安徽省怀宁县第二中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

这是一份安徽省怀宁县第二中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(每个小题5分，共40分)
1．设为等差数列的前项和，若，则的值为（ ）
A．14B．28C．36D．48
2．已知抛物线上一点 到其焦点的距离为，则实数的值是（ ）
A．-4B．2C．4D．8
3．已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在四棱锥中，平面，M，N分别为，上的点，且，，若，则的值为（ ）
A． B．
C．1 D．
5．函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A．B． C．D．
6．已知数列满足，设，则数列的前2023项和为（ ）
A．B．C．D．
7．椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴相等B．短轴相等
C．焦距相等D．离心率相等
8．1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历步构造后，所有去掉的区间长度和为（ ） （注： 或或或的区间长度均为）
A．B．
C．D．
二、多选题(每个小题5分，共20分，只有一项或者多项是符合题目要求的。)
9．已知数列满足，，，则（ ）
A．是等比数列B．
C．是递增数列D．
10．已知双曲线过点且渐近线为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点，为双曲线的右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为2B．双曲线的方程是
C．的最小值为2D．直线与有两个公共点
11．已知圆 ，直线，则（ ）
A．直线恒过定点
B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1
C．直线与圆有一个交点
D．若圆与圆 恰有三条公切线，则
12．已知是各条棱长均等于1的正三棱柱， 是侧棱的中点，下列结论正确的是（ ）
A．与平面所成的角的正弦值为
B．平面与平面所成的角是
C．
D．平面平面
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知两直线与平行，则_______.
14．设分别为直线 和圆 上的点，则的最小值为______.
15．已知点P是曲线上的一点，则点P到直线的最小距离为_______．
16．空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为_______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知曲线．
(1)求平行于直线且与曲线相切的直线方程；
(2)求过点且与曲线相切的直线方程．
18．已知各项均为正数的等差数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
19．已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值.
20．已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若数列满足，记，证明：.
21．如图，正三棱柱的棱长都为2，D为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小；
（3）求点C到平面的距离．
22．已知椭圆的左顶点为，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线l交椭圆C于A，B两点，当取得最大值时，求 的面积．
高二数学答题卷
考生须知
1、考生答题前，在规定的地方准确填写考号和姓名。
2、选择题作答时，必须用2B铅笔填涂，如需要对答案进行修改，应使用绘图橡皮轻擦干净，注意不要擦破答题卷。
3、非选择题必须用 .5毫米黑色墨水签字笔作答。严格按照答题要求，在答题卷对应题号指定的答题区域内答题，切不可超出黑色边框，超出黑色边框的答案无效。
4、作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用 0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚。
5、保持卷面清洁，不要将答题卷折叠，弄破。
考号______________ 姓名_______________
考生须知
考生答题前，在规定的地方准确填写考号和姓名。
选择题作答时，必须用2B铅笔填涂，如需要对答案进行修改，应使用绘图橡皮轻擦干净，注意不要擦破答题卷。
非选择题必须用 0.5毫米黑色墨水签字笔作答。严格按照答题要求，在答题卷对应题号指定的答题区域内答题，切不可超出黑色边框，超出黑色边框的答案无效。
作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用 0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚。
保持卷面清洁，不要将答题卷折叠，弄破。
二、填空题（每小题5分，共20分）
13________________ 14_______________ 15________________ 16_______________ 16________________
17题（10分）
18题（12分）
19题（12分）
20题（12分）
21题（12分）
22题（12分）
高二期末考试数学答案
1．D
【分析】利用等差数列的前项和公式以及等差数列的性质即可求出.
【详解】因为为等差数列的前项和，
所以
故选：D
【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式的计算以及等差数列性质的应用，属于较易题.
2．C
【分析】首先利用抛物线的定义，将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离解出p，再将点M的坐标代入抛物线方程即可解得.
【详解】抛物线的准线方程为：，因为M到焦点距离为5，所以M到准线的距离，即p=8，则抛物线方程为.将(1,m)代入得：，因为所以.
故选：C.
