2023-2024学年安徽省合肥四十八中九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省合肥四十八中九年级（上）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.函数y=3(x−2)2+4的图象的顶点坐标是( )
A. (3,4)B. (−2,4)C. (2,4)D. (2,−4)
3.函数y=k+1x的图象中，在每个象限内y随x增大而增大，则k可能为( )
A. −2B. −1C. 0D. 1
4.如图，为了测量河岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC=a，∠ABC=α，那么AB等于( )
A. a⋅sinαB. a⋅csαC. a⋅tanαD. atanα
5.已知2a+ba=72，下列结论正确的是( )
A. ab=6B. 2a=3bC. a=32bD. 3a=2b
6.如图，点A是反比例函数y=kx(x<0)的图象上的一点，x过点A作AB⊥y轴，垂足为点B，C为x轴上一点，连接AC，BC，若△ABC的面积为3，则k的值为( )
A. 3
B. −3
C. 6
D. −6
7.如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC=65°，连接AD，则∠BAD等于( )
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 32.5°
8.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE/​/BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是( )
A. DFFC=AEAC
B. ADAB=ECAC
C. ADDB=DEBC
D. DFBF=EFFC
9.已知关于x的二次函数y=(x+3)2−4的图象上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，x1A. y1y2C. y1=y2D. y1+8=−y2
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，D为AC上任一点，F为AB中点，连接BD，E在BD上，且满足CD2=DE⋅BD，连接EF，则EF的最小值为( )
A. 3−1
B. 1
C. 32
D. 12
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP12.如图，已知，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，则AF：FC= ______．
13.已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，则CD的长为______．
14.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，延长BC到点D，菱形CDEF的边CF在边AC上，过点F作FG/​/AB交BE于点G，点G是BE的中点，如果∠A=60°，则线段EF和BC的数量关系为______，如果∠A=90°，AB=2 2+2，则CD的长为______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：2cs30°−tan60°+sin45°cs45°．
16.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题．

(1)画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1；
(2)以点O为位似中心，在第一象限中出画出△A2B2C2，使得△A1B1C1与△A2B2C2位似，且相似比为1：3．
17.(本小题8分)
如图，一次函数y=kx+b的图象交y轴于点C(0,2)，与反比例函数y=mx的图象交于A，B两点，且A点坐标为(−3,−1)．
(1)确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
(2)直接写出不等式kx+b18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，如果∠DAC=∠B，CD=CE．
(1)求证：△ACE∽△BAD．
(2)若CE=3，BD=4，AE=2，求ED的长．
19.(本小题10分)
如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为45°，沿斜坡走3 5米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为31°，且斜坡AF的坡比为1：2．
(1)求小明从点A到点D的过程中，他上升的高度；
(2)大树BC的高度约为多少米？
(参考数据：sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60)
20.(本小题10分)
如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF=FE，连接EF．
(1)求证：EF为⊙O的切线；
(2)若OD=1且BD=BF，求⊙O的半径．
21.(本小题12分)
某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第x(1≤x≤48)天的售价与日销售量的相关信息如表：
