【九省联考模式】河南郑州外国语学校2024届高三适应性训练数学试题+答案

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本试卷共19题，满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的，
1．某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的分位数为（ ）
A．93 B．93.5 C．94 D．94.5
2．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列满足，前项和为，则（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
4．甲、乙、丙等5名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆，点是椭圆上的任一点，则点到直线的最大距离是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示的四棱雉中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．已知函数，若是锐角的两个内角，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分．
9．近年来，中国电影行业发展迅猛，消费者追求电影剧情的高质量，重视电影内容正面传达的积极情绪，并且愿意为其买单．某机构调查到观众在观看电影时除了关注电影的剧情、情节外，还会关注电影的幕后团队、精神内涵价值观、参演人员等方面．如图所示为该机构调查的2023年中国网民观看电影时关注方面占比的统计表，则下列结论正确的是（ ）
A．2023年中国网民观看电影时超过的网民会关注参演人员
B．这8个方面占比的极差是
C．这8个方面占比的中位数为
D．2023年中国网民观看电影时至少有的网民既关注剧情、情节，又关注精神内涵价值观
10．已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意，则（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在正方体中，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，的值最小
B．当时，
C．若平面上的动点满足，则点的轨迹是椭圆
D．直线与平面所成角的正弦值是
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合，且，则_____________．
13．设等比数列的前项和为，若，则实数_____________．
14．为求方程的虚根，可把原式变形为，由此可得原方程的一个虚根的实部为_____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．已知函数在和处取得极值．
（1）求的值及的单调区间；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
16．某面包店的面包师声称自己店里所出售的每个面包的质量均服从期望为，标准差为的正态分布．
（1）已知如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量，请利用该结论解决问题；假设面包师的说法是真实的，那么从面包店里随机购买25个面包，记这25个面包质量的平均值为，求；
（2）假设有两箱面包（面包除颜色外，其它都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黄色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黄色面包有3个，现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包，求取出黄色面包个数的分布列及数学期望．
附：随机变量服从正态分布，则，．
17．如图，是半球的直径，依次是底面上的两个三等分点，是半球面上一点，且．
（1）证明：；
（2）若点在底面圆上的射影为中点，求直线与平面所成的角的正弦值．
18．已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点在上，点与的上、下焦点连线所在直线的斜率之积为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）经过点的直线与双曲线交于两点（异于点），过点作平行于轴的直线，直线与交于点，且求直线的斜率．
记．对数列和的子集，若，定义；若，19．记．对数列和的子集，若，定义；若，定义．例如：时，．现设是公比为3的等比数列，且当时，．
（1）求数列的通项公式；
（2）对任意正整数，若，求证：；
（3）设，求证：．
郑州外国语学校2023-2024学年高三年级适应性测试
数学学科参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13． 14．或
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（1），
函数在和处取得极值．
，
联立解得：．
，
令，解得和，
时，，函数单调递增；时，，函数单调递减；时，，函数单调递增．
故和是的极值点，
故函数单调递增区间为；函数单调递减区间为．
（2）由（1）知在单调递减，在单调递增，
要使得对任意，不等式恒成立，则需且，
故且，
解得，或，
的取值范围是．
16．（1）由题意，则，
所以，于是随机变量的期望为，标准差为，
因，
故．
（2）设取出黄色面包个数为随机变量，则的可能取值为0，1，2．
则，
，
．
故随机变量的分布列为：
所以数学期望为：．
17．（1）连接，
因为依次是底面上的两个三等分点，
所以四边形是菱形，设，则为中点，且，
又因为，故是等边三角形，
连接，则，
又因为面，所以面，
因为面，所以，
因为依次是底面上的两个三等分点，所以，所以，
又因为是半球的直径，是半球面上一点，所以，
因为面，所以面，
又因为面，所以
（2）因为点在底面圆上的射影为中点，
所以面，
因为面，所以，
又因为，
所以以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，
所以，
设平面的法向量，
则，令，则，
设直线与平面所成角为，
则
所以直线与平面所成角的正弦值为
18．（1）第一步：根据点在双曲线上得的关系式
由题意设双曲线的方程为，
由点在上，得．①
第二步：根据直线的斜率公式得的关系式
设的上、下焦点分别为，则，解得，
所以．②
第三步：联立方程解得的值
由①②得，
第四步：得双曲线的标准方程
故双曲线的标准方程为．
（2）第一步：设直线方程，联立方程得根与系数的关系由题意可知，直线的斜率不为0，
设直线的方程为，
联立，得方程组，
整理得
所以，解得，
所以，
则．
第二步：用表示点的坐标
当直线的斜率不存在时，易得，此时直线的斜率为．当直线的斜率存在时，直线的方程为，所以点的坐标为，
由，可得
，
第三步：用表示点的坐标
由，得点为的中点，所以
，
则，
第四步：根据斜率的计算公式求直线的斜率．
所以
．
故直线的斜率为．
19．（1）当时，，因此，从而；
（2）；
（3）设，则,，，，因此原题就等价于证明．由条件可知．
①若，则，所以．
②若，由可知，设中最大元素为中最大元素为，若，
则由第（2）小题，，矛盾．因为，所以，所以，
，即．
综上所述，，因此．1
2
3
4
5
6
7
8
B
C
B
C
D
D
D
A
9
10
11
ABD
BD
ABC
0
1
2