3．B
【分析】首先由点的坐标满足圆的方程来确定点在圆上，然后求出过点的圆的切线方程，最后由两直线的垂直关系转化为斜率关系求解.
【详解】由题知，圆的圆心，半径.
因为，所以点在圆上，
所以过点的圆的切线与直线垂直，
设切线的斜率，则有，
即，解得.
因为直线与切线垂直，
所以，解得.
故选：B.
4．B
【分析】以为基底表示，由此求得，进而求得.
【详解】
，
所以.
故选：B
5．A
【分析】利用导数的几何意义即可得解.
【详解】因为，所以，
所以，，
则所求切线方程为，即，
故选：A.
6．D
【分析】根据题意得到，再利用裂项法求和即可.
【详解】由题知：数列满足，设，
所以的前项和为，则.
当时，，
当时，，
检验：当时，，符合.
所以.
令，前项和为.
则.
故选：D
7．C
【分析】根据两个椭圆的标准方程，求出焦距即可得到结论.
【详解】因为中的，
所以，焦距为；
因为中的，
所以，焦距为；
故选：C.
8．B
【分析】根据“康托尔三分集”的定义，分别求得前几次的剩余区间长度的和，求得其通项公式，可得第次操作剩余区间的长度和，即可得解.
【详解】解：将定义的区间长度为，根据“康托尔三分集”的定义可得：
每次去掉的区间长组成的数为以为首项，为公比的等比数列，
第1次操作去掉的区间长为，剩余区间的长度和为，
第2次操作去掉两个区间长为的区间，剩余区间的长度和为，
第3次操作去掉四个区间长为的区间，剩余区间的长度和为，
第4次操作去掉8个区间长为，剩余区间的长度和为，
第次操作去掉个区间长为，剩余区间的长度和为，
所以；
设定义区间为，则区间长度为1，
所以第次操作剩余区间的长度和为，
则去掉的区间长度和为.
故选：B
9．ACD
【分析】根据给定条件探求数列的特性，再逐项分析计算判断作答.
【详解】数列满足，，，则，，
数列是首项为，公比为3的等比数列，A正确；
，则，B不正确；
，则，是递增数列，C正确；
，当时，，则，当时，，
当时，，
即，，D正确.
故选：ACD
【点睛】易错点睛：等比数列公比q不确定，其前n项和直接用公式处理问题，漏掉对的讨论.
10．AB
【分析】设双曲线的方程为，由双曲线过点求出，判断B；再由离心率公式判断A；联立直线和双曲线方程判断D.
【详解】设双曲线的方程为，由双曲线过点可得，即双曲线的方程是，故B正确；
可化为，则，，故A正确；
由题意可得，当直线与渐近线垂直时，取最小值，且最小值，故C错误；
由，解得，即直线与只有一个交点，故D错误；
故选：AB
11．AD
【分析】A选项，将直线变形，即可得到直线过的定点.B选项，结合点到直线的距离公式，可得到结果.C选项，由定点在圆内，即可求解.D选项，由公切线条数可确定两圆位置关系，根据圆心距与两圆半径之间的关系来求解.
【详解】对于A选项，直线 ，所以，令，解得，所以直线恒过定点，故A选项正确.
对于B选项，当时，直线为：，则圆心到直线的距离为，，所以圆上只有2个点到直线的距离为
，故B选项错误.
对于C选项，因为直线过定点，所以，所以定点在圆内，则直线与圆有两个交点.故C选项错误.
对于D选项，由圆的方程可得，，所以圆心为，半径为，因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切，则，解得，故D选项正确.
故选：AD
12．ACD
【分析】根据正三棱柱的性质，结合空间线面的关系，逐项分析判断即可得解.
【详解】
对A，设点到平面的距离为，
易知到平面为底面的高为，
由，
可得，
由，，,
所以，由，解得，
与平面所成的角的正弦值为，故A正确；
如图，延长交于点，连接，
由知为中点，由为等边三角形，
所以，所以为二面角的平面角，
易知，故B错误；
对C，由，根据正三棱柱的性质可得平面，
所以，又，
所以平面，所以，故C正确；
对D，由C答案的分析可知，平面，
平面，而平面，
所以平面平面，故D正确.