已知这种商品的进价为20元/kg，设销售这种商品的日销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
22.(本小题12分)
如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(−3,0)、(0,4)，抛物线y=23x2+bx+c经过B点，且顶点在直线x=52上．
(1)求抛物线对应的函数关系式；
(2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由．
(3)在(2)的条件下，若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N.设点M的横坐标为t，MN的长度为s，求s与t之间的函数关系式，写出自变量t的取值范围，并求s取大值时，点M的坐标．
23.(本小题14分)
如图，矩形ABCD中，AD>AB，点P是对角线AC上的一个动点(不包含A、C两点)，过点P作EF⊥AC分别交射线AB、射线AD于点E、F．

(1)求证：△AEF∽△BCA；
(2)连接BP，若BP=AB，且F为AD中点，求APPC的值；
(3)若AD=2AB，移动点P，使△ABP与△CPD相似，直接写出AFAB的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】C
【解析】解：∵y=3(x−2)2+4，
∴函数图象顶点坐标为(2,4)，
故选：C．
由函数解析式即可求得答案．
本题主要考查二次函数的图象和性质，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：∵反比例函数y=k+1x的图象中，在每个象限内y随x增大而增大，
∴k+1<0，
解得：k<−1．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
4.【答案】D
【解析】【分析】
根据已知角的正切值表示即可．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
【解答】
解：∵AC=a，∠ABC=α，在直角△ABC中tanα=ACAB，
∴AB=atanα．
故选：D．
5.【答案】D
【解析】解：∵2a+ba=72，
∴7a=4a+2b，
∴3a=2b．
故选：D．
根据2a+ba=72，可得7a=4a+2b，所以3a=2b，即可得出答案．
本题考查了比例的性质，关键是熟练掌握比例的性质．
6.【答案】D
【解析】解：连结OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC/​/AB，
∴S△OAB=S△CAB=3，
而S△OAB=12|k|，
∴12|k|=3，
∵k<0，
∴k=−6．
故选：D．
连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB=S△CAB=2，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到12|k|=3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
7.【答案】A
【解析】解：连接OD，
∵OC⊥AB，
∴∠COB=90°，
∵∠AEC=65°，
∴∠OCE=180°−90°−65°=25°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=25°，
∴∠DOC=180°−25°−25°=130°，
∴∠DOB=∠DOC−∠BOC=130°−90°=40°，
∴由圆周角定理得：∠BAD=12∠DOB=20°，
故选：A．
连接OD，根据三角形内角和定理求出∠OCD，根据等腰三角形的性质求出∠ODC，根据三角形内角和定理求出∠DOC，求出∠DOB，再根据圆周角定理求出∠BAD即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和圆周角定理等知识点，能求出∠DOB的度数是解此题的关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理进行判断即可．
【解答】解：∵DE/​/BC，
∴DFFC=DEBC，DEBC=AEAC，
∴DFFC=AEAC，A正确；
∵DE/​/BC，
∴ADAB=AEAC，B错误；
∵DE/​/BC，
∴ADAB=DEBC，C错误；
∵DE/​/BC，
∴DFFC=EFFB，D错误，
故选A．
9.【答案】B
【解析】解：∵y=(x+3)2−4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=−3，
∵x1∴x1+x2=−8，
∴x1+x22=−4，
∵−4<−3，
∴点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，
∴y1>y2．
故选：B．
求出二次函数的对称轴为直线x=−3，然后判断出A、B距离对称轴的大小，即可判断y1与y2的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，判断出点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：在△CED和△BDC中，
∵CD2=DE⋅BD，
∴CDDB=DEDC，
∵∠EDC=∠CDB，
∴△CDE∽△BDC，
∴∠DEC=∠DCB=90°，
∴∠BEC=180°−∠DEC=90°，
如图，取BC中点Q，则EQ=12BC=1，
∵F为AB中点，
∴FQ=12AC= 3，
当且仅当E、F、Q三点共线时，EF可以取到 3−1，
∴EF最小值为 3−1．
故选：A．
