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2024汕头高三上学期期末考试数学含解析
展开注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置.
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题:本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知是关于的方程的一个根,则实数的值为( )
A. 8B. C. 4D.
2. 设表示“向东走10km”,表示“向南走5km”,则所表示的意义为( )
A. 向东南走B. 向西南走
C. 向东南走D. 向西南走
3. 已知全集,,则集合为( )
A. B. C. D.
4. 已知直线:和:平行,则实数( )
A. 2或B. 1C. D. 2
5. 已知,则( )
A. B. C. D.
6. 关于椭圆与双曲线的关系,下列结论正确的是( )
A. 焦点相同B. 顶点相同C. 焦距相等D. 离心率相等
7. 已知函数,下列函数是奇函数的是( )
A. B. C. D.
8. 已知数列的前项和、前项和、前项和分别为、、,则“为等比数列”的一个必要条件为( )
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共4小题,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9. 某科技攻关青年团队共有10人,其年龄(单位:岁)分布如下表所示,则这10个人年龄的( )
A. 中位数是34B. 众数是32
C. 第25百分位数是29D. 平均数为34.3
10. 已知定义在上的函数满足:,,且当时,,若,则( )
A. B. 在上单调递减
C D.
11. 某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系(,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是120小时,在20℃的保鲜时间是30小时,则( )
A. 且
B. 在10℃的保鲜时间是60小时
C. 要使得保鲜时间不少于15小时,则储存温度不低于30℃
D. 在零下2℃的保鲜时间将超过150小时
12. 在三棱锥中,平面,,是底面上(含边界)的一个动点,是三棱锥的外接球表面上的一个动点,则( )
A. 当在线段上时,
B. 的最大值为4
C. 当平面时,点的轨迹长度为
D. 存在点,使得平面与平面夹角余弦值为
第Ⅱ卷 非选择题
三、填空题:本题共4小题.
13. 二项式的展开式中的系数为15,则等于______.
14. 若正四棱台的上、下底边长分别为2、4,侧面积为,则该棱台体积为__________.
15. 已知函数在区间上恰有三个零点,则的取值范围是__________.
16. 从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点;从双曲线的一个焦点发出的光线,经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①,一个光学装置由有公共焦点,的椭圆C与双曲线S构成,现一光线从左焦点发出,依次经S与C反射,又回到了点,历时秒;若将装置中的S去掉,如图②,此光线从点发出,经C两次反射后又回到了点,历时秒.若C与S的离心率之比为,则______.
四、解答题:本题共6小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 的内角、、所对的边分别为、、,,.
(1)求角的大小;
(2)为的重心,的延长线交于点,且,求的面积.
18. 记等差数列的前项和为,首项为,已知,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列前项和.
19. 如图,在边长为4的正三角形中,、分别为边、的中点,将沿翻折至,得四棱锥,设为的中点.
(1)证明:平面;
(2)若平面平面,求平面与平面夹角的余弦值.
20. 《国家学生体质健康标准》是我国对学生体质健康方面的基本要求,是综合评价学生综合素质的重要依据.为促进学生积极参加体育锻炼,养成良好的锻炼习惯,提高体质健康水平,某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行“是否喜欢体育锻炼”的问卷调查.获得如下信息:
①男生所占比例为;
②不喜欢体育锻炼的学生所占比例为;
③喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多50人.
(1)完成列联表,依据小概率值的独立性检验,分析喜欢体育锻炼与性别是否有关联?
(2)(ⅰ)从这200名学生中采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取20人,再从这20人中随机抽取3人.记事件“至少有2名男生”、“至少有2名喜欢体育锻炼的男生”、“至多有1名喜欢体育锻炼的女生”.请计算和的值.
(ⅱ)对于随机事件,,,试分析与的大小关系,并给予证明
参考公式及数据:,
21. 已知圆心在轴上移动圆经过点,且与轴、轴分别交于、两个动点,过点垂直于轴的直线与过点垂直于轴的直线交于点.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)点、在曲线上,以为直径的圆经过原点,作,垂足为.试探究是否存在定点,使得为定值,若存在,求出该定点的坐标;若不存在,说明理由.
22. 已知函数,.