故选：ACD
13．
【分析】判断不合题意，再根据两直线平行可得斜率相等，列出关于a的等式，求得答案.
【详解】当时，为，
为，两直线不平行；
故时，两直线与平行
可得，解得或，
当时， 即，
即，两直线重合，不合题意，
故，
故答案为：
14．
【分析】易知的最小值为圆心到直线的距离减去半径.
【详解】圆心到直线的距离为，
所以的最小值为.
故答案为：.
15．
【分析】设与相切与点Q，求得切线方程，再利用两直线间的距离求解.
【详解】由题意可知：，
设与相切与点Q，
则，令，得，则切点，
代入，得，即直线方程为，
所以与直线间的距离为，
即为到直线的最小距离，
故答案为：.
16．
【分析】根据题意，结合材料，分别求出平面的法向量和直线的方向向量，即可求解.
【详解】根据材料可知，由平面的方程为，得为平面的法向量，
同理可知，与分别为平面与的法向量.
设直线的方向向量，则，即，取，则.
设直线与平面所成角为，则.
故答案为：.
17．(1)(2)或
【分析】（1）设过点的切线与直线平行，求出函数的导函数，依题意可得，即可求出切点坐标，从而求出切线方程；
（2）设切点为，由求出、，从而求出切线方程.
【详解】（1）因为，所以，设过点的切线与直线平行，
则，解得，所以，
所以切线方程为，即.
（2）设切点为，则，
所以，解得或，
所以切点为或，
当切点为时切线的斜率，所以切线方程为；
当切点为时切线的斜率，所以切线方程为；
所以过点且与曲线相切的直线方程为或.
18．(1)(2)
【分析】（1）依题意可得，即可得到是以1为首项，2为公差的等差数列，再根据等差数列的通项公式计算可得；
（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可．
【详解】（1）解：各项均为正数的等差数列满足，，
整理得，
由于，
所以，
故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
所以．
（2）解：由（1）可得，
所以．
19．(1)(2)
【分析】（1）根据抛物线过点，且，利用抛物线的定义求解；
（2）设，联立，根据，由，结合韦达定理求解.
【详解】（1）由抛物线过点，且，
得
所以抛物线方程为；
（2）由不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，
设，联立得，
所以，所以，
所以
因为，所以，
则，
，即，
解得或，
又当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点重合，
不符合题意，故舍去；所以实数的值为.
20．(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）利用与的关系，即可证明是等差数列
（2）利用错位相减法求得，可以证明
【详解】（1））当时，，得，
当时，，
又，两式相减得，，整理得，
∵，∴，∴数列是首项为1，公差为的等差数列.
（2）由（Ⅰ）可知，数列的通项公式为，故，
∴①，②，
①－②得，，
故，
∴.
21．（1）详见解析；（2）；（3）.
【分析】（1）以BC的中点O为原点，建立空间直角坐标系，求得的坐标，由证明；
（2）由（1）知：是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，由求解；
（3）根据，由求解.
【详解】（1）以BC的中点O为原点，建立如图所示空间直角坐标系：
则，
所以，
因为，且，所以平面；
（2）由（1）知：是平面的一个法向量，又，
设直线与平面所成角为，则，
因为，所以；
（3）因为，
则点C到平面的距离为．
22．（1）；（2）
【分析】(1)由左顶点M坐标可得a=2，再由可得c，进而求得椭圆方程．(2)设l的直线方程为，和椭圆方程联立，可得，由于，可用t表示出两个交点的纵坐标 和，进而得到的关于t的一元二次方程，得到取最大值时t的值，求出直线方程，而后计算出的面积．
【详解】(1) 由题意可得：，，得，则.
所以椭圆的方程:
(2) 当直线与轴重合，不妨取，此时
当直线与轴不重合，设直线的方程为：,设，
联立得，
显然，，.
所以
当时，取最大值.
此时直线方程为，不妨取，所以.
又,所以的面积
【点睛】本题考查椭圆的基本性质，运用了设而不求的思想，将向量和圆锥曲线结合起来，是典型考题．