先证明通过△CDE∽△BDC说明∠BEC=90°，取BC中点Q，则EQ=12BC=1，FQ=12AC= 3，再由E、F、Q三点共线时，EF可以取到 3−1，即可得到答案，
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，解决此题的关键是证明∠BEC=90°，取BC中点Q，构造直角三角形的斜边中线等于斜边一半．
11.【答案】 5−1
【解析】解：∵P为线段AB的黄金分割点，AB=2，且AP∴BP= 5−12AB= 5−12×2= 5−1．
故答案为： 5−1．
根据黄金分割点的定义，知BP是较长线段，则BP= 5−12AB，代入数据即可得出BP的长．
本题考查黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较长的线段=原线段的 5−12．
12.【答案】1：2
【解析】解：过点D作DH/​/BF，交AC于H，
则CDDB=CHHF，AFFH=AEED，
∵AD是△ABC的中线，E是AD的中点，
∴BD=DC，AE=ED，
∴CH=HF，AF=FH，
∴AF：FC=1：2，
故答案为：1：2．
过点D作DH/​/BF，交AC于H，根据平行线分线段成比例定理得到CDDB=CHHF，AFFH=AEED，根据线段中点的性质得到BD=DC，AE=ED，得到CH=HF，AF=FH，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
13.【答案】4 2
【解析】解：
过O作OF⊥DC于F，连接OC，则∠OFE=∠OFC=90°，
∵BE=1，AE=5，
∴AB=BE+AE=6，
∴OB=OA=OC=3，
∴OE=3−1=2，
∵∠AEC=30°，
∴OF=12OE=1，
∴CF= OC2−OF2= 32−12=2 2，
∵OF⊥CD，OF过圆心O，
∴DF=CF=2 2，
∴CD=CF+DF=4 2，
故答案为：4 2．
过O作OF⊥DC于F，连接OC，求出OA=OB=OC=3，根据垂直定义得出∠OFE=∠OFC=90°，求出OE，根据勾股定理求出OF，再根据勾股定理求出CF，根据垂径定理得出DF=CF，再求出答案即可．
本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂径定理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．
14.【答案】BC=2EF 2 2
【解析】解：如图，延长FG交BC于点M，
∵四边形CDEF为菱形，
∴EF/​/BC，
∴∠GBM=∠GEF，
∵BG=GE，∠BGM=∠EGF，
∴△BGM≌△EGF(ASA)，
∴BM=EF，
设菱形CDEF的边长为a，则BM=EF=a，
在等腰三角形ABC中，AB=AC，如果∠A=60°，则△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∵FG/​/AB，
∴∠FMC=∠ABC=60°，∠CFM=∠A=60°，
∴△FMC为等边三角形，
∴MC=CF=a，
∴BC=BM+MC=2a，
∴BC=2EF，
在等腰三角形ABC中，AB=AC，如果∠A=90°，则△ABC为等腰直角三角形，
∴BC= 2AB= 2(2 2+2)=4+2 2，∠ACB=45°，
∴MC=BC−BM=4+2 2−a，
∵FG/​/AB，
∴FG⊥AC，
∴△FMC为等腰直角三角形，
∴MC= 2CF= 2a，
∴4+2 2−a= 2a，
∴a=2 2，
∴CD=2 2，
故答案为：BC=2EF，CD=2 2．
延长FG交BC于点M，利用ASA证明△BGM≌△EGF，当∠A=60°时，证明△ABC和△MCF为等边三角形，再利用菱形的性质，即可得到EF和BC的数量关系；当∠A=90°，AB=2 2+2时，先证明△ABC和△MCF为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的边角关系即可得到菱形的边长．
本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形，等腰直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
15.【答案】解：2cs30°−tan60°+sin45°cs45°
=2× 32− 3+ 22× 22
= 3− 3+12
=12．
【解析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．
本题考查的是特殊角是三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
16.【答案】解：(1)如图1所示，△A1B1C1即为所求．

(2)如图2所示，△A2B2C2即为所求．

【解析】(1)分别得出点A、B、C关于y轴的对称点，然后连线即可；
(2)由(1)及位似的性质进行作图即可．
本题主要考查轴对称及位似，熟练掌握轴对称及位似的性质是解题的关键．
17.【答案】(1)解：∵A(−3,−1)在反比例函数y=mx的图象上，
∴m=3，
∴y=3x，
∵A(−3,−1)，C(0,2)在y=kx+b上，
∴−3k+b=−1b=2，
解得k=1b=2，
∴y=x+2；
(2)联立y=3xy=x+2，
解得：x=−3y=−1，x=1y=3，
∴B(1,3)，
根据图象可知kx+b【解析】(1)根据待定系数法即可求得一次函数的解析式，由题意可知A(−3,−1)，代入y=mx求得m的值，即可求得反比例函数的解析式；
(2)先求得B的坐标，根据图象找出y=kx+b在y=mx的下方的图象对应的x的范围．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，数形结合是解题的关键．