(1)若,求实数的值;
(2)当时,证明:.年龄
45
40
36
32
29
28
人数
1
2
1
3
2
1
性别
体育锻炼
合计
喜欢
不喜欢
男
女
合计
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
汕头市2023~2024学年度普通高中毕业班期末调研测试
数学
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置.
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题:本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知是关于的方程的一个根,则实数的值为( )
A. 8B. C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的四则运算即可得解.
【详解】因为是关于的方程的一个根,
所以,则.
故选:A.
2. 设表示“向东走10km”,表示“向南走5km”,则所表示的意义为( )
A. 向东南走B. 向西南走
C. 向东南走D. 向西南走
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量加法的可交换性与意义即可得解.
【详解】因为表示“向东走10km”,表示“向南走5km”,
所以所表示的意义为“向东走10km”,再“向南走10km”,
等价于向东南走.
故选:A.
3. 已知全集,,则集合为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用韦恩图即可得解.
【详解】因为,
又,所以.
故选:C.
4. 已知直线:和:平行,则实数( )
A. 2或B. 1C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由两直线的不相交可得的值,进而分类讨论平行和重合的情形即可..
【详解】当:,:平行
得,解得或,
当时,:,:,即,此时直线和直线重合,故不符合题意,
当时,:,:,此时直线和直线平行,符合题意;
故选:D
5. 已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦倍角公式和诱导公式化解原式,再用降幂公式即可求出答案.
【详解】由,解得,
又由,解得,
因为,所以,
又因为,得,
所以.
故选:C.
6. 关于椭圆与双曲线的关系,下列结论正确的是( )
A. 焦点相同B. 顶点相同C. 焦距相等D. 离心率相等
【答案】C
【解析】
【分析】利用椭圆与双曲线标准方程分别考虑其性质即可得解.
【详解】对于椭圆,显然恒成立,
设椭圆的长轴长为,短轴长为,焦距为,
所以,则,则,
所以椭圆焦点为,焦距为,顶点和离心率是变化的;
对于双曲线,显然其焦点在轴上,只需考虑焦距即可,不妨设其焦距为,
则,故,所以双曲线的焦距为;
所以椭圆与双曲线的焦距相等,故C正确,其余选项都不正确.
故选:C.
7. 已知函数,下列函数是奇函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出每个选项中的函数的表达式,确定其定义域,结合奇函数的定义判断,即可得答案.
【详解】由于,定义域为
故,定义域为,
,
即不是奇函数,A错误;
,定义域为,不关于原点对称,
即不是奇函数,B错误;
,定义域为,不关于原点对称,
即不是奇函数,C错误;
,定义域为,
,
即为奇函数,D正确,
故选:D
8. 已知数列的前项和、前项和、前项和分别为、、,则“为等比数列”的一个必要条件为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先分析得所选条件由“为等比数列”推得成立,再举反例排除ACD,利用等比数列的通项公式推得B选项的条件成立,从而得解.
【详解】依题意,要成为“为等比数列”的必要条件,
则“为等比数列”推出该条件成立,
对于ACD,当为等比数列时,不妨取数列,,
则,
此时,故A错误;
此时,故C错误;
此时,故D错误;
对于B,当为等比数列时,设等比数列的公比为,
则,
,
,
所以,即,
所以,故B正确
故选:B.
【点睛】关键点睛:本题解决的关键是分析出“为等比数列”的必要条件是由其推出,再举反例轻松排除错误选项,从而得解.
二、选择题:本题共4小题,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9. 某科技攻关青年团队共有10人,其年龄(单位:岁)分布如下表所示,则这10个人年龄的( )
A. 中位数是34B. 众数是32
C. 第25百分位数是29D. 平均数为34.3
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定数据,利用中位数、众数、百分位数、平均数的定义计算判断即可.
【详解】把10个人的年龄由小到大排列为,
这组数据的中位数为32,众数为32,A错误,B正确;
由,得这组数据的第25百分位数是第3个数,为29,C正确;
这组数据的平均数,D正确.
故选:BCD
10. 已知定义在上的函数满足:,,且当时,,若,则( )
A. B. 在上单调递减
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用赋值法可判断AC;利用函数单调性的定义,结合题设条件可判断B,利用条件推得,从而利用累加法与等差数列的求和公式可判断D.
