4）；
（2）①设直线BC的解析式为y＝kx+4，
将点B（4，0）代入得，4k+4＝0，
解得：k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
设M的坐标为（m，﹣m+4），则N（m，m2﹣5m+4），
∴MN＝﹣m+4﹣（m2﹣5m+4）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当m＝2时，MN取得最大值，
∴M（2，2）；
②不存在，理由：
∵四边形OCMN是菱形，则MN＝CO＝CM＝4，
∴﹣（m﹣2）2+4＝4，
∴m＝2，
此时M（2，2），C（0，4），
∴≠CO，
∴不存在点M使得四边形OCMN为菱形．
【点评】本题考查了二次函数综合运用，线段最值问题，菱形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．