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内蒙古锡林郭勒盟2023-2024学年高三上学期1月期末教学质量检测理科数学试题（学生及教师版）
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注意事项：
1.考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
2. 复数，，其中，为实数，若为实数，为纯虚数，则（ ）
A. B. C. 6D. 7
3. 为了鼓励学生积极锻炼身体，强健体魄，某学校决定每学期对体育成绩在年级前100名的学生给予专项奖励.已知该校高三年级共有600名学生，如图是该年级学生本学期体育测试成绩的频率分布直方图.据此估计，该校高三年级学生体育成绩的中位数为（ ）
A. 70B. 70.5C. 71.25D. 72
4. 若，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A 4B. 3C. D.
5. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
6. 若，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，已知，为平面外一点，，点到两边，的距离分别为，，且，则点到平面的距离为（ ）
A. 4B. C. 2D.
8. 已知椭圆上存在点，使得，其中，是椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 在三棱锥中，，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知圆锥的母线长为，为底面的圆心，高，其轴截面的面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法错误的是（ ）
A.
B.
C. 函数为奇函数
D. 函数在区间上单调递减
12. 若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，
13. 已知向量，满足，，，则______.
14. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为______.
15. 从分别写有1，2，3，4，55张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为______.
16. 已知为锐角三角形，，，，是角，，分别所对的边，若；且，则面积的取值范围是______.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题：共60分.
17. 已知数列满足，，设.
（1）求，，；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式
18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱上的一点，且.
（1）证明：平面；
（2）求二面角正弦值.
19. 为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的9名队员来自高一年级2人，高二年级3人，高三年级4人，本次决定比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行8场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军，亚军和季军，积分规则如下：每场比赛5局中以或3:1获胜的队员积3分，落败的队员积0分；而每场比赛5局中以获胜的队员积2分，落败的队员积1分，
（1）求比赛结束后冠亚军恰好来自不同年级的概率；
（2）已知最后一轮比赛两位选手是甲和乙，假设每局比赛甲获胜概率均为0.6，
①若设最后一轮每局比赛甲获胜为事件，乙获胜为事件，则事件与是什么关系，并求和；
②记这轮比赛甲所得积分为求的概率分布列及数学期望.
20. 在平面直角坐标系中，已知抛物线和点.点在上，且.
（1）求的方程；
（2）若过点作两条直线与，与相交于，两点，与相交于，两点，线段和中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，，证明：，且为定值.
21. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：在上.
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，
（1）写出普通方程，并指出它是什么曲线；
（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的极径与极角的正切值.
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23. 已知，，均为正数，且，证明：
（1）；
（2）若，则.
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注意事项：
1.考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
2. 复数，，其中，为实数，若为实数，为纯虚数，则（ ）
A. B. C. 6D. 7
3. 为了鼓励学生积极锻炼身体，强健体魄，某学校决定每学期对体育成绩在年级前100名的学生给予专项奖励.已知该校高三年级共有600名学生，如图是该年级学生本学期体育测试成绩的频率分布直方图.据此估计，该校高三年级学生体育成绩的中位数为（ ）
A. 70B. 70.5C. 71.25D. 72
4. 若，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A 4B. 3C. D.
5. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
6. 若，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，已知，为平面外一点，，点到两边，的距离分别为，，且，则点到平面的距离为（ ）
A. 4B. C. 2D.
8. 已知椭圆上存在点，使得，其中，是椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 在三棱锥中，，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知圆锥的母线长为，为底面的圆心，高，其轴截面的面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法错误的是（ ）
A.
B.
C. 函数为奇函数
D. 函数在区间上单调递减
12. 若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，
13. 已知向量，满足，，，则______.
14. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为______.
15. 从分别写有1，2，3，4，55张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为______.
16. 已知为锐角三角形，，，，是角，，分别所对的边，若；且，则面积的取值范围是______.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题：共60分.
17. 已知数列满足，，设.
（1）求，，；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式
18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱上的一点，且.
（1）证明：平面；
（2）求二面角正弦值.
19. 为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的9名队员来自高一年级2人，高二年级3人，高三年级4人，本次决定比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行8场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军，亚军和季军，积分规则如下：每场比赛5局中以或3:1获胜的队员积3分，落败的队员积0分；而每场比赛5局中以获胜的队员积2分，落败的队员积1分，
（1）求比赛结束后冠亚军恰好来自不同年级的概率；
（2）已知最后一轮比赛两位选手是甲和乙，假设每局比赛甲获胜概率均为0.6，
①若设最后一轮每局比赛甲获胜为事件，乙获胜为事件，则事件与是什么关系，并求和；
②记这轮比赛甲所得积分为求的概率分布列及数学期望.
20. 在平面直角坐标系中，已知抛物线和点.点在上，且.
（1）求的方程；
（2）若过点作两条直线与，与相交于，两点，与相交于，两点，线段和中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，，证明：，且为定值.
21. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：在上.
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，
（1）写出普通方程，并指出它是什么曲线；
（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的极径与极角的正切值.
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23. 已知，，均为正数，且，证明：
（1）；
（2）若，则.
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