【详解】对于A,因为,,
令,得,则,故A正确;
对于C,令,得,则,
所以,故C正确;
对于B,设且,则,
则 ,
因为当时,,所以,即
所以在上单调递增,故B错误;
对于D,令,得,
则,,,,
上述各式相加,得,
又,
所以,故D错误;
故选:AC.
11. 某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系(,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是120小时,在20℃的保鲜时间是30小时,则( )
A. 且
B. 在10℃的保鲜时间是60小时
C. 要使得保鲜时间不少于15小时,则储存温度不低于30℃
D. 在零下2℃的保鲜时间将超过150小时
【答案】AB
【解析】
【分析】本题首先可根据题意得出是减函数,且,可判断出正确;根据及,可得,则可求得的值,判断出正确;解不等式得,则错误;当时,可求得,则错误.
【详解】因为该食品在0℃的保鲜时间是120小时,在20℃的保鲜时间是30小时,
易得是减函数,结合复合函数的单调性可知,
又,可知,所以正确;
又,即,故,,
则,故正确;
若,则,结合,
不等式化为,即,又,所以,
故错误;
当时,,故错误;
故选:
12. 在三棱锥中,平面,,是底面上(含边界)的一个动点,是三棱锥的外接球表面上的一个动点,则( )
A. 当在线段上时,
B. 的最大值为4
C. 当平面时,点的轨迹长度为
D. 存在点,使得平面与平面夹角的余弦值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A:通过证明面来判断;对于B:三棱锥补成正方体,求其外接圆半径,进而可得的最大值;对于C:点的轨迹为过点且与面平行的平面与外接球的交线,产生的轨迹是一个圆,求该圆的半径,进而可得轨迹长度;对于D:设平面与平面的交线为,作出两个平面的夹角,求出其夹角的三角函数值的范围,从而可以判断.
【详解】对于A:由已知,即,
又平面,且平面,
所以,又面,,
所以面,又面,
所以,A正确;
对于B:设三棱锥的外接球半径为,将三棱锥补成正方体,如图:
三棱锥的外接球即为正方体的外接球,
则,
则的最大值为外接球的直径,即,B错误;
对于C:当平面时,点的轨迹为过点且与面平行的平面与外接球的交线,产生的轨迹是一个圆,设其半径为
设点到面的距离为,
因为,
所以,解得,
所以,
所以点的轨迹长度为,C正确;
对于D:取线段的中点,连接,
在正方体中,明显有面,即点到面距离为线段的长,且,
设平面与平面的交线为,平面与平面的夹角为,过做交与,连接,
明显有,, ,面,
所以面,则为平面与平面夹角,
则,又由图象可得,
所以,所以,
所以,又,
所以存在点,使得平面与平面夹角的余弦值为.
故选:ACD.
【点睛】关键点点睛:关于面面角的范围问题,关键是要确定哪些量在变,哪些量不变,变的量在哪个范围变化,通过确定角的三角函数值的范围可确定角的范围.
第Ⅱ卷 非选择题
三、填空题:本题共4小题.
13. 二项式的展开式中的系数为15,则等于______.
【答案】6
【解析】
【分析】根据题意,展开式的通项为,令即可求解可得答案.
【详解】根据题意,展开式的通项为,令,则
故答案为6.
【点睛】本题考查二项式定理的应用,注意二项式的展开式的形式,区分某一项的系数与二项式系数.
14. 若正四棱台上、下底边长分别为2、4,侧面积为,则该棱台体积为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】作出正棱台的图象,结合其侧面积求得正四棱台的斜高,再利用棱台体积公式即可得解.
【详解】由题意,正四棱台上、下底面的边长分别为,
可得上、下底面面积为,
如图所示,取上、下底面正方形的中心分别为,再取分别为的中点,
分别连接,过点作,
因为该正四棱台的侧面积为,易得为等腰梯形的高,
所以,解得,
在中,可得,
则该正四棱台的高为,
所以该棱台的体积为.
故答案为:.
15. 已知函数在区间上恰有三个零点,则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先由题意求得的取值范围,再利用正弦函数的性质得到关于的不等式,从而得解.
