2024年高考数学重难点突破讲义:专题6 函数与导数
展开已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.
(1) 讨论f(x)的单调性;(2) 当a<0时,求证:f(x)≤-eq \f(3,4a)-2.
【思维引导◎明思路】
【评分标准◎看过程】
(1) f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=eq \f(1,x)+2ax+2a+1=eq \f(x+12ax+1,x).(2分)
若a≥0,则当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增;(3分)
若a<0,则当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,-\f(1,2a)))时,f′(x)>0;当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2a),+∞))时,f′(x)<0,故f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,-\f(1,2a)))上单调递增,在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2a),+∞))上单调递减.(4分)
(2) 由(1)知,当a<0时,f(x)在x=-eq \f(1,2a)处取得最大值,最大值为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2a)))=lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2a)))-1-eq \f(1,4a),(6分)
所以f(x)≤-eq \f(3,4a)-2等价于lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2a)))-1-eq \f(1,4a)≤-eq \f(3,4a)-2,即lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2a)))+eq \f(1,2a)+1≤0.(8分)
设g(x)=lnx-x+1,则g′(x)=eq \f(1,x)-1,x>0.(9分)
当x∈(0,1)时,g′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g′(x)<0.所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.(10分)
故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0.(11分)
所以当x>0时,g(x)≤0.从而当a<0时,lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2a)))+eq \f(1,2a)+1≤0,即f(x)≤-eq \f(3,4a)-2.(12分)
【老师提醒◎防失误】
1.会忽视函数f(x)的定义域为(0,+∞);
2.求导后得f′(x)=eq \f(1,x)+2ax+2a+1,不知道通分处理,或通分后f′(x)=eq \f(x+12ax+1,x)忽视对字母a的讨论;
3.不等式化简后得lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2a)))+eq \f(1,2a)+1≤0,不会换元处理构造函数g(x)=lnx-x+1;
4.当a<0时,证明f(x)≤-eq \f(3,4a)-2,对所证不等式化简正确是得分点.
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