18.【答案】(1)证明：∵CD=CE，
∴∠CDE=∠CED，
∵∠ADB=180°−∠CDE，∠AEC=180°−∠CED，
∴∠ADB=∠AEC，
∵∠DAC=∠B，
∴△ACE∽△BAD，
(2)解：∵在(1)中已证明△ACE∽△BAD，
∴AECE=BDAD，AD=BD×CEAE，
∵CE=3，BD=4，AE=2，
∴AD=BD×CEAE=4×32=6，
∴ED=AD−AE=6−2=4．
【解析】(1)根据CD=CE，可得∠CDE=∠CED，即有∠ADB=∠AEC，结合∠DAC=∠B，可得△ACE∽△BAD；
(2)根据△ACE∽△BAD，可得AECE=BDAD，即AD=BD×CEAE，问题随之得解．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)作DH⊥AE于H，如图1所示：
在Rt△ADH中，∵DHAH=12，
∴AH=2DH，
∵AH2+DH2=AD2，
∴(2DH)2+DH2=(3 5)2，
∴DH=3．
答：小明从点A到点D的过程中，他上升的高度为3米；
(2)如图2所示：延长BD交AE于点G，设BC=xm，
由题意得，∠G=31°，
∴GH=DHtan∠G≈30.60=5，
∵AH=2DH=6，
∴GA=GH+AH=5+6=11，
在Rt△BGC中，tan∠G=BCGC，
∴CG=BCtan∠G≈x0.60=53x，
在Rt△BAC中，∠BAC=45°，
∴AC=BC=x．
∵GC−AC=AG，
∴53x−x=11，
解得：x=16.5．
答：大树的高度约为：16.5米．
【解析】(1)作DH⊥AE于H，解Rt△ADH，即可求出DH；
(2)延长BD交AE于点G，解Rt△GDH、Rt△ADH，求出GH、AH，得到AG；设BC=x米，根据正切的概念用x表示出GC、AC，根据GC−AC=AG列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．
20.【答案】解：(1)证明：如图，连接OE，

∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE，
∵DF=FE，
∴∠FED=∠FDE，
∵∠FDE=∠CDO，∠CDO+∠OCD=90°，
∴∠FED+∠OEC=90°，
即∠FEO=90°，
∴OE⊥FE，
∵OE是半径，
∴EF为⊙O的切线；
(2)解：设⊙O的半径EO=BO=r，则BD=BF=r−1，
∴FE=2BD=2(r−1)，
在Rt△FEO中，由勾股定理得，
FE2+OE2=OF2，
∴(2r−2)2+r2=(2r−1)2，
解得r=3，或r=1(舍去)，
∴⊙O的半径为3．
【解析】(1)连接OE，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论；
(2)设⊙O的半径EO=BO=r，则BD=BF=r−1，FE=2BD=2(r−1)，在Rt△FEO中，由勾股定理得得出方程求解即可．
本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)当1≤x<30时，
y=(x+30−20)⋅(−2x+120)=−2x2+100x+1200，
当30≤x≤48时，
y=(60−20)⋅(−2x+120)=−80x+4800，
∴y=−2x2+100x+1200(1≤x<30)−80x+4800(30≤x≤48)；
(2)当1≤x<30时，
y=−2(x−25)2+2450，
∴当x=25时，ymax有最大值2450；
当30≤x≤48时，
∵k=−40<0，
∴y随x的增大而减小．
∴当x=30时，ymax=−80×30+4800=2400，
综上，在第25天时，最大日销售利润为2450元．
【解析】(1)依据题意，利用“利润=每千克的利润×销售量”列出函数关系式；
(2)依据题意，可配方求出1≤x<30的函数最大值和30≤x≤48的函数最大值，比较得出结果．
本题主要考查了二次函数的实际应用，二次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是弄清数量关系，列出函数表达式．
22.【答案】解：(1)∵y=23x2+bx+c的顶点在直线x=52上，
∴可设所求抛物线对应的函数关系式为y=23(x−52)2+m，
∵点B(0,4)在此抛物线上，
∴4=23(0−52)2+m，
∴m=−16，
∴所求函数关系式为：y=23(x−52)2−16=23x2−103x+4；
(2)在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴AB= OA2+OB2=5．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=DA=AB=5，
∵A、B两点的坐标分别为(−3,0))、(0,4)，
∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0)；
当x=5时，y=23×52−103×5+4=4，
当x=2时，y=23×22−103×2+4=0，
∴点C和点D在所求抛物线上；
(3)设直线CD对应的函数关系式为y=kx+n，
则5k+n=42k+n=0，
解得：k=43n=−83；
∴y=43x−83．
∵MN//y轴，M点的横坐标为t，
∴N点的横坐标也为t；
则yM=23t2−103t+4，yN=43t−83，
∴s=yN−yM=(43t−83)−(23t2−103t+4)
=−23(t−72)2+32，
∵−23<0，
∴当t=72时，s最大=32，此时yM=23×(72)2−103×72+4=12．
此时点M的坐标为(72,12).