【详解】因为,,则,
又因为函数在区间上恰有三个零点,
则,解得,
所以的取值范围为.
故答案为:.
16. 从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点;从双曲线的一个焦点发出的光线,经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①,一个光学装置由有公共焦点,的椭圆C与双曲线S构成,现一光线从左焦点发出,依次经S与C反射,又回到了点,历时秒;若将装置中的S去掉,如图②,此光线从点发出,经C两次反射后又回到了点,历时秒.若C与S的离心率之比为,则______.
【答案】6
【解析】
【分析】在图①和图②中,利用椭圆和双曲线的定义,分别求得和的周长,再根据光速相同,时间比等于路程比,再结合C与S的离心率之比为,即可求解.
【详解】在图①中,由椭圆的定义得:,由双曲线的定义得,两式相减得,
所以的周长为,
在图②中,的周长为,
因为光速相同,
因为C与S的离心率之比为,即,
所以.
故答案为:6.
四、解答题:本题共6小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 内角、、所对的边分别为、、,,.
(1)求角的大小;
(2)为的重心,的延长线交于点,且,求的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)在中,利用诱导公式,正弦定理及正弦二倍角公式化简可得结果;
(2)分别在,和中,利用余弦定理建立等量关系,利用三角形面积公式可得结果.
【小问1详解】
在中,因为,
由正弦定理可得,,,即,
所以,,,
故,即.
【小问2详解】
因为为的重心,的延长线交于点,且,
所以点为中点,且,在中,,,即,
在和中,,化简得,
所以,故,
所以的面积为.
18. 记等差数列的前项和为,首项为,已知,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)利用等差数列的通项公式与求和公式得到关于,的方程组,解之即可得解;
(2)利用错位相减法即可得解.
【小问1详解】
依题意,设等差数列的公差为,
因为,,
所以,即,解得,
所以.
【小问2详解】
由(1)得,
设数列的前项和为,
则,
则②,
两式相减,得
,
故.
19. 如图,在边长为4的正三角形中,、分别为边、的中点,将沿翻折至,得四棱锥,设为的中点.
(1)证明:平面;
(2)若平面平面,求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)取的中点Q,可得四边形为平行四边形,则,再由直线与平面平行的判定定理证明即可;
(2)利用面面垂直的性质定理可得平面,从而建立空间直角坐标系,求出面与平面的法向量,再利用向量夹角公式求解即可.
【小问1详解】
取的中点Q,连接,
则有,且,
又、分别为边、的中点,则,且,
故,且,
则四边形为平行四边形,则,
又平面,平面,故平面.
.
【小问2详解】
取中点O,中点G,连接,
在中,易得,所以,则,
又平面平面,且交线为,平面,
所以平面,则两两垂直,
故以O为原点,所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
易得,则,,,,
由为中点,故,
则,,
设平面的一个法向量,则,即,
取,则,故,
易得平面的一个法向量,
设平面与平面的夹角为,,
则,
所以直线与平面BFP所成的角的正弦值为.
20. 《国家学生体质健康标准》是我国对学生体质健康方面的基本要求,是综合评价学生综合素质的重要依据.为促进学生积极参加体育锻炼,养成良好的锻炼习惯,提高体质健康水平,某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行“是否喜欢体育锻炼”的问卷调查.获得如下信息:
①男生所占比例为;
②不喜欢体育锻炼的学生所占比例为;
③喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多50人.
(1)完成列联表,依据小概率值的独立性检验,分析喜欢体育锻炼与性别是否有关联?
(2)(ⅰ)从这200名学生中采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取20人,再从这20人中随机抽取3人.记事件“至少有2名男生”、“至少有2名喜欢体育锻炼的男生”、“至多有1名喜欢体育锻炼的女生”.请计算和的值.
(ⅱ)对于随机事件,,,试分析与的大小关系,并给予证明
参考公式及数据:,.
【答案】(1)列联表见解析;有关联
(2)(ⅰ),;(ii),证明见解析
【解析】
【分析】(1)依题意完善列联表,求得,从而利用独立性检验即可得解;
(2)(i)分析分层抽样所得的样本情况,再分析事件与的意义,利用组合数结合古典概型的概率公式即可得解;;(ii)利用条件概率公式即可得证明.
