2024年高考数学重难点突破专题八 立体几何 第二十三讲 空间中点、直线、平面之间的位置关系 (2)61

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2019年
1.（2019全国Ⅲ理8）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则
A．BM=EN，且直线BM、EN 是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN 是相交直线
C．BM=EN，且直线BM、EN 是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN 是异面直线
2.（2019全国Ⅱ理7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
3.（2019江苏16）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．
求证：（1）A1B1∥平面DEC1；
（2）BE⊥C1E．
4.（2019北京理12）已知l，m是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断:
①； ②； ③
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题: ______.
2010-2018年
一、选择题
1．(2018全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为
A． B． C． D．
2．(2018全国卷Ⅱ)在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C． D．
3．(2018浙江)已知平面，直线，满足，，则“∥”是“∥”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．(2018浙江)已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则
A． B． C． D．
5．(2017新课标Ⅱ)已知直三棱柱 QUOTE 中，，，
，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
6．（2017浙江）如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），，，分别为，，上的点，，，分别记二面角，，的平面角为，，，则

A．<< B．<< C．<7．（2016年全国I）平面过正方体的顶点，∥平面，平面=，平面=，则，所成角的正弦值为
A． B． C． D．
8．（2015福建）若 是两条不同的直线，垂直于平面 ，则“ ”是“∥”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2015浙江）如图，已知，是的中点，沿直线将翻折成，所成二面角的平面角为，则
10．（2014广东）若空间中四条两两不同的直线，满足，则下面结论一定正确的是
A． B． C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定
11．（2014浙江）设是两条不同的直线，是两个不同的平面
A．若，，则 B．若，则
C．若则 D．若，，，则
12．（2014辽宁）已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是
A．若则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
13．（2014浙江）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小（仰角为直线与平面所成角）．若，，则的最大值
A． B． C． D．
14．（2014四川）如图，在正方体中，点为线段的中点．设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是
A． B． C． D．
15．（2013新课标Ⅱ）已知为异面直线，平面，平面．直线满足，，则
A．且 B．且
C．与相交，且交线垂直于 D．与相交，且交线平行于
16．（2013广东）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面,下列命题中正确的是
A．若,,,则
B．若,,,则
C．若,,,则
D．若,,,则
17．（2012浙江）设是直线，是两个不同的平面
A．若∥，∥，则∥ B．若∥，⊥，则⊥
C．若⊥，⊥，则⊥ D．若⊥, ∥，则⊥
18．（2012浙江）已知矩形，，．将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，
A．存在某个位置，使得直线与直线垂直
B．存在某个位置，使得直线与直线垂直
C．存在某个位置，使得直线与直线垂直
D．对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直
19．（2011浙江）下列命题中错误的是
A．如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面
B．如果平面α不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
C．如果平面，平面，，那么
D．如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面
20．（2010山东）在空间，下列命题正确的是
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
二、填空题
21．(2018全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为_____．
22．（2016年全国II），是两个平面，m，n是两条线，有下列四个命题：
①如果，，，那么．
②如果，，那么．
③如果，，那么．
④如果，，那么m与所成的角和n与所成的角相等．
其中正确的命题有 ．(填写所有正确命题的编号）
23．（2015浙江）如图，三棱锥中，，，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是 ．
24．（2015四川）如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点在线段上，分别为的中点．设异面直线与所成的角为，则的最大值为_________．
25．（2017新课标Ⅲ），为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线与成60°角时，与成30°角；
②当直线与成60°角时，与成60°角；
③直线与所成角的最小值为45°；
④直线与所成角的最小值为60°；
其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)
三、解答题
26．（2018江苏）在平行六面体中，，．
求证：(1)平面；
(2)平面平面．
27．（2018浙江）如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，．
(1)证明：⊥平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值．
28．（2017浙江）如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点．
（Ⅰ）证明：∥平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
29．（2017江苏）如图，在三棱锥中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．
求证：（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC．
30．（2017山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点．
（Ⅰ）设是上的一点，且，求的大小；
（Ⅱ）当，，求二面角的大小．
31．（2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线，的长分别为14cm和62cm． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm． 现有一根玻璃棒，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将放在容器Ⅰ中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度；
（2）将放在容器Ⅱ中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度．
32．（2016全国I）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是．
（ = 1 \* ROMAN I）证明：平面平面；
（ = 2 \* ROMAN II）求二面角的余弦值．
33．（2016全国II）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，，，
点E，F分别在AD，CD上，，EF交BD于点H．将沿
折到的位置，．
（ = 1 \* ROMAN I）证明：平面ABCD；
（ = 2 \* ROMAN II）求二面角的正弦值．
34．（2016全国III）如图，四棱锥中，⊥底面，，
，，为线段上一点，，
为的中点．
（Ⅰ）证明平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
35．（2014山东）如图，四棱锥中，，，
分别为线段的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：.
36．(2014江苏)如图，在三棱锥中，，E，F分别为棱的中点．已知，
求证：（Ⅰ）直线平面；
（Ⅱ）平面平面．
37．（2014新课标Ⅱ）如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点．
（Ⅰ）证明：∥平面；
（Ⅱ）设二面角为60°，=1，=，求三棱锥的体积．
38．（2014天津）如图四棱锥的底面是平行四边形，，
,,,分别是棱,的中点．
（Ⅰ）证明: 平面；
（Ⅱ）若二面角为60°，
（ⅰ）证明：平面⊥平面
（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
39．（2013浙江）如图，在四棱锥中，⊥面，，
，，，为线段上的点．
（Ⅰ）证明：⊥面 ；
（Ⅱ）若是的中点，求与所成的角的正切值；
（Ⅲ）若满足⊥面，求的值．
40．（2013辽宁）如图，是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点．
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）设为的中点，为的重心，求证：平面．
41．（2012江苏）如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点D 不同于点C），且为的中点．
求证：（Ⅰ）平面平面；
（Ⅱ）直线平面．
42．(2012广东)如图所示，在四棱锥中，平面，，是中点，是上的点，且，为中边上的高．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若，求三棱锥的体积；
（Ⅲ）证明：平面．
43．（2011江苏）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，
=60°，、分别是、的中点．
求证：（Ⅰ）直线∥平面；
（Ⅱ）平面⊥平面．
44．（2011广东）如图在椎体中，是边长为1的棱形，且=60，
，，，分别是，的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
45．（2010天津）如图，在五面体中，四边形是正方形，⊥平面，
∥，=1，=，∠＝∠＝45°．
（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；
（Ⅱ）证明⊥平面；
（Ⅲ）求二面角的正切值．
46．（2010浙江）如图，在平行四边形中，=2，∠=120°．为线段的中点，将△沿直线翻折成△，使平面⊥平面，为线段的中点．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）设为线段的中点，求直线与平面所成角的余弦值．