【解析】(1)已知抛物线上A、B点的坐标以及抛物线的对称轴方程，可用待定系数法求出抛物线的解析式；
(2)首先求出AB的长，将A、B的坐标向右平移AB个单位，即可得出C、D的坐标，再代入抛物线的解析式中进行验证即可；
(3)根据C、D的坐标，易求得直线CD的解析式；那么线段MN的长实际是直线CD与抛物线的函数值的差，可将x=t代入两个函数的解析式中，得出的两函数值的差即为s的表达式，由此可求出s、t的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出m取最大值时，点M的坐标．
此题是二次函数综合题，其中涉及到待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，图象的平移变换，二次函数最值的求法等知识，难度适中．应用方程思想与数形结合是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°=∠ABC，
∴∠BAC+∠DAC=90°，
∵EF⊥AC，
∴∠APE=90°，∠DAC+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠BAC，且∠ABC=∠EAF=90°，
∴△AEF∽△BCA；
(2)解：∵BA=BP，
∴∠BAP=∠BPA，
∵∠BAP+∠E=90°=∠BPA+∠BPE，
∴∠E=∠BPE，
∴AB=BP=BE=12AE，
设BC交FE与点G，

∵矩形ABCD，
∴AD//BC，AD=BC，
∴△AFE∽△BGE，
∴BGAF=BEAE=12，
∴BG=12AF，
∵AF=12AD=12BC，
∴CG=BC−BG=34AD，
∵AD/​/BC，
∴△AFP∽△CGP，
∴APPC=AFGC=12AD34AD=23；
(3)解：∵矩形ABCD，
∴AD=BC，AB=CD，AD//BC，
①当△ABP∽△CDP时，则：APCP=ABDC=1，

∴点P为AC的中点，
∵AD/​/BC，
∴∠FAP=∠ACB，
∴tan∠ACP=tan∠FAP，即：PFAP=ABBC=ABAD=12，
设PF=a，则：AP=2a，
∴AF= 5a,AC=4a，
∵AC= AB2+BC2= AB2+(2AB)2= 5AB，
∴AB=4 55a，
∴AFAB= 5a4 55a=54；
②当△ABP∽△CPD时，则：APCD=ABCP，
∴AP⋅CP=AB⋅CD，
设AB=CD=x，AP=t，则：AD=BC=2x，AC= AB2+BC2= 5x，
∴CP= 5x−t，
∴t( 5x−t)=x2，
解得：x=( 5±12)t，
∴AB=( 5±12)t
由①知：PFAP=ABBC=ABAD=12，
∴PF=12AP=12t，
∴AF= 52t，
∴AFAB= 52t( 5±12)t= 55± 5，
∴AFAB= 5−14或AFAB= 5+14；
综上：AFAB= 5−14或AFAB= 5+14或AFAB=54．
【解析】(1)矩形的性质，得到∠ABC=∠FAE=90°，同角的余角相等，得到∠AEF=∠ACB，即可得证；
(2)根据等边对等角，等角的余角相等，得到∠E=∠BPE，得到AB=BP=BE，设BC交FE与点G，证明△AFE∽△BGE，得到BG=12AF，证明△AFP∽△CGP，列出比例式求解即可；
(3)分△ABP∽△CDP，△ABP∽△CPD两种情况进行讨论求解．
本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．时间x(天)
1≤x<30
30≤x≤48
售价
x+30
60
日销售量(kg)
−2x+120