【小问1详解】
因为男生所占比例为,所以男生有人,
因为不喜欢体育锻炼的学生所占比例为,
所以不喜欢体育锻炼的学生有人,
则喜欢体育锻炼的学生有人,
又喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多50人,
所以喜欢体育锻炼的男生有80人,喜欢体育锻炼的女生有30人,
所以列联表如下:
假设:是否喜欢体育锻炼与性别无关联.
根据表中数据,计算得到,
依据小概率值的独立性检验,我们推断不成立.
即认为是否喜欢体育锻炼与性别有关联.
【小问2详解】
(ⅰ)依题意,随机抽取的20名学生中,喜欢体育锻炼的男生有人,不喜欢体育锻炼的男生有人,
喜欢体育锻炼的女生有人,不喜欢体育锻炼的女生有人,
事件表示:“在至少有2名男生的条件下,至少有2名男生喜欢体育锻炼”,
事件表示:“2男生1女生都喜欢体育锻炼”和“3男生中至少两人喜欢体育锻炼”,
所以,
;
(ⅰⅰ)对于随机事件,,,
有,证明如下:
.
21. 已知圆心在轴上移动的圆经过点,且与轴、轴分别交于、两个动点,过点垂直于轴的直线与过点垂直于轴的直线交于点.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)点、在曲线上,以为直径的圆经过原点,作,垂足为.试探究是否存在定点,使得为定值,若存在,求出该定点的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)
(2)存在,
【解析】
【分析】(1)根据题意得知为动圆的直径,从而利用平面向量垂直的坐标表示即可得解;
(2)根据题意假设直线的方程,联立直线与曲线的方程,结合韦达定理求得,再利用平面向量垂直的坐标表示求得,从而推得直线经过定点,进而推得点在以为直径的圆上,由此得解.
【小问1详解】
因为圆心在轴上移动的圆经过点与,
所以为动圆的直径,又动圆经过点,故,
于是,即,
而过点垂直于轴的直线与过点垂直于轴的直线交于点,则,
故点的轨迹的方程为.
【小问2详解】
依题意,直线的斜率存在且截距大于0,
故设其方程为,
联立,消去得,,
故,则,故,
因为以为直径的圆经过原点,所以,则,
则,解得或(舍去),
故直线为,显然经过定点,
又因为,则点在以为直径的圆上,
取中点,则,
因此,存在定点使得为定值2.
【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:
(1)设直线方程,设交点坐标为;
(2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于(或)的一元二次方程,注意的判断;
(3)列出韦达定理;
(4)将所求问题或题中的关系转化为、(或、)的形式;
(5)代入韦达定理求解.
22. 已知函数,.
(1)若,求实数的值;
(2)当时,证明:.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据题意推到,从而求得,再检验当时,成立,从而得解;
(2)利用小问(1)得不等式,再构造函数证得,从而证得,再利用累加法即可得解.
【小问1详解】
因为,注意到,
所以当恒成立时,是的最小值点,也是极小值点,则,
而,所以,解得,
当时,,,
令,得,则在区间上单调递减,
令,得,则在区间上单调递增,
所以,
所以.
【小问2详解】
由(1)得,,即,当且仅当时等号成立,
令,则,,,
所以,,,
令,则恒成立,
所以函数在上单调递增,
故当时,,即.
所以,,,
所以
.
【点睛】关键点睛:本题求解的关键是借助得出,结合累加求和可证结论.
年龄
45
40
36
32
29
28
人数
1
2
1
3
2
1
性别
体育锻炼
合计
喜欢
不喜欢
男
女
合计
0.10
0.05
0.010
0.001
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体育锻炼
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2024汕头澄海区高二上学期期末考试数学含解析: 这是一份2024汕头澄海区高二上学期期末考试数学含解析,共25页。
广东省汕头市2024届高三上学期期末考试数学: 这是一份广东省汕头市2024届高三上学期期末考试数学,共5页。试卷主要包含了选择题的作答,非选择题的作答,已知,,则,已知函数,已知定义在上的函数满足等内容,欢迎下载使用。
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