河北省邢台市2023-2024学年高三上学期期末数学试题

这是一份河北省邢台市2023-2024学年高三上学期期末数学试题，共14页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，若，且为第三象限角，则，已知函数，则函数的图象是，设，若，则的最小值为等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．若，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，满足，，则（ ）
A．B．2C．D．4
4．已知椭圆的上焦点为，则（ ）
A．B．5C．D．7
5．若，且为第三象限角，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，则函数的图象是（ ）
A．B．C．D．
7．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（ ）
A．B．C．D．
8．设，若，则的最小值为（ ）
A．6B．C．D．4
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．《黄帝内经》中的十二时辰养生法认为：子时（23点到次日凌晨1点）的睡眠对一天至关重要．相关数据表明，人睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数各取10个，如下表：
根据样本数据，下列说法正确的是（ ）
A．早睡群体的睡眠指数一定比晚睡群体的睡眠指数高
B．早睡群体的睡眠指数的众数为85
C．晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为66
D．早睡群体的睡眠指数的方差比晚睡群体的睡眠指数的方差小
10．已知为坐标原点，，分别为双曲线的左、右焦点，为上一点，且，若到一条渐近线的距离为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线的离心率为
C．的坐标可能是
D．若过点且斜率为的直线与的左支有交点，则
11．已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点，则（ ）
A．B．过，，的截面面积为
C．直线与所成角的余弦值为D．与平面所成角的正弦值为
12．已知函数，若对任意，都有，则实数的值可以为（ ）
A．B．C．D．1
三、填空题：本题共4小题，毎小题5分，共20分．
13．将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的一个对称中心为__________．
14．已知展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中的系数为__________（用数字作答）
15．若函数的定义域为，则函数的定义域为__________．
16．在平面直角坐标系中，已知，动点满足，点在直线上，则的最小值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）求的取值范围．
18．（12分）
已知数列满足，．
（1）证明是等比数列，并求出的通项公式；
（2）证明：．
19．（12分）
如图，在四棱雉中，底面是边长为2的菱形，，为正三角形，为的中点，平面与平面的交线为．
（1）证明：平面．
（2）若二面角为，求锐二面角的余弦值．
20．（12分）
某中学选拔出20名学生组成数学奥赛集训队，其中高一学生有8名、高二学生有7名、高三学生有5名．
（1）若从数学奥赛集训队中随机抽取3人参加一项数学奥赛，求抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一的概率．
（2）现学校欲对数学奥赛集训队成员进行考核，考核规则如下：考核共4道题，前2道题答对每道题计1分，答错计0分；后2道题答对每道题计2分，答错计0分，累积计分不低于5分的学生为优秀学员．现已知张同学前2道题每道题答对的概率均为，后2道题每道题答对的概率均为，是否正确回答每道题之间互不影响．记张同学在本次考核中累积计分为，求的分布列和数学期望，并求张同学在本次考核中获得优秀学员称号的概率．
21．（12分）
已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：．
22．（12分）
设为抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，是抛物线
上一点，当轴时，．
（1）求抛物线的方程．
（2）的延长线与的交点为，的延长线与的交点为，点在与之间．
（i）证明：，两点关于轴对称．
（ii）记的面积为，的面积为，求的取值范围．
邢台市2023—2024学年高三（上）期末测试
数学参考答案
1．A 因为，所以．
2．C 因为，所以．
3．A 因为，，所以．
4．C 因为椭圆的焦点在轴上，所以，．
因为，所以，所以．
5．B 因为，且为第三象限角，所以，故．
6．D 因为的定义域为，所以的定义域为，所以排除A，C．因为，所以，所以排除B．故选D．
7．B 因为平面，平面，所以．
因为，，所以平面．
如图所示，设为球与平面的交线，则，，所以，所以所在的圆是以为圆心，为半径的圆．因为，所以弧的长为．
8．D 设，，
令，解得，所以，即，当且仅当，时，等号成立．
9．BD 因为早睡群体的睡眠指数不一定比晚睡群体的睡眠指数高，所以A错误；因为早睡群体的睡眠指数的10个样本数据中85出现次数最多，所以B正确；因为晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为，所以C错误；由样本数据可知，早睡群体的睡眠指数相对比较稳定，所以方差小，故D正确．
10．D 因为到渐近线的距离为，所以．
因为，，所以，．
因为，所以．
因为，所以，，
所以的渐近线方程为，故A错误．
由上知的离心率，所以B正确．
因为，
所以，所以，故C错误．
当时，直线只与右支相交一点；当时，直线与左右两支各交一点；
当时，直线与右支相交于两点，故D正确．
11．BCD 取的中点，连接（图略），则．因为，相交，所以，
异面，故A不正确．取的中点，连接，，（图略），则等腰梯形即为过，，的截面．因为，，所以等腰梯形的高为，面积为，故B正确．连接（图略），因为，所以即直线与所成的角．在中，，，所以，故C正确．连接（图略），即与平面所成角的平面角，因为，，所以与平面所成角的正弦值为，故D正确．
12．CD 令，
则，所以为奇函数．
因为
，
且，，所以，所以在上单调递增．
因为等价于，
所以，所以，
即在上恒成立．
令，则，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，所以，．
令，，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以．
13．（答案不唯一） 由题意知所得图象的解析式为，令，，得，，所以所得图象的对称中心为．
14．1792 由，得．的通项公式为．令，得，所以展开式中含的项为．
15． 因为，所以，所以的定义域为，
要使有意义，需满足，解得．
16．2 设，因为，所以，
整理得动点的轨迹方程为，
所以动点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆．
因为圆心到直线的距离，所以．
17．解：（1）因为，所以．
因为，所以．因为为锐角三角形，所以．
（2）因为，所以．
因为为锐角三角形，所以得．
因为，
且，所以．
18．证明：（1）因为，所以．
因为，所以，
所以是首项为2，公比为3的等比数列，所以，
故的通项公式为．
（2）由（1）知．
当时，，所以，
所以．
19．（1）证明：因为四边形为菱形，所以．
因为平面，平面，所以平面．
因为平面，平面平面，所以．
因为平面，平面，所以平面．
（2）解：取的中点，连接，，．
因为，均为正三角形，
所以，，
所以为二面角的平面角，即．
如图所示，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，．
设平面的法向量为，，，
则令，得．
设平面的法向量为，，，
则令，得，
所以，
所以锐二面角的余弦值为．
20．解：（1）设事件为“抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一”，
则．
（2）的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，
，
，
，
，
，
，
，
所以的分布列为
所以的数学期望．
张同学在本次考核中获得优秀学员称号的概率为．
21．（1）解：，，．
故曲线在点处的切线方程为，即．
（2）证明：由（1）得．
令函数，则，所以是增函数．
因为，，
所以存在，使得，即．
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
．
因为，所以，
所以．
故．
22．（1）解：当轴时，则，
，解得，所以抛物线的方程为．
（2）（i）证明：当轴时，直线与抛物线相切，点不存在，所以与轴不垂直，
即直线，的斜率都存在．
设，，，则，
所以直线的方程为，即．
又直线过点，所以．
同理可得直线的方程为．
又直线过点，所以，所以，所以，即，两点关于轴对称．
（ii）解：不妨设，因为点在与之间，所以，，
，
则，令，则，
则在上单调递减，故的取值范围是．编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
早睡群体睡眠指数
65
68
75
85
85
85
88
92
92
95
晚睡群体睡眠指数
35
40
55
55
55
66
68
74
82
90
0
1
2
3
4
5
6
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